UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARAN PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL Estatística II Aula 8 Profa. Renata G. Aguiar Considerações Coleta de dados no dia 18.05.2010. Aula extra de laboratório no dia 10.06.2010, às 8h. 1 2 Planejamento Planejamento Os método estatísticos são essenciais para um bom experimento. Todos os experimentos são planejados; infelizmente, alguns deles são pobremente planejados. Fontes valiosas são usadas ineficientemente. 3 Experimentos estatisticamente planejados permitem eficiência e economia no processo experimental e o uso de métodos estatísticos no exame de dados resulta na objetividade científica quando da retirada de conclusões. 4 A análise da variância (ou ANOVA, de ANalysis Of VAriance) é uma poderosa técnica estatística desenvolvida por R. A. Fisher. 5 A ANOVA é uma extensão do testetde Student que compara duas e só duas médias. A análise de variância permite que o pesquisador compare qualquer número de médias e visa identificar a existência de ao menos uma diferença grupos, se alguma existir. 6
Além de o cálculo de uma série de razõest envolver trabalho considerável, há também uma limitação estatística, porque aumenta a probabilidade de cometermos um erro tipo I. Pearson (1942) mostrou que a probabilidade (P) de se cometer um erro do tipo I aumenta com o número de médias que estão sendo comparadas (α = 0,05). H o : µ 1 = µ 2 H o : µ 1 = µ 2 = µ 3 P = 0,05 P = 0,14 7 H o : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 P = 0,26 8 Para superar esse problema necessitamos de um teste estatístico que mantenha o erro do tipo I constante tomando uma única decisão global sobre a existência de uma diferença significativa três ou mais médias amostrais que procuramos comparar. 9 Para fazer uma análise de variância, tratamos a variação total de um conjunto de valores como divisível em dois componentes: a distância ou desvio dos valores brutos em relação a sua média grupal, conhecida como variação de grupos, e a distância ou desvio das médias de cada grupo em relação às médias dos grupos, chamada variação grupos. 10 Nota Experimentos inteiramente ao acaso, fator único. Esse modelo que estudaremos é o mais simples de ANOVA e é sempre unilateral. No caso particular de um experimento com dois tratamentos, tanto se pode aplicar um teste t como a ANOVA. 11 12
Procedimentos para a ANOVA Construindo um problema A ANOVA só deve ser realizada se forem satisfeitas algumas pressuposições que serão discutidas posteriormente. 13 O dano ecológico devido ao despejo de substâncias produzidas por certa fábrica foi medido em quatro pontos de um curso d água: antes da saída do efluente da fábrica (ponto A), na saída do efluente (B) e em dois outros pontos situados após o local B (C e D). 14 Com os dados da Tabela 3 teste a hipótese de que há diferentes índices de dano ecológico nos locais examinados (α = 0,05). Valores maiores indicam danos ecológicos maiores. Tabela 3 Índices de dano ecológico. Ponto A Ponto B Ponto C Ponto D 1 5 3 3 2 4 0 3 5 2 2 2 15 16 Procedimentos para a ANOVA Antes de proceder às etapas da ANOVA, é importante analisar graficamente os dados de um experimento planejado. Por quê? Etapa 1: Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa. H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 17 H 1 : nem todas as médias das populações são iguais. 18
Procedimentos para a ANOVA Etapa 2: Especificar o nível de significância a ser utilizado. α = 0,05 Etapa 3: Determinar o valor crítico do teste. Encontrar os graus de liberdade, gl N = gl Entre: (k 1) gl D = gl Dentro: (Σn i ) k 19 k representa o número de tratamentos. 20 O valor crítico de F depende do nível de significância (α) e dos graus de liberdade do numerador e denominador, sendo indicado por F α ; gl N ; gl D gl N significa graus de liberdade da variância do numerador e gl D, o mesmo para o denominador. 21 Etapa 4: Determinar o valor calculado do teste. As fórmulas apresentadas a seguir são válidas tanto para delineamentos em que as amostras têm tamanhos iguais quanto nos casos nos quais os tamanhos variam. 22 4.1 Termo de correção C: 4.2 A soma de quadrados total: C= ( x) n i 2 total = x 2 C 23 24
4.3 A soma de quadrados tratamentos: 4.4 A soma de quadrados (resíduo): Ti ni = 2 C = total T representa o total de cada tratamento. 25 26 4.5 O quadrado médio tratamentos: 4.6 O quadrado médio de resíduos: = k 1 = ( n ) k i 27 28 4.7 O valor de F: F = Tabela 4 Análise de variância de um experimento inteiramente ao acaso. Causas de Variação GL F cal F α;gln;gld Entre tratamentos (k 1) Dentro (resíduo) (Σn i ) k Total total (Σn i ) 1 29 30
Importante Etapa 5 : Tomar a decisão. Rejeita-se H 0 se o valor calculado de F for maior que o valor crítico, ao nível de significância estabelecido e com os mesmos graus de liberdade. Etapa 6 : Concluir. 31 É extremamente importante que o pesquisador entenda o que o teste de hipóteses pode fazer por ele. O teste não comprova nenhuma das hipóteses. Se o resultado do teste for significante, existe evidência contra a hipótese da nulidade (de que as médias são iguais). Então se rejeita essa hipótese. 32 Muito Importante Importantíssimo O experimento precisa ser bem delineado. No caso de experimentos inteiramente ao acaso, é essencial que as unidades experimentais utilizadas no experimento sejam, de início, similares e que a designação dos tratamentos às unidades Se isso não for feito não se deve concluir que os tratamentos são diferentes, mesmo diante de um teste F significante. tenha sido ao acaso. 33 34 Considerações Considerações Os dados variam em torno da média geral, mas boa parte dessa variação é explicada pelo fato de os tratamentos darem respostas muito diferentes. Geralmente é o que queremos ver comprovado. 35 Se as médias de tratamentos fossem iguais, toda a variação seria aleatória (casual) porque os tratamentos não seriam uma causa (ou fator) de variação. 36
Coeficiente de Determinação Coeficiente de Determinação Para ANOVA, coeficiente de determinação, que se indica por R 2, é a razão a soma de quadrados tratamentos e a soma de quadrados total, 2 R = total 37 Portanto, R 2 é uma medida da proporção da variação total explicada pela variação devida aos tratamentos. Como o valor de R 2 varia 0 e 1, pode ser interpretado como uma porcentagem. 38 Rememorando Encontre o R 2 para a situação-problema 22 e explique. 39 Para ter ideia da dispersão (ou inversamente, da precisão) dos dados em relação à grandeza da média, o pesquisador deve dividir o desvio padrão pela média. 40 Dados muito dispersos são pouco precisos, ou seja, quanto maior é a variância dos dados, menor é a precisão. Por definição, coeficiente de variação, que se indica por CV, é a razão o desvio padrão (que, na ANOVA é dado pela raiz quadrada do quadrado médio do resíduo) e a média geral (de todos os dados), 41 CV = x.100 42
O conhecimento da precisão relativa ajuda na avaliação dos resultados de um experimento. Experimentos feitos em laboratório Experimentos de campo O importante é comparar o valor de CV obtido em determinado experimento com o resultado de outros autores. Se os dados foram obtidos de maneira idêntica, diferenças muito grandes do padrão comum exigem explicações. CV não exceder 10% CV não exceder 30% 43 44 Situação-problema 23 Encontre o CV para a situação-problema 22 e explique. Em um estudo sobre a resitência do concreto à compressão foram investigadas quatro técnicas diferentes de mistura, os resultados encontram-se na Tabela 5. 45 46 Situação-problema 23 Situação-problema 23 Tabela 5 Resistência à compressão (psi) do concreto de acordo com a técnica de mistura. Técnica 1 Técnica 2 Técnica 3 Técnica 4 3129 3200 2800 2600 3000 3300 2900 2700 2865 2975 2985 2600 2890 3150 3050 2765 a. Construa um gráfico. b. Teste a hipótese de que as técnicas de mistura afetam a resistência do concreto. Use α = 0,05. Explique o resultado. 47 c. Calcule R 2 e CV e explique. 48