1. Área do triângulo

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Plana II Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

Geometria Plana II 1.Área do triângulo 2.Área do paralelogramo 3.Área dos paralelogramos notáveis 4.Área do trapézio 5.Área de um quadrilátero qualquer 6.Área do círculo e suas partes 7.Áreas das figuras semelhantes

1. Área do triângulo Vamos apresentar as formas de calcular a área de um triângulo considerando três possibilidades: (a) Área de um triângulo em função de um lado e da altura relativa a ele; (b) Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo compreendido e (c) Área do triângulo em função dos lados (fórmula de Herão). 3

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura A área de um triângulo é dada pela fórmula: BASE ALTURA 2 Aqui é importante saber que qualquer lado do triângulo pode ser tomado como base, desde que se utilize a altura relativa ao respectivo lado na aplicação da fórmula. 4

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura A área de um triângulo não depende do lado que escolhemos como base. a h b h c h S = = = 2 2 2 a b c 5

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Esta propriedade é demonstrada com o auxílio da semelhança de triângulos, traçando as alturas h a e h b de um triângulo ABC. 8

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Nesta figura, vamos destacar os triângulos AHC e BIC. 9

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Os triângulos AHC e BIC são semelhantes, pois H = I = 90 o e C é um ângulo comum aos dois triângulos. Assim, BC BI a h AC AH b h = = b a ha = a b h b 10

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Logo, a ha b h = 2 2 a ha c h = 2 2 b c (1) De forma análoga, demonstra-se que: (2) E de (1) e (2), conclui-se que: a h b h c h = = 2 2 2 a b c 11

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Exercício 1: Seja ABC um triângulo isósceles em que AB = AC = 13 cm e BC = 10 cm. Calcular: a) a área desse triângulo; b) a altura relativa ao lado AC. 12

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Resolução: a) Para o cálculo da área, convém utilizar o lado BC como base, já que a altura relativa a ele é também mediana e, por isso, pode ser facilmente calculada pelo teorema de Pitágoras. 13

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Do triângulo AHC, temos: h h h 2 2 2 2 2 + 5 = 13 = 169 25 = 144 h = 12 cm Então, a área do triângulo é: 10 12 S = S = 2 60 cm 2 14

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura b) Como a área do triângulo é igual a 60 cm 2, temos: 13 hc 120 = 60 hc = cm 2 13 15

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Exercício 2: Seja P um ponto interno qualquer de um triângulo equilátero. Demonstrar que a soma das distâncias de P aos lados desse triângulo é igual à sua altura. 16

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Resolução: Observe a figura. P é um ponto interno qualquer do triângulo equilátero ABC. Queremos provar que: x + y + z = h. 17

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Unindo o ponto P aos vértices do triângulo, este fica decomposto nos triângulos PBC, PAC e PAB. A soma das áreas desses três triângulos é igual à área do triângulo ABC. S + S + S = S PBC PAC PAB ABC l x l y l Z l h + + = 2 2 2 2 l l ( x + y + z) = h 2 2 x + y + z = h 18

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Exercício 3: Calcule a área do triângulo ABC da figura abaixo. 19

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Exercício 4: Calcule a área de um triângulo equilátero de lado l. 20

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Exercício 5: Calcule x, sabendo que BC = 10 e AC = 8. 21

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Considere um triângulo ABC qualquer e uma de suas alturas. Por exemplo, a altura AH. No triângulo retângulo ABH, temos: h sen B = h = c sen B c 22

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Substituindo h por c sen B área do triângulo ABC, obtemos S ABC na fórmula da a h a c sen B S = ABC = 2 2 23

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Note que a última igualdade dá a área do triângulo ABC em função dos lados a e c e do ângulo B, compreendido entre esses dois lados. De modo análogo, demonstra-se que essa fórmula se aplica a quaisquer dois lados do triângulo. b c sen A a c sen B a b sen C S = = = 2 2 2 24

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Exercício 6: Calcular a área do triângulo da figura abaixo. 25

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Resolução: o 8 10 sen 45 2 S = = 40 = 20 2 cm 2 2 2 26

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Exercício 7: Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero de lado l = 6. Calcular a área do quadrilátero AMNC, sabendo que AM = 2 e BN = 3. 27

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Resolução: Inicialmente observe que BM = 4 e que o ângulo B é igual a 60 o, pois o triângulo ABC é equilátero. Por outro lado, note que a área S, do quadrilátero AMNC, é igual à diferença das áreas dos triângulos ABC e BMN. 28

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo S = S S S ABC BMN 6 6 sen 60 4 3 sen 60 = 2 2 3 3 S = 18 6 2 2 S = 9 3 3 3 S = 6 3 o o 29

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Exercício 8: Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero de lado l = 4a e AK = BL = CM = a. Calcule a área do triângulo KLM em função de a. 30

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Exercício 9: Na figura abaixo, sabe-se que DE // BC, AD = 4, DB = 2, AE = 6 e A = 45 o. Calcule a área do trapézio BDEC. 31

1.2. Área do triângulo em função de dois lados e do ângulo Exercício 10: Na figura seguinte, os triângulos ABC e ECD são equiláteros. Se AB = 6 cm e ED = 4 cm, calcule a área do quadrilátero ABDE. 32

1.3. Área do triângulo em função dos lados Seja ABC um triângulo qualquer e altura relativa ao vértice A. AH a 33

1.3. Área do triângulo em função dos lados Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos AHB e AHC, temos: c = h + m 2 2 2 b = h + ( a m) 2 2 2 (1) 2 2 2 2 b = h + a 2 am + m (2) 34

1.3. Área do triângulo em função dos lados Subtraindo membro a membro a igualdade (1) da igualdade (2), vem: 2 2 2 b c = a 2am E isolando m nesta última igualdade, teremos: m a b + c = 2a 2 2 2 (3) 35

1.3. Área do triângulo em função dos lados Agora, vamos substituir em (1) o valor de m encontrado em (3). c c 2 2 2 a b + c = h + 2a 2 2 = h + 2 2 2 2 2 ( a b + c ) 4a 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 4a c = 4a h + a b + c 2 2 2 2 2 2 2 4a h = 4a c a b + c 2 2 2 2 2 2 2 4a h = 2ac a b + c 2 2 2 2 2 2 2 2 36

1.3. Área do triângulo em função dos lados Fatorando a diferença de quadrados do segundo membro da última igualdade, temos: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (2 ) (2 ) a h = ac + a b + c ac a + b c 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ( 2 ) ( 2 ) a h = a + ac + c b b a + ac c = ( + + ) + 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a h ( a 2 ac c b ) ( b ( a 2 ac c )) 2 2 2 2 2 2 4 a h [( a c) b )] [( b ( a c) ] = + 37

1.3. Área do triângulo em função dos lados Agora, vamos fatorar as diferenças de quadrados que estão entre o colchetes. a h = a + c + b) a + c b) b + a c) b a + c) 2 2 4 ( ( ( ( a + b + c) b + c a) a + c b) a + b c) (4) 2 2 4 a h = ( ( ( ( Fazendo a + b + c = 2p, podemos representar os demais fatores do 2 o membro de (4) como segue: b + c a = a + b + c 2a = 2p 2a = 2( p a) 2p a + c b = a + b + c 2b = 2p 2b = 2( p b) 2p a + b c = a + b + c 2c = 2p 2c = 2( p c) 2p 38

1.3. Área do triângulo em função dos lados Então, podemos escrever a igualdade (4) da segunda maneira: 4a h 2 2 4a h a h 2 2 2 2 Logo, = = 2p 2( p a) 2( p b) 2( p c) = 16 p( p a)( p b)( p c) 4 p( p a)( p b)( p c) ah = 2 p( p a)( p b)( p c) Ou ainda, ah 2 = p( p a)( p b)( p c) 39

1.3. Área do triângulo em função dos lados Como ah/2 é a área do triângulo ABC, concluímos que: A área de um triângulo de lados a, b e c é dada pela fórmula: S = p( p a)( p b)( p c) 40

1.3. Área do triângulo em função dos lados onde p é o semiperímetro do triângulo. Isto é, p = a + b + c 2 Com esta fórmula, denominada fórmula de Herão, podemos calcular a área de qualquer triângulo do qual conhecemos os lados. 41

1.3. Área do triângulo em função dos lados Exercício 11: Calcule a área de um triângulo de lados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm. 42

1.3. Área do triângulo em função dos lados Resolução: Inicialmente, temos: a + b + c 5 + 6 + 7 p = p = p = 2 2 9 Então, S = p ( p a) ( p b) ( p c) S = 9 (9 5) (9 6) (9 7) S = 9 4 3 2 S = 6 6 cm 2 43

1.3. Área do triângulo em função dos lados Exercício 12: Na figura, o ponto P é equidistante dos lados do triângulo. Calcule a distância de P a cada um dos lados. 44

1.4. Cálculo do raio da circunferência inscrita Seja I o incentro de um triângulo ABC qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices do triângulo, este fica decomposto nos triângulos BIC, AIC e AIB. 45

1.4. Cálculo do raio da circunferência inscrita S = S + S + S BIC AIC AIB ar br cr S = + + 2 2 2 ( a + b + c) S = r S = pr 2 46

1.5. Cálculo do raio da circunferência circunscrita Da lei dos senos, temos: a 2R sen A sen A = = a 2R 47

1.5. Cálculo do raio da circunferência circunscrita Por outro lado, sabemos que a área do triângulo ABC é dada por S = bc sen A 2 48

1.5. Cálculo do raio da circunferência circunscrita Substituindo obtemos S sen A por a/2r nesta fórmula, a bc 2 abc = R S = 2 4R 49

1.5. Cálculo do raio da circunferência circunscrita Exercício 13: Calcular os raios das circunferências inscrita e circunscrita num triângulo de lados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm. 50

1.5. Cálculo do raio da circunferência circunscrita Resolução: Calculando a área do triângulo pela fórmula de Herão, obtemos: Então, 2 S = 6 6 cm S = p r 6 6 = 9r r = 2 6 cm 3 51

1.5. Cálculo do raio da circunferência circunscrita Por outro lado, abc S = 4R 5 6 7 6 6 = 4R 4 6 R = 35 35 6 R = 4 6 6 R = 35 6 cm 24 52

2. Área do paralelogramo A área de um paralelogramo qualquer é dada pela fórmula: BASE X ALTURA 53

2. Área do paralelogramo Do mesmo modo que ocorre com o triângulo, também no paralelogramo qualquer lado pode ser tomado como base. A altura será a distância desse lado ao lado oposto. S = a h = b h p ' 54

3. Área dos paralelogramos notáveis Os paralelogramos notáveis são o retângulo, o losango e o quadrado. Suas áreas também são dadas pela fórmula base x altura. Retângulo Losango Quadrado SR = a b SL = l h S = a a = a Q 2 55

3. Área dos paralelogramos notáveis Porém, como as diagonais do losango são perpendiculares, é possível expressar sua área em função de suas diagonais. Pelos vértices de um losango traçamos as retas paralelas às diagonais, obtendo um retângulo de lados congruentes a essas diagonais. 56

3. Área dos paralelogramos notáveis Os lados e as diagonais do losango decompõem o retângulo em 8 triângulos retângulos congruentes, dos quais 4 formam o losango. Então, a área do losango é a metade da área do retângulo. Isto é, é o semiproduto das diagonais. S L SR D d = SL = 2 2 57

3. Área dos paralelogramos notáveis Exercício 14: Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo. Se a área do triângulo ABM é igual a 10 cm 2, qual é a área do paralelogramo? 58

3. Área dos paralelogramos notáveis Exercício 15: Calcule a área do quadrado MNPQ em função de a. 59

3. Área dos paralelogramos notáveis Exercício 16: M e N são os pontos médios dos lados AB e BC de um quadrado ABCD. Se MN = 5, calcule a área do quadrado. 60

3. Área dos paralelogramos notáveis Exercício 17: O perímetro de um losango é igual a 40 cm e sua diagonal maior é D = 16 cm. Calcule a área desse losango. 61

3. Área dos paralelogramos notáveis Exercício 18: Um retângulo de área igual a 540 cm 2 está inscrito num círculo e tem seus lados proporcionais a 5 e 12. a) Calcule as medidas dos lados do retângulo. B) Calcule o raio do círculo. 62

3. Área dos paralelogramos notáveis Exercício 19: Na figura abaixo, ABCD é um retângulo, MN // AB, KL // BC, LDMO é um quadrado e as áreas dos retângulos OLCN e OKAM são iguais a 15 e 6, respectivamente. Se x + y = 7, calcule a área do retângulo OKBN. 63

4. Área do trapézio A área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula: ( BASE MAIOR + BASE MENOR) ALTURA 2 64

4. Área do trapézio Essa fórmula pode ser facilmente obtida decompondo o trapézio em dois triângulos por meio de uma de suas diagonais. S = S + S S T ABD BCD T ah bh ( a + b) h = + ST = 2 2 2 65

5. Área de um quadrilátero qualquer S S S Q = 1 + 2 SQ = S1 + S2 + S3 + S4 A área de um quadrilátero qualquer geralmente é calculada decompondo-o em triângulos, por meio de suas diagonais. 66

5. Área de um quadrilátero qualquer Exercício 20: Num trapézio de altura h = 5 cm a base média mede 6 cm. Calcule a área desse trapézio. 67

5. Área de um quadrilátero qualquer Exercício 21: Na figura abaixo, M e N são os pontos médios dos lados AD e BC do trapézio ABCD. Calcule a área desse trapézio, sabendo que a área do trapézio MABN é igual a 18. 68

5. Área de um quadrilátero qualquer, calcule a área do tra- Exercício 22: Se pézio BCDE. BE // CD 69

5. Área de um quadrilátero qualquer Exercício 23: Na figura, AB = AC = BC = 10 e CD = 6. Calcule a área do quadrilátero ABCD. 70

5. Área de um quadrilátero qualquer Exercício 24: A figura seguinte mostra a planta de um terreno. Para calcular a sua área o proprietário dispõe das seguintes medidas. a = 22 m b = 24 m c = 18 m α = 30 β = 45 o o 71

6. Área de um círculo e de suas partes A área de um círculo de raio r é dada pela fórmula SC = πr 2 72

6. Área de um círculo e de suas partes Pi (π) é o número irracional que representa a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Assim sendo, sendo C o comprimento de uma circunferência de diâmetro d, então: C d = π 73

6. Área de um círculo e de suas partes Ou, ainda, C = d π E como d = 2r, temos: C = 2r π C = 2π r 74

6.1. Área da coroa circular Considere dois círculos concêntricos, isto é, de mesmo centro, de raios R e r, R > r. Chama-se coroa circular o conjunto de todos os pontos que pertencem ao círculo maior e que não estão no interior do círculo menor. 75

6.1. Área da coroa circular A área da coroa circular é: S = πr πr coroa coroa 2 2 S = π R r 2 2 ( ) 76

6.1. Área da coroa circular Exercício 25: Calcule a área do círculo inscrito num triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm. 77

6.1. Área da coroa circular Exercício 26: Calcule a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita num mesmo quadrado de lado l = 4 cm. 78

6.1. Área da coroa circular Exercício 27: Qual é a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito num mesmo triângulo equilátero? Ver slides 66 e 67. Aula: Geometria Plana I 79

6.2. Área do setor circular Chama-se setor circular a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também qualquer que tenha seu vértice no centro do círculo. O setor circular é uma fração do círculo. Desse modo, para calcular a área de um setor circular basta descobrir qual é a fração que ele representa do círculo. 80

6.2. Área do setor circular Suponha, então, que seja conhecida a medida α, em graus, do ângulo que define o setor. Nesse caso, perceba que a fração que ele representa do círculo é: α 360 o 81

6.2. Área do setor circular isto é, estão sendo tomadas α partes de um total de 360. Assim, como a área do círculo é igual a πr 2, a área desse setor será: S setor α = πr o 360 2 82

6.2. Área do setor circular Se a medida α do ângulo do setor estiver expressa em radianos, basta, na fórmula da área, substituir 360 o por 2π. Isto é, para α em radianos α αr = π = 2π 2 2 Ssetor r Ssetor 2 83

6.3. Área do segmento circular Chama-se segmento circular qualquer uma das partes em que um círculo fica dividido por uma corda qualquer. A área de um segmento circular é calculada a partir das áreas de um setor circular e de um triângulo, segundo dois casos possíveis. 84

6.3. Área do segmento circular 1 o Caso: O segmento circular não contém o centro do círculo. S = S S seg setor AOB 85

6.3. Área do segmento circular 2 o Caso: O segmento circular contém o centro do círculo. S = S + S seg setor AOB 86

6.3. Área do segmento circular Exercício 28: Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero de lado l = 2. Os arcos de circunferência têm centros em A e B e ambos têm raio r = 1. Calcular a área da região indicada. 87

6.3. Área do segmento circular Resolução: Como o triângulo é equilátero, cada um de seus ângulos mede 60 o. Assim, a área S procurada é igual à área do triângulo subtraída das áreas de dois setores circulares de 60 o. S = S 2 S ABC SETOR 2 2 sen 60 60 2 S = 2.. π.1 o 2 360 3 1 S = 2 2 π 2 6 π S = 3 3 o o 88

6.3. Área do segmento circular Exercício 29: ABCD é um quadrado de lado 2a. Os arcos de circunferência têm centros em A e C. Calcular a área da região indicada. 89

6.3. Área do segmento circular Resolução: A área procurada é o dobro da área S do segmento circular da figura abaixo. Por sua vez, a área desse segmento circular é igual à diferença entre as áreas do setor circular de 90 o e do triângulo BCD. S = S S SETOR 90 2 2a 2a S = π (2 a) o 360 2 1 2 2 S = π 4a 2a 4 2 o 2 2 S = πa 2a S = a ( π 2) 2 2S = 2 a ( π 2) BCD 90

6.3. Área do segmento circular Exercício 30: Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero de lado l = 4. As semicircunferências têm centros nos pontos médios dos lados, são tangentes duas a duas e têm raios iguais. Calcule a área da região indicada. 91

6.3. Área do segmento circular Exercício 31: As três circunferências da figura têm o mesmo raio r e são tangentes duas a duas. Calcule a área da região indicada. 92

7. Áreas das figuras semelhantes Se dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança entre eles é igual a k, então a razão entre suas áreas é igual a k 2. 93

7. Áreas das figuras semelhantes ' Se ABC A BC ' ' ' com a b c h = = = = = ' ' ' ' a b c h k então S S ABC ' ' ' A B C = k 2 94

7. Áreas das figuras semelhantes ' Por hipótese, temos: ' ' Então, S a h = k e = k a h ah 2 ah a h S = = = = k k = ABC ABC ' ' ' ' ' ' S a h a h a h S A B C A B C ' ' ' ' ' ' 2 k 2 95

7. Áreas das figuras semelhantes ' Assim, se S e S são as áreas de dois triângulos semelhantes, sendo k a razão de semelhança, temos: S k S k S 2 2 ' ' S = = 96

7. Áreas das figuras semelhantes Considere, agora, dois polígonos semelhantes P e P quaisquer, e seja k a razão de semelhança entre eles. Vamos provar que a razão entre as áreas de P e P é igual a k 2. Para tanto, observe que os polígonos podem ser decompostos em pares de triângulos semelhantes. 97

7. Áreas das figuras semelhantes ' ' ' ' ( ABCD A BC D ) 1 1', 2 2', É de imediata verificação que a razão de semelhança entre cada um desses pares de triângulos semelhantes é igual a k. Representando suas áreas por S 1, S 2, S 3, e S 1, S 2, S 3, teremos: 98

7. Áreas das figuras semelhantes 2 S = k S 1 1' 2 S = k S 2 2' 2 S = k S 3 3' Somando essas igualdades membro a membro, obtemos: 99

7. Áreas das figuras semelhantes Logo, 2 S2 S3 k ( S 1 1' S2' S3 ' ) S + + + = + + + S + S 1 2 + S3 + = k S + S + S + 1' 2' 3 ' 2 100

7. Áreas das figuras semelhantes A última igualdade mostra que a razão entre as áreas dos polígonos é igual a k 2. 101

7. Áreas das figuras semelhantes Exercício 32: Os quadriláteros da figura abaixo são semelhantes. Calcular os lados do quadrilátero maior, sabendo que sua área é o dobro da área do menor. 102

7. Áreas das figuras semelhantes Resolução: Seja S a área do quadrilátero menor. Então, a área do quadrilátero maior é igual a 2S e como a razão entre suas áreas é k 2, temos: 2 2S 2 k = k = 2 k = S 2 x = 3 2 x = 3 2 y = 4 2 y = 4 2 u = 7 2 u = 7 2 v = 6 2 v = 6 2 103

7. Áreas das figuras semelhantes Exercício 33: Na figura abaixo DE // BC. Calcular x em função de h, sabendo que a área do trapézio BDEC é o dobro da área do triângulo ADE. 104

7. Áreas das figuras semelhantes Exercício 33: Como DE // BC, sabemos que os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Seja k a razão de semelhança entre eles. Se a área do triângulo ADE é S, a área do trapézio BDEC é igual a 2S e a área do triângulo ABC é 2S + S = 3S. Logo, S S ADE ABC 2 = k = S 3S 2 1 3 k = k = 3 3 Assim, x h 3 h 3 = x = 3 3 105

7. Áreas das figuras semelhantes Exercício 34: Os triângulos ABC e DEF da figura são semelhantes. a) Calcule a razão de semelhança e a razão entre as áreas desses dois triângulos. b) Se a área do triângulo ABC é igual a S, qual é a área do triângulo DEF? 106

7. Áreas das figuras semelhantes Exercício 35: Na figura DE // BC. Calcule x em função de h, sabendo que o triângulo ADE e o trapézio BDEC são equivalentes. 107