conquista 9% das vagas do ibmec (junho/008) Prova REsolvida IBMEC 09/Novembro /008 (tarde) ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA DISCURSIVA 0. Renato decidiu aplicar R$ 00.000,00 em um fundo de previdência privada. O consultor da empresa responsável pela administração do fundo sugeriu que essa quantia fosse dividida em três partes x, y e z, que seriam aplicadas em três investimentos A, B e C, respectivamente. Em seguida, mostrou a Renato duas simulações do desempenho da aplicação, considerando dois cenários distintos, para um período de 5 anos. Cenário Rendimento previsto para um período de 5 anos Saldo previsto Investimento A Investimento B Investimento C após 5 anos Conservador 00% 50% 5% R$ 70.000 Otimista 00% 50% 00% R$ 5.000 Com essas informações, determine os valores de x, y e z sugeridos pelo consultor. x + y + z 00.000 x R +,5y +,5 z 70 000 00 000 y x +,5y + z 5 000 z x + y + z 00 000 De onde: z 0 000 y 0 000 z 50 000 ibmecnov008
IBMEC 09//008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. Considere a função real f, dada pela lei f(x) log x x x. a) Desenhe o gráfico de f(x). CE: x > 0 e x f(x) log x x x x log x x f(x) x x b) Calcule k, k IR, de modo que se tenha 6 f(k) 40. Se necessário, utilize a aproximação log 0, 0. Aplicando log na base 0 aos dois membros da equação, vem: log 6 f (x) log 40 f(x) log 4 + log 0 log 6 f(x) 0,6 + 4. 0,, 6, 4 f(x) k k 4 ibmecnov008
Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 09//008 0. Seja θ um ângulo maior do que 45º e menor do que 90º. Considere uma progressão geométrica cujo primeiro termo e cuja razão são, respectivamente, a tg (θ) e q sen (θ). a) Determine, em termos de θ, o limite da soma dos termos dessa progressão S a + a + a +... 45º < θ < 90º (tg θ ; (tg θ ) sen θ;...) S a q tg θ sen θ sen θ sen θ cos θ 4 S 4 b) Considere agora que θ é o ângulo dado no triângulo retângulo e não isósceles representado a seguir, cuja hipotenusa mede 5 e cujo cateto menor mede. Calcule o valor numérico do limite da soma obtida no item (a). 5 S. 5 S 4 5 5 65 S 5 65 575 ibmecnov008
4 IBMEC 09//008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 04. Considere as transformações C e D entre matrizes, descritas a seguir. a b (I) A matriz M, de ordem, é associada pela c d transformação C a uma matriz C(M), de ordem 4, de acordo com a lei a b a b c d c d C(M) a b a b. c d c d e f g h i j k l (II) A matriz N, de ordem 4, é associada m n o p q r s t pela transformação D a uma matriz D(N), de ordem, de acordo com a lei e + g + m + o f + h + n + p D(N) i + k + q + s j + l + r + t. a) Sendo M, escreva a matriz D(C(M)). 4 4 4 C(M) 4 4 b) Sabendo que P é uma matriz de ordem cujo determinante é igual a, calcule o determinante da matriz D(C(D(C(P)))). a Seja P c b d a b a b c d c d C(P) a b a b c d c d 4a D(C(P)) 4c det P ad bc 4b 4c 4a 4b 4a 4b 4c 4d 4c 4d C(D(C(P))) 4a 4b 4a 4b 4c 4d 4c 4d D(C(D(C(P)))) 6a 6b 6c 6d det[d(c(d(c(p))))] 6 ad 6 cb 6 (ad bc) 6 8 D(C(M)) 4 8 6 ibmecnov008
Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 09//008 5 05. Um rolamento, peça largamente utilizada na indústria, pode ser descrito de maneira bem simplificada como um conjunto de dois cilindros de bases concêntricas e mesma altura, além de várias esferas idênticas, colocadas entre as superfícies laterais dos dois cilindros. A figura a seguir mostra o esquema de um rolamento: os raios das bases dos dois cilindros medem r e R, respectivamente, e as esferas são tangentes entre si e também tangentes às superfícies laterais dos cilindros. As esferas ocupam todo o espaço entre os cilindros, mas apenas cinco delas estão desenhadas na figura. a) Determine, em função de r e R, a medida do raio de cada esfera. Sendo x o raio da esfera: x + r R x R r x x r b) Determine o total de esferas existentes em um rolamento em que r mm e R 47 mm, usando, se necessário, as aproximações fornecidas na tabela. α 5º 0º 5º 0º 5º sen α 0 7 40 50 50 Para R 47 mm e r mm, temos: x 47 7 mm Então no triângulo retângulo OAB da figura temos: sen α AB 7 7 BO 47 7 40 Utilizando a tabela dada, encontramos α 0º, e portanto, o número de esferas é 60º. (0º) 8. B A α ( O ibmecnov008
6 IBMEC 09//008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 06. Na figura: ABCD representa um quadrado de lado ; M é ponto médio de AD e N é ponto médio de CD ; AC é uma diagonal do quadrado; o arco que passa por P e Q é um arco de circunferência com centro em D. a) Calcule a medida do segmento BQ. Sabemos que as diagonais do quadrado ABCD interceptam-se no ponto médio e que M é ponto médio de AD. Portanto, Q é o baricentro do ABD. Temos: B BM + 5 BQ. BM 5 Q b) Calcule a área da região sombreada. Se necessário, considere que o ângulo cujo seno vale 0,6 é aproximadamente 6º. Notamos que BMN ~ BQP B B M 5 5 N 5 Q 5 5 PQ 5 PQ 5 + 5 5. 5. cos Bˆ cos Bˆ 4 5 No BMN, aplicando o Teorema dos Co-senos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Utilizando o teorema fundamental da trigonometria, temos: ˆ ˆ ˆ sen B + cos B sen B Bˆ 6º 5 Notamos que BQDP é um losango e Q ˆB P Q ˆD P 6º P A M D Portanto, a área pedida é a área do losango BQDP subtraído da área do setor DQP, cujo raio R BQ 5. A 5 π BD. PQ 6º. π. R. A π 60º 0 ibmecnov008
Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 09//008 7 07. Resolva as equações que se seguem. a) (x 8x + ) (x 8x + 5) (x 8x + ) 0 Se o produto é zero, então x x 8x + 0 x 6 ou x x 8x + 5 0 x 5 ou x x 8x + 0 x 6 S {,, 5, 6, 6} b) t 8t+ 6 t 8t+ 7 4 9. + 0 Se t 8t + 6 x, então t 8t + 7 x + Substituindo temos 4 x 9. x+ + 0 4 x 8. x + 0 Fazendo x y, temos y 8y + 0 y y 6 Se y x x então t 8t + 6 e t 8t + 5 0 t t 5 Se y 6 x 6 x 4 então t 8t + 6 4 e t 8t + 0 t t 6 S {,, 5, 6} ibmecnov008
8 IBMEC 09//008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 08. A embalagem mostrada na figura contém iogurte na parte de baixo e cereais na parte de cima. A parte de baixo é um cilindro circular reto de raio R e altura H, e a de cima é um tronco de cone circular reto de raio maior R, raio menor R e altura h. Sabendo que o volume da parte reservada ao iogurte é o quádruplo do volume do compartimento dos cereais, determine a razão H h. A Como ADE ~ ABC D B R R E x C h temos x x + h R R x h R H V T cone π R. h V T cone 7 πr h V CIL πr H R π. h V CIL 4 V T cone πr H 4. 7 πr h H 7 h ibmecnov008
Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 09//008 9 09. Em um determinado concurso público, um candidato passa para a a fase se, e somente se, for aprovado nas provas de Matemática e Português. Juliana, que prestará esse concurso, dedicará x% de seu tempo de estudo para Matemática, e o restante para Português, sendo 0 x 00. As aprovações de Juliana nas provas de Matemática e Português são independentes entre si, x e suas probabilidades dependem do seu tempo de dedicação a cada matéria, valendo, respectivamente, % 4 e x 96 % 4. a) Se Juliana dedicar 40% de seu tempo de estudo para Matemática, qual a probabilidade de que ela não passe para a a fase do concurso? Temos que a probabilidade de que ela não passe para a a fase é dada pelo total (00%) menos a probabilidade de que ela passe, assim: P (passar) P (passar mat.). P (passar port) x %. 96 x % 4 4 e x x P (não passar) %. 96 % 4 4 Como x 40 P (não passar) (0,. 0,66) 80,% b) Determine a porcentagem de seu tempo de estudo que Juliana deverá dedicar à Matemática para que a probabilidade de que ela passe para a a fase do concurso seja a maior possível. Temos que a probabilidade de ela passar é dada por: x P 4 x 96 4. 0000 x 96x 40000 4 x Como queremos que a probabilidade seja a maior possível, queremos que a expressão 96x 4 atinja o ponto de máximo; assim: b 96 x vértice 64 a. 4 Assim, x% 64%. ibmecnov008
0 IBMEC 09//008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. Considere que /M /ano X e /M /ano X são duas sextas-feiras consecutivas de um mesmo ano X e seja Ψ o número de dias entre essas duas datas, sem contá-las. Por exemplo, /04/09 e /07/09 são duas sextas-feiras consecutivas de um mesmo ano, porque /05/09 e /06/09 não são sextas-feiras e, nesse caso, Ψ 90 é a quantidade de dias começando a contar do sábado 4/04/09 até a quinta-feira /07/09. a) Determine o menor valor possível de Ψ e explique em que situação acontece. Ou seja, determine a menor quantidade possível de dias entre duas sextas-feiras consecutivas em um mesmo ano e quais deveriam ser os meses em que ocorreriam. b) Determine o maior valor possível de Ψ e explique em que situação acontece. Ou seja, determine a maior quantidade possível de dias entre duas sextas-feiras consecutivas em um mesmo ano e quais deveriam ser os meses em que ocorreriam. Construimos a tabela que mostra quantos dias são decorridos até o dia de cada mês a partir de uma sexta-feira de um determinado mês. Quando este número for múltiplo de 7, concluímos que o número de semanas entre as datas é um número inteiro, o que nos faz concluir que ocorre este dia em uma sexta-feira. Observe que para obtermos o Ψ, devemos subtrair unidade do múltiplo de 7 obtido, pois queremos somente o intervalo de dias. J F M A M J J A S O N D dias do mês 8 ou 9 0 0 0 0 Ψ não bissexto * 59 90 0 5 8 4 7 7 não bissexto * 8 7 não bissexto * 6 9 5 84 4 45 44 bissexto * 60 9 90 bissexto * 9 60 90 5 8 8 (*) mês em que ocorre a primeira sexta-feira. a) Pela tabela, concluímos que o menor valor Ψ 7. b) Pela tabela, concluímos que o maior valor de Ψ 7. ibmecnov008