Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará
Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3
Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa cada elemento x A a um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela seguinte notação: f : A B
Inversa Para armarmos que um determinado x A está associado a certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f (x)
Inversa Para armarmos que um determinado x A está associado a certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f (x) Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f (x), x A}
Representação de Funções Funções e seus Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Inversa Figura: Representação de uma função por um diagrama de echas
Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Funções e seus Inversa Dia Valor da Compra 02 2, 8942 03 2, 9260 04 2, 9787 05 3, 0100 06 3, 0550 09 3, 1285 10 3, 1015 11 3, 1266 12 3, 1590 13 3, 2460
Inversa Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela.
Inversa Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizála e entender o seu comportamento. E para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função.
Inversa Denição Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f (x)) A B x A}
Inversa Denição Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f (x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função, pois uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráco, é da forma y = f (x), podemos ler o valor f (x) como sendo a altura do ponto no gráco acima de x.
Inversa Figura: Entendendo f (x) como uma altura do ponto x no gráco de f.
O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f. Funções e seus Inversa Figura: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco.
Teste da Reta Vertical Funções e seus Inversa Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.
Inversa Figura: Ilustração 1 do Teste da Reta Vertical.
Inversa Figura: Ilustração 2 do Teste da Reta Vertical.
Inversa Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função.
Inversa Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Exemplo Considere a função dada por f (x) = 1. Determine o seu domínio. x 2 1
Inversa Exemplo Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g.
Inversa Exemplo Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Exemplo Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8.
Inversa Funções e seus Inversa Uma função f : A B é chamada injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, para x 1, x 2 A, Se x 1 x 2 então f (x 1 ) f (x 2 ) Analogamente, temos que Se f (x 1 ) = f (x 2 ) então x 1 = x 2
Inversa Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal:
Inversa Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráco em mais de um ponto
Figura: Exemplo de um gráco de função injetora. Funções e seus Inversa
Inversa Figura: Exemplo de um gráco de função que não é injetora.
Inversa Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f (x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo.
Inversa Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f (x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo. Exemplo Considere f : R R, denida por f (x) = x 3. f é sobrejetora?
Inversa Assim como foi estudado para funções injetoras, existem funções que não são injetoras. Basta observar o seguinte exemplo. Exemplo Considere f : R R, denida por f (x) = x 2. f é sobrejetora?
Inversa Observação Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora.
Inversa Observação Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora. Denição Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora.
Inversa Observação Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora. Denição Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora. Note que f (x) = x 3 é bijetora e f (x) = x 2 não é.
Inversa Seja f : A B uma função bijetora. Denimos a função inversa de f e denotaremos por f 1 como sendo a função f 1 : B A, tal que y = f (x) x = f 1 (y) (1)
Inversa Exemplo Considere os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = 0, 4, 5 e uma função f : A B, dada por f (1) = 4 f (2) = 5 f (3) = 0 Determine a função f 1.
Inversa Exemplo Das as funções abaixo, determine as suas inversas. (i) f : R R, dada por f (x) = x 3 ; (ii) g : [0, 1] [0, 1], dada por g(x) = 1 x 2 ;
Inversa Observação Diversas vezes, tentaremos encontrar a inversa de uma função. Muitas delas não possuem função inversa em todo o seu domínio. Sendo assim, podemos determinar a inversa de uma função em subconjuntos do domínio, como é o caso das funções trigonométricas inversas. Um processo para fazer isso é: Encontrar um intervalo onde a função f é injetora; Restringir a função nesse intervalo.
Inversa Podemos utilizar uma ideia geométrica para identicar uma função f e sua inversa f 1, que é a seguinte: Sejam f e sua inversa f 1. Então os grácos de f e f 1 são simétricos em relação à reta y = x.
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Inversa Denição (Composição de funções) Dadas duas funções f e g, tal que a imagem de f é subconjunto do domínio de g, a função composta de f com g, denotada por g f (x) é denida por; g f : A R, cuja regra é dada por: (g f )(x) = g(f (x)). Simbolicamente: D(g f ) = {x D(f ) f (x) D(g)}.
Inversa Figura: Composição de Funções
Inversa Observação É comum usar a notação f 2 para f f, f 3 para f f f. No geral, para um inteiro n 1, denimos f n = f n 1 f e f 0 = I, onde I é a função identidade de A. Exemplo Sejam f (x) = x e g(x) = x 1. Encontre g f. Exemplo Sejam f (x) = x + 1 x e g(x) = x + 1. Encontre (f g)(x) e seu respectivo x 4 domínio.
Inversa Exemplo Sejam as funções: 0, se, x < 0 f (x) = x 2, se, 0 x 1 0, se, x > 1 1, se, x < 0 e g(x) = 2x, se, 0 x 1 1, se, x > 1 Determinar f g.
Inversa Proposição Sejam f : A B e g = f 1. Então g(f (a)) = a, a A e f (g(b)) = b, b B Se A = B = R, então g(f (x)) = x x R
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Na próxima aula... Funções e seus Inversa Mais sobre Funções Funções Elementares;
Na próxima aula... Funções e seus Inversa Mais sobre Funções Funções Elementares; Transformações no gráco de uma função.