Generalizações do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é π

Generalizações do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é π Ryuichi Fukuoka Universidade Estadual de Maringá Departamento de Matemática São José do Rio Preto 26 de fevereiro de 2007 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 1 / 33

A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 2 / 33

A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples Como é de conhecimento de todos, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 2 / 33

A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples Como é de conhecimento de todos, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π. Antes de mais nada, mostraremos que o enunciado mais natural desse teorema diz que a soma dos ângulos externos de um triângulo é 2π. Mais que isso, mostraremos que a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 2 / 33

Poĺıgonos simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 3 / 33

Ângulos externos de um poĺıgono simples no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 4 / 33

Ângulos externos de um poĺıgono simples no plano Cem ec..e QyV( Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 4 / 33

Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 5 / 33

Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Uma curva diferenciável (classe C ) α : [a, b] R 2 é dita regular se α (t) 0 para todo t [a, b]. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 5 / 33

Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Uma curva diferenciável (classe C ) α : [a, b] R 2 é dita regular se α (t) 0 para todo t [a, b]. Seja α : [0, 1] R 2 uma curva regular, simples e fechada no plano tal que α (n) (a) = α (n) (b) para todo n N. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 5 / 33

Exemplo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 6 / 33

Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Estamos interessados em calcular a variação angular do vetor tangente ao longo de α. Em outras palavras, queremos saber qual é a variação angular de α (t) a medida que t varia de 0 à 1. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 7 / 33

Variação angular do vetor tangente ao longo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 8 / 33

Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Pode se ver claramente que a variação angular do vetor tangente é um múltiplo de 2π ao percorrermos a curva no sentido anti-horário. Mostraremos que a variação angular é exatamente 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 9 / 33

Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Teorema Seja α : [0, 1] R 2 uma curva regular simples e fechada. Seja γ : [0, 1] R 2 a parametrização da circunferência unitária dada por γ(t) = (cos 2πt, sen 2πt). Então podemos deformar α à curva γ através de curvas simples, fechadas e regulares. Mas precisamente, existe uma aplicação H : [0, 1] [0, 1] R 2 de classe C tal que α = H(, 0), γ = H(, 1) e H(, s) são curvas simples, regulares e fechadas. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 10 / 33

Demonstração do teorema: Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 11 / 33

Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Corolário Seja α : [0, 1] R 2 uma curva simples, fechada e regular. Então a variação angular de α ao longo do intervalo [0, 1] é 2π. Teorema A soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 12 / 33

Demonstração Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 13 / 33

A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33

A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples de n vértices é (n 2)π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33

A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples de n vértices é (n 2)π. Demonstração. Note que dado um vértice, a soma do ângulo externo e do ângulo interno relativo a esse vértice é π ( Figura ). Portanto temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é nπ. Levando em conta que a soma dos ângulos externos é 2π, segue-se o resultado. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33

A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um poĺıgono simples de n vértices é (n 2)π. Demonstração. Note que dado um vértice, a soma do ângulo externo e do ângulo interno relativo a esse vértice é π ( Figura ). Portanto temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples é nπ. Levando em conta que a soma dos ângulos externos é 2π, segue-se o resultado. Observação Observe que o enunciado do teorema em termos de ângulos externos é bem mais natural do que o enunciado em termos de ângulos internos. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 14 / 33

Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33

Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33

Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33

Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Considere α : [0, l] R 2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33

Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Considere α : [0, l] R 2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. N : [0, l] R 2 : Campo normal interior de α. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33

Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] R 2 : - Curva regular, simples e fechada; - α (n) (0) = α (n) (1) para todo n N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono fechado para o caso C. Considere α : [0, l] R 2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. N : [0, l] R 2 : Campo normal interior de α. Defina θ : [0, l] R como o ângulo que o vetor tangente faz com o vetor (1, 0). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 15 / 33

Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ (t) = α (t) N(t). Note que a função k := θ é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(l) θ(0) = 2π e θ(l) θ(0) = l 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples para curvas suaves. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 17 / 33

Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ (t) = α (t) N(t). Note que a função k := θ é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(l) θ(0) = 2π e θ(l) θ(0) = l 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples para curvas suaves. Teorema Seja α : [0, l] R 2 uma curva fechada, regular e suave parametrizada por comprimento de arco. Suponha que α (l) = α (0). Então l 0 k(t)dt = 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 17 / 33

Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ (t) = α (t) N(t). Note que a função k := θ é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(l) θ(0) = 2π e θ(l) θ(0) = l 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono simples para curvas suaves. Teorema Seja α : [0, l] R 2 uma curva fechada, regular e suave parametrizada por comprimento de arco. Suponha que α (l) = α (0). Então l 0 k(t)dt = 2π. Portanto a curvatura pode ser visto como o ângulo externo infinitesimal. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 17 / 33

Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 18 / 33

Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Poliedros são objetos compostos por faces, arestas e vértices. Consideraremos somente poliedros fechados, ou seja, aqueles tal que toda aresta pertence a exatamente duas faces. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 18 / 33

A característica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 19 / 33

A característica de Euler de um poliedro Definição A característica de Euler χ(p) de um poliedro P com V vértices, A arestas e F faces, é definido por χ(p) = V A + F. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 19 / 33

A característica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 20 / 33

Triangulações de poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 21 / 33

Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 21 / 33

Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Observe que as triangulações não mudam a característica de Euler de P. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 21 / 33

A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 22 / 33

A curvatura de um vértice de poliedro Definição Seja v um vértice de um poliedro P. Sejam F 1, F 2,..., F k as faces que contém v. Denote o ângulo interno de v em relação a face F i por θ i. A curvatura k(v) do vértice v é definido por k(v) = 2π k θ i. i=1 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 22 / 33

A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 23 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 24 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Definição Seja P um poliedro e com vértices v 1,..., v m (m=v). A curvatura total K do poliedro é definido por K := m k(v i ). i=1 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 24 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Definição Seja P um poliedro e com vértices v 1,..., v m (m=v). A curvatura total K do poliedro é definido por K := m k(v i ). i=1 Teorema Seja P um poliedro com curvatura total K. Então K = 2πχ(M). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 24 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Demonstração Antes de mais nada, tome uma triangulação P de P. Observe que χ(p) = χ( P). É claro também que a curvatura dos vértices de P coincidem com a curvatura dos vértices de P. Trabalhemos com P. Por definição χ( P) = V A + F. Note que cada aresta pertence a duas faces. Por outro lado, cada face tem três vértices. Então 3F é o número de arestas, contando se as multiplicidades e 3F = 2A. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 25 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para poliedros Além disso, sabemos que a soma dos ângulos internos de todos os triângulos resulta em πf. A curvatura total é dada por K = V 2π k(v i ) = 2πV πf. i=1 Somando 3F e subtraindo 2A da equação acima temos como queríamos demonstrar. K = 2πV πf + 3πF 2πA = 2πχ(P) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 26 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 27 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Superfícies compactas suaves (C ). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 27 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Podemos triangular superfícies compactas e suaves, conforme indica a figura abaixo. Deste modo, podemos calcular a característica de Euler da superfície. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 28 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Podemos mostrar que a característica de Euler não depende da triangulação escolhida. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 29 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Podemos mostrar que a característica de Euler não depende da triangulação escolhida. Existe uma versão infinitesimal da curvatura de um vértice de um poliedro para superfícies suaves. Ela é chamada de curvatura Gaussiana. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 29 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Teorema Teorema de Gauss-Bonnet Seja M R 3 uma superfície compacta e suave. Então K.dA = 2πχ(M). M Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 31 / 33

Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poĺıgono para superfícies compactas suaves Teorema Teorema de Gauss-Bonnet Seja M R 3 uma superfície compacta e suave. Então K.dA = 2πχ(M). Observação M Pode-se generalizar o Teorema de Gauss-Bonnet em diversos sentidos. Mas isso fica para uma outra ocasião. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 31 / 33

Considerações finais (E um pouco de propaganda) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 32 / 33

Considerações finais (E um pouco de propaganda) Podemos usar curvas suaves para estudar curvas não suaves (Por exemplo, o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poliedro simples)... Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 32 / 33

Considerações finais (E um pouco de propaganda) Podemos usar curvas suaves para estudar curvas não suaves (Por exemplo, o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poliedro simples)... e vice-e-versa (Por exemplo, a generalização deste teorema para o caso de curvas simples, fechadas e regulares). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 32 / 33

Considerações finais (E um pouco de propaganda) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33

Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfíces suaves no R 3. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33

Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfíces suaves no R 3. Variedades riemannianas não regulares: Generalização de superfícies suaves e poliedros. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33

Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfíces suaves no R 3. Variedades riemannianas não regulares: Generalização de superfícies suaves e poliedros. Estamos estudando propriedades de variedades riemannianas não regulares através de aproximações suaves. Ver R. Fukuoka, Mollifier smoothing of tensor fields on differentiable manifolds and applications to Riemannian geometry, 2006 http://arxiv.org/abs/math.dg/0608230 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema:... IBILCE - UNESP 33 / 33