LÓGICA PROPOSICIONAL

FACULDADE PITÁGORAS Curso Superior em Tecnologia Redes de Computadores e Banco de dados Matemática Computacional Prof. Ulisses Cotta Cavalca <ulisses.cotta@gmail.com> LÓGICA PROPOSICIONAL Belo Horizonte/MG 2014

1. ELEMENTO DA LINGUAGEM INFORMAL E OUTROS TÓPICOS FRASE é o elemento de comunicação que relaciona palavras entre si de modo a estabelecer uma mensagem com sentido completo: Declarativa: O sol é uma estrela Imperativa: Não faça isto! Interrogativa: Onde você mora? Exclamativa: Parabéns!!! PROPOSIÇÃO é uma frase declarativa a qual pode ser atribuído, sem ambiguidade, um dos valores lógicos: Verdadeiro (V) ou Falso (F). Exemplos: O Japão fica na África O Brasil não é uma ilha 3+4=7 Não são preposições: 3+4 (não tem predicado) onde você vai? (interrogativa) Proposições serão representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto: p: O México fica na América do Norte q: O número 16 é primo. CONECTIVOS LÓGICOS, ou operadores lógicos, são palavras ou expressões que se usam para formar novas proposições a partir de outras preposições: não (negação) e (conjunção) ou (disjunção) se então (condicional) se, e somente se (bicondicional)

VALOR LÓGICO de uma preposição é a verdade (V) se a preposição for verdadeira e é a falsidade (F) se a proposição for falsa: p: O sol é verde V(p)=F q: Um hexágono tem seis lados V(q)=V r: 2 é raiz da equação x² + 3x 4 = 0 V(p)=F PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira (V) e falsa (F). Princípio do terceiro excluído: Toda preposição ou só é verdadeira (V) ou só é falsa (F). Logo, toda preposição admite um e um só dos valores V e F. REPRESENTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES LÓGICAS Proposições lógicas podem ser representadas através de diagramas de árvores ou de tabelas verdade. Seja a proposição P composta por p: P(p) Diagrama em árvore V p F Tabela verdade p V F Seja a proposição P composta por p e q: P(p,q) p Diagrama em árvore V V q F F V q F Tabela verdade p q V V V F F V F F

2. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 2.1 NEGAÇÃO Apresenta valor lógico oposto ao da proposição dada. Seja a proposição p, a negação da proposição dada será ~p, as vezes também denotada por p (lê-se não p). Tabela verdade p ~p V F F V p: O sol é uma planeta ~p: O sol não é um planeta q: 2+3 = 5 ~q: 2+3 5 Negar uma preposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma, ou algo com o valor lógico diferente: A proposição O sol é uma estrela (que é verdadeira) não é negação da O sol é um planeta (que é falsa). 2.2 CONJUNÇÃO Apresenta valor lógico se, e somente se, cada componente for verdadeira. Duas proposições p e q podem ser combinadas pelo conectivo e para firmas uma proposição composta denominada conjunção das proposições originais. Denota-se p^q (lê-se p e q). Tabela verdade p q p^q V V V V F F F V F F F F p: Carlos estuda matemática; q: Calor joga xadrez p^q: Carlos estuda matemática e joga xadrez p: 2>0; q: 2 5 p^q: 2>0 e 2 5 2.3 DISJUNÇÃO Pode traduzir tanto a ideia de hipótese mutuamente exclusiva (ou ocorre isto ou aquilo) quanto a de que pelo menos uma das hipóteses ocorre: Sejam p e q duas proposições combinadas pelo conectivo ou, para formar uma proposição composta denominada disjunção. Denota-se p V q (lê-se p ou q). A disjunção inclusa de duas proposições (p V q) é false se, e somente se, todas as componentes forem falsas.

Tabela verdade p q p v q V V V V F V F V V F F F seguir: Determinar o valor lógico da proposição composta P dada a p: 3<π (pi) (verdadeiro: V) q: 2 não é primo (falso: F) P(p,q) = p V q V(P)=F Disjunção exclusiva Seja o exemplo: P(p,q): Pedro passará nos exames ou repetirá de ano. p: Pedro passará nos exames. q: Pedro repetirá de ano. A proposição P será verdadeira somente nos casos em que p e q forem verdadeiros. No caso o exemplo é falso, se Pedro passará nos exames e repetirá de ano. 2.4 CONDICIONAL Dadas duas proposições p e q, o conectivo lógico se, então estabelece uma relação condicional, traduzindo uma ideia de antecedência e consequência. Notação: p q (Lê-se p então q) Tabela verdade p q p v q V V V V F F F V V F F V A proposição condicional Se chove, então a rua fica molhada, também pode ser lida das seguintes formas: Chover é uma condição suficiente para a rua ficar molhada. A rua ficar molhada é uma condição necessária quando chove. De um modo geral, p q só é falso quando p é verdadeiro e q é falso. Outros exemplos: 1) Dadas as proposições p: 1litro = 1 dm³ q: 1mL = 1cm³ p q: Se 1L = dm³ então 1mL = 1cm³

2) Dada as proposições: p: Chove q: Faz Frio p q: Se chove, então faz frio. 2.5 BICONDICIONAL Dadas duas proposições p e q, o conectivo lógico se, e somente se estabelece uma relação bi condicional, traduzindo uma ideia de antecedência e consequência se satisfazem mutuamente. Ou outras palavaras: p é condição necessária e suficiente para q. q é condição necessária e suficiente para p. Notação: p q (Lê-se: p se, e somente se q) Tabela verdade p q p v q V V V V F F F V F F F V Dadas as proposições: p: 2 Q q: 2 1 p q: 2 Q se, e somente se 2 1 Dada as proposições: p: Perereca se transforma em sapo. q: Sapo se transforma em príncipe p q: Perereca se transforma em sapo se, e somente se sapo se transforma em príncipe. De um modo geral, p q só é verdadeiro quando V(p) = V(q) 2.6 PRIORIDADE DE CONJUNÇÕES LÓGICAS Em geral será emprego parêntese para especificar ordem e agrupamento de conjunções lógicas. De um modo geral, a tabela a seguir ilustra tais prioridades. Operador Prioridade ~ 1 ^ 2 V 3 4 5 A conjunção tem prioridade sobre a disjunção: p ^ q v r é o mesmo que (p ^ q) v r Outra regra afirma que, conjunção e disjunção tem prioridade sobre condicional e bicondicional. p ^ q r é o mesmo que (p ^ q) r

3. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÃOE INDETERMINAÇÃO 3.1 Tautologia Dada um proposição composta P(p 1,p 2,,p n ), definiremos como TAUTOLOGIA quando o V(P) (valor de P) sempre for verdade (V). Exemplo: Exemplo: p ~p p v ~p V F V F V V p: Chove. Chove ou não chove. 3.2 Contradição Dada um proposição composta P(p 1,p 2,,p n ), definiremos como CONTRADIÇÃO quando o V(P) (valor de P) sempre for falsidade (F). Exemplo: Exemplo: p ~p p ^ ~p V F V F V V p: Chove. Chove e não chove. 3.3 Indeterminação Dada um proposição composta P(p 1,p 2,,p n ), P será INDETERMINADA (ou contingente) se, e somente se, P não for uma tautologia e não for uma contradição.

4. IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA Dada as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou relação de implicação) entre P e Q quando a proposição condicional P Q é uma tautologia. Notação P ==> Q (Lê-se P implica Q) Exemplo: Mostrar que (p^q) ==> p p q p ^ q (p ^ q) p V V V V V F F V F V F V F F F V Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre P e Q quando suas tabelas verdade forem idênticas. Notação: P Q ou P <==> Q (Lê-se P é equivalente a Q). Exemplo: Mostrar que (p q)^(q p) e p q são equivalentes. p q p q q p (p q)^(q p) p q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V 4.1 Negação da negação Dada as proposições p e ~(~p). p ~p ~(~p) V F V F V F Conclusão: ~(~p) p

4.2 Negação da conjunção Dada as proposições ~(p^q) e ~pv~q p q p^q ~(p^q) ~p ~q ~pv~q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V Conclusão: ~(p^q) ~pv~q 4.3 Negação da disjunção Dada as proposições ~(pvq) e ~p^~q p q pvq ~(pvq) ~p ~q ~p^~q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V Conclusão: ~(p^q) ~pv~q 4.4 Negação do Condicional Dada as proposições p q e ~(p^~q). p q p q ~q p^~q ~(p^~q) V V V F F V V F F V V F F V V F F V F F V V F V Conclusão: p q ~(p^~q)

5. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS NOTÁVEIS Referências Dupla negação Leis idempotentes Leis Comutativas Leis Associativas Leis Distributivas Leis de De Morgan Leis de Identidade Leis Complementares Condicional Bicondicional p, q, r proposições τ - tautologia γ - contradição ~(~p) p p ^ p p p V p p p ^ q q ^ p p V q q V p p ^ (q ^ r) (p ^ q) ^ r p V (q V r) (p V q) V r p V (q ^ r) (p V q) ^ (p V r) p ^ (q V r) (p ^ q) V (p ^ r) ~(p V q) ~p ^ ~q ~(p ^ q) ~p V ~q p V γ p p ^ γ γ p ^ τ p p V τ τ p V ~p τ p ^ ~p γ ~τ γ ~γ τ p q ~(p^~q) ~pvq p q ~q ~p (Contrapositiva) ~(p q) p^~q p q (p q) ^ (q p) ~(p q) p ~q ~p q

6. ARGUMENTOS No contexto da matemática computacional, podemos definir argumentar como o ato de estabelecer relação entre proposição dadas e uma conclusão. Definição: Sejam P 1,..., P n n 1 proposições quaisquer (simples ou compostas). Chama-se argumento a sequência finita de proposições P 1,..., P n n 1 que tem como consequência a proposição C. As proposições P 1,..., P n n 1 chamam-se premissas do argumento, e a proposição C chama-se conclusão do argumento. Uma argumentação com premissas P 1,..., P n com conclusão C indicamos por: P 1,..., P n C Lê-se: P 1,..., P n acarretam C ; P 1,...,P n, logo C ; P 1,..., P n, então C ; Definição: Um argumento P 1,...,P n C é válido se, e somente se a conclusão for verdadeira sempre que as premissas P 1,...,P n forem verdadeiras. Definição: Um argumento não-válido chama-se sofisma ou falácia. Definição: Silogismo é um argumento formado por duas premissas e uma conclusão. Para análise de argumenta a partir de diagramas de Euler-Venn, seguem os exemplos: Todos os homens são mortais Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mortal Argumento é válido!. S H M

Todos os brasileiros são felizes Todos os paulistas são brasileiros Logo, todos os paulistas são felizes Argumento é válido! P B F Alguns animais podem raciocinar O homem é um animal Logo, o homem pode raciocinar Argumento é sofisma! A.H.H R Em algumas situações, o uso do diagrama de Euler-Venn torna-se inadequado para a análise de argumentos. Dessa forma será utilizada a lógica proposicional, junto com a tabela-verdade, para o estudo de argumentos. Teorema: O argumento P 1,...,P n C é válido se, e somente se o condicional P 1,...,P n C é uma tautologia. Exemplos: 1) O argumento (p q), (r s), (p V r) (q V s) corresponde ao condicional ( (p q) ^ (r s) ^ (p V r) ) (q V s) 2) O condicional ( (p q) ^ p ) q corresponde ao argumento ( (p q), p ) q

3) Determine a validade do argumento: P1: Se um homem é solteiro, ele é infeliz P2: Se um homem é infeliz, ele morre cedo. C: Logo, solteiros morrem cedo Considere as seguintes proposições: p: homem é solteiro; q: homem é infeliz; r: homem morre cedo. O argumento pode ser representado da seguinte forma P1, P2 C Com o proposicional P1 ^ P2 C; ((p q) ^ (q r)) (p r) Construindo a tabela-verdade: p q r P1: (p q) P2: (q r) P1 ^ P2 C: (p r) (P1 ^ P2) C V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V Como P1 ^ P2 C é uma tautologia, o argumento P1, P2 C é válido

7. QUANTIFICADORES No estudo da lógica, o uso dos quantificadores impõe a ideia de quantidade (ou quantificação ) na criação de proposições lógicas. Enquanto que na linguagem normal empregamos as palavras muitos, todos, alguns, nenhum e poucos, na matemática formal recorreremos à dois tipos de quantificação: universal: um predicado (proposição ou sentença) é válido para todos os elementos em consideração; existencial: representa a existência de um ou mais elemento que validam um predicado (proposição ou sentença). Os quantificadores serão aplicados considerando os possíveis valores de uma variável, ao qual denominaremos de domínio (conjunto D). Dessa forma, a proposição será da seguinte forma: x D, P x ou x D, P x DEFINIÇÃO: A quantificação universal de P(x) é a afirmação: P(x) é valida para todos os valores de x do domínio. A notação x P x indica a quantificação universal de P x. Aqui é chamado de quantificador universal. Lemos x P x como para todo x P(x). Um exemplo para o qual P(x) é falsa é chamado de contra-exemplo para x P x. DEFINIÇÃO: A quantificação existencial de P(x) é a proposição: Existe um elemento x no domínio tal que P(x) Usamos a notação x P x para a quantificação existencial de P x é chamado de quantificador existencial. P x. Aqui Em síntese: Sentença Quando é verdadeira Quando é falsa x P x P(x) é verdadeira para todo x Existe um x tal que P(x) é falsa x P x Existe um x tal que P(x) é verdadeira P(x) é falsa para todo x Para mostrar que uma proposição da forma x D, P x é falsa, basta mostrar a que a sua negação x D, P x. Assim definimos um contra-exemplo.

Em síntese: Sentença x D, P x x D, P x Sentença negada x D, P x x D, P x x D, P x x D, P x Exemplo 1 Seja P(x) a declaração x+1>x. Qual é o valor-verdade da quantificação x P x, no domínio de todos os números reais?? Como P(x) é verdadeira para todo número real x, a quantificação x P x é verdadeira. Exemplo 2 Qual o valor verdade de x P x, em que P(x) é a proposição x² < 10, e o domínio é o conjunto dos inteiros positivos menores que 5? Se for falsa, qual é o seu contra exemplo A declaração x P x é o mesmo que a conjunção P 1 P 2 P 3 P 4, pois o domínio é formado por esses quatro elementos. Para x=4, P 4 :16 10. Dessa forma x P x é falsa, e x=4 é o contra exemplo. Exemplo 3 Qual o valor verdade de x D, P x, em que P(x) é a proposição x² > 10, e o domínio é o conjunto dos inteiros positivos menores que 5? A declaração x P x é o mesmo que a conjunção P 1 P 2 P 3 P 4, pois o domínio é formado por esses quatro elementos. Para x=4, P 4 :16 10 e x P x é verdadeira.

8. REGRAS DE INFERÊNCIAS Em algumas situações, verificar a validade de alguns argumentos por tabela verdade pode demanda certo esforço. Dessa forma, recorremos às chamadas regras de inferência para validade de alguns argumentos relativamente simples. A tabela a seguir ilustra algumas regras de inferência: Regra de inferência Tautologia p p q q q p q p p q q r p r p q p q p p q p q p p q p q p q p r q r p p q q q p q p p q q r p r p q p q p p q p q p p q p q p q p r q r Nome Modus ponens Modus tollens Silogismo hipotético Silogismo disjuntivo Adição Simplificação Conjunção Resolução Exemplo 1 Qual a regra de inferência para o seguinte argumento: Está esfriando e chovendo agora. Portanto, está esfriando agora. p: Está esfriando q: Está chovendo P1: p q Está esfriando e chovendo agora C : p Portanto está esfriando Argumento que usa regra de simplificação

E para estes casos... Qual a regra de inferência para o seguinte argumento: W3 chover, então não haverá churrasco hoje. Se não houver churrasco hoje, haverá amanhã. Portanto, se chover hoje, então haverá churrasco churrasco amanhã Regra do silogismo hipotético Está esfriando agora. Portanto, está esfriando ou chovendo agora Regra da adição Se nevar hoje, então eu vou esquiar. Está nevando hoje. Portanto, eu vou esquiar Regra modus ponens Notas de aulas retirada de: CURY, Márcia Xavier: Introdução à lógica (Estude e use. Série matemática), São Paulo. Editora Érica, 1996. ROSEN, Kenneth H.: Matemática Discreta e Suas Aplicações, São Paulo. Editora McGraw Hill, 2009.