ula 00 Curso: Estatística p/ ICMS RJ Professor: Fábio morim Prof. Fábio morim 1 de 26
Olá pessoal! Curso: Estatística p/ ICMS RJ Sejam bem-vindos ao Exponencial Concursos! Oferecemos a vocês o curso de Estatística, direcionado para o concurso público de uditor Fiscal da Receita Estadual do Rio de Janeiro. Este curso abordará todo o conteúdo exigido pelo Edital, incluindo teoria e questões comentadas. O objetivo é proporcionar um curso bastante objetivo e didático, trazendo o conhecimento necessário para que vocês tenham condições de fazer todas as questões que serão cobradas nesse novo concurso da SEFZ/RJ. disciplina de Estatística está contida em um grupo que inclui Matemática Financeira e Raciocínio Lógico, as quais, juntas, serão responsáveis por 24 questões da Prova 2. Professor, mas eu nunca estudei Estatística, terei muita dificuldade em acompanhar o curso? Pelo contrário, o curso foi elaborado em uma linguagem clara, de modo que todos os alunos possam compreendê-lo, inclusive aqueles que possuem menos afinidade com a disciplina, ou nunca a tenham estudado. O curso será composto por sete aulas, cujos assuntos e datas em que serão disponibilizadas são: ula ssunto Data ula 0 Técnicas de Contagem e nálise Combinatória. Combinações, rranjos e Permutação. disponível ula 1 Espaço amostral e probabilidades: conceito, axiomas. ula 2 Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de posição e de variabilidade. ula 3 Distribuições de probabilidades discretas e contínuas (ernoulli, inomial, Poisson, Normal, Qui-quadrado, T-Student). ula 4 mostragem: amostras casuais e não casuais. Processos de amostragem, incluindo estimativas de parâmetros. Inferência: intervalos de confiança. 15/06 22/06 29/06 06/07 Prof. Fábio morim 2 de 26
ula ssunto Data ula 5 Testes de hipóteses para médias e proporções. 13/07 ula 6 Correlação e Regressão Linear simples 20/07 gora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar! PRESENTÇÃO Meu nome é Fábio morim, sou formado em Engenharia Civil pelo Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino Superior pela Universidade Castelo ranco (2007) e em Direito dministrativo pela Universidade Estácio de Sá (2014). Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei por cinco anos no Exército rasileiro, na minha área de formação. Já em 2009, tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de Transportes Terrestres, na gência Nacional de Transportes Terrestres - NTT. Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de uditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União - TCU, onde estou até hoje. Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes: NTT (2008) Especialista em Regulação; MPOG (2008) nalista de Infraestrutura; TCU (2009) uditor Federal de Controle Externo. Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir a tão sonhada aprovação. Nesta aula, vamos trazer um Raio-X completo das provas de Estatística aplicadas nos concursos da SEFZ/RJ desde 2008, destacando, assim, aqueles assuntos que são mais importantes para a prova! Prof. Fábio morim 3 de 26
Histórico e análise das provas Estatística O gráfico abaixo mostra a quantidade de questões por assunto. Por esse gráfico vocês podem visualizar os assuntos mais importantes da nossa disciplina, que deverá ter 8 preciosas questões na Prova 2. Quantidade de questões - SEFZ/RJ -(2008-2013) COMINTÓRI - UL 0 CORRELÇÃO LINER SIMPLES - UL 6 MOSTRGEM - UL 4 REGRESSÃO LINER SIMPLES - UL 6 TESTE DE HIPÓTESES - UL 5 INFERÊNCI ESTTÍSTIC - UL 4 ESTTÍSTIC DESCRITIV - UL 2 PROILIDDES - UL 1 DISTRIUIÇÃO DE PROILIDDES - UL 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pesar de o tópico analise combinatória (assunto desta aula) ter sido pouco cobrado historicamente, vale destacar que é uma matéria essencial para a compreensão da ula 1, que abrangerá a teoria das probabilidades. gora, vamos a nossa ula 0, para que vocês possam conhecer a metodologia que iremos aplicar neste curso. oa sorte a todos e vamos lá! Prof. Fábio morim 4 de 26
ula 00 Técnicas de Contagem e nálise Combinatória ssunto Página 1- Introdução 06 2- Princípio Fundamental da Contagem 06 3- Permutações 09 4- rranjo 15 5- Combinação 17 6- Questões comentadas 19 7- Resumo da aula 24 8- Lista de exercícios 25 9- Gabarito 26 Prof. Fábio morim 5 de 26
1- Introdução nálise Combinatória é um ramo da Matemática que tem como objetivo estabelecer métodos que permitam contar o número de elementos que fazem parte de um conjunto. Esses métodos são as chamadas técnicas de contagem. Para que a contagem seja viável, entretanto, é necessário que o conjunto possua um número limitado de elementos e uma determinada característica específica. Vejam alguns exemplos de aplicação: De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números? Quantos números telefônicos com oito dígitos podem ser formados, utilizando-se os números de 0 a 9? Um homem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10 camisas e 4 pares de sapatos. De quantas formas ele poderá se vestir? Uma corrida de carros possui 20 pilotos. Quantos resultados diferentes pode ter essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares? Quando o número de elementos desse conjunto é pequeno, intuitivamente, ou a partir de contas simples, nós conseguimos facilmente obter a resposta. Entretanto, essa tarefa se torna mais difícil se tivermos um conjunto mais populoso de elementos. partir dessa dificuldade é que surgiram, na matemática, as técnicas de contagem. 2- Princípio Fundamental da Contagem Esse princípio, também chamado de princípio multiplicativo, é uma técnica de contagem que serve como base de toda a análise combinatória. Por isso, precisamos compreendê-lo bem. Suponhamos que existam N resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T1 e M resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T2. Então, o número de resultados possíveis ao se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa T2 é obtido pela multiplicação N M. Vamos aos exemplos: Um dado comum é lançado duas vezes em sequência. O conjunto formado pelos resultados possíveis desses lançamentos é formado por quantos elementos? Prof. Fábio morim 6 de 26
Pessoal, ao lançarmos o dado na primeira vez (tarefa T1), quantos resultados N são possíveis? Logicamente, 6 resultados. o lançarmos o dado pela segunda vez (tarefa T2), o número de resultados possíveis M também será 6, correto? ssim, segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados possíveis ao fazermos os dois lançamentos em sequência será obtido pela multiplicação N M, ou seja, 6 6 = 36. Portanto, o número de resultados possíveis será 36. São eles: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) e (6,6). Tarefa T1 tem 'N' resultados possíveis Tarefa T2 tem 'M' resultados possíveis o se executar T1 e depois T2, existem 'N x M' resultados possíveis Um restaurante possui em seu cardápio 4 tipos de pratos principais e 3 tipos de sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja almoçar nesse restaurante e, para isso, pedirá um prato principal e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes esse pedido poderá ser feito? O pedido será composto por um prato principal (tarefa T1) e uma sobremesa (tarefa T2). O número de resultados possíveis N do prato principal é 4. E o número de resultados possíveis M para a sobremesa é 3. Segundo o princípio fundamental da contagem, o pedido poderá ser feito de N M maneiras diferentes, ou seja, 4 3 = 12 maneiras. Uma das formas de visualizarmos isso é por meio do chamado diagrama sequencial ou diagrama de árvore: Prof. Fábio morim 7 de 26
Sobremesa 1 Prato Principal 1 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Sobremesa 1 Prato Principal 2 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Sobremesa 1 12 possibilidades Prato Principal 3 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Sobremesa 1 Prato Principal 4 Sobremesa 2 Sobremesa 3 *Diagrama de Árvore Fácil, não é pessoal? gora, se o número de tarefas for superior a 2? Se uma tarefa T1 pode ter N1 resultados diferentes, uma tarefa T2 pode ter N2 resultados diferentes, e assim sucessivamente, então, ao se realizar em sequência as tarefas T1, T2, até Tk, o número de resultados possíveis será N1 x N2 x... x Nk. aula. Para esclarecer esse conceito, vamos retomar o exemplo do início da De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números? Prof. Fábio morim 8 de 26
Curso: Estatística p/ ICMS RJ Vamos chamar a primeira letra de tarefa T1, a segunda letra de T2, a terceira letra de T3, o primeiro dígito de T4, o segundo dígito de T5, o terceiro dígito de T6, e o quarto dígito de T7. O número de letras possíveis de serem colocadas na tarefa T1 é igual a 26 (chamamos de N1). O mesmo número se aplica a N2 e a N3, correto? No caso de N4, temos dez possibilidades (0, 1, 2,..., 9), o mesmo número se aplica a N5, N6, e N7. Dessa forma temos: Tarefa Número de resultados possíveis T1 (letra) N1 = 26 T2 (letra) N2 = 26 T3 (letra) N3 = 26 T4 (número) N4 = 10 T5 (número) N5= 10 T6 (número) N6 = 10 T7 (número) N7 = 10 Segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados possíveis é: 1 2 3 4 5 6 7=26 26 26 10 10 10 10=... Dessa forma, podemos confeccionar as placas de veículos de 175.760.000 maneiras diferentes! Pessoal, como dissemos inicialmente, o princípio fundamental da contagem é uma técnica de contagem que serve como base para as demais técnicas. partir de agora, vamos explorar outras três técnicas derivadas desta: a permutação, o arranjo e a combinação. 3 - Permutações Suponhamos que um determinado conjunto possua n elementos. permutação permite contar o número de maneiras diferentes que esses elementos podem estar ordenados dentro desse conjunto. Vamos trazer um exemplo para esclarecer melhor. João, Pedro e Marcos são três amigos que resolvem andar de kart. De quantas maneiras diferentes o resultado dessa corrida pode acontecer? Prof. Fábio morim 9 de 26
Neste caso, temos um conjunto composto por três elementos (João, Pedro, Marcos), ou seja, =3. Podemos resolver esse problema utilizando o diagrama de árvore. Nesse caso, temos: 1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar Pedro Marcos João Marcos Pedro Pedro João Marcos Marcos João 6 resultados possíveis Marcos Pedro João João Pedro ssim, de acordo com o diagrama de árvore, temos 6 resultados possíveis. Podemos, também, resolver esse problema a partir do princípio fundamental da contagem, vamos ver como? 1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar Inicialmente, precisamos pensar quantos corredores podem ocupar a posição de 1º lugar. Pelo nosso exemplo, se temos três corredores, João, Pedro e Marcos, então, qualquer um dos três pode ocupar essa posição. ssim, temos três possibilidades. Considerando que um dos corredores ocupou o 1º lugar, quantos corredores podem ocupar o 2º lugar? Já que restaram dois corredores, o número de possibilidades é igual 2. Dado que um corredor ocupou o 1º lugar, outro ocupou o 2º lugar, quantos corredores podem ocupar o 3º lugar? Já que restou apenas um corredor, temos apenas uma possibilidade de que isso ocorra. Prof. Fábio morim 10 de 26
Sendo assim, o número de resultados possíveis para essa corrida é obtido, de acordo com o princípio fundamental da contagem, pela multiplicação das possibilidades: 1º Lugar 2º lugar 3º lugar 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades Outra forma de resolvermos esse problema é por meio da técnica de contagem chamada de permutação, que representa o número de maneiras diferentes de ordenar um conjunto. Para calcularmos o número de permutações no nosso problema, utilizamos a seguinte fórmula: Permutação de 3 elementos: 3 = 3!= 3 2 1 = 6 çõ. (fatorial do número 3) Portanto, o número de permutações possíveis em um conjunto de 3 elementos é representado pelo fatorial do número 3, o que representa um total de 6 permutações. gora, se nosso conjunto for formado por um número maior de elementos? Nesse caso, resolver o problema pelo princípio fundamental da contagem ou por meio do diagrama de árvore torna-se bastante trabalhoso. Nesses casos, podemos obter o resultado facilmente aplicando a fórmula da permutação. Dado um conjunto de n elementos, o número de permutações possíveis nesse conjunto é representado pela expressão:! =!! Onde! é o fatorial do número n, representado pela expressão:!= " 1$ " 2$ " 3$ 1 Vamos acompanhar mais alguns exemplos para fixar bem o conteúdo? De quantas formas 6 pessoas podem ser ordenadas em fila indiana? Prof. Fábio morim 11 de 26
Neste caso, temos um conjunto com 6 elementos e desejamos saber de quantas formas esses 6 elementos podem ficar ordenados. Como o número de elementos coincide com o número de posições, temos uma permutação. ssim, precisamos calcular quantas permutações podem ser feitas com 6 elementos. plicando a fórmula & =!, temos: ' =6!=6 5 4 3 2 1=720 () *+(. gora, suponha que dentre essas 6 pessoas do exemplo anterior, tenhamos três homens e três mulheres. Considerando que a primeira posição seja ocupada por uma mulher, de quantas formas essas 6 pessoas podem se ordenar em fila indiana? Neste problema, temos uma condicionante: que a primeira posição da fila indiana seja ocupada por uma mulher. Sendo assim, para ocuparmos esse lugar, temos três possibilidades, concordam? Para as cinco demais posições, temos que permutar as cinco pessoas restantes. Mulher 3 possibilidades P 5 = 5! possibilidades ssim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidade é dado por pela multiplicação: =3 5!=3 "5 4 3 2 1$=360 )+,+-+** 3.1 Permutações com elementos repetidos Pessoal, agora vamos estudar um tipo específico de permutação, onde existem elementos repetidos no conjunto que queremos permutar. Suponhamos um conjunto com os seguintes elementos {1, 2, 3, 3, 4, 5}. Se quisermos calcular o número de permutações que são possíveis neste conjunto, teremos um problema, já que o número 3 repete-se duas vezes nesse conjunto. Prof. Fábio morim 12 de 26
Para esses problemas com repetição, o número de permutações deve ser calculado pela expressão: ".,0, $!!! =.!0! Onde n é o número total de elementos, a representa o número de repetições que possui um determinado elemento, e b o número de repetições de outro elemento, e, assim, sucessivamente. Para praticar, vamos resolver o problema inicialmente proposto. Dado o conjunto {1, 2, 3, 3, 4, 5}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente? O número de elementos do conjunto é 6. Então = 6. Existe apenas um elemento repetido, o elemento 3, o qual se repete duas vezes, então = 1. plicando-se a fórmula da permutação com repetição: "2$ "3$ 6! & =' = 2! =6 5 4 3 2 1 =360 )+,+-+** 2 1 gora, o mesmo problema, com um conjunto maior: Dado o conjunto {X, P, P, R, R, R, W, W, W, G}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente? Neste problema, o número de elementos do conjunto é igual a 10. Então, =10. Existem três elementos que se repetem: as letras P, R e W. ssim, o número de repetições (a, b, c) de cada um desses elementos é representado por: =2 4,=3 5=3 Conhecidos os valores de n, e do número de repetições, podemos aplicar a fórmula: "2,6,7$ "3,:,:$ 10! & =89 = 2!3!3! = = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 "2 1$ "3 2 1$ "3 2 1$ =50.400 Portanto, podemos ordenar esse conjunto de 50.400 maneiras diferentes. Prof. Fábio morim 13 de 26
(FGV-SEFZ/RJ 2008) Os jogadores e se encontram para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será vencedor aquele que primeiro ganhar três sets. Por exemplo, partidas terminadas poderão ter como resultado:,,, etc. Então, o número de possíveis resultados para uma partida terminada é: () 4 () 10 (C) 6 (D) 20 (E) 8 Pessoal, se o vencedor é aquele que primeiro ganha três sets, e, a partida pode ter, no máximo, cinco sets. Então, a partida pode terminar com três, quatro ou cinco sets, tendo como vencedor o jogador ou o jogador, concordam? Estabelecidas essas premissas, podemos considerar, por simetria, que o número de resultados possíveis para que vença é o mesmo para que saia vencedor. Sendo assim, calcularemos o número de possíveis resultados em que o jogador seja o vencedor e multiplicaremos por dois, para considerar, também, o número de possíveis resultados em que seja o vencedor. Como devemos contabilizar apenas as partidas terminadas, não importa quem vença, devemos considerar o caso de um ou outro vencer. Considerando o jogador vencedor: Para a partida terminada em três sets, temos apenas uma possibilidade:, onde o jogador ganha os três sets. Para uma partida terminada em quatro sets, a condição é que o último set tenha o jogador como vencedor, e, nos três primeiros sets, o jogador tenha vencido dois. Dessa forma, temos que permutar os três primeiros sets com os elementos {,, }. 2, temos: plicando a fórmula da permutação com repetição, em que =3 e = "2$ & = "3$ : = 3! 2! =3 2 1 =3 )+,+-+** 2 1 Para uma partida terminada em cinco sets, a condição é que o último set tenha o jogador como vencedor, e, nos quatro primeiros sets, o jogador tenha vencido dois. Dessa forma, temos que permutar os quatro primeiros sets com os elementos {,,, }. plicando a fórmula da permutação com repetição, em que =4, =2, e,= 2, temos: P "?,@$ > =P "3,3$ = 4! 2! 2! = 4 3 2 1 =6 possibilidades "2 1$ "2 1$ Prof. Fábio morim 14 de 26
Dessa maneira, para o jogador sair vencedor: Curso: Estatística p/ ICMS RJ Três sets 1 possibilidade Quatro sets 3 possibilidades Cinco sets Total 6 possibilidades 10 possibilidades Considerando a possibilidade de vitória do jogador, então, temos também, mais 10 possibilidades. Portanto, o número total de possíveis resultados para uma partida terminada é igual a 20. Resposta, letra D. Essa maneira é bem mais rápida do que a confecção do diagrama de árvore: *Os retângulos em verde representam o término da partida, ou seja, 20 possibilidades. 4 - rranjo O rranjo é outra técnica de contagem, por meio da qual conseguimos contar o número de maneiras diferentes de selecionar r elementos, em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com n elementos. Neste caso ( n representa todo o conjunto e r uma parte dele). Vamos trazer uma situação prática para poder esclarecer essa definição. Prof. Fábio morim 15 de 26
Suponhamos que os moradores de um condomínio devam eleger um síndico e um subsíndico. Há 6 candidatos para esses cargos. Quantos são os resultados possíveis dessa eleição? Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da contagem. Síndico (T1) Subsíndico (T2) Se há 6 candidatos, estes seis podem ser eleitos para o cargo de síndico, correto? Então, para a nossa tarefa T1, temos 6 possibilidades. Considerando que um dos candidatos ocupará o cargo de síndico, quantos candidatos podem ocupar o cargo de subsíndico? Já que restaram cinco candidatos, o número possibilidades é igual a 5 (tarefa T2). Desse modo, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das duas tarefas: Síndico Subsíndico 6 x 5 = 30 possibilidades Podemos resolver esse problema também pela técnica de contagem chamada arranjo. Por essa técnica, ao selecionarmos r elementos em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com n elementos, o número de possibilidades, ou, arranjos possíveis, é dado pela fórmula: r a r. L!, M =!! "! M$! Em que a expressão N &, O significa: arranjo de n elementos, tomados plicando essa fórmula para o nosso problema, temos: N &, O =N ', 3 = 6! "6 2$! =6! 4! =6 5 4 3 2 1 =30 )+,+-+** 4 3 2 1 Pessoal, é importante destacar que, para utilizar a fórmula do arranjo, é necessário que a ordem dos elementos faça diferença para a Prof. Fábio morim 16 de 26
contagem. Em outras palavras, a situação em que o candidato seja eleito síndico, e o candidato, subsíndico, é diferente da situação em que o candidato seja eleito síndico, e o candidato, o subsíndico. ssim, a ordem dos elementos altera o resultado! (FGV-SEFZ/RJ-2011) Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa). () 18.000 () 90 (C) 19 (D) 680 (E) 18.000 O conjunto é formado por 10 pessoas, então, =10. lém disso, é importante observar que a ordem dos elementos importa, pois o resultado em que um candidato fique em primeiro, e um candidato fique em segundo, é diferente do resultado em que fique em primeiro, e em segundo. Neste caso, como a ordem dos elementos altera o resultado, podemos aplicar rapidamente a fórmula do arranjo, para contar o número de arranjos que podemos fazer com os dois primeiros lugares "r=2$: N &, O =N 89, 3 = Resposta, letra. 10! "10 2$! =10! 8! =10 9 8! =90 )+,+-+** 8! Este problema também pode ser resolvido pelo princípio fundamental da contagem: 1º Lugar 2º Lugar 10 x 9 = 90 possibilidades 5 - Combinação combinação é outra técnica de contagem, por meio da qual é possível obter o número de possibilidades de se retirar r elementos de um conjunto com n elementos ( $. Percebam que esta definição é semelhante a do rranjo, no entanto, a diferença é que, para a combinação, não importa a ordem de retirada dos elementos. Prof. Fábio morim 17 de 26
Vamos a um exemplo para ajudar no entendimento: Curso: Estatística p/ ICMS RJ Deseja-se formar uma comissão com três pessoas e dispõe-se de cinco funcionários. Quantas comissões podem ser formadas? Pretende-se formar uma comissão, escolhendo três pessoas (=3) dentro de um conjunto de cinco pessoas (=5). Percebam que não importa a ordem que essas pessoas serão escolhidas. Esse é um caso, portanto, de utilizar a técnica da combinação. combinação de r elementos a partir de um conjunto com n elementos é dado pela expressão: R &, O 1=! " $!! Em que a expressão R &, O significa: combinação de n elementos, tomados r a r. plicando a fórmula, encontramos a resposta para o problema proposto: R &, O =R S, : = 5! "5 3$!3! = 5! 2!3! = 5 4 3 2 1 =10 )+,+-+** "2 1$ "3 2 1$ Desse modo, podem ser formadas 10 comissões diferentes. Supondo-se um conjunto com os cinco funcionários da forma {,, C, D, E}, as combinações possíveis são: {,, C}, {,, D}, {,, E}, {, C, D}, {, C, E}, {, D, E}, {, C, D}, {, C, E}, {, D, E}, {C, D, E}. 1 Pode ser escrito, também, como R O & ou T U. Prof. Fábio morim 18 de 26
6- Questões Comentadas Curso: Estatística p/ ICMS RJ 1. (FCC-SEPLG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de comunicação por interfone substituído. empresa contratada informa que usa como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). lguns moradores desconfiaram e alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam que o total de possibilidades era suficiente para identificar () 25 casas. () 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas. Considerando que o código terá três dígitos, e que cada dígito pode ser formado pelos números 1, 2 e 3 (distintos ou não), podemos calcular o número total de dígitos pelo princípio fundamental da contagem. Para o primeiro dígito, podemos ter três possibilidades (1, 2 e 3), o mesmo se aplicando aos 2º e 3º dígitos, o número total deve se calculado pela multiplicação dessas possibilidades. 1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 3 x 3 x 3 = 27 casas Resposta, letra. 2. (FCC-SEPLG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua lanchonete. Ela serve: cinco variedades de chás; três sabores de pãezinhos; quatro qualidades de geleias; Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia. Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é () 60. () 50. (C) 45. (D) 40. Prof. Fábio morim 19 de 26
Esse problema pode ser resolvido rapidamente aplicando-se o princípio fundamental da contagem. Se Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento e se ela pode pedir um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia, o número de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das possibilidades de cada item, assim: Chá Pão Geleia 5 x 3 x 4 = 60 possibilidades Resposta, letra. 3. (FCC-SESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas de 1ª série. s aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a () 18. () 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72. Vamos chamar os professores de, e C. Um deles irá assumir duas turmas e, os outros dois, apenas uma turma. Nessas condições, vamos supor que o professor assuma essas duas turmas, desse modo, teríamos o conjunto {,,, C}, onde a 1ª posição se refere à 1ª turma, a 2ª posição à 2ª turma, e, assim, sucessivamente. partir desse conjunto, calculamos o número de maneiras diferentes que esses professores podem se ordenar no conjunto, ou seja, se distribuir entre as turmas. Sendo assim, precisamos calcular o número de permutações, com repetição do professor : çã) * -) = & "2,6, $ =!!,! çã) * 4 -) = "3$ = 4! =12 )+,+-+** 2! Desse modo, se o professor for contemplado com duas turmas, o número de maneiras diferentes de distribuir essas salas é igual a 12. O Prof. Fábio morim 20 de 26
mesmo número se aplica caso um dos professores e C sejam contemplados com duas turmas. Portanto, o número total de possibilidades é igual a 12+ 12+12=36. Resposta, letra C. 4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares disponíveis? () 24. () 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720. Pessoal, temos um conjunto com seis lugares distintos e, destes lugares, quatro serão ocupados pelos amigos. ssim, supondo que o conjunto seja representado pelas cadeiras {1, 2, 3, 4, 5, 6}, devem ser escolhidas quatro delas. Supondo que sejam escolhidas as cadeiras 1, 2, 3 e 4, percebam que a ordem de escolha irá interferir no número de resultados possíveis, já que a configuração: Cadeira 1 Cadeira 2 Cadeira 3 Cadeira 4 Leonardo migo migo migo C É diferente, por exemplo, da configuração: Cadeira 1 Cadeira 2 Cadeira 3 Cadeira 4 migo Leonardo migo migo C Portanto, podemos aplicar a técnica de contagem de rranjo, onde o conjunto com 6 cadeiras n=6 será arranjado em 4 posições r=4, por meio da seguinte expressão: >, [ = ', = Resposta, letra D. 6! "6 4$! =6! 2! =6 5 4 3 2 1 =360 possibilidades 2 1 5. (FCC-PM/-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de Prof. Fábio morim 21 de 26
plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CS) e, da parte numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o da direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades para o número da placa de tal automóvel é () 2500. () 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100. Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da contagem. nossa tarefa T1 consiste em preencher o primeiro dígito dos numerais com um número ímpar. Neste caso, temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 7, 9). O segundo dígito (T2) não há restrições, portanto, 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). O mesmo se aplica ao terceiro dígito (T3). Para o quarto dígito (T4), temos que preencher com um número par, sendo assim, temos 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8). ssim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser obtido a partir da multiplicação das possibilidades de cada tarefa. Deste modo: 1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 4º Dígito 5 x 10 x 10 x 5 = 2500 possibilidades Resposta, letra. 6. (FCC-CEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a () 936. () 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728. Se a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é igual a 3, nos interessam as seguintes situações: (3,_,_,0), (4,_,_,1), (5,_,_,2), (6,_,_,3), (7,_,_,4), (8,_,_,5), (9,_,_,6), (1,_,_,4), (2,_,_,5), (3,_,_,6), (4,_,_,7), (5,_,_,8), (6,_,_,9), ou seja, são 13 possibilidades. Repare que (0, _,_,3) não é uma possibilidade, pois a senha deve estar no intervalo de 1000 a 9999. Prof. Fábio morim 22 de 26
Como o dígito não pode se repetir, e considerando que o primeiro e o último dígito já estão preenchidos de acordo com as possibilidades elencadas, portanto, para o segundo algarismo temos 8 possibilidades. Consequentemente, para o terceiro algarismo, restam 7 possibilidades. Sendo assim, aplicando-se o princípio fundamental da contagem: 1º Dígito e 4º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 13 x 8 x 7 = 728 possibilidades Resposta, letra E. 7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno? () 21. () 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680. Cada aluno deve escolher 4 questões de matemática em um conjunto com 6 questões. Nesse caso, não importa a ordem de escolha, sendo assim, podemos aplicar a técnica da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de matemática. R &, O R ', = 6! "6 4$!4! = 6! 2!4! = 6 5 4 3 2 1 =15 )+,+-+** "2 1$ "4 3 2 1$ Cada aluno deve escolher 2 questões de Física em um conjunto de 7 questões. plicamos, também, a fórmula da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de física. R &, O R ], 3 = 7! "7 2$!2! = 7! 5!2! = 7 6 5 4 3 2 1 =21 )+,+-+** "5 4 3 2 1$ "2 1$ plicando-se o princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é obtido pela multiplicação das possibilidades de cada tarefa. Prof. Fábio morim 23 de 26
Matemática Física 15 x 21 = 315 possibilidades Resposta, letra D. 7- Resumo da aula Vimos nesta aula 0 as seguintes técnicas de contagem: Princípio Fundamental da Contagem; Permutação; Permutação com repetição; rranjo; Combinação. Constatamos que, por meio delas, é possível contar o número de elementos que fazem parte de um conjunto. Em resumo, as principais características dessas técnicas são: Princípio Fundamental da Contagem O número de maneiras de se realizar uma tarefa T1, seguida da tarefa T2, é obtido pela multiplicação do número de maneiras de se fazer cada uma dessas tarefas. Permutação Permite contar o número de maneiras diferentes que os elementos de um conjunto podem estar ordenados. P n =n! (simples) P n a,b,... = n! /(a! b!...) (com repetição) rranjo Permite contar, em uma determinada ordem, o número de maneiras diferentes de selecionar r elementos dentro de um conjunto com n elementos. n, r =n!/(n-r)! Combinação Permite contar, independente da ordem, o número de maneiras diferentes de selecionar r elementos dentro de um conjunto com n elementos. C n, r =n!/(n-r)!r! Prof. Fábio morim 24 de 26
Pois bem, pessoal, com este resumo encerramos a ula 0. Na próxima aula conversaremos sobre o estudo das probabilidades. ons estudos a todos e até a próxima! 8- Lista de Exercícios 1. (FCC / SEPLG / 2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de comunicação por interfone substituído. empresa contratada informa que usa como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). lguns moradores desconfiaram e alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam que o total de possibilidades era suficiente para identificar () 25 casas. () 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas. 2. (FCC / SEPLG / 2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua lanchonete. Ela serve: cinco variedades de chás; três sabores de pãezinhos; quatro qualidades de geleias; Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia. Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é () 60. () 50. (C) 45. (D) 40. 3. (FCC-SESP/2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas de 1ª série. s aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a () 18. () 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72. 4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares disponíveis? () 24. () 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720. Prof. Fábio morim 25 de 26
5. (FCC-PM/-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CS) e, da parte numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o da direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades para o número da placa de tal automóvel é () 2500. () 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100. 6. (FCC-CEN/2006) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a () 936. () 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728. 7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno? () 21. () 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680. 9- Gabarito 1 3 C 5 7 D 2 4 D 6 E Prof. Fábio morim 26 de 26