Resolução das atividades complementares Matemática M Matrizes p. 06 O anel rodoviário de uma grande metrópole passa pelos pontos indicados no mapa ao lado. Os elementos da matriz (a ij ), associada a esse mapa, são tais que: n a ij 0, se os pontos i e j estiverem ligados entre si ou se i = j; n a ij, se os pontos i e j não estiverem ligados. Construa a matriz. a 0, pois i j a 0, pois i está ligado a j a a4 a 0, pois i está ligado a j nalogamente, temos: a 0; a ; a 4 ; a 0 a 0; a 0; a 4 ; a a 0; a 0; a 4 0; a a 4 ; a 4 0; a 44 0; a 4 0 a ; a ; a 4 0; a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 (Efei-MG) Encontre a matriz (a ij ) tal que i i a j j a? a a? 4 i j i. j 4
Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz (a ij ) de ordem 4, em que a ij i j. zero Diagonal principal: a, a, a, a 44 a ij i j a 0 a 0 a 0 a 44 4 4 0 Diagonal secundária: a 4, a, a, a 4 a 4 4 a a a 4 4 (a a a a 44 ) (a 4 a a a 4 ) (0 0 0 0) ( ) 0 4 (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz (a ij ), em que a ij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i. 0 0 4 a) Quantas unidades do material serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo? unidades b) Calcule o total de unidades do material que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo, quatro roupas do tipo e duas roupas do tipo. unidades a) j e i a unidades b) j a a 0 a 4 x? a 4? a? a x? 4? 0? 4 x unidades (UFL-MG) Os números reais x e y que satisfazem a equação abaixo são: x y x y 7 x y x y a) (, ) c) (, ) e) (, ) b) (, 7) d) (, ) x y 7 x y x ; y Note que estes valores também satisfazem o sistema: x y x y
x 6 matriz x y z admite a transposta t x y. z y 6 y z Nessas condições, calcule x, y e z. x 4; y ; z x t x y z x y z y 6 y z x x 4 y y z 6 y z 6 z x y x y 6 y z 7 Determine x para que M 0 x seja simétrica. x 4 0 x t 0 4 M M M M t x 4 x 4 x 8 (UEL-PR) Uma matriz quadrada se diz anti-simétrica se t. Nessas condições, se a matriz a seguir é uma matriz anti-simétrica, então x y z é igual a: x y z 0 0 a) c) 0 b) d) e) t x y 0 e z 0 x y z 0 0 x x x 0 t y z x y z 0 ( )
9 Determine x, y e z para que: x x 8 z 9 z 9 x y log z y y y log y y 8. x ; y ; z 9 y 9 p. 0 Calcule x e y, sabendo que: x x y y x 4x y 4 0 y. x e y x x y y x 4x y y 4 0 (I) x x 4 x x 4 0 (II) x 4x x 4x 0 x 4 x x x De (I) e (II) concluímos que x. y 0 (III) y y 0 y(y ) 0 y y (IV) y y y y 0 y y De (III) e (IV) obtemos y. Dadas 0, e C B, calcule X tal que X (B C) = 0. X X ( B C) 0 0 B C X X 4
Resolva o sistema X Y B, sendo X Y B e B. X 9 ; Y 6 X Y B X Y B X X X? 9? ( ) Y B ( X) 9 Y 6 (Vunesp-SP) Seja (a ij ) a matriz real definida por a ij se i < j e a ij se i. j. Calcule.???? ( )?? 0 ( )?? ( ) ( )?? 0 p. x x x 6x 0 4 (UCSal-B) igualdade matricial?, em que x IR, é x x verdadeira, se e somente se x é igual a: a) 64 c) 0 e) 64, 0 ou 64 b) 64 d) 64 ou 64 x x x x 6x 0 x (I) x x 6x x 4x 0 x 0 x 4 x 4 (II) x 0 x 6 0 x 4 O único valor de x que satisfaz as condições (I) e (II) simultaneamente é x 4. Logo, x (4) x 64
Efetue: 0 4. 0 4 0 6 6 6 4 8 0 4 0 6 4? 6 8 0 4 6 a 6 (UFJF-MG) Considere a matriz 0 b. Determine a e b reais, tais que: 0. a e b a a a 0? 0 a? 0 a b a b b 0 b 0? a b? 0 0? b 0 b a a b a a a a b 0 b 0 b 0 b b Do enunciado, vem: a a Logo: (I) a a a (II) b a a b 0 b b (não serve) b b (III) a b a b a 0 0 0 7 Sabendo que 0 4 0 e B 0 0 0 0 0 4 0, calcule x para que? B B?. x 0 x 0 0 0? B 0 4 0? 0 0 0 0 0 4 0 x 0 0 0 0 6 0 (I) x 0 6 0 0 0 0 0 0 Por outro lado, B? 0 4 0? 0 4 0 0 6 0 x 0 0 0 x 0 6? B B? (I) (II) x x, ou seja, x 0 (II)
8 (UFPR) Calcule o valor de a de modo que exista somente uma matriz x 4 a seja igual a y. a 4 x 4 a? y a 4 (I) em (II): 4( y) ay (I) em (III): a( y) 4y x y x y (I) 4x ay (II) ax 4y (III) 4y ay 4y ay a x y, a ; y a 6 ; x 7 6 tal que o produto cos x sen x 9 (Vunesp-SP) Considere as matrizes do tipo (x) sen x cos x. sen x a) Calcule o produto (x)? (x). sen x b) Determine todos os valores de x [0, p] para os quais (x)? (x) (x). {0, π} a) (x)? cos x sen x (x) sen x cos x cos x sen x? sen x cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen x cos x cos x sen x sen x cos x (x)? (x) sen x cos x sen x cos x sen x b) (x)? (x) (x) sen x cos x sen x (x)? (x) sen x cos x sen x sen x (I) cos x (II) sen x sen x (I) x k? p, k Z. Como 0 < x < p, temos: x 0 (k 0) e x p (k ). (II) x m? p, m Z. Como 0 < x < p, temos: x 0 (m 0), x p (m ) e x p (m ). Comparando as soluções obtidas em (I) e (II), concluímos que os valores procurados são x 0 e x p.
0 (UFRS) matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usadas em um arroz restaurante: C carne salada arroz carne salada matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada prato P usadas na composição dos pratos tipo P, P, P desse restaurante: P prato P 0 prato P matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P, P, P é: 7 9 a) 9 c) e) 8 4 b) 4 4 4 d) 6 8 4 P? C? 0 6 6 0 P? C 7 9 8 9 94 994 9 94 994 (UFRJ) Considere as matrizes B 9 94 994 9 94 99 e. Seja? e B B? B. Determine a matriz C B ( B)( B). 0 C B B 0 C B ( B)? ( B) C B B B B C? B B?? B B? 9 94 994 9 94 994? 9 94 994 9 94 99? 0 0 C 9 94 994 9 94 994 9 94 994 9 94 99 0 0 C 0 0 0 0 0 0
(UFJF-MG) Considere 0 0. Então, podemos concluir que: a) 00 I, em que I é a matriz identidade. c) 0. b) 00. d) 0 0, em que 0 é a matriz nula. 0 0? 0 0? Logo, 00 ( ) 0 00 0 0 00 0 00 I I? I? 0 0 0 I 0 0 (UFES) Considere a matriz. Determine 998. 998? 0 0???? 8 0 0 8 Ou seja, ( )? 0 998 ( ) 666 0. Como, temos: 666 998 0 998 ( )?? 0 ( ) 0 0 Lembrando que ( ) 998 998, concluímos que: 998 998? 666 0 0.
4 (UFRJ) Seja 0. a) Determine??. 0 b) Se n denota o produto de por n vezes, determine o valor do número natural k tal que k k 6 I, em que I é a matriz identidade. ou a)?? 0 0 0? 0 0 0 n b) Suponha que n n, com n., n IN. Calculemos o valor de : 0 n n? n n n? n 0 0 0 0. Como já verificamos, no item a, a validade da hipótese para n, e, concluímos pelo n * princípio de indução finita que: n n IN. 0, k I k k 6 k 6 0 0 0 0 0 k k k 6 0 k (UEL-PR) soma de todos os elementos da inversa da matriz é igual a: 0 a) c) 0 e) b) d) Sejam Temos e 0? I a c b d a b 0? 0 c d 0 a c b d 0 a, c 0, b d c d 0 a b c d 0 0
6 Dadas as matrizes 0 e M, determine: 0 a) M. b) o traço da matriz M?? M, sabendo que o traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. 0 a b a) M? M I? c d 0?? M 0 0 a b 0 (I) (II) M a c 0 c b d d b) M 0 0??? 0 4 M?? M tr( M?? M) 4 ( ) tr( M?? M) 7 (UNI-RIO) Dada a matriz, determine o valor de 8 0 t I. 0 6 a b? I? c d 0 0 a c b d 0 (I) (II) a c 0 b d a ; c b ; d t I 0 8 0 0 0 6
8 (UFCE) Dadas as matrizes e P, determine os seguintes produtos matriciais: 4 0 4 096 0 a) P?? P b) P? 6? P 0 0 a a) P? P I? c a c (I) a c 0 b 0 d 0???? P P 4 0 P?? P 0 b d 0 (II) b d a ; c b ; d? P 8 7 6 b)?? 9 0 7 6 4 7 6 0 0?? 9 0 9 0 4 6 4 0 0 7 6 69 68?? 4 9 0 47 48 6 69 6 P?? P? 8 4 096 4 096?? 47 48 6 4 096 0 P?? P 0 9 (FGV-SP), B e C são matrizes de mesma ordem. Sabendo-se que o sistema de equações a seguir (cuja incógnita é a matriz X) tem solução única, obtenha o valor da matriz X. a) X B C X? (C B) b) X X B C X (C B)? ( I) a) X B C X C B?? X? (C B) I? X? (C B) X? (C B) b) X X B C X X C B X XI C B X? ( I) C B X? ( I)? ( I) (C B)? ( I) X? I (C B)? ( I) X (C B)? ( I)
p. 4 0 (UESPI) igualdade definida pela equação matricial 7? é válida se, e somente se, a matriz for igual a: 0 0 a) c) e) 0 b) d) 7? a b c d a a c b d c b d a c 7 a c b d b d 7 0 a, c b 0, d 0 0 (MCK-SP) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz (a ij ), tal que a ij i j, é: a) c) e) 6 b) d) 4 O traço da matriz é dado por a a a. 4 7
(FMJ-SP) O administrador da SÓCRRÃO, uma cadeia de revenda de automóveis Tigre e Flecha, montou as seguintes tabelas para controlar as quantidades vendidas desses carros durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 00, nas três lojas da rede. Tabela : Preço por unidade (milhares de reais) Tipo Tigre Flecha Loja 0 0 B 8 C 0 Mês Tipo Tabela : Unidades vendidas Janeiro Fevereiro Março Tigre 0 Flecha matriz que melhor representa a receita, em milhares de reais, de cada loja, nos meses de janeiro, fevereiro e março, é: 00 00 0 0 00 0 7 90 80 0 a) ( 0 40 4) c) e) 0 8 6 0 0 0 44 0 0 0 b) 0 0 0 70 40 0 70 4 0 d) 40 4 0 0 0? 0? 0? 0 0? 0? 0? 0 8? 0 8?? 8? 0? 8??? 0?? 0 0?? 0? 00 0 00 0 40 0 0 0 0 90 80 80 6 70 40 0 0 0 0 44 0 0 70 4 4
a (Unipar-PR) Sabendo que é uma matriz quadrada de ordem e está definida pela lei de formação: ij i j log ( ), se i i j, se i j Podemos concluir que a sua transposta é: j a) c) e) 4 8 b) 8 8 a log ( ) log a 8 a 8 a log ( ) log 4 8 d) 8 8 8 t 4 8 8 log log 9 log log4 log 4 4 (Unipar-PR) Sabendo que e log 8 log4 7 log 64 B log 4 log 6, a soma dos log4 log4 elementos da matriz B é igual a: a) 4 c) 6 e) b) 8 d) 4 Sendo C? B, temos: C log? log log 4? log 4 log 4? log 4 C log? log 9 log 4? log 6 log 4? log 4 6 C log 8? log log 4 7? log 4 log 64? log 4 9 C log 8? log 9 log 4 7? log 6 log 64? log 4 6 6 6 8 Soma: C C C C 6 9 8 6 (Unipac-MG) Uma matriz (a ij ) do tipo, sendo a ij i j, é representada por: 4 4 a) ( ) c) e) 4 4 ( ) b) d) 4 a a a a a a 4 4
6 (Faap-SP) Durante a a fase da Copa do Mundo de Futebol, realizada na Coréia do Sul e no Japão em 00, o grupo C era formado por quatro países: Brasil, Turquia, China e Costa Rica. matriz fornece os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um. Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate ou derrota) tem pontuação correspondente ( pontos, ponto ou 0 ponto). Veja esse fato registrado na matriz B. vitória empate derrota 0 0 Brasil 0 Turquia 0 0 China Costa Rica B vitória empate 0 derrota Terminada a a fase, a classificação foi obtida com o total de pontos feitos pelo país. matriz que fornece essa classificação é: 4 9 0 a) [ 9 0 4 ] c) e) 4 9 0 9 b) d) 0 4 0 0 0? B? 0 0 [ 4 0 9 ]? 0? 0? 0 9?? 0? 0 0? 0?? 0 0 0??? 0 4 b 7 (Fatec-SP) Seja a matriz 9 8 tal que a 0 9 É verdade que a b é igual a: a) 0 c) 9 e) 9 b) d) b b ab b b ab b? a a a a ab a ab Sendo 9 8 0 9, então: a 0 a b 8 b 4; logo, a b ( 4). 6