4. MODELAGEM MATEMÁTICA Página 6 A modelagem consiste em transformar um problema em um modelo matemático através da utilização de equações e inequações. Alguns cuidados devem ser tomados quando os problemas são tratados para serem modelados. Basicamente cinco itens devem ser considerados: Descrição do problema deve ser descritos com exatidão os obetivos a serem atingidos, identificando cada uma das alternativas necessárias para a tomada de decisão bem como explicitar claramente todas as restrições e limitações existentes. É neste momento que deve ser consultado todos os profissionais que lidam com o problema, do audante ao diretor. Construção do modelo com base na descrição do problema é definido que modelo utilizar para representar o sistema. Um modelo é uma representação simplificada da realidade. Nesta fase é crucial a imaginação e criatividade. Muitas situações á possuem modelos formados e sempre se deve tentar construir o modelo á conhecido, porém as adaptações podem ser bastante trabalhosas e dependem exclusivamente do conhecimento do analista. Solução do modelo Identifica as respostas do nosso problema. Utiliza-se de técnicas matemáticas. Com o avanço dos computadores á existem diversos softwares que facilitam os cálculos. Validação do modelo modelos nem sempre expressão TODA a realidade do problema. Muitas vezes somos forçados a abandonar algumas das características com o intuito de simplificar o modelo, assim torna-se necessário validar o modelo verificando se a solução obtida atende as necessidades impostas na descrição do problema, e acima de tudo se atende aos anseios dos envolvidos no problema (operadores, lideres, gerentes, diretores, e outros). Implementação da solução após, validado o modelo, deve-se avaliar a solução obtida, para convertê-la em regras operacionais. É também um momento crítico do processo, pois podem revelar diversos outros problemas e impreterivelmente acaba por necessitar quebrar diversos paradigmas. 5. ROTEIRO PARA A CONSTRUÇÃO DO MODELO É claro que para cada tipo de técnica de pesquisa operacional, tais como, programação linear, programação dinâmica, programação inteira, simulação, heurísticas e outras, existe um roteiro mais adequado. Vamos apresentar o roteiro para a programação linear, e quando estivermos lidando com outra técnica vamos destacar o que muda em relação a este roteiro. Assim, para a elaboração de um modelo de programação linear deve-se atentar para:
Página 7 Variáveis de decisão São variáveis que se buscam os valores ótimos. São as variáveis que devem ser controladas. Sempre vão representar a solução. Por exemplo: quantas mesas e quantas cadeiras devam ser produzidas para que obtenha o maior lucro. Quais itens devam ser produzidos primeiro. Quanto utilizar de cada material em uma determinada mistura (combustível, ração, etc) para atender uma determinada condição com o menor custo. Função obetivo é uma função matemática que representa o principal obetivo a ser atingido. Como por exemplo, no caso da mistura, as variáveis de decisão são a quantidade de cada um dos componentes e a função obetivo é obter o menor custo (minimizar). No caso da fabricação de mesas e cadeiras, a quantidade de mesas e cadeiras são as variáveis de decisão, e a função obetivo é obter o maior lucro (maximizar). Restrições é tudo aquilo que temos disponível, podendo ser a quantidade de matéria prima, a quantidade horas, o tempo necessário, e outros. Também são necessárias que na elaboração de um modelo de programação linear seam garantidas algumas condições: Divisibilidade deve ser garantido que as variáveis possam assumir valores fracionários. (somente válido para o caso de programação linear) Aditividade as variáveis somente podem ser relacionadas entre si através da soma (lembrese, a subtração é somar opostos). Proporcionalidade o resultado é proporcional a cada uma das variáveis envolvidas. Certeza indica que você não pode supor (chutar) absolutamente nada. Indica que os parâmetros escolhidos são plenamente conhecidos. 6. Formulação algébrica geral È denominada por alguns autores como forma canônica. Em praticamente todas as obras ou artigos aparece na forma resumida, com seus termos fechados e utilizando a simbologia do somatório ( ). otimizar z = c x n = 1 n = 1 n = 1 Sueito a a x b i = 1,2, K,p Restrições A quantidade de restrições depende da quantidade de insumos e necessidades i i ax b i= p+ 1,p+ 2, K,m i i x 0, = 1,2, K,q x R,i = q+ 1,q+ 2, K,n Função obetivo c i significa custo do produto =1..n, e x representa a quantidade do produto =1..n a i significa o consumo da matéria i para produzir o produto b i significa a quantidade de insumo i Restrições de não negatividade - obrigatório Categoria numérica - indica que x pertence ( ) aos números reais (R)
7. Exemplo de modelagem Página 8 (GOLBARG e LUNA, 2005, p. 29) Uma metalúrgica desea maximizar sua receita bruta. A liga especial de baixa é vendida por R$ 3.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,50t de cobre, 0,25t de zinco e 0,25t de chumbo. A liga especial de alta é vendida por R$ 5.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,20t de cobre, 0,30t de zinco e 0,50t de chumbo. A empresa possui em estoque 16t e cobre, 11t de zinco e 15t de chumbo. Construía o modelo de programação linear. Uma metalúrgica desea maximizar sua receita bruta. A liga especial de baixa é vendida por R$ 3.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,50t de cobre, 0,25t de zinco e 0,25t de chumbo. A liga especial de alta é vendida por R$ 5.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,20t de cobre, 0,30t de zinco e 0,50t de chumbo. A empresa possui em estoque 16t e cobre, 11t de zinco e 15t de chumbo. Construía o modelo de programação linear. Identificando as Variáveis de decisão Uma metalúrgica desea maximizar sua receita bruta. A liga especial de baixa é vendida por R$ 3.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,50t de cobre, 0,25t de zinco e 0,25t de chumbo. A liga especial de alta é vendida por R$ 5.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,20t de cobre, 0,30t de zinco e 0,50t de chumbo. A empresa possui em estoque 16t e cobre, 11t de zinco e 15t de chumbo. Construía o modelo de programação linear. Pode ser utilizada qualquer representação ou letra Construindo a função obetivo Uma metalúrgica desea maximizar sua receita bruta. A liga especial de baixa é vendida por R$ 3.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,50t de cobre, 0,25t de zinco e 0,25t de chumbo. A liga especial de alta é vendida por R$ 5.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,20t de cobre, 0,30t de zinco e 0,50t de chumbo. A empresa possui em estoque 16t e cobre, 11t de zinco e 15t de chumbo. Construía o modelo de programação linear. O que. Vai produzir o resultado final. Como menciona receita bruta, deve ser localizado os valores que dizem respeito ao valor de venda Quem. A receita bruta depende de quantas toneladas são vendidas de cada liga. Portanto a quantidade em toneladas vendidas delas são as variáveis de decisão. x 1 quantidade de liga especial de baixa, em toneladas x 2 quantidade de liga especial de alta, em toneladas Como. A receita bruta é a soma da receita da venda da liga especial de baixa e da receita liga especial de alta Maximizar receita bruta Receita bruta da liga especial de baixa Receita bruta da liga especial de alta MAX z = 3.000 x 1 + 5.000 x 2 Construindo as restrições Uma metalúrgica desea maximizar sua receita bruta. A liga especial de baixa é vendida por R$ 3.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,50t de cobre, 0,25t de zinco e 0,25t de chumbo. A liga especial de alta é vendida por R$ 5.000,00/t e para fazer uma tonelada é necessário 0,20t de cobre, 0,30t de zinco e 0,50t de chumbo. A empresa possui em estoque 16t e cobre, 11t de zinco e 15t de chumbo. Construía o modelo de programação linear. Cobre Qtde de cobre da liga esp. de BAIXA 0,5 x 1 + 0,2 x 2 16 Zinco Qtde de cobre da liga esp. de ALTA Utilizado porque pode ser usado ATÉ 16 t, ou sea, pode ser usado 16 ou qualquer outra quantidade menor que 16 e maior que zero Idem ao caso do cobre Estoque disponível de cobre Chumbo Como. Quanto é utilizado de cada matéria prima para fazer cada uma das ligas. Quem. O estoque limita a produção. Não pode ser utilizado mais do que o disponível para cobre, zinco e chumbo. Cada matéria prima produz uma restrição 0,25 x 1 + 0,3 x 2 11 0,25 x 1 + 0,5 x 2 15 Não negatividade x 1 0; x 2 0 As restrições de não negatividade são obrigatórias Não existe como produzir uma quantidade negativa, por isso é obrigatório que os números seam positivos.
FormaCanônica max z = 3.000x1 + 5.000x2 s.a. 0,5x1 + 0,2x2 16 0,25x1 + 0,3x2 11 0,25x1 + 0,5x2 15 x 0;x 0 1 2 Página 9 É obrigatório apresentar a forma canônica. É com este formato que o problema vai ser resolvido manualmente ou através de softwares. Sueito a São as restrições ou limites existentes 8. Exercícios 1) Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitamina e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias. (SILVA et. all, 1998, p.17) 2) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o obetivo é maximizar seu lucro por hora. (SILVA et. all, 1998, p.18) 3) O Departamento de Marketing de uma empresa de móveis metálicos de escritório sugere o lançamento de dois novos produtos: uma mesa para secretária e um modelo de estante, ambos em substituição de modelos atuais. O Departamento de Marketing não prevê dificuldade de colocação dos produtos no mercado para as estantes, enquanto que aconselha que a produção mensal da mesa para secretárias não ultrapasse as160 unidades. Após estudos efetuados pelo Departamento de Produção, concluiu-se que: a) A disponibilidade mensal do Departamento de Estampagem é de 720 horas-máquina. b) A disponibilidade mensal do Departamento de Montagem e Acabamento é de 880 horashomem. c) Cada mesa para secretária necessita de 2 horas/máquina de estampagem e 4horas/homem de montagem e acabamento. d) Cada estante necessita de 4horas/máquina de estampagem e 4horas/homem de montagem e acabamento. O Lucro bruto unitário estimado é de R$ 120,00 para as mesas para secretárias e R$ 90,00 para as estantes. Construa um modelo matemático de programação linear a fim de maximizar o lucro.
Página 10 4) A empresa de produção de azeite Azeitex S.A. oferece quatro tipos de azeite (óleo de oliva) ao cliente: azeite do tipo 1 (T1), azeite extra virgem com percentagem de ácido oléico inferior a 1%; azeite do tipo 2 (T2), virgem, com acidez de 1% a 2%; azeite do tipo 3 (T3), corrente, com acidez de 2% a 3.3%; e azeite do tipo 4 (T4), com acidez superior a 3.3%, utilizado em industria de refinação, saboaria, farmácia e cosmética. Três equipamentos são necessários na produção de qualquer um dos tipos de azeite: prensagem, refinação e embalamento, sendo que as respectivas limitações mensais são de 650, 700 e 700 horas/máquina. 100 litros de azeite T1 necessitam de 1hora/máquina de prensagem, 2horas/maquina de refinação e 1,5horas/máquina de embalamento. O azeite T2 necessita de 1,5; 1,5 e 1,25horas/máquina respectivamente. O T3 de 0,75; 2,5 e 1,25 respectivamente. E por fim, o T4 de 1,25; 1,5 e 1,5horás/máquina respectivamente. Devido à utilização mais ou menos intensiva de cada um dos equipamentos, cada tipo de azeite tem uma margem bruta diferente. Assim sendo, o azeite T1 tem uma margem de R$40,00 para cada 100litros, o T2 de R$32,00, o T3 de R$35,00 e o T4 de R$36,00. A Azeitex tem conseguido destacar-se no mercado nacional pela qualidade dos seus produtos, bem como pelo preço competitivo a que os oferece, por isso não é esperada nenhuma quebra na procura do seu azeite. Construa um modelo matemático de programação linear para maximizar o lucro. 5) Um fazendeiro dispõe de 400 hectares de terra cultivável e está interessado em decidir sobre o que vai plantar no próximo ano. Ele tem dúvidas a respeito de três produtos: milho, soa e trigo. Por outro lado, ele tem certeza de que quer plantar em toda a sua propriedade. O plantio de milho requer investimentos de R$2.000/ha, 20 homens-dia de trabalho para preparar um ha, e promove um lucro de R$600/ha. O trigo requer R$2.400/ha investidos, promove R$800 de lucro e demanda 30 homens-dia de trabalho para preparar 1 ha. Finalmente, a soa demanda 24 homens-dia, R$1.400 de investimentos e gera um lucro de R$400. Dado o nível atual de desemprego, não existe limitação de mão-de-obra na região. Por outro lado, o fazendeiro só tem R$800.000 para investir em sua fazenda no próximo ano. Formule um modelo de programação linear para maximizar o lucro do fazendeiro, atendendo às restrições de recursos disponíveis. 6) Após uma quebra de vendas nos últimos anos, a VW Alemanha pretende reestruturar a produção dos seus modelos de automóveis, no sentido de maximizar os lucros. A Autoeuropa, fábrica com alguns dos melhores indicadores de performance e qualidade do grupo, foi a escolhida para a produção de dois modelos: o Phaeton, tope de linha da VW, e o Touareg, um dos melhores SUV do mercado.
Página 11 Esta fábrica, está organizada em três departamentos: carroçarias, motores, e montagem. Como até então era montado um só modelo (VW Sharan), foi necessário subdividir o departamento de montagem em dois, para poder responder à especificidade de cada um dos novos modelos. O departamento de fabricação de carroçarias pode produzir 7.500 carroçarias para Phaeton ou 10.500 carroçarias para Touareg, por mês, ou uma combinação equivalente (por exemplo, 4.500 carroçarias para Phaeton e 4.200 carroçarias para Touareg, correspondente a 60% e 40% da capacidade de produção, respectivamente). Analogamente, o departamento de fabricação de motores pode produzir 10.000 motores para o Phaeton ou 5.000 motores de Touareg, por mês, ou uma combinação equivalente. Os departamentos de montagem têm capacidade para 6.750 e 4.500 viaturas por mês, Phaeton e Touareg respectivamente. As margens brutas unitárias são de 1.500 para o Phaeton e de 2.000 para o Touareg. Não se prevendo quebras na procura de ambos os modelos, a direção da Autoeuropa pretende otimizar a produção, maximizando o lucro. Construa um modelo matemático de programação linear. 7) Uma linha de produção de uma fabrica de químicos é constituída por três secções e pode produzir três produtos de acordo com o diagrama abaixo. As secções 1, 2 e 3 têm uma capacidade de tratamento diária de 100, 200 e 400 unidades, respectivamente. Cada produto, por tonelada produzida, utiliza uma unidade de capacidade de cada secção interveniente no processo de fabricação. Sabe-se que não há dificuldade quanto à colocação no mercado dos produtos A e C, enquanto que para o produto B não se pode ultrapassar a quota de mercado fixada em 80 t/dia. Sabendo que as margens brutas por tonelada produzida dos produtos A, B e C são de 3.000, 4.000 e 2.000 R$/t, respectivamente, construa um modelo matemático de programação linear que lhe permita maximizar a produção diária. 8) Um distribuidor de produtos para festas infantis compra dos produtores chapéus de papel, línguas-de-sogra e bexigas, e prepara caixas com esses três produtos na forma de kits para festas. Observações anteriores mostram que: a) A quantidade de chapéus e línguas-de-sogra deve ser pelo menos 50% do total. b) O pacote deve ter pelo menos 20 bexigas. c) Cada item deve concorrer com pelo menos 25% do total da caixa. O custo dos componentes (em milhares de unidades) é: a) Chapéu de papel: R$ 500,00 b) Língua-de-sogra: R$ 200,00 c) Bexigas: R$ 100,00
Página 12 Construa um modelo matemático de programação linear que lhe permita minimizar o custo de composição de cada caixa. 9) Uma empresa de fundição extrai chumbo e zinco a partir de dois tipos de sucata. O tipo A custa 180R$/t e, em média, permite a extração de 100kg de chumbo e 100kg de zinco por tonelada de sucata. A sucata de tipo B custa 300R$/t e, em média, permite a extração de 100kg de chumbo e 300kg de zinco, por tonelada de sucata. Supondo que as vendas diárias são de pelo menos 3 toneladas de chumbo e 4 toneladas de zinco, formalize o problema programação linear.