ÁLGEBRA LINEAR 1 1 EQUAÇÕES LINEARES Uma equação linear segue a seguinte forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 Considerando-se que: x 1, x 2,..., x n são as incógnitas; a 11, a 12,...,a 1n são os coeficientes (números reais ou complexos); b 1 é o termo independente (número real ou complexo). Exemplo de equação linear Exemplos de equações não-lineares 3x 1 + 4x 2 + 10x 3 = 20 12x + 4y + x = -4 3x - 2y + 6z = 7 23x 2 + 4y 2 = 19-2x + 4z = 3t - y + 4 6x + 3y - 3zw = 0 Antes de se tratar os sistemas de equações lineares é importante ver-se como uma reta pode ser observada em um plano cartesiano. A figura a seguir expõe resumidamente um plano cartesiano. - Eixo das Ordenadas 2º Quadrante 3º Quadrante + 1º Quadrante 4º Quadrante + Par ordenado P - Eixo das Abscissas Origem: par ordenado (0,0) Veja uma reta expressa pela sua equação reduzida y = k x + w, sendo k o seu coeficiente angular e w o coeficiente linear. Tomando-se dois pares ordenados, P1=(x 1,y 1 ) e P2=(x 2,y 2 ), sendo que x 1 x 2, que estão sobre a reta, pode-se calcular o seu coeficiente angular por k = y x, ou seja, y k = (y 2 -y 1 ) (x 2 -x 1 ) y 2 P 2 =(x 2,y 2 ) Coeficiente Linear y 1 P 1 =(x 1,y 1 ) (0,0) x 1 x 2 x 1 Baseado em Haetinger, Claus e Dullius, Madalena, Álgebra Linear e Geometria Analítica, UNIVATES - Centro Universitário - Centro III, Lajeado Rio Grande do Sul, 2006. Complementos capturados de http://www.expoente.com.br/professores/kalinke/estudo/sistemas_lineares.htm, http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.htm, http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/determinantes.htm e http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm 1
2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: Uma solução do sistema anterior é uma n-upla de números (x 1 ; x 2 ;...;x n ) que satisfaz simultaneamente as m equações. Pode-se reescrever este sistema A. x = b por um conjunto de matrizes conforme a seguir: Matriz A, dos coeficientes das incógnitas: Matriz X (vetor), das incógnitas: X Matriz B (vetor), dos termos independentes: B 2.1- Solução de um Sistema Linear Dado um sistema de uma equação e uma incógnita ax = b, existirão três possibilidades: a 0. Neste caso a equação tem uma única solução x = b/a; a = 0 e b = 0. Então se tem 0x = 0 e qualquer número real será solução da equação. a = 0 e b 0. Tem-se 0x = b. Não existe solução para esta equação. 2
Considerando-se um sistema de m equações lineares com n incógnitas x 1 ;...; x n : cujos coeficientes a ij e termos independentes b i são números reais ou complexos. Este sistema poderá ter: a) uma única solução: o sistema é possível (compatível) e determinado (SPD). b) infinitas soluções: sistema é possível e indeterminado (SPI). c) nenhuma solução: o sistema é impossível (incompatível) (SI). Exemplos: SPD: Duas retas com ponto de interseção (x,y). -1 y 3 2x - y = 8 x + 2y = -1 2x y = 8 Solução: (3, -2). SPI: Duas retas paralelas e sobrepostas. - 0,5-2 x 4 x + 2y = -1 4x + 2y = 100 8x + 4y = 200-8 Solução: Existem infinitos pontos que satisfazem a ambas (pertencem as duas retas). SI: Duas retas paralelas. x + 3y = 4 x + 3y = 5 2.2 - Sistema Linear Homogêneo (SLH) Considera-se um SLH quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial. Exemplo: 2x - y + 3z = 0 4x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0 3
3 MATRIZES Sejam 1 m, n ℵ; chama-se matriz m x n (leia-se m por n) a uma tabela constituída por mn elementos, dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas (verticais). Seja A mxn e sejam i, j ℵ tais que: 1 i m e 1 j n; indica-se a ij o elemento de A que ocupa a linha i e a coluna j; A será indicada por: ou de forma mais sintética: A = (a ij ), com 1 i m e 1 j n. Usa-se sempre letras maiúsculas para denotar matrizes. 3.1 Tipos Especiais Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). Nestes casos, costuma-se dizer que a matriz é de ordem n. Matriz Nula: é aquela em que a ij = 0, para todo i e j. É denotada por O mxn. Matriz-Coluna (vetor): é aquela que possui uma única coluna (n = 1). Matriz-Linha: é aquela onde m = 1. Seja A nxn uma matriz quadrada de ordem n; os elementos a ij, para os quais i = j (a 11 ; a 22 ;...; a nn ), são ditos elementos da diagonal principal da matriz. Por outro lado, os elementos para os quais i + j = n + 1 (a 1n ; a 2 n-1 ;...; a n 1 ), formam a diagonal secundária da matriz. Diagonal Secundária a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Diagonal Principal Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = 0, para i j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Exemplo: Matriz Identidade ou Unidade: é uma matriz quadrada de ordem n em que a ii = 1 e a ij = 0, para i j. 4
Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e a ij = 0, para i > j. Ex. Matriz Triangular Inferior: é aquela em que m = n e a ij = 0, para i < j. Ex. Matriz Simétrica: é aquela onde m = n e a ij = a ji. Observe que isto equivale a dizer que a parte superior é uma reflexão axial da parte inferior, em relação à diagonal. Ex. 3.2 Operações 3.2.1 Adição A soma de duas matrizes m x n é a matriz que se obtém das matrizes dadas, somando-se os elementos de mesma posição. Para dizer que C é soma de A com B, indica-se com A + B. Obs.: Só definimos soma de matrizes quando elas têm entre si o mesmo número de linhas e também o mesmo número de colunas. Matriz Oposta: de A é a matriz que se obtém de A trocando-se o sinal de cada um dos seus elementos. Para dizer que B é oposta de A, indica-se com -A. Propriedades Comutativa: Dadas as matrizes A, B e C, todas m x n, tem-se: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + O mxn = O mxn + A = A Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O mxn 5
3.2.2 Subtração Sejam A e B duas matrizes m x n; chama-se Diferença entre A e B à soma de A com a oposta de B; a diferença entre A e B será indicada por A - B. Então, pela definição dada, tem-se A - B = A + (-B). 3.2.3 Multiplicação Produto do número real α por uma matriz: o produto do número real α pela matriz A é a matriz que se obtém de A multiplicando cada um dos seus elementos por α. Propriedades Sejam os números reais α e β e as matrizes A e B, ambas m x n. Considerar: α (β A) = (α β) A (α + β) A = α A + β A α (A + B) = α A + α B 1. A = A (-1) A = -A 0. A = O mxn α. O mxn = O mxn Produto entre duas matrizes: O produto entre a matriz A e a matriz B à matriz C = (c ij ), 1 i m e 1 j n tal que: C = a b + a b +... + a ij i1 1 j i2 2 j Só tem sentido definir-se o produto AB de duas matrizes quando o nº de colunas de A for igual ao nº de linhas de B; além disso, o produto AB possui o nº de linhas de A e o nº de colunas de B. ip b pj Esquematicamente tem-se: Ex. A. B = C mp pn mn Associativa: (AB)C = A(BC) Distributiva à Esquerda: C(A + B) = CA + CB Distributiva à Direita: (A + B)C = AC + BC Elemento Neutro: AI n = I m A = A (α A)B = A(α B) = α (AB) A. O nxp = O mxp e O pxm. A = O pxn Propriedades 6
Potência: Seja A uma matriz quadrada de ordem qualquer. Defini-se a n-ésima Potência de A do seguinte modo: A 1 = A A n = A. A n-1, onde n é um inteiro 2. 3.3 Determinantes Entende-se por determinante o número ou uma função, associado a uma matriz quadrada, calculado de acordo com regras específicas. 3.3.1- Determinante de uma matriz de ordem 1 O determinante de uma matriz A, de ordem 1, é o próprio número que origina a matriz. Por exemplo: A = ( 3 ), então det(a) = 3 3.3.2- Determinante de uma matriz Quadrada Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por: A c = DS a 11 a 12 a 21 a 22 DP Define-se o determinante de A - det(a), por det(a) = a 11 a 22 - a 21 a 12 Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por: Diagonal Principal - A c = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Diagonal Secundária + Define-se o determinante de A, como: det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 - a 11 a 32 a 23 - a 21 a 12 a 33 - a 31 a 22 a 13 3.3.3 Método de Sarrus (Somente para matriz quadra de ordem 3) Sarrus (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798-1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833. Dada a matriz A de ordem 3: A c = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 7
Repetem-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas. a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 A c = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Marcam-se as diagonais para direita (vermelho, verde e azul), fazendo-se o produto de cada elemento. Somam-se esses produtos. A c = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Marcam-se as diagonais para esquerda (lilás, laranja e marrom), fazendo-se o produto de cada elemento. Subtraem-se esses produtos dos produtos somados no passo anterior. det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 3.3.4 Para matriz com ordem igual ou superior a quatro Para calcular-se o determinante de matrizes com ordem igual ou superior a quatro, pode-se reduzir a sua ordem, utilizando-se o seguinte procedimento: Dada a matriz quadrada a seguir, A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a 31 a 32... a 3n......... a m1 a m2... a mn O cálculo do determinante de A é baseado nos números complementares dos elementos a 11, a 12,..., a 1n da matriz A. Para se calcular estes números complementares, deve-se eliminar a linha e a coluna a que o número em questão pertence. Deste modo, para calcular o complementar de a 11, deve-se eliminar a 1ª linha e a 1ª coluna da matriz A. Já para encontrar o complementar de a 13, deve-se eliminar a 1ª linha e a 3ª coluna da matriz A. Por exemplo: Dada a matriz A a seguir, Calcula-se o det(a) da seguinte forma: 8
1.0-0.12-3.(-12) - 2.(-8) = 0-0 + 36 + 16 = 52 Algumas Propriedades (IMPORTANTE!) 1) Somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 2) O determinante de uma matriz que tem todos os elementos de uma linha ou coluna iguais a zero, é nulo. 3) O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. 4) Multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma linha ou coluna por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. 5) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplos: 1) Qual o determinante associado à matriz? (Item 3) Observa-se que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Sendo assim, o determinante da matriz dada é NULO. 2) Calcular o determinante: (Item 2) Observa-se que a 2ª coluna é composta por zeros. Logo, o determinante é NULO. 9
3) Calcule o determinante: (Item 5) Pela propriedade que caracteriza a matriz triangular tem-se D = 2 x 5 x 9 = 90 4 RESOLUÇÃO DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Existem vários métodos equivalentes para resolução de sistemas de equações lineares: 4.1-Método da Substituição O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo-se a igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada. Sistemas com duas equações Um sistema com duas equações lineares pode ser representado por: Onde x e y são as incógnitas da equação. y = ax + b y = cx + d Para encontrá-las, por substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus polinômios correspondentes, ou seja: cx + d = ax + b > cx ax = b d > x (c a) = b d > x = (b d) / (c a) y = c [(b d) / (c a)] + d > y = [(cb cd) / (c a)] + d > y = [(cb cd) + (dc da)] / (c a) > y = (cb da) / (c a) 4.2-Método da Soma É uma forma simplificada do método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulam. As mesmas equações lineares são utilizadas neste método: y = ax + b y = cx + d y y = ax cx + b d > cx ax = b d > x = (b d) / (c a) Para se determinar Y deve-se substituir X em uma das equações do sistema. Y = a [(b d) / (c a)] + b > Y = [(ab ad) / (c a)] + b > Y = [(ab ad) + (bc ba)] / (c a) > 10
Y = ( ad + bc) / (c a) 4.3 - Regra de Cramer Gabriel Cramer (nascido em Genebra, 31 de Julho de 1704, falecido em Bagnols, França, 4 de Janeiro de 1752) foi um matemático suíço, professor de Matemática e de Filosofia da Universidade de Genebra e membro da Academia de Berlim e da London Royal Society. Dedicou-se especial atenção à teoria das curvas. Seguindo-se um exemplo numérico de um sistema de equações lineares, x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 pela regra de Cramer, determinam-se os seguintes determinantes: 1) Matriz dos coeficientes (A): Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema (a nm ), onde n é a linha em que o elemento pertence e m a coluna. 1 3 2 A = 2 1 1 = 24 4 3 5 2) Matriz da incógnita x (Ax): É a matriz obtida ao substituir-se a coluna da incógnita x pelos termos independentes. 3 3 2 Ax = 12 1 1 = 120 6 3 5 3) Matriz da incógnita y (Ay): É a matriz obtida ao substituir-se a coluna da incógnita y pelos termos independentes. 1 3 2 Ay = 2 12 1 = 48 4 6 5 4) Matriz da incógnita z (Az): É a matriz obtida ao substituir-se a coluna da incógnita z pelos termos independentes. 1 3 3 Az = 2 1 12 = 96 4 3 6 Considerando-se que o determinante - det(a) é diferente de zero, é possível obter os valores de x, y, e z pela seguinte expressão: det( A j ) J = det( A) 11
Exemplo: Dado o seguinte sistema de equações lineares: 2x + y - z = 4 x - y + 3z = -1 3x - 5y + 7z = -7 Dada a matriz principal (M p ) que é formada pelos coeficientes das incógnitas das equações lineares: Calcula-se o seu determinante: det (M p ) = 20. Os determinantes das incógnitas são calculados baseando-se na matriz M p quando substituída a coluna de uma das incógnitas pela coluna dos termos independentes, formando-se as matrizes M x, M y e M z, das quais também se devem calcular os determinantes: det (M x ) = 20; det (M y ) = 40 e det (M z ) = 0 Com isso, pode-se chegar aos valores de das incógnitas x, y, z: 5 SISTEMA DE INEQUAÇÕES LINEARES 5.1- Inequações Uma inequação é uma condição onde os dois membros são comparados por um sinal de desigualdade. Esses sinais são: < menor > maior < menor ou igual > maior ou igual Salientam-se os seguintes princípios de equivalência: 12
Exemplos: Multiplicando-se os membros de uma inequação por um número positivo, obtém-se uma inequação equivalente. Multiplicando-se os membros de uma inequação por um número negativo, obtém-se uma inequação equivalente desde que se lhe mude o sentido. Somando-se ou subtraindo-se um número em ambos os membros, obtém-se uma inequação equivalente. A) Resolva a inequação a seguir: Passo 1 2x + 2 < 14 Passo 2 2x < 14-2 Passo 3 2x < 12 Passo 4 x < 6 O conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6, ou seja, S = {1, 2, 3, 4, 5}. B) Para determinar todos os números inteiros positivos considerando-se as duas desigualdades segundo a expressão: 12 < 2x + 2 < 20, faz-se: Passo 1 12 < 2x + 2 < 20 Equação original Passo 2 12-2 < 2x + 2-2 < 20-2 Subtraímos 2 de todos os membros Passo 3 10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros Passo 4 5 < x < 9 Solução O conjunto solução é S = {6, 7, 8} No caso onde existam duas variáveis pode-se resolver a equação pelo artifício gráfico. Exemplos: A) 2x + 3y 0. Inicialmente faz-se 2x + 3y = 0 para traçar-se a reta (em vermelho). Para se obter a área (em amarelo) que representa a inequação verifica-se, por exemplo, se um ponto qualquer, neste caso (1,1), pertence a área. 2.1 + 3.1 0... 5 0 É verdadeiro, então o ponto 1,1 está contido na área da inequação. 13
B) Para um sistema de inequações dado por: 2x + 3y > 6 5x + 2y 20 Chega-se a seguinte solução gráfica: Sistema 2x + 3y > 6 2x + 3y = 6 5x + 2y = 20 5x + 2y 20 14