Curso de Álgebra Linear

Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição 25 de Outubro de 2012 Marco Cabral PhD Indiana University, EUA Paulo Goldfeld PhD Courant Institute, EUA Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática UFRJ Rio de Janeiro Brasil

1 Exercícios Cópias são autorizadas. Licença Creative Commons Atribuição (BY) Uso Não-Comercial (NC) Compartilhamento pela mesma Licença (SA) 3.0 Unported. Consulte labma.ufrj. br/~mcabral/livros 1 Introdução à Álgebra Linear 1.1 Exercícios de Fixação Fix 1.1: Determine quais dos vetores abaixo são múltiplos de (ou paralelos a) (2, 6, 4) R 3 : (a) (4, 12, 8); (b) (3, 9, 6); (c) (0, 0, 0); (d) ( 1, 3, 2).

1.1: Somente (b), (c) e (d).

3 Fix 1.2: Quando representamos vetores como setinhas: (a) dois vetores iguais são necessariamente (coincidentes, paralelos); (b) fazendo produto por k > 1 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor) tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto). (c) fazendo produto por k = 1 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor) tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto). (d) fazendo produto por k < 1 obtemos vetor com (mesmo, maior, menor) tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto). (e) fazendo produto por k, com 1 < k < 0, obtemos vetor com (mesmo, maior, menor) tamanho e com (mesmo sentido, sentido oposto).

1.2: (a) paralelos; (b) maior tamanho e mesmo sentido; (c) mesmo tamanho e sentido oposto; (d) maior tamanho e sentido oposto; (e) menor tamanho e sentido oposto;

5 Fix 1.3: Determine se é ponto, reta ou plano o conjunto representado pela(s) equação(ões): (a) x = 4 em R 2 ; (b) x = 1 em R; (c) y = 3 em R 3 ; (d) x + y = 2 em R 2 ; (e){ x y = 1 em R 3 ; x = 5 (f) y = 2 em R2 ; { x = 5 (g) em R y = 2 3 ; { x y = 5 (h) y = 2 em R3 ;

1.3: (a) reta; (b) ponto; (c) plano; (d) reta; (e) plano; (f) ponto; (g) reta; (h) reta.

Fix 1.4: A a interseção da reta 3y 2x = 5 com o (a) eixo x é ; (b) eixo y é ; 7

1.4: (a) ( 5/2, 0). (b) (0, 5/3).

Fix 1.5: A parametrização da reta (a) x = 3 é ; (b) y = 1 é. 9

1.5: (a) x = 3, y = t para t R. (b) x = t, y = 1 para t R.

Fix 1.6: Determine se é combinação linear de (2, 0) e (0, 2): (a) (0, 0); (b) (1, 0); (c) (4, 6). 11

1.6: Todos são CLs. (a) (0, 0) = 0(2, 0) + 0(0, 2). (b) (1, 0) = 1 (2, 0) + 0(0, 2). 2 (c) (4, 6) = 2(2, 0) + 3(0, 2).

13 { Fix 1.7: Complete lacunas. Resolver o sistema 2x + 3y = 5 equivale a determinar se: x y = 2 (a) existem x, y R tais que x(, ) + y(, ) = (, ) (CL); (b) (, ) (, ), (, ) (espaço gerado).

1.7: (a) x(2, 1) + y(3, 1) = (5, 2). (b) (5, 2) (2, 1), (3, 1).

Fix 1.8: Considere a correspondência existente entre resolver um sistema linear e existência de combinação linear. Considere as opções: (1) existe pelo menos duas combinações lineares, (2) existe somente uma combinação linear, (3) não existe combinação linear. Corresponde a um sistema: (a) sem solução: ; (b) com infinitas soluções: ; (c) com solução única:. 15

1.8: (a) (3); (b) (1); (c) (2).

17 Fix 1.9: Associe a cada sistema abaixo (uma letra) o problema correspondente (um número): x + y = 1 (a) x + 2y = 2 ; { x + y = 3 x + 2y + 3z = 1 (b) ; x + 2y z = 2 x + 2y + 3z = 1 (c) x + y z = 2 ; { x y z = 3 x + 2y = 1 (d). x + 3y = 2 (1) (1, 2) (1, 1), (2, 3)?; (2) (1, 2) (1, 1), (2, 2), (3, 1)?; (3) (1, 2, 3) (1, 1, 1), (1, 2, 1)?; (4) (1, 2, 3) (1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1)?.

1.9: (a) (3); (b) (2); (c) (4); (d) (1).

Fix 1.10: Determine se é ponto, reta ou plano: (a) (1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 0) + (2, 1, 2, 2); (b) (1, 2, 0, 0), (0, 1, 0, 0) + (0, 0, 0, 0); (c) (1, 1, 1, 1) + (0, 0, 0, 0); (d) (0, 0, 0, 0) + (1, 1, 1, 1); 19

1.10: (a) reta; (b) plano; (c) reta; (d) ponto;

Fix 1.11: Se u é combinação linear de v e w, então necessariamente u pertence: (a) à reta gerada por w? (b) ao plano gerado por v e w? 21

1.11: (a) não; (b) sim.

Fix 1.12: Seja S um conjunto com 5 vetores em R n. Determine se é verdadeiro ou falso: (a) se n = 3, então S é sempre LD; (b) se n = 4, então S sempre gera R 4. 23

1.12: (a) V; (b) F;

Fix 1.13: O número mínimo de equações cartesianas para determinar um(a): (a) reta em R 3 é ; (b) reta em R 4 é ; (c) plano em R 3 é ; (d) plano em R 4 é. 25

1.13: (a) 2. (b) 3. (c) 1. (d) 2.

27 1.2 Problemas Prob 1.14: Determine, se for possível, k R tal que w = (1, 0, 2) + k( 1, 2, 0) seja um múltiplo (isto é, seja paralelo) a (a) u = ( 1, 3, 1); (b) v = ( 1, 3, 2).

1.14: (a) Queremos que w = tu. Portanto, (1, 0, 2) + k( 1, 2, 0) = t( 1, 3, 1). Assim queremos que (1 k, 2k, 2) = ( t, 3t, t). Logo precisamos resolver o 1 k = t sistema 2k = 3t. Logo t = 2 (última equação), k = 3 (2a equação), e 2 = t verificar que satisfazem 1a equação (1 3 = 2!). Logo k = 3. 1 k = t (b) De forma análoga precisamos resolver o sistema 2k = 3t. Logo 2 = 2t t = 1 (última equação), k = 3/2 (2a equação), e verificar que não satisfazem 1a equação (1 3/2 1!). Assim é impossível e não existe k.

Prob 1.15: Determine parametrização para as retas (em R 2 ): (a) y 2x = 5; (b) y = 1. 29

1.15: (a) (x, y) = (t, 2t + 5) = (0, 5) + t(1, 2) ou (x, y) = ((s 5)/2, s) = ( 5/2, 0) + s(1/2, 1); (b) (x, y) = (t, 1) = (0, 1) + t(1, 0);

31 Prob 1.16: Determine equações cartesianas para as retas (em R 2 ): { x = 2t 1 (a) ; { y = t x = 5t 1 (b) ; { y = 2t x = t (c) y = 3 ; { x = 0 (d). y = t

1.16: (a) {x + 2y + 1 = 0} (b) {5y 2x = 2} (c) {y = 3} (d) {x = 0}

33 Prob { 1.17: Determine parametrização para as retas (em R 3 ): z x = 1 (a) x + y + z = 0 ; { x + y = 1 (b) x y = 1 ; { x = y (c) z = 0.

1.17: (a) x = t 1, y = 2t + 1, z = t; (b) x = 1, y = 0, z = t; (c) x = t, y = t, z = 0;

Prob 1.18: Determine parametrização para a reta (em R 3 ): (a) que contém os pontos (2, 3, 1) e (1, 2, 1); (b) que contém o ponto ( 1, 2, 1) e é paralela ao vetor (0, 0, 1); (c) que pertence ao plano x y = z 1 e ao plano 3x y + 1 = z. 35

1.18: (a) x = 2 t, y = 3 + 5t, z = 1 + 2t; (b) x = 1, y = 2, z = t; (c) x = 0, y = 1 t, z = t;

37 Prob 1.19: Determine equações cartesianas para as retas (em R 3 ): x = 2t 1 (a) y = t ; z = 3t + 2 x = 2 (b) y = 3 ; (c) (d) z = t x = 5t 1 y = 6t + 2 z = t 1 x = t y = t z = 0. ;

1.19: (a) {x + 2y + 1 = 0; z + 3y = 2} (b) {x = 2; y = 3} (c) {x = 5z 6; y = 6z 4} (d) {x = y; z = 0}

Prob 1.20: Determine parametrização para os planos (em R 3 ): (a) x + y z = 2; (b) y z = 0. 39

1.20: (a) Tome s = z, t = y, x = y + z + 2 = t + s + 2. Logo, (x, y, z) = (2, 0, 0) + s(1, 0, 1) + t( 1, 1, 0); (b) x = t, y = s, z = y = s. Logo, (x, y, z) = 0 + t(1, 0, 0) + s(0, 1, 1).

41 Prob 1.21: Determine equações cartesianas para os planos (em R 3 ): x = s + t (a) y = s t ; z = 4s 2t 2 x = t (b) y = 1 ; (c) (d) z = s x = 2s + 2 y = t s z = 4s 2t + 1 x = t y = t z = s. ;

1.21: (a) z = x + 3y 2; (b) y = 1; (c) z = x 1 2y; (d) x = t;

Prob 1.22: Considere a reta r = (1, 2, 1) + (1, 0, 1), o plano Π 1 = (2, 0, 0) + (2, 0, 2), (1, 0, 0), o plano Π 2 = { (x, y, z) R 3 x + z = 0 }. Determine: (a) r Π 1 ; (b) r Π 2 ; (c) Π 1 Π 2. 43

1.22: (a) Queremos determinar s, t, u R tais que (1, 2, 1) + s(1, 0, 1) = (2, 0, 0) + t(2, 0, 2) + u(1, 0, 0). Vamos obter o sistema 1 + s = 2 + 2t + u 2 = 0, que não possui solução (2 = 0!). Logo a interseção é 1 + s = 2t vazia. (b) Como r(t) = (1, 2, 1) + t(1, 0, 1) = (1 + t, 2, 1 + t), e x + z = 0, 1 + t + 1 + t = 0 = 2 + 2t. Logo t = 1 e o ponto de intereção é r( 1) = (1, 2, 1) + ( 1)(1, 0, 1) = (0, 2, 0). (c) Como Π 1 (s, t) = (2, 0, 0) + s(2, 0, 2) + t(1, 0, 0) = (2 + 2s + t, 0, 2s) e x + z = 0, 2 + 2s + t + 2s = 0 = 4s + t + 2, fixado s R, t = 2 4s. Logo a interseção é a reta (2, 0, 0) + s(2, 0, 2) + ( 2 4s)(1, 0, 0) = (2 + 2s 2 4s, 0, 2s) = ( 2s, 0, 2s) = s( 2, 0, 2). Pode escrever como ( 2, 0, 2).

45 Prob 1.23: Determine parametrização para o plano (em R 3 ) que contém o(s) ponto(s): (a) (1, 0, 1), (0, 1, 1) e ( 1, 0, 0). (b) (3, 0, 1) e é simultaneamente paralelo aos vetores (2, 1, 1) e (0, 1, 1). (c) (1, 3, 2) e ( 1, 2, 1) e é paralelo ao vetor (1, 1, 1). x = t + 1 (d) ( 3, 1, 0) e a reta parametrizada por y = 1 t. z = t 1

1.23: (a) (1, 0, 1) + t( 1, 1, 0) + s( 2, 0, 1); (b) (1, 3, 2) + t( 2, 1, 1) + s(1, 1, 1); (c) ( 3, 1, 0) + t(4, 0, 1) + s(1, 1, 1);

Prob 1.24: Considere a reta r = (1, 2, 0, 0) + t(0, 1/2, 1, 1) R 3. Determine: (a) três pontos distintos de r; (b) se (1, 4, 4, 4) r; (c) se (1, 4, 3, 2) r; (d) se r = (1, 4, 3, 2) + s(0, 1/2, 1, 1); (e) se r = (1, 4, 4, 4) + s(0, 2, 4, 4). 47

1.24: (a) tome t = 0, 1 e 1 por exemplo e obtenha (1, 2, 0, 0), (1, 5/2, 1, 1), (1, 3/2, 1, 1); (b) sim (t = 4); (c) não; (d) não pois (1, 4, 3, 2) r; (e) sim pois (1, 4, 4, 4) r (t = 4) e (0, 2, 4, 4) é paralelo a (0, 1/2, 1, 1).

Prob 1.25: Considere plano Π = (1, 1, 2, 0) + t( 1, 2, 1, 2) + s(1, 1, 1, 1) R 4. Determine: (a) quatro pontos distintos de Π; (b) se (2, 5, 3, 4) Π; (c) se (1, 1, 3, 3) Π; (d) se Π = (1, 1, 3, 3) + ( 1, 2, 1, 2), (1, 1, 1, 1) ; (e) interseção com eixo y; (f) interseção com plano (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1). 49

1.25: (a) Coloque s = 0, 1 e t = 0, 1 alternadamente, obtendo 4 pontos: (1, 1, 2, 0), (0, 3, 1, 2), (2, 2, 3, 1) e (1, 4, 2, 3); (b) sim com t = 1, s = 2; (c) não; (d) não pois (1, 1, 3, 3) Π. (e) Queremos x = z = w = 0. Assim (porque?) 1 t + s = 2 t + s = 2t + s = 0. Como o sistema não possui solução, a interseção com o eixo y é vazia. (f) Agora usando parâmetros u, v, x = u, y = 0, z = 0, w = v. Assim devemos resolver o sistema (4 variáveis e 4 equações): 1 t + s = u 1 + 2t + s = 0 2 t + s = 0 2t + s = v. A solução única é: s = 5/3, t = 1/3, u = 1, v = 1. Assim a interseção é o ponto (u, 0, 0, v) = ( 1, 0, 0, 1). A interseção de dois planos em R 4 pode ser um ponto.

Prob 1.26: Determine uma parametrização para: (a) { (x, y, z, w) R 4 x y + 3z 2w = 4 } ; (b) { (x, y, z, w, u) R 5 z 3u = 5 }. (c) { (x, y, z, w) R 4 x + 2z = 0, y w = 0 } ; 51

1.26: (a) (x, y, z, w) = (s 3t + 2u + 4, s, t, u) = (4, 0, 0, 0) + s(1, 1, 0, 0) + t( 3, 0, 1, 0) + u(2, 0, 0, 1); (b) note que x, y, w podem assumir qualquer valor. Logo colocando x = t, y = s, w = k e u = m, temos que z = 3u + 5 = 3m + 5. Portanto (x, y, z, w, u) = (t, s, 3m + 5, k, m). Na forma fatorada, (x, y, z, w, u) = (0, 0, 5, 0, 0) + t(1, 0, 0, 0, 0) + s(0, 1, 0, 0, 0)+ m(0, 0, 3, 0, 1) + k(0, 0, 0, 1, 0). (c) (x, y, z, w) = t( 2, 0, 1, 0) + s(0, 1, 0, 1).

Prob 1.27: Determine por inspeção se é LI: (a) {(1, 2, 2, 3), (2, 4, 4, 5)}; (b) {( 1, 2, 1, 3), (3, 6, 3, 9}; (c) {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}; (d) {(1, 2, 3, 4, 5), (0, 0, 0, 0, 0), (5, 4, 3, 2, 1)}. 53

1.27: (a) sim pois um não é múltiplo do outro; (b) não pois 3( 1, 2, 1, 3) = (3, 6, 3, 9); (c) não pois, embora nenhum seja múltiplo de outro, (1, 2) + (2, 1) = (3, 3); (d) não pois (0, 0, 0, 0, 0) = 0(1, 2, 3, 4, 5).

Prob 1.28: Determine se: (a) (1, 2, 3, 5) (1, 2, 3, 4) ; (b) ( 1, 0, 0) (2, 1, 1), (3, 1, 1) ; (c) ( 1, 0, 2) (2, 1, 1), (3, 1, 1) ; (d) R 3 = (0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 1) ; (e) (2, 1, 2) = (2, 1, 2). 55

1.28: (a) não pois não é múltiplo; (b) sim pois ( 1, 0, 0) = (2, 1, 1) (3, 1, 1); (c) não pois vai aparecer um sistema sem solução; (d) sim pois (a, b, c) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 0) + (c a)(0, 0, 1); (e) não pois (2, 1, 2) não é múltiplo de (2, 1, 2).

57 1.3 Extras Ext 1.29: Seja S um conjunto com 5 vetores em R n. Determine se é verdadeiro ou falso: (a) se n = 7, então S é sempre LI; (b) se n = 3, então S pode gerar o R 3 ;

1.29: (a) F; (b) V;

59 Ext 1.30: Determine parametrização para os conjuntos: (a) { x = 3 em R 2 ; 2x 3y + 5z = 1 (b) x + y = 1 em R3 ; (c) x 2y = 1 em R 3 ; (d) 3x 2z 5 = 0 em R 3 ;

1.30: (a) (x, y) = (3, t) = (3, 0) + t(0, 1) ou (x, y) = (3, 2s) = (3, 0) + s(0, 2). (b) x = t + 1, y = t, z = t 1/5; (c) y = t, z = s, x = 1 + 2y = 1 + 2t. Logo (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 2, 0) + s(0, 0, 1); (d) x = t, y = s, z = (3t 5)/2;

Ext 1.31: Determine se é ponto, reta ou plano: (a) (1, 2, 1, 2, 1) + (0, 0, 0, 0, 0), ( 1, 2, 1, 2, 1)) ; (b) (1, 2, 1, 1) + (1, 2, 1, 3), (1, 2, 1, 4)) ; (c) (1, 2, 1, 1) + (1, 1, 1, 1), (0, 2, 0, 2), (1, 3, 1, 3)) ; (d) (2, 0, 2, 0) + (1, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 0) ; (e) (0, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 0)) ; (f) v + u, u, 3u com u 0. 61

1.31: (a) reta; (b) plano; (c) plano; (d) plano; (e) ponto; (f) reta.

Ext 1.32: Escreve o sistema linear (não resolva o sistema) que deve ser resolvido para determinar se (1, 2, 1, 0) é combinação linear de ( 1, 2, 3, 1) e (2, 2, 1, 3). 63

x + 2y = 1 2x + 2y = 2 1.32: 3x y = 1 x + 3y = 0.

65 1.4 Desafios Des 1.33: Um truque de mágica bem conhecido é a fuga de uma caixa completamente fechada. Vamos ver como isto é possível em R 4. No plano é impossível fugir de dentro de um quadrado sem atravessar uma das arestas. No entanto, em R 3, podemos fugir do quadrado subindo (na direção perpendicular ao quadrado); andando paralelamente ao quadrado para fora dele; e descendo(na direção perpendicular ao quadrado) retornando ao plano que contém o quadrado mas no lado de fora dele. Desta forma saímos de dentro do quadrado sem atravessar nenhuma das arestas. Utilizando esta ideia, considere o cubo C R 4 definido por C = {(x, y, z, 0) R 4 ; x 1, y 1, z 1}. (a) Faça definição análoga em R 3 do quadrado e esboce o conjunto. (b) Descreva a parametrização de uma curva que comece em (0, 0, 0, 0) C e termine fora de C.

1.33: Estas ideias estão descritas num romance clássico da era vitoriana da Inglaterra do século XIX: Flatland ; Edwin A. Abbott; Dover Pub. (a) C R 3 definido por C = {(x, y, 0) R 3 ; x 1, y 1}, um quadrado no plano xy em R 3. (b) Defina c(t) = t(0, 0, 0, 1) para t [0, 1] que sairemos do cubo numa direção perpendicular. Depois c(t) = (0, 0, 0, 1) + (t 1)(2, 0, 0, 0) para t [1, 2] e c(t) = (2, 0, 0, 1) + (t 2)(0, 0, 0, 1) para t [2, 3] que terminaremos em (2, 0, 0, 0, 0), fora do cubo.