MATEMÁTICA - 7// GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Notções N = {...} C: cojuto dos úmeos R: cojuto dos úmeos es I: Udde mgá: = - [ b] = { R; b} : Módulo do úmeo C [ b[ = { R; b} : Cojugdo do úmeo C ] b[ = { R; b} M m(r): Cojuto ds mtes es m A\B = {; A e B} Det A: Detemte d mt A k... kk N A t : Tspot d mt A k k... k k N P(A): cojuto de todos os subcojutos do cojuto A (A): úmeo de elemetos do cojuto fto A Ag : gumeto pcpl de C\{} Ag [] f o g: fução compost ds fuções f e g f g: poduto ds fuções f e g A - : Ives d mt vesível A Obsevção: Os sstems de coodeds cosdedos são ctesos etgules.. Cosdee s fmções bo eltvs cojutos A B e C qusque: I. A egção de A B é : A ou B. II. A B C A B A C. III. A \ B B \ A A B \ A B. Sejm f() = l ( Domío de f: ) g() = e h(). Dests é (são) fls (s) ) pes I. b) pes II. c) pes III d) pes I e III. e) ehum. Logo: A B ] [. Domío de g: - +. A B C são cojutos qusque. I. (Vedde) Se A B etão A e B. Logo egção de A B é A ou B. II. (Vedde) A B C A e B C A e B ou C A e B A e C A Bou A C A B A C Logo A B C A B A C III. (Vedde) A \ B B \ A ALTERNATIVA: E ou A \ Bou B \ A A e Bou B e A A ou Be A ou B A B\ A B Logo A \ B B \ A A B \ A B X R; Logo: A C = [] Domío de h: X R; < Logo: B C = [ [ + Note que [] C e [ [ C e o eucdo temos C (A B). Logo: C (A B) C. Po outo ldo (A B) C.. Cosdee cojutos AB R e C A B. Se A BA C e B C são os domíos ds fuções es defds I e po espectvmete pode- se fm que ) C ] [. b) C [ ]. c) C [ [. d) C [ ]. e) C ão é tevlo Logo: C= (A B) C = (A C) (B C) C= [] [ [ = [[ ALTERNATIVA C
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA). Se é um solução d equção em C - + = - ( pode-se fm que ) ( - ) < b) ( - ) > c) []. d) [7]. e). Z ) Solução Sej = +b temos + = A equção ( ) pode se esct d segute fom: ( + b) +( b) + () = b + ª b + = ( + b) +( b ) = Usdo guldde de úmeos compleos obtemos: b b b C é solução d equção - + = - ( Res: Obseve que ( ) ) ( ) Temos que ( ) ( Assm pode se esct d segute me. Z - + = ( ) ) Assm: ( + ) = = = + + = = ; ssm Se Se ou temos que b temos que b Potto s íes d equção são dds po: 7 Deste modo o gumeto de ; g( ) = e o gumeto de 7 ; g( ) = ; tg Logo g( ) e ALT ERNATIVA C 7 Logo Z - + = Tomdo Z = + b temos que equção Z - + = Pode se esct d segute me b + + b = Usdo guldde de compleos obtemos + b = b = b = Deste modo = = = Assm s soluções d equção são dds po: Z = ou Z = - Assm Z ALTERNATIVA E. Os gumetos pcps ds soluções d equção em ( ) petecem ) 7 d) U b) 7 e) U c). Cosdee pogessão tmétc (... ) de ão d. Se d e etão d é gul ) b) c) d) e) P.A.(... ) =d Se d ( ) d ( ) (I). ( + d) = + d (II). ( + d) = (II) (I) = d = - d + d = - d + d ( + ) = 7 d = (-7) = ALTERNATIVA: D
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA). Sejm f g:r R ts que f é p e g é ímp. Ds segutes fmções: I. f g é ímp II. f o g é p III. g o f é ímp é (são) vedde(s) ) pes I b) pes II c) pes III d) pes I e II e) tods f : R R é p ou sej f(-) = f() g : R R é ímp ou sej g(-) = - g() Assm: I. (vedde) (f g)(-) = f(-) g(-) = f() [-g()] = - f() g() = - (f g) () f g é ímp II. (vedde) f o g (-) = f(g(-)) = f(-g()) = f(g()) = f o g() f o g é p. III. (fls) g o f(-) = g(f(-)) = g (f()) = g o f() g o f é p ALTERNATIVA D 7. A equção em ctg (e e + ) ccotg R \ {} e ) dmte fts soluções tods postvs. b) dmte um úc solução e est é postv. c) dmte tês soluções que se ecotm o tevlo. d) dmte pes soluções egtvs. e) ão dmte solução. Sejm = ctg (e e + ) e β = ccotg : e Deste modo tg = e + e cotg β = e sto é e Tg = e + e tgβ = e ; com e Deste modo temos - β =. ssm Tg ( - β) = tg - tgβ = + tg tgβ Logo (e + ) - e = + (e + ) e e e e + e e + = e + e - e + e e + = e + e e + e e = Tomdo t = e t + t t = e β. Po t to t t t Potto possu s íes o tevlo. Potto p t = - e = - ; ão cotém. p t e = ; > (solução) ALTERNATIVA B p t e = ; ão cotém.. Sbe-se que o polômo p() = + - R dmte. Cosdee s segutes fmções sobe s íes de p: I. Quto ds íes são mgás pus. II. Um ds íes tem multplcdde dos. III. Apes um ds íes é el. Dests é(são) vedde(s) pes ) I b) II c) III d) I e III e) II e III p() = + R como - é de p() e R é de p(). Segue que: ( ) ( ) ( ).. Adcodo s equções temos: - = = - Assm: p() = + - que ftodo Temos p() = ( +) ( + ) p() = ( +) ( ) ( + + ) Potto s íes de p() são: - (I) Fls Apes dus íes são mgás pus (II) Fls p() ão possu íes múltpls. (III) Vedde é úc el. ALTERNATIVA C
. Um polômo el p() com = tem tês íes es dstts b e c que stsfem o sstem b c b c b c Sbedo que mo ds íes é smples e s dems têm multplcdde dos pode-se fm que p() é gul ) - b) - c) d) e) Resolvedo o sstem () () b + C = - () () b + c = 7 c = 7 b b + b = - b = b = / c = - = GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) p() = ( ) ( /) ( + ) p() = (-) (/) () = - ALTERNATIVA A. Cosdee o polômo () p com coefcetes = = + - =.... Ds fmções: I. p(-) R II. p() ( ) [ ] III. = É(são) vedde(s) pes ) I b) II c) III d) I e II e) II e III Esboço do gáfco de Assm: p() ( VERDADEIRA III VERDADEIRA pos ALTERNATIVA E ) k k. A epessão ( ) ( ) é gul ) b) c) 7 d) e) () p ; Obsevmos clmete que I p(-) = ( ). IR FALSA II - p() ( ) [-] Pel peodcdde dos coefcetes Sej: q() q() ( ) ( ) [ ] p() q(). q() k k ( ) ( ) Sej e b Logo: ( + b) ( b) = ( b) bº b b b b º b b b b b b Logo ( b) = b + b b +b b Etão: ( + b) ( b) = b + b + b Como e b Temos : Ms q() ( ) ( ) ALTERNATIVA B ( ) ( ). Pos: f() [-]. Um plco possu efletoes de lumção. Num ceto stte de um espetáculo modeo os efletoes são codos letomete de modo que p cd um dos efletoes sej de pobbldde de se ceso. Etão pobbldde de que este stte ou efletoes sejm cesos smultemete é gul ) 7 b) c) 7 d) 7 e)
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Pobbldde Boml Como pobbldde de cd efleto se ceso é etão pobbldde de cd efleto ão se ceso é. Pobbldde de efletoes cesos: P 7 Sbe-se que ( ) e ( ) são dus pogessões geométcs de ão e e de som e espectvmete. Etão det (A - ) e o elemeto (A - ) vlem espectvmete ) e b) e c) e 7 7 7 e e d) 7 e) 7 ( ) = ( 7 ) Pobbldde de efletoes cesos: P 7 ou P P P 7 7 P 7 7 7 7 Do eucdo temos: + + + 7 = = = Logo: ( ) = ( ) ALTERNATIVA A. Cosdee mt A MX(R) Em que = det A = - e e fomm est odem um pogessão tmétc de ão d >. Pode-se fm que é gul d ) - b) - c) - d) - e) A Como A é um mt tgul e det A = - temos. Po outo ldo logo. d d (I ) d II Substtudo I e II temos: d d d d d d Cujs íes são Substtudo d em I temos: Logo: d ALTERNATIVA D d e d' ão covém. Sobe os elemetos d mt A R ( ) = ( ) Do eucdo temos: + + + = = = Logo: ( ) = ( ) A Usdo o teoem de Lplce ª lh temos: det(a) = (-) + (-) + det(a) = -( - ) det(a) = - 7 Segue que: det(a) det(a - ) = - 7 det(a - ) = det(a - ) = - 7 - det(a ) = cof (A) o qul cof (A) é cofto do det(a) elemeto d ª lh e ª. colu d mt A. Dí: det(a - ) - det(a ) = = - 7 7 - det(a ) = ( ) ALTERNATIVA D. O vlo d som se se gul ) cos cos 7 b) se se 7 c) cos cos 7 d) cos cos 7 e) cos cos 7 p todo R é
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Sej S k k se se Nosso teesse é obte S Obsevmos clmete que se A se B = - cos(a + B) + cos(a B) Assm temos S cos cos k k k Obsevmos que tl som é telescopc Assm S cos cos() Como os teess pes S temos: S cos cos() 7 ALTERNATIVA A. Se os úmeos es e com mmm som se + se etão é gul ) e R com Res: b) c) ; d) 7 e) ( ) ( ) Tâgulo PO T semelhte PO T O P O P OP OP OP O P O P OP OP OP T PT PT PT T T ALTERNATIVA A OP T PT PT PT. Um cldo eto de ltu cm está scto um tetedo egul e tem su bse em um ds fces do tetedo. Se s ests do tetedo medem cm o volume do cldo em cm é gul ) b) c) d) e) Etão se se se se se cos se se se cos Etão se se cos O vlo mámo de se + se é tgdo qudo cos k k Logo p k = temos que ALTERNATIVA B cos 7. Cosdee s ccufeêcs C : ( ) + ( ) = e C : ( ) + ( ) =. Sej um et tgete te C e C sto é tgec C e C e tecept o segmeto de et O O defdo pelos cetos O de C e O de C. Os potos de tgêc defem um segmeto sobe que mede ) b) c) d) e) O topo do cldo tgec s ests. A tesecção do plo que cotem o topo do cldo com o tetedo fomm o tgulo eqüláteo de ldo l. Altu do tetedo H H Semelhç de tâgulos e ão ds ltus H hcldo H / Topo do cldo: Como tâgulo é eqüláteo O é o bceto. h
h GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) V cl = h cldo = ALTERNATIVA D. Um tâgulo equláteo tem os vétces os potos A B e C do plo O sedo B = () e C = (). Ds segutes fmções: I. A se ecot sobe et II. A está tesecção d et com ccufeêc ( ) + ( ) = III. A petece às ccufeêcs ( ) + ( - ) = e 7 7 ( ) é (são) vedde(s) pes ) I b) II c) III d) I e II e) II e III A medt de BC (et s) é et que cotém BC M = M s = 7 M é médo BC M 7 b b = A está et BC B I. Icoet II. Coet Poto A dest do poto B ou sej está ccufeêc cetd em B com o. III. Coet Altu do tâgulo é Poto dst ccufeêc cetd em M com o do poto M (médo de BC) ou sej está. Sejm A B C e D os vétces de um tetedo egul cujs ests medem cm. Se M é o poto médo do segmeto AB e N é o poto médo de do segmeto CD etão áe do tâgulo MND em cm é gul : ) b) c) d) e) N é poto médo ND MD é ltu de fce do tetedo MD MDC é sósceles MD MC MN DC Ptágos áe(mno) ALT ERNATIVA B MN MN MNND. Sejm A B e C cojutos ts que C B (B\C) = (B C) = (A B) (A B) = e ((C) (A) (B)) é um pogessão geométc de ão >. ) Deteme (C). b) Deteme (P(B\C)). Resolução (A) = (c) = (B) = C B (B C) = (C) = ; (B / C) = (B) (C) = - (B C) = (A B) (C) = (A B) = (A B) = (A) + (B) (A B) = + - (B / C) = (B C) - = = = (ão seve) ou e = = ( >) Substtudo em () = Let ) 7
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) (C) = Let b) = = (B / C) =. - = (P (B/C)) = =. A pogessão geométc ft (......) tem ão <. Sbe-se que pogessão ft (... +...) tem som e pogessão ft (......) tem som. Deteme som d pogessão ft (......). Resolução q q q q q q q pos q < ( ) S = q S ( ) ( ) S. Alse se fução f : R Rf cso fmtvo: deteme fução ves f - Resolução f : R R f é bjeto e em Pecebe-se pelo esboço que f é bjetov. Altetvmete sbemos que f é cescete (pos é som de dus fuções cescete). Logo f é jetv. Além dsso f é cotíu e e lm f lm f Logo f é sobejetv pelo teoem do vlo temedáo. Como f é bjetv su ves stsf f f. fedo como log. Sej f : R R bjeto e ímp. Moste que fução ves f - : R R tmbém é ímp. f : R R bjeto e ímp f - : R R é ímp. Clculemos f - (-). Como If Este um úco R tq f() = - f(-) = (pos f é ímp) Assm f - (-) = f - (f()) = = -(-) = - f - ().. Cosdee o polômo p() com coefcetes es sedo e = Sbe-se que se é de p - tmbém é de p. Alse vecdde ou flsdde ds fmções: I. Se e são íes es e é ão el de p etão é mgáo puo. II. Se é dupl de p etão é el ou mgáo puo. III. p() = R I. VERDADEIRO De fto se são íes es ( pos ) Temos que ( pos ) Temos que - - são íes dstts. Se R é como R é. Como temos go somete dus outs íes etão Logo é mgáo puo.
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) II. R pode ocoe. Supohmos que R é dupl. Etão como R é dupl. Pel hpótese do eucdo é dupl ovmete como R etão - é dupl. Como p () é polômo de gu deve hve cocdêc de dus ete s íes comples. ) R = - = Absudo pos. ) = R cotdo oss hpótese. ) = - R é mgáo puo. AFIRMAÇÃO VERDADEIRA III. p() = ( ) ( + ) = ( + ) = + + + = > AFIRMAÇÃO FALSA. Um u de soteo cotém bols umeds de sedo que etd de um bol é equpovável à etd de cd um ds dems. ) Ret-se letomete um ds bols dest u. Clcule pobbldde de o úmeo dest bol se um múltplo de ou de. b) Ret-se letomete um ds bols dest u e sem epô-l et-se um segud bol. Clcule pobbldde de o úmeo d segud bol etd ão se um múltplo de. ) A Múltplos de de : múltplos. B Múltplos de de : múltplos. ( A B) Múltplos de de : múltplos. P(A B) P(A) P(B) P(A B) b) Fedo ávoe d pobbldde: Como queemos pobbldde dos ão múltplos de pes segud bol: 7 7 7 7 7. Cosdee s mtes A M (R) e X B M (R): b b b b A ; X e B b b w b ) Ecote todos os vloes es de e b ts que equção mtcl AX = B teh solução. b) Se b = e B [ ] t ecote X tl que AX = B. ) P que equção mtcl AX = B teh solução úc devemos te det(a). Aplcdo o teoem de Lplce ª. Lh de A temos: det (A) = (-) + b det (A) = - ( + b + b ) = - Logo R\ {} e b R b) se b = b B Cso: b = b b Escevedo mt complet e esclodo- temos: 7 7 7 Segue que: w w w
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Logo w R ; S º cso: b= - Escev mt complet e esclodo- temos: Segue que w w w Logo w o R ; S. Cosdee equção ( - cos ) tg tg. ) Deteme tods s soluções o tevlo [ [. b) P s soluções ecotds em ) teme cotg. ) tg tg ) cos ( tg )sec cos ( cos se cos ) cos ( cos se ) cos ( cos se ) cos ( ( cos ) se = cos = se ( se ) = se se se + = = = se k ; k se ou ;k k k se Como [ [ Temos que ; ; b) P tg g cot P g cot P g cot. Deteme um equção d ccufeêc sct o tâgulo cujos vétces são A = () B = (7) e C = () o plo O.
GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Aplcdo o teoem de Ptágos o Tâgulo DC temos: + = + = = logo O = + = O X = e O = logo: A Q Q A Logo S S 7 S S. As supefíces de dus esfes se teceptm otogolmete (sto é em cd poto de tesecção os espectvos plos tgetes são pepedcules). Sbedo que os os dests esfes medem cm e cm espectvmete clcule ) dstâc ete os cetos ds dus esfes. b) áe d supefíce do sóldo obtdo pel tesecção ds dus esfes Como os plos e são pepedcules devem cote os cetos O e O espectvmete. Potto o tgulo O PO é etâgulo. ) Po Ptágos OO O O b) A áe do sóldo detemdo pel teseção ds dus esfes é ddo po dus clots S e S de ltu A Q e A Q espectvmete. A Ago Q AQ AO AQ QO QO Po elções métcs o tâgulo etâgulo: QO Potto QO QO QO