MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 20 MATRIZES

MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 20 MATRIZES

Como pode cair no enem Uma empresa possui 3 filiais: a filial 2 e a filial 3. Ela comprou camisas para o uniforme de seus funcionários nos tamanhos P, M e G. Se representarmos o tamanho P pelo número 1, M pelo número 2 e G pelo número 3 teremos que, na matriz abaixo, cada elemento a ij representa o número de camisas tamanho i que a filial j comprou. 9 7 3 A = 6 8 4 4 6 7 Se cada camisa custa R$ 7,00, quanto gastou a filial que gastou mais? a) R$ 133,00 b) R$ 126,00 c) R$ 119,00 d) R$ 147,00 e) R$ 161,00

Fixação 1) Seja X = (X ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j se i = j X ij = 1 - j se i > j, a soma dos seus elementos é igual a: 1 se i < j a) -1 d) 7 b) 1 e) 8 c) 6

Fixação 2) Dadas as matrizes: 4-1 3 3-1 6 A = 0 7 1 e B = 1 2 5 1-1 2 1-1 2 Determine o elemento x 32 da matriz AB.

Fixação 3) A matriz A é do tipo 5x7 e a matriz B, do tipo 7x5. Assinale a alternativa correta. a) A matriz AB tem 49 elementos. b) A matriz BA tem 25 elementos. c) A matriz (AB)2 tem 625 elementos. d) A matriz (BA)2 tem 49 elementos. e) A matriz (AB) admite inversa.

Fixação F a b c d 4) (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes 5 ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura l observada no instante i do dia j. m 35,6 36,4 38,6 38,0 36,0 36,1 37,0 37,2 40,5 40,4 35,5 35,7 36,1 37,0 39,2 Determine: a) O instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura. b) A temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. p A d

ixação ) (UERJ) Em um supermercado, um cliente empurra seu carrinho de compras passando peos setores 1, 2, e 3, com uma força de módulo constante de 4 newtons, na mesma direção e esmo sentido dos deslocamentos. Na matriz A abaixo, cada elemento a ij indica, em joules, o trabalho da força que o cliente faz ara deslocar o carrinho do setor i e j elementos do conjunto {1, 2, 3}. 0 40 60 = 40 0 80 60 80 0 Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim, retornar ao setor 1, a trajetória o cliente descreve o perímetro de um triângulo. Nessas condições, o cliente percorreu, em metros, a distância de: ) 35 ) 40 ) 45 ) 50

Fixação 6) (UERJ) Três modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e III, de diferentes potências, são produzidos por um determinado fabricante. Uma consulta sobre intenção de troca de modelo foi realizada com 1000 usuários desses produtos. Observe a matriz A, na qual cada elemento aij representa o número daqueles que pretendem trocar do modelo i para o modelo j. 50 150 200 A = 0 100 300 0 0 200 Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários consultados, a probabilidade de que ele não pretenda trocar seu modelo de ar-condicionado é igual a: a) 20% b) 35% c) 40% d) 65%

1) (PUC) Dê a matriz 3x2 tal que a ij = i se i = j i 2 se i j

2) (PUC) O número de matrizes 3x3 cujos elementos pertencem ao conjunto {-1, 0, 1}, e nas quais não há dois elementos iguais na mesma linha e nem na mesma coluna, é igual a: a) 3 b) 6 c) 12 d) 36 e) 120

3) Dadas as matrizes e os produtos AB, AC, BC, BA, CA, CB, os produtos possíveis de calcular são: a) somente AC e CA; b) todos os produtos; c) somente AB e BC; d) somente AB, BA, BC, CB; e) somente AB e BA.

4) Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C são,respectivamente, 3 x r, 3 x s e 2 x t. Se a matriz (A - B). C é de ordem 3 x 4, então r + s + t é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

5) (CESGRANRIO) Multiplicando 1 a. 2 3 b 2 1 0 obtemos 4 3 2 0 da primeira matriz é: a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 6. O produto dos elementos a e b

6) (UERJ) Cada par ordenado (x, y) do plano pode ser escrito como uma matriz. Para obter uma rotação de 90º do ponto de coordenadas (x, y) em torno da origem no sentido anti-horário basta multiplicar a matriz por. y 4 B -2 3 A 7 x Aplicando-se esse método para fazer a rotação do ponto médio do segmento da figura acima suas novas coordenadas serão: a) (5, -1) b) (-1, 5) c) (-5, -1) d) (-1, -5)

c) 0 1 0 7) (UERJ) Multiplicando-se = 0 0 1 a b 1 0 0 por x = b obtém-se AX = c que é uma permutação dos c a elementos de X. Existem 5 outras matrizes de mesma ordem da matriz A, com apenas elementos de X. A soma destas 5 matrizes é: a) d) b) e)

8) (UFRJ) Marlos Charada, o matemático espião, concebeu um código para transformar uma palavra P de três letras em um vetor Y de R 3 como descrito a seguir. A partir da correspondência: A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 A palavra P é transformada em um vetor X de R 3. 2 2 0 Em seguida, usando a matriz código A = 3 3 1 o vetor Y é obtido pela equação Y = A. X. 1 0 1 Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor X = (12, 1, 17) e é codificada com Y = AX = (26, 56, 29). Usando o processo acima, decodifique Y = (64, 107, 29).

9) (UFRJ) Considere as matrizes: A = 19941994 19941994 1-1 e B = 19941994 19941995-1 1 Seja A 2 = A. A e B 2 = B. B Determine a matriz C= A 2 - B 2 - (A+B) (A-B)

10) (UFF) Seja A = 1 2 2 4 a) Determine o valor do número k tal que A 2 = k. A. b) Sendo n um inteiro positivo, calcule.

11) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. 1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5 Português 6,6 7,1 6,5 9,4 Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0 História 6,2 5,6 5,9 7,7 Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por a) 1 1 1 1 2 2 b) 1 1 1 1 4 4 4 c) 1 2 2 4 1 1 1 d) 1 2 1 2 e) 1 4 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4

12) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: S = 4 1 4 5 5 3 0 2 0 e D = 0 3 0 3 2 0 2 1 3 S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento a ij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (a ij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado, Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S). a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?

13) Na matriz abaixo estão representadas as distâncias entre 4 cidades. Cada elemento a ij representa a distância entre a cidade i e a cidade j em quilômetros. 0 1 3 8 1 0 2 7 A = 3 2 0 5 8 7 5 0 Calcule: a) A distância entre a cidade 2 e a cidade 4. b) A menor distância a ser percorrida quando se deseja ir da cidade 1 até a cidade 3, passando pela cidade 4.

14) Um edifício de 3 andares possui 3 apartamentos por andar. Na matriz abaixo cada elemento a ij representa a quantidade de quartos dos apartamentos i de andar j. 4 2 3 1 3 2 2 1 3 Qual o andar que possui mais quartos? Quantos quartos possui?

15) (UFF) Nos processos de digitalização, imagens podem ser representadas por matrizes cujos elementos são os algarismos 0 e 1. Considere que a matriz linha L=(1 0 1 0 0 1) representa a figura a seguir: onde 1 representa quadrinho escuro e 0 representa quadrinho branco. Seja X a matriz dada por X = LM, onde M é a matriz M = (m ij ) com m ij = 1, se i + j = 7 0, se i + j 7, 1 i 6, 1 j 6. Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção: a) b) c) d) e)

16) (UERJ) Três barracas de frutas, B 1, B 2 e B 3, são propriedades de uma mesma empresa. suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento b ij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas B i e B j, em milhares de reais, ao final de uma determinado dia de feira. x 1,8 3,0 B = a y 2,0 d c 7 Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) arrecadado a mais pela barraca B 3 em relação à barraca B 2 ; b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.

17) (UFF) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança, modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o procedimento descrito abaixo. A senha escolhida S 1 S 2 S 3 S 4 deve conter quatro dígitos, representados por S 1, S 2, S 3 e S 4. Esses dígitos são, então, transformados nos dígitos M 1, M 2, M 3 e M 4, da seguinte forma: M 1 S 1 M 3 S 3 0 1 = P e S2 M = P onde P é a matriz 4 S 1 0 4 M 2 Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M 1 = 1, M 2 = 1, M 3 = 1 e M 4 = 0, pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi: a) 0011 d) 1010 b) 0101 e) 1100 c) 1001

18) (UFRJ) Em uma cidade, há três revistas de noticiário semanal: 1,2,3. Na matriz A=(a ij ) abaixo, o elemento a ij representa a probabilidade de um assinante trocar a assinatura da revista i para a revista j, na época da renovação. 0,6 0,1 0,3 A = 0,1 0,7 0,2 0,4 0,2 0,4 a) Qual é a probabilidade de os assinantes da revista 2 trocarem de revista quando forem renovar a assinatura? b) Quais os leitores menos satisfeitos com a revista que estão assinando?

19) (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-Americanos no Rio de Janeiro em 2007: País Tipos Medalhas 1- ouro 2 - prata 3 - bronze Total 1 - Estados Unidos 97 88 52 237 2 - Cuba 59 35 41 135 3 - Brasil 54 40 67 161 Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos a ij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}. Para fazer uma outra classificação desses países,são atribuídos às medalhas os seguintes valores: - ouro: 3 pontos - prata: 2 pontos - bronze: 1 ponto 3 Esses valores compõem a matriz V = 2 1 Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente.

20) (UFRJ) Há 5 senadores designados para uma Comissão Parlamentar de Inquérito. Eles devem escolher entre si um presidente para a Comissão, sendo que cada senador pode votar em até 3 nomes. Realizada a votação onde cada um deles recebeu um número de 1 a 5, os votos foram tabulados na matriz A = (a ij ), abaixo indicada. Na matriz A, cada elemento aij é igual a 1(um), se i votou em j; e é igual a 0 (zero), caso contrário. A = Responda, justificando: a) Qual é o candidato mais votado? b) Quantos candidatos votaram em si mesmos? 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1