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1. O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de potências de números primos. Assim, considere um número natural n, com n > 1. a) Determine o número de divisores naturais de n. b) Determine o número de divisores naturais pares de n. 1
c) Determine o número de divisores naturais ímpares de n. d) Sendo y N, encontre o número de divisores naturais pares do número natural n = 2 y 3 2 5 y 7, sabendo que o número possui 30 divisores ímpares. TOTAL 2
2. Observe a sequência das potências de base 2: 2 0 = 1; 2 1 = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2 4 = 16; 2 5 = 32;. Podemos representar de forma única, a menos da ordem, qualquer número natural como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Por exemplo, o número 20 pode ser escrito como 20 = 2² + 2 4 = 4 + 16, já o número 33 pode ser escrito por 33 = 2 0 + 2 5 = 1 + 32 = 33. a) Encontre as somas das potências de base 2 que representam os números 44, 447 e 897. b) Com os dez primeiros termos da sequência das potências de base 2 podemos expressar qualquer número natural de 1 a 1023 como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Desse modo, o número 849 pode ser escrito como 849 = 2 0 + 2 4 + 2 6 + 2 8 + 2 9, sendo assim, chamamos de número OMI do 849 o número 98640, ou seja, o número formado pelos expoentes da soma das potências de 2 em ordem decrescente. Nessas condições, determine o número OMI de 44, 447 e 897. 3
c) Dos números naturais de 1 a 1023 o número 1 é o que tem o menor número OMI, a saber, o número OMI 0, já o número 1023 possui o maior número OMI, 9876543210. O segundo menor número OMI é o do número 2, o terceiro menor é o do número 4. Já o décimo primeiro número OMI é o do número 3, conforme tabela a seguir. Ordem (posição) Número Natural Número OMI 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 1023º 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 3 5 6 1023 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 21 9876543210 Qual é o 50º número natural na sequência apresentada na tabela? E o 115º? 4
d) Qual é a posição do número natural 44 na sequência apresentada na tabela? TOTAL 5
3. Miguel adora Matemática e vive brincando com os números. Nas vésperas do Natal, criou uma árvore natalina numérica formada por números binomiais, conforme mostra a figura abaixo. 1 1 10 1 9 45 1 8 36 120 1 7 28 84 210 1 6 21 56 126 252 1 5 15 35 70 126 210 1 4 10 20 35 56 84 120 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Determine a soma da árvore natalina, ou seja, a soma de todos os números que constituem a árvore. 6
b) Suponha uma árvore que tenha n linhas, mostre que a soma da linha imediatamente superior à base é dada por s(n) = n2 n 2. c) Considere ainda uma árvore com n linhas, mostre que a soma da árvore natalina é dada por S(n) = 2 n 1. TOTAL 7
4. Uma sequência numérica está distribuída na primeira fila da pirâmide abaixo. Para determinar o número que está contido em um bloco, basta realizarmos a média aritmética dos dois blocos que servem de apoio para o bloco em questão. nª fileira (n 1)ª fileira (n 2)ª fileira (n 3)ª fileira 4ª fileira 3ª fileira 2ª fileira 127,5 1ª fileira 100 111 122 133 144 969 980 a) Qual é o valor contido no 1º bloco da esquerda na 4ª fileira? 8
b) Determine o número contido no bloco do topo da pirâmide. c) Qual é a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira? TOTAL 9
5. A figura abaixo representa uma sequência de quadrados enfileirados horizontalmente da esquerda para direita. O primeiro quadrado ABHI tem lado igual a 1, o segundo BCJK tem lado igual a 2, o terceiro tem lado igual a 3 e assim sucessivamente. a) Encontre as coordenadas dos quatro vértices do centésimo quadrado. 10
b) Determine as coordenadas dos quatro vértices do n-ésimo quadrado. c) Calcule a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência. 11
d) Mostre que a soma das áreas dos n primeiros quadrados da sequência é dada por S(n) = n(n+1)(2n+1). 6 TOTAL 12