Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 5B Ensino Médio Equipe de Matemática Data: MATEMÁTICA Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais é o conjunto formado pelos números que podem ser escritos sob a forma de uma fração com numerador e denominador inteiros, sendo o denominador diferente de zero. É representado pela letra Q. São exemplos de racionais: -1, 0, 2,,.. Se o numerador é menor do que o denominador a fração é chamada de própria. Se o numerador é maior que o denominador temos uma fração imprópria. Toda fração imprópria pode ser expressa sob a forma de um número misto. 5 2 1 Ex: 3 3 Um exemplo interessante de número racional é dado pelas dízimas periódicas, que indicam divisões que nunca têm fim. Experimente dividir 2 por 3. O que ocorrerá? Outros exemplos: Observe o desenho abaixo: O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 1 - NANDA/MAIO/2014-475
Outros subconjuntos de Q: Q * é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; Q + é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; Q - é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; Q * + é o conjunto dos números racionais e positivos; Q * - é o conjunto dos números racionais negativos. Obs.: Não existe a divisão por zero. Números racionais Números Racionais Positivos Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais. (+8) : (+5) = (-3) : (-5) = Números Racionais Negativos São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes. (-8) : (+5) = (-3) : (+5) = Números Racionais: Escrita Fracionária têm valor igual a e representam o número racional. Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária: Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros. Números Racionais Representação Decimal de uma Fração Ordinária Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos: Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 2 - NANDA/MAIO/2014-475
Converter em número decimal. Logo, é igual a 0,75 (que é um decimal exato). Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples. Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta. Dízima Periódicas Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo: = 0,333... = 0,8333... Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos: = 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12) São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. = 0,0222... Período: 2 Parte não periódica: 0 = 1,15444... Período: 4 Parte não periódica: 15 = 0,1232323... Período: 23 Parte não periódica: 1 São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 3 - NANDA/MAIO/2014-475
Observações 1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos, portanto, da parte não periódica o inteiro. 2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 0,555... ou 0, ou 0,0222... ou ou 2,333... ou 2, ou 2 1,15444... ou 1,15 ou 1,15 0,121212... ou 0, 0,1232323... ou 0, Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma, onde n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: Introdução Numeração decimal A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 4 - NANDA/MAIO/2014-475
Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fracionários. A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète. O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal. Frações Decimais Observe as frações: Assim: Os denominadores são potências de 10. Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador. Adição e Subtração Operações com números racionais Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros. Exemplo 1: Qual é a soma: Exemplo 2: Calcule o valor da expressão Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 5 - NANDA/MAIO/2014-475
Multiplicação e divisão Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: Potenciação e radiciação Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo: Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo: Adição Considere a seguinte adição: 1,28 + 2,6 + 0,038 Transformando em frações decimais, temos: Operações com números racionais decimais Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 6 - NANDA/MAIO/2014-475
Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais. Exemplos: 1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007 Subtração Considere a seguinte subtração: 3,97-2,013 Transformando em fração decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais. Exemplos: 3,97-2,013 17,2-5,146 9-0,987 Multiplicação Considere a seguinte multiplicação: 3,49 2,5 Operações com números racionais decimais Transformando em fração decimais, temos: Método prático Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 7 - NANDA/MAIO/2014-475
Exemplos: 3,49 2,5 1,842 0,013 Observação: 1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo: 5 0,423 = 2,115 2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000,..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três,..., casas decimais. Exemplos: 3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos 0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580% Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 8 - NANDA/MAIO/2014-475
Operações com números racionais decimais Divisão 1º: Divisão exata Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 Transformando em frações decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Suprimimos as vírgulas; 3º) Efetuamos a divisão. Exemplos: 1,4 : 0,05 Efetuado a divisão Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05 Suprimindo as vírgulas: 140 : 5 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28. 6 : 0,015 Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015 Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400. Efetuando a divisão 4,096 : 1,6 Efetuando a divisão Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600 Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600 Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos. Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 9 - NANDA/MAIO/2014-475
Operações com números racionais decimais O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56. Representação Decimal de uma Fração Ordinária Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos: Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato. Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples. Converta em número decimal. Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta. Dízima Periódicas Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo: = 0,333... = 0,8333... Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos: Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 10 - NANDA/MAIO/2014-475
= 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12) São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. = 0,0222... Período: 2 Parte não periódica: 0 = 1,15444... Período: 4 Parte não periódica: 15 = 0,1232323... Período: 23 Parte não periódica: 1 São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Observações 1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. 2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 0,555... ou ou 0,0222... ou ou 2,333... ou ou 1,15444... ou ou 0,121212... ou 0,1232323... ou Operações com números racionais decimais Potenciação As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim: (3,5) 2 = 3,5 3,5 = 12,25 (0,64) 1 = 0,64 (0,4) 3 = 0,4 0,4 0,4 = 0,064 (0,18) 0 = 1 Raiz Quadrada A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim: Expressões Numéricas No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 11 - NANDA/MAIO/2014-475
Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo: = 0,05 + 0,2 0,16 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38 Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos: Problemas com Números Racionais Quando formos resolver um problema com um número racional envolvendo partes, devemos prestar atenção na hora de comparar as partes com o todo e de transformar essa comparação em uma fração. Por exemplo, se um refresco contém uma parte de suco concentrado e cinco partes de água, o suco corresponderá a do refresco e a água a do refresco. Exercícios: 1. Um aluno acertou do número de questões de uma prova e errou as 15 questões restantes. Quantas questões tinha a prova? a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 50 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 12 - NANDA/MAIO/2014-475
2. Se x = ( ) e y = ( ) então podemos afirmar que a) x = 3y b) x = 2y c) x = y d) y = 3x e) y = 2x 3. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram? a) b) c) d) e) 4. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu do livro e no dia seguinte leu do livro. A fração do livro que falta para ela terminar a leitura é igual a a) b) c) d) e) 5. Em um pacote há de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo? a) b) c) d) e) 6. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar? Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 13 - NANDA/MAIO/2014-475
a) b) c) d) e) 7. O valor da soma 0,612612... + 1,7171... + 3,036036... é igual a a) 595/111 b) 596/111 c) 597/111 d) 598/111 e) 599/111 8. Entre os números decimais a seguir, qual é o maior? 1,58-1,5433-1,40255-1,6-1,522 a) 1,40255 b) 1,522 c) 1,58 d) 1,6 e) 1,5433 9. Jorge coloriu de cinza da malha quadriculada abaixo: A parte colorida pode ser representada pelo número: a) 8,16 b) 0,2 c) d) 4,8 e) 2 10. O gráfico a seguir nos mostra a distribuição dos funcionários de uma fábrica que funciona em três turnos: manhã, tarde e noite. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 14 - NANDA/MAIO/2014-475
Ao todo esta fábrica possui 800 funcionários. Quantos funcionários trabalham no período da tarde? a) 80 b) 90 c) 120 d) 150 e) 200 Gabarito: 1) D; 2) A; 3) B; 4) D; 5) E; 6) C; 7) A; 8) D; 9) C; 10) C. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 15 - NANDA/MAIO/2014-475