Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 6B Ensino Médio Equipe de Matemática Data: MATEMÁTICA Aritmética Sistema de Numeração Decimal Nosso sistema de numeração utiliza dez símbolos para representar todos os números: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ordem e Classe Cada algarismo em um número representa uma ordem e cada três ordens consecutivas formam uma classe. Cada classe completa apresenta um algarismo das unidades, um das dezenas e outro das centenas, nesta ordem, da direita para a esquerda. A última classe pode ser incompleta, tendo menos de três ordens. Exemplo: Considere o número 12345678. (678) forma a chamada classe simples. (345) forma a chamada classe de milhar. (12) forma a chamada classe de milhão. Valor absoluto e valor relativo O valor absoluto de um algarismo é o próprio algarismo e o valor relativo de um algarismo depende de seu valor absoluto e da sua ordem. Por exemplo, considere o número 268195. Ordem e Classe Valor absoluto Valor relativo Unidade Simples 5 5 Dezena Simples 9 90 Centena Simples 1 100 Unidades de Milhar 8 8000 Dezenas de Milhar 6 60000 Centenas de Milhar 2 200000 Vejamos este outro exemplo. A soma dos valores absolutos do número 23437 é 2 + 3 + 4 + 3 + 7 = 19. Já a soma dos valores relativos é 20000 + 3000 + 400 + 30 + 7 = 23437 (o próprio número). Obs.: Todo número pode ser decomposto como a soma dos valores relativos dos algarismos que o compõem. Por exemplo, 368 = 3.10 2 + 6.10 1 + 8.10 0. Ou seja, 368 = 300 + 60 + 8. Número de elementos de uma sequência Considere uma sequência formada por números naturais consecutivos. Seu número de termos pode ser calculado pela seguinte fórmula: (MAIOR TERMO MENOR TERMO) + 1. Por exemplo, seja a sequência 3, 4, 5, 6,..., 83. Ela terá 83 3 + 1 = 81 números. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 1 - NANDA/MAIO/2014-612
Obs.: De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes como unidade e 10 vezes como dezena. Exemplo: Quantas vezes o algarismo 7 aparece na escrita da sucessão dos números de 1 até 5966? Em cada dezena, um determinado algarismo aparece uma vez como unidade; em cada centena dez vezes como dezena; em cada unidade de milhar cem vezes como centena, e assim por diante. À medida que aumentamos a ordem, o algarismo aparecerá dez vezes, ao que aparecia na ordem anterior. 5966 = 5000 + 900 + 60 + 6. 1 a 6 ----------------- não aparece. 1 a 60 ----------------- 6 vezes. 1 a 900 --------------- 90 + 90 + 100 = 280 vezes. 1 a 5000 --------- 500 + 500 + 500 = 1500 vezes. Total = 6 + 280 + 1500 = 1786 vezes. ADIÇÃO - É a operação de juntar duas ou mais quantidades. O sinal da adição é o +. As parcelas são os termos da adição. A soma ou total é o resultado da adição. A primeira parcela é 235; a segunda parcela é 124 e 359 é a soma ou total. Não esquecer: Para efetuar a operação de adição, colocamos sempre: - Unidade embaixo de unidade; - Dezena embaixo de dezena; - Centena embaixo de centena; - Unidade de milhar embaixo de unidade de milhar, etc. Propriedades: Comutativa a ordem das parcelas não altera a soma. 2 + 3 = 3 + 2. Associativa numa soma de várias parcelas, podemos substituir várias de suas parcelas pela sua soma. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Fechamento a soma de dois números naturais quaisquer será um número natural. Elemento Neutro zero é o elemento neutro da adição. 5 + 0 = 0 + 5 = 5. SUBTRAÇÃO - É a operação de tirar uma quantidade de outra. É a operação inversa da adição. O sinal da subtração é o -. O minuendo e o subtraendo são os termos da subtração. O resto ou diferença é o resultado da subtração. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 2 - NANDA/MAIO/2014-612
- O 235 é o minuendo - O 124 é o subtraendo - O 111 é o resto ou diferença Não esquecer: - O minuendo tem de ser sempre maior ou igual ao subtraendo - A subtração é a operação inversa da adição - Assim como na adição, coloca-se unidade embaixo de unidade, etc. MULTIPLICAÇÃO é a operação que tem por finalidade, dados dois números, repetir o primeiro como parcela, tantas vezes quantas forem as unidades do segundo. Ex: 8 x 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40. Os números de uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da operação é o produto. Em uma multiplicação de dois fatores, o primeiro é o multiplicando e o segundo é o multiplicador. Propriedades: Comutativa a ordem das parcelas não altera a soma. 2 x 3 = 3 x 2. Associativa um produto de vários fatores não se altera quando se substituem dois ou mais fatores pelo seu produto efetuado. (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 2 x 3 x 4. Fechamento o produto de dois números naturais quaisquer será um número natural. Elemento Neutro um é o elemento neutro da adição. 5 x 1 = 1 x 5 = 5. Distributiva Na multiplicação de uma soma ou diferença por um número inteiro multiplica-se cada um dos seus termos por esse número e somam-se ou subtraem-se os resultados. 5 x (7 + 3) = 5 x 7 + 5 x 3. DIVISÃO Divisão exata é a operação que tem por finalidade, dados dois números, achar o número que multiplicado pelo segundo dá o primeiro. Assim, a divisão será vista como a operação inversa da multiplicação. As igualdades D : d = q e D = d x q são equivalentes. No caso, teremos: D dividendo; d divisor; q quociente. Obs.: Não existe a divisão por zero. Ou seja, quando o divisor é zero, a divisão é impossível, porque não há número que multiplicado por zero dê como resultado o dividendo. Dicas: Se um número divide todos os termos de uma soma, ele divide também a soma. Ou seja, a soma de múltiplos de um número é um múltiplo desse número. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 3 - NANDA/MAIO/2014-612
Exemplo: 33 e 55 são múltiplos de 11. A soma dos dois, 88, é também um múltiplo de 11. Para dividirmos um produto por um número basta dividir um dos fatores, no caso de existir um fator que seja divisível pelo número. Exemplo: (4 x 35 x 8) : 7 = 4 x (35 : 7) x 8 = 4 x 5 x 8 = 160. Para dividir um número por um produto, pode-se dividi-lo pelo primeiro fator, o resultado pelo segundo, e assim, por diante. Exemplo: 720 : (4 x 3 x 5) = (720 : 4) : 3 : 5 = (180 : 3) : 5 = 60 : 5 = 12. No caso de uma divisão aproximada com quociente inteiro e resto, o dividendo será igual ao produto do divisor pelo quociente, mais o resto. O resto deverá sempre ser menor do que o divisor. Problemas envolvendo as quatro operações Os tipos de raciocínio utilizados na resolução dos problemas de aritmética são os mais variados. Adiante, veremos alguns exemplos dos tipos mais comuns. i) Análise aritmética ou redução à unidade Esse processo de raciocínio reduz-se a duas operações. Primeiramente, calcula-se o valor de uma parte ou de um objeto (unidade). Depois, calcula-se o valor de qualquer quantidade de partes ou de vários objetos. Exemplo: Uma caixa de lápis custa R$ 18,00. Uma outra caixa, da mesma qualidade, com três lápis a mais, custa R$ 27,00. Quantos lápis contém cada caixa? Calculando-se o preço de cada lápis, teremos: R$ 27,00 R$ 18,00 = R$ 9,00 : 3 = R$ 3,00. Conhecido o preço de um lápis, podemos achar o número de lápis de cada uma das caixas. A primeira tem 18 : 3 = 6 lápis e a segunda tem 27 : 3 = 9 lápis. ii) Das partes alíquotas Exemplo: Uma pessoa comprou três objetos por R$ 108,00. O segundo objeto custou o dobro do primeiro e o terceiro, o triplo do segundo. Quanto custou cada um? O primeiro custou x. O segundo custou 2x. O terceiro custou 3 (2x) = 6x. A soma dos preços dos três objetos será 9x. Portanto, 9x = 108, ou seja, x = 12 reais. O segundo 2 (12) = 24 reais e o terceiro custou 6(12) = 72. iii) Das diferenças: total e por objeto Exemplo: Foram distribuídos brinquedos a um grupo de crianças. Pensou-se em dar 2 a cada criança, porém, sobrariam 13 brinquedos. Distribuíram-se, então, 4 a cada uma e sobraram apenas 3. Quantas eram as crianças? Quantos eram os brinquedos? Na segunda distribuição, cada criança recebe a mais 2 brinquedos. Ao todo, recebem a mais 13 3 = 10 brinquedos. Dividindo-se a diferença total pela diferença por criança, obteremos o número de crianças, que será 10 : 2 = 5. O número de brinquedos será 5 x 4 + 3 = 23. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 4 - NANDA/MAIO/2014-612
Exercícios: 1. Um livro e um caderno custam, juntos, 230 reais. O livro custa 90 reais a mais que o caderno. O mais barato custa a) 40 reais b) 50 reais c) 60 reais d) 70 reais e) 80 reais 2. Um ciclista percorre 13 km por hora e um pedestre, 4 km por hora. O ciclista está 36 km atrás do pedestre. No fim de quantas horas será o pedestre alcançado, se os dois mantiverem seus respectivos ritmos? a) 1 hora b) 2 horas c) 3 horas d) 3 horas e meia e) 4 horas 3. Marcelo é executivo de uma grande empresa. Em uma viagem ao exterior, ele recebeu 15 diárias, num total de R$ 30.000,00 e gastou no hotel, entre alimentação e diárias, pelos 15 dias de hospedagem, R$24.000,00. Quanto Marcelo economizou por dia? a) 6.000 reais b) 3.000 reais c) 1.000 reais d) 600 reais e) 400 reais 4. Comprei três objetos por R$ 143,00. O primeiro custou R$ 26,00 menos que o segundo e R$ 18,00 mais que o terceiro. Quanto custou o mais caro? a) 45 reais b) 50 reais c) 51 reais d) 65 reais e) 71 reais 5. Natália deu 7 bombons a cada uma de suas irmãs e sobraram 2 bombons. Se tivesse dado 9 a cada uma ficariam faltando 8. Quantas irmãs tem Natália? a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 7 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 5 - NANDA/MAIO/2014-612
6. Um reservatório contém 500 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: retiram-se 80 litros; colocam-se 45 litros; colocam-se 30 litros; retiram-se 130 litros; retiram-se 80 litros. Quantos litros restam no reservatório? a)215 b) 285 c) 195 d) 475 e) 715 7. Ao receber um livro de presente, Natalie percebeu que algo de estranho havia acontecido: as páginas do livro não eram numeradas. Ela resolveu, então, numerar todas as páginas. Para isso empregou 1236 algarismos. Quantas páginas tinha o livro? a) 440 b) 448 c) 450 d) 460 e) 464 8. Se eu juntar 170 reais à quantia que tenho em meu cofre, poderei adquirir um tênis por R$250,00 e ainda irei ficar com 60 reais para gastar com figurinhas. Quanto possuo? a) 140 reais b) 150 reais c) 155 reais d) 160 reais e) 180 reais 9. Dois barris de óleo têm juntos 945 litros. Se tirarmos 140 litros do primeiro e 125 litros do segundo, os dois barris ficarão com a mesma quantidade. A diferença entre os litros de cada um é igual a a) 35 litros b) 30 litros c) 25 litros d) 20 litros e) 15 litros 10. Quantas vezes aparece o algarismo 6 no lugar das unidades até o número 88? a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 6 - NANDA/MAIO/2014-612
Gabarito: 1) D; 2) E; 3) E; 4) E; 5) A; 6) B; 7) B; 8) A; 9) E; 10) B. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 7 - NANDA/MAIO/2014-612