Investigação Operacional

Introdução e Histórico Durante a II Guerra Mundial, lideres militares da Inglaterra e dos Estados Unidos requisitaram um grupo de cientistas de diversas áreas de conhecimento para analisarem alguns problemas militares. Entre esses problemas citam-se: Desenvolvimento, operação e localização de radares, gerenciamento e controle de navios de apoio, planeamento de ataques aéreos, lançamento de bombas contra submarinos, defesa das comunidades européias contra ataques aéreos dos inimigos, abastecimento de tropas com munições e alimentos, operações de mineração. A aplicação de métodos matemáticos e científicos para ajudar as operações militares foi chamada Investigação Operacional.

Definição Investigação Operacional Investigação Operacional é o uso do método científico com o objectivo de prover departamentos executivos de elementos quantitativos para a tomada de decisões, com relação a operações sobseu controle (Kittel, 1947). Investigação Operacional é a aplicação do método científico, por equipes multidisciplinares, a problemas envolvendo o controle de sistemas organizados de forma a fornecer soluções que melhor interessam a determinada organização (Ackoff, 1968). Investigação Operacional é uma metodologia de estruturar processos aparentemente não estruturados por meio da construção de modelos. Utiliza um conjunto de técnicas quantitativas com o intuito de resolver os aspectos matemáticos dos modelos (Ehrlich, 1991).

Definição Investigação Operacional Hoje, o termo Investigação Operacional, significa um método cientifico para tomada de decisão, que busca determinar como melhor planear e operar um sistema, usualmente sob condições que requerem alocação de recursos escassos.

Metodologia da Investigação Operacional Geralmente a actividade de uma equipa de Investigação Operacional envolve as seguintes fases: Identificação do problema; Construção de um modelo; Obtenção da solução; Teste do modelo e avaliação da solução; Implantação e acompanhamento da solução. Deve-se salientar que tais fases não são distintas, superpondo-se e interagindo entre si, na tentativa de se obter uma melhor identificação entre o modelo e o real.

Quando a Investigação Operacional é usada para resolver um problema de uma organização, o seguinte procedimento, poderá ser seguido: Passo 1- Identificação e formulação do problema Em primeiro lugar deve ser definido claramente o problema da organização, incluindo a especificação dos objectivos e as partes da organização que devem ser estudadas antes que o problema possa ser resolvido. Passo 2 Observação do sistema Os dados devem ser colectados para estimar valores de parâmetros que afectam o problema da organização. Estes valores são usados para desenvolver e avaliar o modelo matemático para o problema.

Passo 3 Formulação do modelo matemático para o problema Consiste no desenvolvimento do modelo matemático para o problema. Geralmente, existem várias técnicas que podem ser aplicadas na solução dos modelos matemáticos. A técnica adequarda é selecionada em função das caracteristicas do modelo representativo do problema. Passo 4 Verificação do modelo e uso do modelo para predição Verifica-se se o modelo matemático proposto para o problema é uma representação fidedigna da realidade. Os dados colectados durante a observação do problema podem ser usados para a validação do modelo na situação corrente.

Passo 5 Selecionar uma alternativa aceitável Dado o modelo do problema e um conjunto de alternativas (soluções viáveis) deve-se escolher aquele (se existir) que melhor atende aos objectivos da organização. Em alguns casos, a selecção da melhor alternativa possivel é um problema de dificil solução e, nesses casos, aceita-se uma boa alternativa Passo 6 Apresentação dos resultados e conclusões A partir da definição do modelo e das alternativas determinadas para o problema são feitas as recomendações para os gerentes das organizações para que eles possam tomar as decisões que melhor atendem os objectivos buscados.

Passo 7 Implementação e avaliação das recomendações Se a organização aceita o estudo realizado e as recomendações feitas, parte-se para a fase de implementação da solução, a qual deve ser constantemente monitorada, e actualizada dinamicamente, fazendo-se mudanças quando necessárias.

Áreas de aplicação Administração; Agropecuária; Economia e planeamento económico; Educação e saúde; Energia; Engenharia; Forças armadas; Investimentos e finanças; Localização armazenamento distribuição; Planeamento e controle da produção,

Planeamento urbano e regional; Recursos hídricos; Siderurgia; Telecomunicações; Transporte.

Programação Linear O significado da expressão Programação alocação de itens ou entidades Linear relativo a funções, equações ou inequações lineares O problema geral Recursos escassos devem ser repartidos entre demandas competitivas Decisões são interligadas na tomada de decisão Demandas competem entre si na procura dos recursos escassos

Investigação Operacional

Exemplos de modelos para alguns problemas clássicos de programação linear Escolha da mistura para rações

Problema de Produção Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária de tintas para interiores não pode ultrapassar a de tintas para exteriores por mais de 1 tonelada. Além disso, a demanda máxima diária de tinta para interiores é 2 toneladas. A Reddy Mikks quer determinar o mix óptimo (o melhor) de produtos de tintas para interiores e exteriores que maximize o lucro total diário. Os lucros por toneladas de tintas para interiores e exteriores e são de 5 e 4 (mil) meticais. A utilização por dia da matéria-prima M1 é de 6 tonelada de tinta para exteriores e de 4 tonelada de tinta para interiores e a utilização por dia da matéria-prima M2 é de 1 tonelada de tinta para exteriores e de 2 tonelada de tinta para interiores. As disponibilidades diárias das matérias-primas M1 e M2 estão limitadas a 24 e 6 toneladas respectivamente

Propriedade do modelo de PL O objectivo e as restrições serem todas funções lineares. Linearidade implica que a programação linear deve satisfazer três propriedades básicas: 1. Proporcionalidade: essa propriedade requer que a contribuição de cada variável de decisão, tanto na função objectivo quando nas restrições seja directamente proporcional ao valor da variável. 2. Aditividade: essa propriedade requer que a contribuição total de todas as variáveis da função objectivo e das restrições seja a soma direta das contribuições individuais de cada variável. 3. Certeza: todos os coeficientes da função objectivo e das restrições do modelo de PL são determinísticos, o que significa que são constantes conhecidas uma ocorrência rara na vida real, na qual o mais provável é que os dados sejam representados por distribuição de probabilidade.

Forma Estandar 2x1 + x2 + s1 = 18 2x1 + 3x2 + s2 = 42 3x1 + x2 + s3 = 24 2. Igualar a função objectivo a zero e depois agregar as variáveis de folga do sistema anterior Z 3x1 2x2 = 0 3. Escrever a tabela inicial Simplex Nas colunas aparecem todas as variáveis do problema e nas filas os coeficientes das igualidades obtidas, uma fila para cada restrição e na ultima fila com os coeficientes da função objectivo.

4. Encontrar a variável de decisão que entra na base e a variável de folga que sai da base. A) Para escolher a variável de decisão que entra na base, observamos na última fila, a qual mostra os coeficientes da função objectivo e escolhemos a variável com o coeficiente mas negativo (em valor absoluto). Neste caso, o coeficiente (-3) da variável x1 Se existisse dois o mais coeficientes iguais, que satisfazem a condição anterior, então se escolhe qualquer deles. Se na última fila não existir nenhum coeficiente negativo, significa que já alcançamos a solução optima

Portanto, o que vai determinar o final do processo de aplicação do metodo Simplex, é que na última fila não haja elementos negativos. A coluna da variável que entra na base se chama de coluna Pivote. B) Para encontrar a variável de folga que tem que sair da base. Se divide cada elemento da última coluna (valores da solução) por cada elemento correspondente da coluna pivote. Sempre estes últimos seja maiores que zero. A linha pivote será aquela que tiver menor valor absoluto depois de dividirmos os elementos da coluna de solução com os correspondentes elementos da coluna pivote.

C) A interação da fila pivote e coluna pivote temos o elemento pivote (3) este indica que a variável de decisão x1 entra e a variável de folga s3 sai. 5. Encontrar os coeficientes para a nova tabela simplex Os novos coeficientes da fila pivote se obtem dividido todos os coeficientes da fila por elemento pivo operacional 3 de modo que este se converta em 1 A continuação será mediante a redução gaussiana

Como nos elementos da última fila há um número negativo (-1), significa que ainda não chegamos a solução optima. Temos que repetir o processo. A) A variável que entra na base é x2 por ser a coluna pivote que corresponde o coeficiente (-1) B) Para calcular a variável que sai da fila pivote, dividimos os elementos da coluna solução com os elementos da nova coluna pivote. E como o menor coeficiente positivo é 6 temos na fila pivote a variável de folga que sai é s1

Como todos os coeficientes da linha da função objectivo são positivo, vamos alegar que a nossa solução é óptima.

Um recurso é designado como escasso se as actividades (variáveis) do modelo o usarem totalmente. Caso contrário, o recurso é donominado abudante.

Qualquer Problema de Programação Linear (PPL) pode ser escrito nas formas Canônica, Padrão e Matricial por meio das seguintes operações: Operação 1: Mudança de critério de optimização Maximizar Q (x) Minimizar - Q (x) Minimizar Q (x) Maximizar - Q (x)

Variável de folga

Variável de excesso

Este quadro não é óptimo pois existem variáveis com coeficientes negativos na linha da função objectiva

Como encontrar uma solução básica admissivel Resposta: Fazendo uma mudança de base. Para isso precisamos definir que entra e quem sai da base. Quem Entra? Qual, entre as variáveis não básicas, deve entrar para a base Resposta: Deve entrar a base a variável que possuir o coeficiente mais negativo na linha da função objectiva.

Se duas ou mais variáveis tem o mesmo coeficiente negativo, nos podemos escolher qualquer uma delas. Se todas as variáveis tiverem coeficientes positivos então atingimos o ponto óptimo da função objectivo e, consequentemente, o processo do método simplex chega ao seu fim. Os valores assumidos pelas variáveis são os que corresponderão ao óptimo da função objectivo.

Quem entra na base? x1 entra na base pois é a que tem o coeficiente mais negativo na linha da função objectivo.

Quem sai da base? Resposta: Investigação Operacional Deve sair da base a variável cujo coeficiente RHS (termo independente), em relação à variável que está entrando para a base, for mínimo.

Para conseguir tal objectivo, irão ser estudados 2 métodod diferentes, que são 2 variantes do método simplex: método do M-Grande (Penalidades) e método das Duas-Fases. Método do M-Grande (ou das Penalidades) Neste método, as variáveis artificiais são fortemente penalizadas na função objectivo, de modo a provocar rapidamente o seu anulamento. O método Simplex, tenderá naturalmente a eliminar da base as variáveis artificiais, como se pretende, dado que aquelas estão penalizadas com coeficientes arbitrariamente grandes: (-M) na maximização e (+M) na minimização

Exemplo Uma pequena empresa fabrica 3 tipos de Kits electrónicos: A, B e C. O lucro unitário liquido de cada um é 5 (A), 10 (B) e 15 u.m. (C). O tempo disponível limita o número total de kits que podem ser fabricados, a 500. Estudos de mercado indicam que o total de kits tipos A e B deve ser pelo menos 100. O total de kits A deve exceder exactamente em 120 o total de kits tipos B e C. Quantas unidades de A, B e C devem ser fabricadas de modo a maximizar o lucro? Formalização do problema X1 = quantidade de unidades do kit A X2 = quantidade de unidades do kit B X3 = quantidade de unidades do kit C

Max Z=5x1 + 10x2 + 15x3 (lucro) s.a x1 + x2 + x3 500 (capacidade) x1 + x2 100 (procura de A e B) x1 x2 x3 =120 (excedente de A) x1, x2, x3 0 Passar o problema para sua forma padrão: Max Z=5x1 + 10x2 + 15x3 s.a x1 + x2 + x3 + x5 = 500 x1 + x2 - x4 = 100 x1 x2 x3 = 120 xi 0, i=1,,5

Aplicando o algoritmo simplex a este problema, tem-se: Passo inicial:

Processo para construir uma nova linha Z

1ª Iteração Investigação Operacional

2ª Iteração Investigação Operacional

Método das Duas-Faeses Nesta variante, o problema de PL é resolvido em duas fases distintas: na primeira, procura-se determinar se existem soluções admissíveis para o problema inicial e, caso existam, obtém-se uma solução básica admissivel (SBA) que será a solução de partida (inicial), da fase seguinte; a segunda, consiste simplesmente na aplicação do algoritmo do simplex, tal como foi descrito inicialmente. A 1ª fase consiste em remover da base todas as variáveis artificiais, de forma a obter uma solução básica (SB) apenas com variáveis não artificiais do problema. Para tal, resolve-se o seguinte problema de PL (problema auxiliar), começando com (X, Xa) = (0,b) como SBA

Minimizar Z = Xa Sujeito a Investigação Operacional AX = b X 0 Em que Xa é o vector das variaveis artificiais e o objectivo consiste, nesta fase, em minimizar a sua soma (função objectivo artificial), quer o problema inicial seja de maximização quer seja de minimização. Portanto, obtida uma solução para o problema auxiliar com as variáveis artificiais nulas, fica determinada a SBA de partida para o problema inicial. É evidente que uma solução nestas condições só se verifica com o valor da FO artificial igual a zero (Z=0). No entanto, outras situações podem acontecer. Portanto, no fim da 1ª fase, em que se atingiu a solução óptima do problema auxiliar, está-se numa das seguintes situações:

Z > 0 existe pelo menos uma variável artificial básica com valor estritamente positivo 0 problema inicial é impossível (região admissível vazia) Z = 0 com todas as variáveis artificiais não básicas a solução em presença é uma uma SBA de partida para o problema inicial passar directamente à 2ª fase. Z = 0 com pelo menos uma variável artificial básica (nula) a solução encontrada é uma solução admissivel para o problema inicial. Se existir algum vector não artificial for a da base em condições de substituir um vector artificial procede-se à substituição, sendo a solução obtida degenerada; caso contrário, tira-se do quadro simplex a linha respectiva (e a variável artificial associada). Em qualquer dos casos, após estas operações, passar à 2ª fase.

1º Teste

Começamos com a solucao gráfica, mais concreta, para explicar os fundamentos da análise de sensibilidade. Em seguida, esses fundamentos da análise de sensibilidade. Em seguida, esses fundamentos serão estendidos ao problema geral de PL usando os resultados da tabela simplex. Analise de sensibilidade gráfica Serão considerados dois casos 1. Sensibilidade da solução óptima às variações na disponibilidade dos recursos (lado direito das restrições) 2. Sensibilidade da solução óptima às variações no lucro unitário ou custos unitário (Coeficiente da função objectivo)

Variações no lado direito Exemplo A Amaflo produz dois produtos em duas máquinas. Uma unidade do produto 1 requer duas horas na máquina 1 e uma hora na máquina 2. Para o produto 2, uma unidade requer uma hora na máquina 1 e três horas na máquina 2. As receitas por unidade dos produtos 1 e 2 são 30Mt e 20Mt, respectivamente. O tempo de processamento diário disponível para cada máquina é oito horas. Como a Amaflo pode maximizar o lucro. Variáveis de decisão X1 - número diário de unidades do produto 1 X2 - número diário de unidades do produto 2

Se forem feitas alterações na capacidade da máquina 1. Se a capacidade diária for aumentada de oito horas para nove horas, aonde ocorrera a nova solução óptimo