PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 3 Números, Progressões e Lógica Prof. Ronaldo Busse Números Uma questão presente nos exames de seleção até aqui foi a comparação entre grandezas numéricas. O procedimento indicado para tratar problemas desse tipo é escrever as grandezas a serem comparadas de forma equivalente. Por exemplo: Duas frações são facilmente comparáveis se possuírem o mesmo numerador ou o mesmo denominador. Duas potências são facilmente comparáveis se possuírem a mesma base ou o mesmo expoente. Para ilustrar as situações citadas acima, vamos considerar os seguintes exercícios: 01. (PROFMAT 2012) Qual dos números abaixo é mais próximo de 0,7? (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5 (E) 5/7 02. (PROFMAT 2012) Sejam a = 2 7000, b = 5 3000 e a = 13 2000. Assinale a alternativa correta. (A) b<a<c (B) c<b<a (C) b<c<a (D) a<c<b (E) b<c<a No primeiro exercício, observe que é pedida uma comparação entre frações, visto que 0,7 = 7/10. Nesse caso, podemos escrever todas as frações com um mesmo denominador, dado por MMC(2,3,4,5,7,10)=420. Dessa forma, temos que 0,7 = 7 10 = 294 e 1 2 = 210 420, 2 3 = 280 420, 3 4 = 315 420, 4 5 = 336 420, 5 7 = 300 420. 420 Conclusão: o número mais próximo é 5/7 (letra E). Seguindo a linha de raciocínio proposta, no segundo exercício, devemos escrever as três potências com a mesma base ou expoente. Visto que as bases são dadas por números primos entre si, vamos trabalhar com as potências, utilizando MDC(7000,3000,2000)=1000. Assim, teremos, a = 2 7000 = 2 7 1000 = (2 7 ) 1000 = 128 1000 b = 5 3000 = 5 3 1000 = (5 3 ) 1000 = 125 1000 c = 13 2000 = 13 2 1000 = (13 2 ) 1000 = 169 1000 E, portanto, a alternativa correta é a letra A.
Outro ponto a ser destacado diz respeito às operações envolvendo números irracionais. A soma ou o produto de dois números racionais é um número racional. A soma ou o produto de um número racional e um número irracional é um número irracional. A soma ou o produto de dois números irracionais pode ser um número racional ou irracional. A seguir é dado um exercício que ilustra a situação acima. 03. (PROFMAT 2012) Considere os números reais A opção verdadeira é: a = 2 1 2 + 8, b = 1 + 3 2, c = 1 + 2 3 7. 4 2 (A) a e b são ambos irracionais e c é racional (B) a e b são ambos inteiros e c é racional (C) a e c são ambos racionais e b é irracional (D) a é inteiro, b é racional e c é irracional (E) a é racional e b e c são ambos irracionais Embora esse exercício seja resolvido utilizando-se algebrismos conhecidos, vamos fazer uma análise qualitativa de cada número separadamente. Observe que o número a é dado pela soma de duas parcelas irracionais e, portanto, não podemos determinar sua natureza sem efetuarmos as contas. a = 2 1 2 1 + 2 1 + 2 + 8 = 2 + 2 2 + 8 = 2. O número b é dado pelo produto de dois números irracionais e, portanto, também não podemos determinar sua natureza a priori. Entretanto, efetuando o produto notável, obtemos b = 1 + 3 2 = 1 + 2 3 + 3 = 4 + 2 3. Nada podemos afirmar a respeito do numerador do número c, visto que envolve um produto de três numero irracionais. Novamente, é necessária uma análise quantitativa. c = 1 + 2 3 7 4 2 Conclusão: a resposta correta é a letra C. = 7 + 5 2 7 4 2 = 5 4. O assunto números é bastante amplo e pode ser cobrado sob a forma de questões mais simples e diretas ou por intermédio de questões mais elaboradas que envolvam raciocínio lógico. É importante destacar que exercícios envolvendo números possuem, em geral, diversas formas de serem resolvidos. Algumas podem ser mais trabalhosas do que outras, mas são todas igualmente válidas.
Exercícios 04. (PROFMAT 2011) O número 27 2/3 é igual a: (A) 1/18 (B) 1/81 (C) 1/9 (D) -18 (E) 9 05. (PROFMAT 2011) O valor exato de 666666 2 333334 2 é: (A) 333332 10 6 (B) 333332 10 8 (C) 333332 10 10 (D) 333334 10 9 (E) 333334 10 8 06. (PROFMAT 2011) Quando x e y assumem quaisquer valores positivos, das expressões abaixo, a única que não muda de sinal é: (A) x 2 + 2y y 2 (B) x 2 5x (C) x x (D) x 2 xy + y 2 (E) x 2 3xy + y 2 07. (PROFMAT 2011) Dividindo 6 por 7, o 100º algarismo da expansão decimal que aparece após a vírgula é: (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7 08. (PROFMAT 2011) As figuras abaixo são formadas por cinco pequenos quadrados e, dentro de cada quadrado, esconde-se um número inteiro. O número que aparece abaixo de cada um dos desenhos é a soma dos números escondidos nos quadrados pintados. O número do quadrinho central é: (A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 13 09. (PROFMAT 2012) Sejam x e y números inteiros tais que 10x + y seja um múltiplo de 7. Assinale a resposta correta: (A) x 2y será certamente um múltiplo de 7 (B) 2x + y será certamente um múltiplo de 7 (C) x y será certamente um múltiplo de 7 (D) 2x y será certamente um múltiplo de 7 (E) 2x + 2y será certamente um múltiplo de 7 10. (PROFMAT 2011) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 16 e o mínimo múltiplo comum desses mesmos números é 576. Podemos garantir que:
(A) Os dois números são maiores do que 50 (B) O produto dos dois números é maior que 8000 (C) Os dois números são múltiplos de 32 (D) Os dois números são divisores de 96 (E) Um dos números é múltiplo do outro. Gabarito 04. C 05. A 06. D 07. A 08. C 09. A 10. B Progressões Uma progressão é uma sequência (a n ) definida recursivamente, isto é, cada elemento a n é dado em função de um ou mais elementos anteriores a ele. Progressão Aritmética: a n = a n 1 + r a 0 a 1 = a 0 + r a 2 = a 1 + r = a 0 + 2r a 3 = a 2 + r = a 0 + 3r... a n = a 0 + nr Uma PA é uma função linear com domínio discreto. Progressão Geométrica: a n = a n 1 q a 0 a 1 = a 0 q a 2 = a 1 q = a 0 q 2 a 3 = a 2 q = a 0 q 3... a n = a 0 q n Uma PG é uma função exponencial com domínio discreto. O exemplo a seguir trata de uma progressão (que não é PA ou PG) e ilustra a forma de pensar acima. 11. (PROFMAT 2011) Uma sequência de números naturais é definida por a n +1 = 2a n 3, para todo n 0 e a 0 = 5. O valor de a 9 é: (A) 612 (B) 825 (C) 1027 (D) 1286 (E) 2048 Assim como fizemos para PA e PG, tentaremos escrever o termos geral a n em função de a 0. Para isso, vamos escrever os quatro primeiros termos para e, em seguida, utilizaremos a intuição.
a 1 = 2a 0 3 a 2 = 2a 1 3 = 2 2a 0 3 3 = 4a 0 3 3 a 3 = 2a 2 3 = 2 4a 0 3 3 3 = 8a 0 7 3 a 4 = 2a 3 3 = 2 8a 0 7 3 3 = 16a 0 15 3... a n = 2 n a 0 2 n 1 3 Dessa forma, visto que a 0 = 5, temos que e a resposta correta é a letra C. a 9 = 2 9 5 2 9 1 3 = 1027 Exercícios 12. (PROFMAT 2011) Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa de manutenção mensal de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa 2500 reais, porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. A partir de quantos meses de uso a compra na loja A se torna mais vantajosa que a da loja B? (A) 30 (B) 72 (C) 39 (D) 63 (E) 44 13. (PROFMAT 2011) O campo magnético do sol periodicamente se torna muito mais intenso, aparecem as manchas solares e ocorrem as tempestades que são enormes explosões. Isto dura alguns meses e depois desaparece. Tal fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de 1755 e se repete com regularidade a cada 11 anos. A última vez que esse fato ocorreu foi em (B) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 2007 (E) 2008 14. (PROFMAT 2011) Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética de números inteiros positivos, de razão máxima. Assinale o termo seguinte ao termo 590: (C) 599 (B) 603 (C) 717 (D) 707 (E) 612 Gabarito 12. E 13. E 14. D
Noções de Lógica Considere duas sentenças A e B e suponha que A B (isto é, a validade de A implica na validade e B). Neste caso, temos: A é dita uma condição suficiente para B, pois a validade de A é suficiente para garantir a validade de B. B é dita uma condição necessária para A, visto que a validade de A implica, necessariamente, na validade de B. Além disso, uma outra forma de ver a implicação acima é a contrapositiva, isto é, ~B ~A (ou seja, a não validade de B implica na não validade de A). Quando A é uma condição suficiente e necessária para B (A B e B A), dizemos que A e B são equivalentes e escrevemos A B (vale A, se e somente se, vale B). A fim de ilustrar os conceitos acima, sejam x e y dois números reais quaisquer e considere as seguintes sentenças: A: x é um número irracional B: y é um número racional C: x+y é um número irracional Inicialmente, vamos considerar a validade da sentença A. Observe que B é uma condição suficiente para C (B C), pois a soma de um número irracional com um número racional é um número irracional. Além disso, C é uma condição necessária para B, visto que sendo y um número racional, então necessariamente a soma tem que ser um número irracional. Por outro lado, negar a sentença C significa dizer que a soma x+y é um número racional. Dessa forma, como o número x é irracional, o número y não poderá ser racional (pois a soma daria irracional) e, portanto, temos a negativa da sentença B. Logo, ~C ~B. Finalmente, note que B e C não são equivalentes, pois C não é uma condição suficiente para B. De fato, a soma ser um irracional não garante que y seja racional (poderíamos ter dois irracionais com a soma dando irracional). Vamos agora, considerar a validade de B. Nesse caso, as sentenças A e C são equivalentes. De fato, A C, pois a soma de um racional com um irracional tem que dar um irracional. Por outro lado, C A pois, caso x fosse racional, a soma daria racional e teríamos ~A ~C. Para resolver problemas matemáticos utilizando princípios de lógica, devemos: Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações disponíveis. Ter bem claro o que se deve provar e o que é assumido como verdadeiro. Caso necessário, mudar a representação do problema, transformando-o em um problema equivalente. No caso de questões objetivas, pode ser útil testar as opções e, dessa forma, restringir as possibilidades.
Considere o seguinte problema: 15. (PROFMAT 2011) Eduardo pensou em dois números naturais a e b. Sabe-se que apenas uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira. Assinale-a: (A) ab é um número par (B) a + b = 5 e b a = 7 (C) a + b = 4 e a = 3b (D) a b 2 (E) Pelo menos um dos números a ou b é par Observe que, pelo enunciado, não podem ocorrer duas alternativas simultaneamente. Dessa forma, temos as seguintes considerações: As alternativas A e E são equivalentes (o produto de dois números é par e, e somente se, um deles for par). Logo, nenhuma das duas pode ocorrer sozinha. Resolvendo o sistema da letra B, obtemos a = 1 e b = 6. Dessa forma, B E e, portanto, B não pode ocorrer sozinha. Resolvendo o sistema da letra C, obtemos a = 3 e b = 1. Dessa forma, a b = 2 e, portanto, C D. Logo, C não pode ocorrer sozinha. Observe que a letra D não é condição suficiente para nenhuma outra. Por exemplo, considerando a = b = 1, vale apenas a alternativa D. Conclusão: a resposta correta é a letra D. Exercícios 16. (PROFMAT 2011) Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças, quintas e sábados e é completamente sincera o resto dos dias da semana. Felipe chega um certo dia na cidade e mantém o seguinte diálogo com a pessoa X: - Felipe: Que dia é hoje? - X: Sábado. - Felipe: Que dia será amanhã? - X: Quarta-feira. Em que dia da semana foi mantido esse diálogo? (A) Sábado (B) Quinta-feira (C) Segunda-feira (D) Terça-feira (E) Sexta-feira 17. (PROFMAT 2012) Meninas formam uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de Denise e é a sexta garota à direita de Denise. Quantas meninas estão na roda? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 17
18. (PROFMAT 2012) Dados que todos A s são B s, mas apenas alguns B s são C s, qual das alternativas abaixo é certamente correta? (A) Nenhum A é C. (B) Se algo é C então ele também é B. (C) Todo A é C. (D) Ou nenhum A é C ou nenhum C é B (E) Se algo não é B então ele não é A 19. (PROFMAT 2012) Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número de peixes que o outro. Ana foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 20. (PROFMAT 2012) Assinale a alternativa verdadeira: (A) Se x é um número real positivo, então x 6 > x 4 (B) Se x é um número real e x 2 = x, então x = 1 (C) Se x > 200 e y > 4, então x y > 50 (D) Se x é um número real, então x 2 x (E) Se x x 2 2x + 1 = 0 então x = 0 ou x = 1 ou x = 2 Gabarito 16. B 17. B 18. E 19. C 20. E