1 CURSO PRÉ-VESTIULR MTEMÁTIC UL 02 SSUNTO: TEORI DOS CONJUNTOS Esta aula é composta pelo texto da apostila abaixo e por um link de acesso à UL VIRTUL gravada. Estude com atenção o texto antes de acessar a aula gravada. Isso facilitará o entendimento do assunto. Cada link permite o acesso apenas à aula correspondente ao assunto. Para acessar a aula gravada CLIQUE QUI. UL 2 TEORI DOS CONJUNTOS 1. CONCEITO Conjunto, elemento e relação de pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não aceitam definição. Sabemos que conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, pessoas, números, etc. 2. REPRESENTÇÃO representação de um conjunto é feita por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Seus integrantes, são denominados de elementos, são colocados entre chaves separados por vírgulas. Exemplos: ={a, e, i, o, u} = {2, 3, 5} O conjunto dos números naturais menores que 6 será: = {0, 1, 2, 3, 4, 5} O conjunto pode ser determinado através de uma sentença. = {x/x é letra do alfabeto} = {y/y é número}
2 Para facilitar o entendimento de exercícios sobre Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada. Tal representação recebe o nome de Diagrama de Venn. Exemplos: 3. PERTINÊNCI Para indicar que um elemento "x" pertence ao con junto "", escreve-se: x, notação devida ao matemático Giuseppe Peano (1858-1932) e que se lê: "x pertence a "". Para exprimir, ao invés, que um termo "x" não pertence ao conjunto "", escreve-se: x, que se lê: "x não pertence a ". Exemplos = {2, 4, 6, 8} No conjunto, temos que: 2 pertence a : 2
3 3 não pertence a : 3 4. IGULDDE E DESIGULDDE Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. = Exemplo: Dados os conjuntos = {1, 3, 5} e = {x que: x é ímpar, positivo, menor que 7}, temos = Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro. Exemplo: Dados os conjuntos = {9, 11, 13,...} e = {x 7}, temos que: x é ímpar, positivo, maior ou igual a Exercícios Resolvidos 1. Utilizar os símbolos e, relacionando os elementos com os conjuntos = {a, e, i, o, u} e = {b, c, d, f, g}. a. a e b. u e c. c e d. d e a) a b) u c) c d) d
4 2. Representar abreviadamente e por extenso o conjunto dos múltiplos negativos de 3. breviadamente: = {x x < 0 e x é múltiplo de 3} Por extenso: {..., -12, -9, -6, -3} 3. Relacionar os conjuntos utilizando os símbolos de = ou. a. = {1, 3, 5, 7} e = {x x é um número ímpar, positivo e menor que 9} b. = {verde, amarelo} e = {x x é uma cor da bandeira do rasil} 3. = {1, 3, 5, 7} e = {1, 3, 5, 7}; portanto = 4. = {verde, amarelo} e = {verde, amarelo, azul e branco}; portanto. 5. INCLUSÃO SUCONJUNTOS Um conjunto diz Sub-conjunto de um conjunto, e escreve-se se, todo elemento de for também elemento de. se, e somente Onde: Lê-se: é subconjunto de ou está contido em. Observações: significa que " contém " significa que " não está contido em " Teorema: O conjunto vazio é sub-conjunto de qualquer conjunto. Simbolicamente,
5 tenção Para relacionar elemento com conjunto, usam-se os símbolos e. Para relacionar conjunto com conjunto, usam-se os símbolos ( e ). Exercício Resolvido 1. Utilizar os símbolos ou, relacionando os conjuntos: = { x x é letra do alfabeto latino}, = {a, e, i, o, u} e C = { x x é consoante do alfabeto latino} a. e b. e C c. e C d. C e e. a e f. {a} e a) (nem todo elemento de pertence ao conjunto ) b) C (nem todo elmento de pertence ao conjunto C) c) (cada elemento de também pertence ao conjunto ) d) C (cada elemento de C também pertence ao conjunto ) e) a ( a é um elemento, e como tal não pode ser sub-conjunto) f) {a} (o conjunto formado pelo elemento a está contido no conjunto pois cada elemento do conjunto pertence também a ) 6. UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos "" e "", chama-se. união desses conjuntos e escreve-se conjunto constituído pelos elementos de "" ou de "". ao = {x/x ou x } Exemplos a) = {1, 2, 3, 4) = {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Observe que o conjunto possui 4 elementos, e o conjunto possui 3 elementos. No entanto a união de e possui 6 elementos, onde se conclui que a união de dois conjuntos não é a soma dos elementos de cada um deles.
6 Diagrama: 1 3 2 4 5 6 Isso se deve ao fato dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos não poderem ser contados duas vezes. Portanto pode-se dizer que o número de elementos de é a soma dos elementos de com, descontados os elementos que pertencem aos dois conjuntos. b) = (3, 4, 5) = {7, 8} = (3, 4, 5, 7, 8) Diagrama: 3 4 6 7 8 Dados dois conjuntos "" e "", chama-se intersecção desses conjuntos e escreve-se ao conjunto constituído pelos elementos comuns de "" e de "". = {x/x e x } Exemplos char o conjunto intersecção nos casos seguintes: = {1, 4, 6, 8, 10} = {2, 3, 5, 8, 10} Então: = {8, 10}
7 Diagrama: 1 4 6 8 10 2 3 5 = {2, 4, 6, 8, 9} = {4, 6} ={4,6}= Diagrama: 9 2 4 6 8 Observação "Se =, diz-se que e são Disjuntos". Exemplo = {a, b, c}; = {e, i, o} = São Disjuntos Exercícios Resolvidos
8 1. Dados os conjuntos = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, = {0, 2, 4} e C = {1, 3, 5}, determinar os seguintes conjuntos: a. d. b. C e. C c. C f. C a) = {0, 1, 2, 3, 4, 5} b) C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} c) C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} d) = {0, 2, 4} e) C = {1, 3, 5} f) C = {} Exercícios Propostos 1. Utilizando os símbolos ou, relacione os conjuntos = {0, -1, -3, -5}, = {- 3, 5} e C = {0, -1} a. e b. e c. e C d. C e 2. Dado os seguintes conjuntos: = {0, 2, 4}, = {x x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro). a. 2 b. {4, 5} C c. d. e. {2, 3, 4} ( C) f. {2, 3} C g. 2 7. DIFERENÇ DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos e, chama-se diferença entre "" e "" ao conjunto dos elementos de "" que não pertençam a "". = { x / x e x } Exemplos {a, b, c, d} - {a, b, c} = {d} {1, 2, 3} - {2, 3, 4} = {1} {5, 6, 8} - {5, 6, 8} =
9 O complemento (ou complementar) de um conjunto "" em relação a um conjunto "", assim se define: Para C = Exemplo = {1, 2, 3, 4, 5} = {2, 4, 5} C = = { 1, 3 } Exercício Resolvido 1. Dados os conjuntos = {-2, -1, 0, 1, 2}, = {0, 1, 2} e C = {0, -1, -2}, obter os conjuntos: a. C c. C C b. C d. C C a) C = = {-2, -1} b) C C = C = {1, 2} c) C = = d) C C = C = Exercícios Propostos 1. Dado os conjuntos = {0, -1, -2, -3, -4}, = {0, -1} e C = {-2, -3, -4}, escreva os conjuntos. a. C c. C C b. C d. C C