GABARITO PARTE I INTRODUÇÃO E METODOLOGIA Questão 1. Revisão de Matemática (a.) Calcule as derivadas em relação a x das seguintes funções: 2 4 i. ( x + 3x 1) ( x 8x) 2 +3 8 ) + ( 2 + 3-1)(4 3-8) 2 16 +3 24 +4 8 +12 24 4 +8 6 +15 4 24 48 +8 ii. 3x 2 3 3x 1 3 2 ( x 4x ) 2 +3 4 3 3 3 8 4 2 8 +3 12 9 24 9 +24 4 7 +16 +12 +36 4 x + 3 x 4x + 5 7 6 2 iii. ( ) 5 5 +3 4 +5 7 +18 8 iv. e x ln x + 1
v. ln( x 2 + 3x + 1) 2 +3 +3 +1 (b.) Calcule todas as derivadas parciais da seguinte função: f 2 3 4 3 ( S, Q, N, P, L) = SQ N P L + 7SQ + 2N P + 2 = +7 = 2 +7 = 3 +6 =4 +2 =
(c.) Encontre os valores de x que maximizam e minimizam as seguintes funções: i. f(x) = 300x 45x 2 + 2x 3 Condição de 1 a Ordem: f (x) = 0 f (x) = 300 90x + 6x 2 = 0 = 90± 8100 7200 12 = 90±30 12 x = 10 ou x = 5 Condição de 2 a Ordem: f (x)<> 0 f (x) = - 90 + 12x a) para x = 10 f (x) = -90 + 12(10) = 30 (>0, ponto de mínimo) b) para x = 5 f (x) = -90 + 12(5) = -30 (<0, ponto de máximo) ii. f(x) = 3x + 5 + (75/x) Condição de 1 a ordem: f (x) = 0 3 75x 2 = 0 75 = 3x 2 x 2 = 25 x = 5 ou x = 5 Condição de 2 a ordem: f (x)<> 0 f (x) = 150x 3 a) para x = 5 f (x) = 150 (5) 3 = 150/125 = 1,20 (>0, ponto de mínimo) b) para x = 5 f (x) = 150( 5) 3 = 150/-125 = 1,20 (<0, ponto de máximo)
(d.) O faturamento da empresa X em 2006 foi R$315 milhões. Em 2007, espera-se que o faturamento atinja R$420 milhões. Use o logaritmo para calcular a taxa de variação do faturamento. Faturamento em 2006: 315 ln (315) = 5,75 Faturamento em 2007: 420 ln(420) = 6,04 ln(420) ln(315) = 6,04 5,75 = 0,288 Taxa de variação do faturamento = e 0,288 = 1,333 Resposta: A variação no faturamento foi de 33,3%.
Questão 3. Preços Reais e Nominais (a.) Para os consumidores tomarem suas decisões sobre quanto consumir e que preço pagar, eles deveriam levar em conta os preços relativos, isto é: i. os preços nominais. ii. o montante total do desembolso de dinheiro necessário. iii. o preço em relação ao valor subjetivo que o consumidor atribui ao bem. iv. o preço em comparação com os demais preços da economia. (b.) Assinale a resposta ERRADA. O Índice de Preços ao Consumidor () mede: i. o custo de uma cesta de bens adquirida por uma consumidor típico, em relação ao custo de uma mesma cesta em um ano-base. ii. a evolução dos preços pagos, em média, pelos consumidores, de uma economia. iii. o montante de dinheiro necessário para adquirir uma determinada cesta padrão de bens em um certo ano. iv. o custo de vida. (c.) O sucesso de um filme de Hollywood é geralmente medido pelo quanto este arrecada em bilheteria. Até recentemente, o filme recordista era Titanic, lançado em 1997, que na época arrecadou US$1,8 bilhões nos 283 dias que ficou em cartaz. Dia 25/01/2010, a mídia divulgou com estardalhaço que este recorde teria sido batido pelo sucesso Avatar, após apenas 39 dias em cartaz. Entretanto, a comparação entre as duas bilheterias está tecnicamente errada, pois não considera o efeito da inflação. Se a inflação no período foi de 34%, quanto Avatar teria que arrecadar para superar o recorde de Titanic? E para se comparar ao clássico E o Vento Levou..., que arrecadou US$198 milhões em 1939, considerando que a inflação entre 1939 e 2010 foi de 1441%? Considerando a inflação de 1997 até 2010 (34%), podemos dizer que Titanic teria arrecadado, em moeda de 2010, o equivalente a US$1,8 bilhões x 1,34 = US$2,4 bilhões. Avatar teria, portanto, que arrecadar pelo menos US$2,4 bilhões para superar o recorde de Titanic. Já E o Vento Levou... arrecadou o equivalente, em moeda de 2010, a: US$198 milhões x (1 + 14,41) = US$ 3.051,18 bilhões Resposta: Avatar teria que arrecadar US$2,4 bilhões para equiparar-se a Titanic e US$3,1 bilhões para equiparar-se a E o Vento Levou..., se levarmos em conta a inflação.
(d.) Henry Ford pagava a seus trabalhadores $5 por dia, em 1914. Se o Índice de Preços ao Consumidor () nos EUA fosse 10 em 1914 e 177 em 2008, quanto valeria o salário dos empregados da Ford em dólares de hoje? Preço $5-10 (em 1914) x - 177 (hoje) Aplicando a regra de 3: 10x = 5 (177) x = 88,50 Resposta: O salário dos empregados da Ford em dólares de hoje valeria $ 88,50 por dia. (e.) Em 1931, em Plena Grande Depressão, o famoso jogador de beisebol americano Babe Ruth ganhou $80 mil. Na época, este salário era extraordinário. Um repórter perguntou a Ruth se ele achava certo ganhar mais do que o presidente americano Herbert Hoover, cujo salário era de apenas $75 mil. Ruth respondeu: Eu tive um ano melhor. Se o Índice de Preços ao Consumidor () nos EUA era de 15,2 em 1931 e 177 hoje, a quantos mil dólares equivaleriam este salário em moeda de hoje? Salário $80mil - 15,2 (em 1931) x - 177 (hoje) = 80.000 177 15,2 = 931.578,95 Resposta: O salário equivaleria em moeda de hoje a 931,6 mil dólares.
(f.) Se você comprou um imóvel em 1998 por R$100 mil, qual o mínimo que ele tem que valer hoje, em milhares de R$, para que você não tenha perdido dinheiro, em termos reais? Assuma que o Índice de Preços ao Consumidor () era de 166,64 em 1998 e está em 304,85 em 2008. Imóvel $100 mil - 166,64 (em 1998) X - 304,85 (hoje) = 100.000 304,85 166,64 =182.939,27 Resposta: O mínimo que o imóvel teria que valer hoje para que você não tenha perdido dinheiro, em termos reais, é R$182,94 mil. (g.) Você comprou uma ação em 1998 por R$17 e ela se valorizou 110% da data da compra até hoje. Se o Índice de Preços ao Consumidor era de 166,64 em 1998 e é de 304,85 em 2008, qual foi a valorização desta ação em termos reais? Ação $17-166,64 (em 1998) x - 304,85 (hoje) = 17 304,85 166,64 =$ 31,10 Valor da ação hoje: 17 (1 + 1,1) = 35,7 Valorização: (35,7 / 31,1) 1 = 0,148 Resposta: A valorização real foi de 14,8%.
(h.) Sua avó vive dizendo que os tempos não são mais como antigamente, que os preços não param de subir e a coisa vai muito mal. Por exemplo, diz ela, em 1995 um ingresso de cinema custava R$8,50. Hoje, ele custa R$15,00, quase o dobro! A análise dela está certa ou errada? (Suponha que o -FIPE em 1995 era 119,2464 e hoje, 278,7371). Ingresso $8,5-119,2464 (em 1995) x - 278,7371 (hoje) = 8,50 278,7371 119,2464 =$ 19,87 Resposta: A análise dela está errada, já que R$8,50 equivaleriam, em moeda de hoje, a R$19,87, mais que os R$15 que o ingresso custa hoje. Portanto, o preço do ingresso caiu em termos reais.