Coordenadoria de Matemática Programação Linear Professor: Oscar Luiz T. de Rezende
INTRODUÇÃO Pesquisa operacional (P.O) foi a denominação dada ao conjunto de processos e métodos de análise desenvolvidos por grupos acadêmicos que assessoraram as forças militares durante a 2ª Guerra Mundial. Eles foram criados na Inglaterra, com o objetivo de especular sobre problemas novos e que escapavam da rotina bélica. Esses grupos foram integrados por profissionais de diversas áreas e tiveram um desempenho surpreendente devido a engenhosidade usada na coleta de dados e informações, o que muito contribuiu para sua disseminação. Ao final da Guerra o grupo se manteve redirecionando suas ações ao gerenciamento civil. O marco definitivo da P.O se deve a G.Dantzig que em 1947, concebeu o problema de programação linear, publicando em seguida o método simplex para a programação linear. Assim o método simplex se tornou a primeira técnica explicita para a resolução de problemas de programação linear e permanece até hoje como a mais básica e útil de todas as técnicas da P.O.
Programação linear: definição Problema de otimização modelado em termos de equações lineares. Processo de modelagem visa adequação do problema físico à uma linguagem matemática, para seu tratamento através de técnicas matemáticas.
Programação linear: características Conjunto de variáveis manipuláveis: variáveis de decisão Objetivo a ser alcançado representada pela função objetivo: função linear das variáveis de decisão, que deve ser maximizada ou minimizada Restrições do sistema: equações lineares representadas através das variáveis de decisão Variáveis de decisão assumem valores préestabelecidos no domínio dos reais
Programação linear: construção do modelo Passo I: Variáveis de decisão Passo II: Função Objetivo Passo III: Restrições
Construção do modelo: passo I - variáveis de decisão Identificar as variáveis desconhecidas que se queira determinar Representar estas variáveis através de símbolos algébricos Exemplo: x e y x 1 e x 2
Construção do modelo: passo II - função objetivo Identificar o objetivo ou critério de otimização do problema O objetivo deve ser de maximização ou minimização Representá-lo como uma função linear das variáveis de decisão
Construção do modelo: passo III - restrições Identificar todas as restrições do problema e expressá-las como equações (=) ou inequações (<, >) lineares em termos das variáveis de decisão.
Programação linear: representação básica Função Objetivo: ou Sujeito a: c n x n x c x c Z Max + + + = K 2 2 1 1 c n x n x c x c Z Min + + + = K 2 2 1 1 1 1 2 12 1 11 b x a x a x a n n + + + K 2 2 2 22 1 21 b x a x a x a n n + + + K m n mn m m b x a x a x a + + + K 2 2 1 1 0,, 2, 1 x n x x K
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL Max Z s.a. = CX AX B X 0
Programação linear: exemplo problema Um jovem deseja sair com duas namoradas: Maria e Luísa. Sabe, por experiência que: Maria, elegante, gosta de freqüentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará 240 reais; Luísa, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três horas custará 160 reais; Seu orçamento permite dispor de 960 reais por mês para diversões; Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e 40000 calorias de sua energia para atividades sociais. Cada saída com Maria consome 5000 calorias, mas com Luísa, mais alegre e extrovertida, gasta o dobro. Ele gosta das duas com a mesma intensidade. Formule um problema para planejar a vida social do jovem de modo a obter um número máximo de saídas.
Programação linear: exemplo problema Considere uma planta de manufatura capaz de produzir dois produtos P e Q, cujo lucro por unidade seja de $6,00 e $8,00, respectivamente. O processo de produção envolve duas operações corte e furação. Para a operação de corte há 2 máquinas disponíveis e para a de furação há 3 máquinas disponíveis. As máquinas operam 200 horas por mês. Para fabricar uma unidade do produto P são necessárias 8h de corte e 4h de furação e para a fabricação de uma unidade do produto Q são consumidas 4h de corte e 10h de furação. Desenvolva um modelo matemático de programação linear que permita a determinação do mix de produtos a ser fabricado, procurando maximizar o lucro total durante o mês.
Problema : construção do modelo Passo I: Variáveis de decisão P = quantidade de produto P a ser fabricada por mês Q = quantidade do produto Q a ser fabricada por mês P,Q 0
Problema : construção do modelo Passo II: Função objetivo Max Lucro = 6P + 8Q
Problema : construção do modelo Passo III: Restrições Corte 8P + 4Q 400 Furação 4P + 10Q 600
Problema : modelo de PL Max Lucro = 6P + 8Q Sujeito a: 8P + 4Q 400 4P + 10Q 600 P,Q 0
Programação linear: interpretação gráfica Caso o problema possua apenas duas variáveis de decisão, a solução pode ser encontrada através de interpretação gráfica
Interpretação gráfica: passos Passo I Definir região factível Passo II Representar a função objetivo Passo III Identificar solução ótima
Interpretação gráfica: definir região factível Plotar restrições no gráfico, identificando a região factível de cada restrição A região admissível do problema é formada pela intersecção entre as regiões admissíveis de cada restrição
Construção da região factível Corte: 8P + 4Q 400 120 100 80 Q 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 P
Construção da região factível Furação: 4P + 10Q 600 120 100 80 Q 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 P
Construção da região factível Corte: 8P + 4Q 400 Furação: 4P + 10Q 600 120 100 80 Q 60 40 20 0 Região factível 0 20 40 60 80 100 120 140 160 P
Representar Função objetivo:vetor Gradiente Na função objetivo Lucro= 6P+8Q, definese o vetor Z= (6,8)
Identificar solução ótima Função objetivo: Max Lucro = 6P + 8Q 120 100 Solução ótima 80 Q 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 P
Calcular solução ótima Maximização: solução ótima representada pelo vértice da região admissível apontada pelo vetor Z Minimização: considera-se o sentido contrário do vetor Z Em caso de dúvida entre vértices candidatos a ótimo, calcula-se o valor da função objetivo para cada um deles
Calcular solução ótima Para encontrar o valor do ponto ótimo: 8P+ 4Q= 400 4P+ 10Q= 600
Calcular solução ótima Para encontrar o valor do ponto ótimo: 8P+ 4Q= 400 4P+ 10Q= 600 4P= 200 2Q
Calcular solução ótima Para encontrar o valor do ponto ótimo: 8P+ 4Q= 400 4P+ 10Q= 600 10Q 2Q= 600 200 4P= 200 2Q
Calcular solução ótima Para encontrar o valor do ponto ótimo: 8P+ 4Q= 400 4P+ 10Q= 600 10Q 2Q= 600 Q= 50 P=25 200 4P= 200 2Q
Calcular solução ótima Para encontrar o valor do ponto ótimo: 8P+ 4Q= 400 4P+ 10Q= 600 10Q 2Q= 600 200 Q= 50 P=25 Z = 6 25+ 8 50= 4P= 200 2Q $550
Exercício: O nutricionista do hospital HMD quer preparar um milkshake especial para o lanche de pacientes da pediatria que se recuperam de uma cirurgia. O nível de colesterol e de gordura saturada do milk-shake não pode exceder 180 e 170 unidades, respectivamente. Pelo menos 100 unidades de proteína devem ser ingeridas neste lanche. Deseja-se que as calorias do lanche excedam 100 unidades. O milk-shake possui 2 ingredientes: sorvete e cobertura de caramelo. Uma unidade de sorvete custa 60 centavos e possui 100 unidades de colesterol, 100 de gordura, 80 de proteína e 80 calorias. A unidade de cobertura de caramelo custa 10 centavos e possui 40 unidades de colesterol, 50 de gordura, 16 de proteínas e 200 calorias. Com o objetivo de minimizar custos, formular o problema e resolve-lo graficamente.
Exercício: - solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo
Exercício: solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo:
Exercício: solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo: Sujeito a: Min z= 60. S+ 10. C
Exercício: problema 12 - solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo: Sujeito a: Colesterol: Min z= 60. S+ 10. C
Exercício: solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo: Sujeito a: Colesterol: Gordura saturada: Min z= 60. S+ 10. C 100. S+ 40. C 180
Exercício: solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo: Sujeito a: Colesterol: Gordura saturada: Proteínas: Min z= 60. S+ 10. C 100. S+ 40. C 180 100. S+ 50. C 170
Exercício: solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo: Sujeito a: Colesterol: Gordura saturada: Proteínas: Calorias: Min z= 60. S+ 10. C 100. S+ 40. C 180 100. S+ 50. C 170 80. S+ 16. C 100
Exercício: solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo: Sujeito a: Colesterol: Gordura saturada: Proteínas: Calorias: Min z= 60. S+ 10. C 100. S+ 40. C 180 100. S+ 50. C 170 80. S+ 16. C 100 80. S+ 200. C 100
Exercício: solução S = unidade de sorvete C = unidade de cobertura de caramelo Função objetivo: Sujeito a: Colesterol: Gordura saturada: Proteínas: Calorias: Não negatividade: Min z= 60. S+ 10. C 100. S+ 40. C 180 100. S+ 50. C 170 80. S+ 16. C 100 80. S+ 200. C 100 S, C 0
Exercício: solução 7 Cobertura caramelo 6 5 4 3 2 Solução ótima 1 0 0 0,5 1 1,5 2 Sorvete colesterol gordura saturada proteína calorias
Exercício: solução Solução ótima: 0,95 unidades de sorvete 1,5 unidades de cobertura de caramelo Z = 72 centavos
Interpretação gráfica: casos especiais Soluções ótimas alternativas: 6 4 reta ótima 2 0 0 2 4 6
Interpretação gráfica: casos especiais Solução ilimitada: 8 6 infinito 4 2 0 0 2 4 6 8
Interpretação gráfica: casos especiais Sem solução: 6 4 2 0 0 2 4 6 8
Método Simplex Resolver o seguinte problema aplicando o método simplex 0 0, 10 2 20 5.. 3 2 Z 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + = x x x x x x a s x x Max
Método Simplex Acrescentar variáveis de folga 0 0, 0, 0, 10 2 20 5.. 3 2 Z 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 = + + = + + + = xf xf x x xf x x xf x x a s x x Max
Método Simplex Passo 1:Achar uma solução factível básica inicial Viráveis básicas xf 1 = 20 Viráveis não básicas x 1 = 0 xf 2 = 10 x 2 = 0 Z = 0
Método Simplex Passo 2: Verificar se a solução atual é ótima. Neste caso a solução ainda não é ótima pois existem variáveis não básicas que se entrarem na base melhoram a FO. Na função objetivo Z=2x1+3x2 cada unidade de da variável da variável x1 contribui com 2 unidades na FO e cada unidade da variável x2 contribui com 3 unidades na FO.
Método Simplex Passo 3: Escolher a variável que entra na base. A variável x2 é candidata a entrar na base, pois tem uma contribuição maior na FO Passo 4: Escolher a variável que sai da base: Isolar xf xf 1 2 = no 20 = 10 sistema 5x x 2 2 x as 1 2x 1 variáveis básicas A variável XF1 sai da base, pois ela chega mais rapidamente a zero com a entrada de x2
Método Simplex Soluções básicas x 2 xf = 2 4 = 6 Z = 12 Soluções não básicas x 1 xf = 1 0 = 0 Resolvendo sistema com x1=0 e xf1=0 temos: Voltar ao Passo 2:Verificar se a atual solução é ótima Para verificar se a atual solução é ótima vamos escrever FO em função das variáveis não básicas Z 7 3 = x xf 5 5 1 1 + 12
Método Simplex Passo 2:Determinar quem entra na base Variável x1candidata entrar na base Passo 3: Escolher quem sai da base Isolar no sistema as variáveis básicas x1 x2 = 4 5 xf = 6 2x 2 1 xf 5 1 xf2 sai da base
Método Simplex Soluções básicas 30 x 1 = 9 30 x 2 = Z 9 = 50 3 Soluções não básicas xf xf Resolvendo sistema com xf1=0 e xf2=0 temos: Voltar ao Passo 2:Verificar se a atual solução é ótima 1 2 = = 0 0 Z = 50 3 34 45 xf 1 7 9 xf 2 Solução ótima: não tem candidato a entrar na base
Método simplex usando quadros Escrever o modelo na forma a seguir Max Z 2x 1 3x 2 = 0 s. a. x 1 + 5x 2 + xf 1 = 20 2x 1 + x 2 + xf 2 = 10 x 1 0, x 2 0, xf 1 0, xf 2 0
Método Simplex usando quadros Transpor a função objetivo e as restrições para o quadro seguir Q1 z x1 x2 xf1 xf2 b Solução Base X1=0 1-2 -3 0 0 0 x2=0 xf1 0 1 5 1 0 20 xf1=20 xf2 0 2 1 0 1 10 xf2=10 Z =0 As variáveis associadas as colunas da identidade estão na base Solução é ótima: Se na linha 1 (FO)todos os valores forem >= zero.
Método simplex usando quadros Q1 Base xf1 xf2 z x1 x2 xf1 xf2 b 1-2 -3 0 0 0 0 1 5 1 0 20 0 2 1 0 1 10 Elemento pivot Variável que entra na base: variável de menor coeficiente na linha 1: x2 entra na base Variável que sai base: variável correspondente ao menor valor positivo obtido da divisão dos valores correspondentes da coluna b pela valores da coluna da variável que entra na base 20/5 < 10/1 xf1 sai da base
Q2 Método simplex usando quadros Q1 Base xf1 xf2 Base z x1 x2 xf1 xf2 b 1-2 -3 0 0 0 0 1 5 1 0 20 0 2 1 0 1 10 z x1 x2 xf1 xf2 b Solução x1=0,x2=4 xf1=0,xf2=6 Z=12 1-7/5 0 3/5 0 12 L1 L2*(3)+L1(Q1) x2 0 1/5 1 1/5 0 4 L2 L2(Q1)/5 xf2 0 9/5 0-1/5 1 6 L3 L2*(-1)+L3(Q1) Q3 z x1 x2 xf1 xf2 b Base 1 0 0 20/45 16/9 50/3 L1 L3*7/5+L1(Q2) x2 0 0 1 1/45-1/9 10/3 L2 L3*-1/5+L2(Q2) x1 0 1 0-1/9 5/9 10/3 L3 L3(Q2)*5/9 Não tem candidato a entrar na base Solução ótima: x1* =10/3, x2* =10/3, xf1* = 0, xf2* = 0 Z* = 50/3
Programação linear: problemas típicos Escolha do mix de produção Problema da mistura Distribuição em redes de transporte Programação de pessoal Planejamento dinâmico da produção Decisão financeira
Problemas típicos: escolha do mix de produção Visam determinar o nível das atividades de produção durante um período específico de tempo Níveis são restritos por considerações tecnológicas, de praticidade, etc. Objetivo normalmente é de maximizar lucro ou minimizar custos.
Escolha do mix de produção: exemplo problema 13 Considere uma planta de manufatura capaz de produzir dois produtos distintos, R e S. O produto R possui um preço de venda de $ 16,00 por unidade e o produto S possui um preço de venda de $ 12,00 por unidade. O consumo de matéria-prima por unidade de produto e o custo da matéria-prima é dado na tabela abaixo. Produto Matéria-Prima MP1 Matéria-Prima MP2 R 2 kg 2 kg S 1 kg 2kg Custo $ 2,00 por kg $ 1,00 por kg Não há material em estoque. Portanto, para que os produtos R e S possam ser fabricados, é necessário que a matéria-prima seja comprada. A disponibilidade de capital para a compra de matérias-primas MP1 e MP2 é de $ 2400,00 por mês. A fabricação de uma unidade do produto R exige 30 minutos de operação A, 15 minutos da operação B e 20 minutos da operação C. Já a produção de uma unidade do produto S exige 20 minutos da operação A e 20 minutos da operação B. A empresa dispõe de 250 horas mensais para a operação A e de 150 horas mensais para a operação B. A empresa subcontrata uma outra empresa para a realização da operação C, num máximo de 100 horas mensais, a um custo variável de $ 3,00 por hora subcontratada. Determinar o mix de produção que maximiza a margem de contribuição mensal da empresa, considerando todas as restrições acima apresentadas. A margem de contribuição unitária é igual a P V, onde P = preço de venda por unidade e V = custo variável por unidade, incluindo custos de matéria-prima e de subcontratação.
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução R = unidades de produto R a ser fabricado S = unidades de produto S a ser fabricado
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução R = unidades de produto R a ser fabricado S = unidades de produto S a ser fabricado Margem de contribuição (MC) = preço de venda custo de matéria-prima custo da operação C
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução R = unidades de produto R a ser fabricado S = unidades de produto S a ser fabricado Margem de contribuição (MC) = preço de venda custo de matéria-prima custo da operação C Produto R: MC = 16 (2*2 + 1*2) 3* 20/60 = 9 Produto S: MC = 12 (2*1 + 1*2) 3* 0 = 8
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução R = unidades de produto R a ser fabricado S = unidades de produto S a ser fabricado Margem de contribuição (MC) = preço de venda custo de matéria-prima custo da operação C Produto R: MC = 16 (2*2 + 1*2) 3* 20/60 = 9 Produto S: MC = 12 (2*1 + 1*2) 3* 0 = 8 Função objetivo: Max z= 9. R+ 8. S
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Sujeito a: Disponibilidade material:
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Sujeito a: Disponibilidade material: R => 2*2 + 1*2 = $6 S => 2*1 + 1*2 = $4
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Sujeito a: Disponibilidade material: R => 2*2 + 1*2 = $6 S => 2*1 + 1*2 = $4 6. R+ 4. S 2400
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Sujeito a: Capacidade de operação:
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Sujeito a: Capacidade de operação: Operação A: 30. R+ 20. S 15000
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Sujeito a: Capacidade de operação: Operação A: 30. R+ 20. S 15000 Operação B: 15. R+ 20. S 9000
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Sujeito a: Capacidade de operação: Operação A: 30. R+ 20. S 15000 Operação B: 15. R+ 20. S 9000 Operação C: 20. R 6000
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Função objetivo: Max z= 9. R+ 8. S Sujeito a: 6. R+ 4. S 2400 30. R+ 20. S 15000 15. R+ 20. S 20. R R, S 0 6000 9000
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução 800 700 600 produto S 500 400 300 200 100 0 0 100 200 300 400 500 600 700 produto R disponibilidade $ MP operação A operação B operação C
Escolha do mix de produção: problema 13 - solução Solução ótima: 200 unidades de produto R 300 unidades de produto S Z = $4200
Problemas típicos: problema da mistura Visam determinar o nível de utilização de matérias-primas na composição de produtos finais As restrições dizem respeito às características dos componentes que formam os produtos finais, demanda a ser atendida, quantidade de insumos disponíveis, etc.
Problema da mistura: exemplo problema 14 Suponha que um agricultor queira adubar a sua plantação e disponha de dois tipos de adubo. O adubo tipo A possui 6 g de fósforos, 2 g de nitrogênio e 16 g de potássio para cada kg, a um custo de $ 20 por kg. Já o adubo B possui 4 g de fósforo, 6 g de nitrogênio e 4 g de potássio para cada kg, a um custo de $ 16 por kg. Sabe-se que o solo em que estão as suas plantações necessita de pelo menos 60 g de fósforo, 30 g de nitrogênio e 80 g de potássio a cada 100 m 2 de terra. Determinar quantos kg de cada tipo de adubo são necessários para adubar 100 m 2 de terra a um mínimo custo.
Problema da mistura: problema 14 - solução
Problema da mistura: problema 14 - solução A = kg de adubo tipo A a ser utilizado B = kg de adubo tipo B a ser utilizado
Problema da mistura: problema 14 - solução A = kg de adubo tipo A a ser utilizado B = kg de adubo tipo B a ser utilizado Função objetivo:
Problema da mistura: problema 14 - solução A = kg de adubo tipo A a ser utilizado B = kg de adubo tipo B a ser utilizado Função objetivo: Min z= 20. A+ 16. B Sujeito a: Fósforo:
Problema da mistura: problema 14 - solução A = kg de adubo tipo A a ser utilizado B = kg de adubo tipo B a ser utilizado Função objetivo: Min z= 20. A+ 16. B Sujeito a: Fósforo: Nitrogênio: 6. A+ 4. B 60
Problema da mistura: problema 14 - solução A = kg de adubo tipo A a ser utilizado B = kg de adubo tipo B a ser utilizado Função objetivo: Sujeito a: Fósforo: Nitrogênio: Potássio: Min z= 20. A+ 16. B 6. A+ 4. B 60 2. A+ 6. B 30
Problema da mistura: problema 14 - solução A = kg de adubo tipo A a ser utilizado B = kg de adubo tipo B a ser utilizado Função objetivo: Sujeito a: Fósforo: Nitrogênio: Potássio: Min z= 20. A+ 16. B 6. A+ 4. B 60 2. A+ 6. B 30 16. A+ 4. B 80
Problema da mistura: problema 14 - solução A = kg de adubo tipo A a ser utilizado B = kg de adubo tipo B a ser utilizado Função objetivo: Sujeito a: Fósforo: Nitrogênio: Potássio: Min z= 20. A+ 16. B 6. A+ 4. B 60 2. A+ 6. B 30 16. A+ 4. B 80 A, B 0
Problema da mistura: problema 14 - solução 25 20 adubo B 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 adubo A fósforo nitrogênio potássio
Problema da mistura: problema 14 - solução Solução ótima: 8,6 kg de adubo tipo A 2,1 kg de adubo tipo B Z = $205,7
Problema da mistura: exemplo problema 15 mistura de fluidos A empresa XYZ produz 3 tipos de gasolina a partir da mistura de 2 tipos de óleo. A empresa possui 2800 barris do óleo tipo A e 2500 barris do tipo B. A demanda pelas gasolinas tipo 1, 2 e 3 é de 2000, 1000 e 1400 barris, respectivamente. A octanagem média mínima das gasolinas, bem como a octanagem dos óleos é dada na tabela que segue. Na tabela também são dados os custos de compra dos óleos e o preço de venda das gasolinas. Formular o problema de forma a maximizar o lucro. Gasolina 1 Gasolina 2 Gasolina 3 Óleo A Óleo B Octanagem 8 6 10 12 8 Custo - - - $35 $25 Preço $60 $70 $50 - -
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução X ij = barris de óleo i na gasolina j
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução X ij = barris de óleo i na gasolina j Então tem-se: Gasolina1= X A1+ X B1
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução X ij = barris de óleo i na gasolina j Então tem-se: Gasolina1= X A1+ X B1 Gasolina2 = X + A2 X B2 Gasolina3 = X + A3 X B3
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução X ij = barris de óleo i na gasolina j Então tem-se: Gasolina1= X A1+ X B1 Gasolina2 = X + A2 X B2 Gasolina3 = X + A3 X B3 ÓleoA = X + X + A1 A2 X A3
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução X ij = barris de óleo i na gasolina j Então tem-se: Gasolina1= X A1+ X B1 Gasolina2 = X + A2 X B2 Gasolina3 = X + A3 X B3 ÓleoA = X + X + A1 B1 A2 ÓleoB = X + X + B2 X X A3 B3
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Função objetivo:
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Função objetivo: Max: z = 60*( X A1+ X B1) + 70*( X A2+ X B2) + 50*( X A3+ X B3) -35*( X A1+ X A2+ X A3) 25*( X B1+ X B2+ X B3)
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Função objetivo: Max: z = 60*( X A1+ X B1) + 70*( X A2+ X B2) + 50*( X A3+ X B3) -35*( X A1+ X A2+ X A3) 25*( X B1+ X B2+ X B3) Max: z = + 25. X A1 + 35. X B1+ 35. X A2+ 45. X B2+ 15. X A3 25. X B3
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Disponibilidade de óleo:
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Disponibilidade de óleo: Óleo A: X A1+ X A2+ X A3 2800 Óleo B: X B1+ X B2+ X B3 2500
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Demanda de gasolina:
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Demanda de gasolina: Gas 1: X A X 1+ B 1 2000 Gas 2: Gas 3: X A X 2+ B 2 X A X 3+ B 3 1000 1400
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Octanagem mínima:
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Octanagem mínima: Gas 1: 12* X X A1 B1 A1 + 8* X + X B1 8
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Octanagem mínima: Gas 1: 12* X X A1 B1 A1 + 8* X + X B1 8 4* X A 1 0 Irrelevante!
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Octanagem mínima: Gas 2: 12* X X A2 B2 A2 + 8* X + X B2 6 6* X A + 2* X B2 2 0
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos - solução Sujeito a: Octanagem mínima: Gas 3: 12* X X A3 B3 A3 + 8* X + X B3 10 2* X A 2* X B3 3 0
Problema da mistura: problema 15 mistura de fluidos solução final Max z= + 25. X A1 + 35. X B1+ 35. X A2+ 45. X B2+ 15. X A3 25. X B3 S.A.: X A X 1+ B 1 X A X 2+ B 2 X A X 3+ B 3 2000 1000 1400 X X A1+ X A2+ X A3 B1+ X B2+ X B3 2800 2500 6* X A + 2* X B2 2 2* X A 2* X B3 3 0 0 X ij 0
Problemas típicos: distribuição em redes de transporte Consistem em definir o destino de elementos (produtos, pessoas, etc.) a partir de várias origens Ou seja, têm-se m pontos de fornecimento e n pontos de demanda, e deseja-se definir qual o melhor caminho para que os elementos fornecidos cheguem aos pontos de demanda.
Distribuição em redes de transporte: exemplo problema 16 WPP e Cia. possui 3 fábricas para produção de enlatados: fábrica A, B e C. Os produtos são distribuídos a 4 representantes que se encarregam das entregas nos supermercados. A capacidade das fábricas A, B e C são 2300, 850 e 1200 enlatados, respectivamente. A demanda por produtos nos representantes 1, 2, 3 e 4 são 900, 1350, 1000 e 1100 enlatados, respectivamente. O custo de transporte de cada 1000 enlatados varia conforme o trajeto, e é dado na tabela abaixo. Formular o problema, minimizando custos de transporte. Representantes 1 2 3 4 Fábricas A $2,00 $4,00 $9,00 $5,00 B $5,00 $2,00 $2,00 $2,00 C $6,00 $8,00 $10,00 $4,00
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução X ij = número de enlatados fabricado na fabrica i e entregue ao representante j
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução X ij = número de enlatados fabricado na fabrica i e entregue ao representante j Função objetivo:
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução X ij = número de enlatados fabricado na fabrica i e entregue ao representante j Função objetivo: Min z= + 0,002. X A1 + 0,004. X A2+ 0,009. X A3+ 0,005. X A4+ 0,005. X B1 0,002. X B2 0,002. X B3 + 0,002. X B4+ 0,006. X C1+ 0,008. X C 2+ 0,01. X C3+ 0,004. X C 4
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução X ij = número de enlatados fabricado na fabrica i e entregue ao representante j Função objetivo: Min z= + 0,002. X A1 + 0,004. X A2+ 0,009. X A3+ 0,005. X A4+ 0,005. X B1 0,002. X B2 0,002. X B3 + 0,002. X B4+ 0,006. X C1+ 0,008. X C 2+ 0,01. X C3+ 0,004. X C 4 Considerando que: C ij = custo para transportar enlatados da fabrica i ao representante j
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução X ij = número de enlatados fabricado na fabrica i e entregue ao representante j Função objetivo: Min z= + 0,002. X A1 + 0,004. X A2+ 0,009. X A3+ 0,005. X A4+ 0,005. X B1 0,002. X B2 0,002. X B3 + 0,002. X B4+ 0,006. X C1+ 0,008. X C 2+ 0,01. X C3+ 0,004. X C 4 Considerando que: C ij = custo para transportar enlatados da fabrica i ao representante j Min z = C 4 i= A j= 1 C ij X ij
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Capacidade das fábricas: Fábrica A:
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Capacidade das fábricas: Fábrica A: X X + X + X 2300 A1+ A2 A3 A4
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Capacidade das fábricas: Fábrica A: X X + X + X 2300 A1+ A2 A3 A4 4 j= 1 X Aj 2300
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Capacidade das fábricas: Fábrica A: X A1+ X A2+ X A3+ X A4 2300 Considerando que: j= 1 S i = capacidade da fabrica i 4 X Aj 2300
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Capacidade das fábricas: Fábrica A: X A1+ X A2+ X A3+ X A4 2300 Considerando que: j= 1 S i = capacidade da fabrica i 4 X Aj 2300 4 j= 1 X ij S i para i = A, B, C
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Demanda nos representantes: Representante 1:
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Demanda nos representantes: Representante 1: X X + X 900 A1+ B1 C1
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Demanda nos representantes: Representante 1: X X + X 900 A1+ B1 C1 C i= A X 900 i1
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Demanda nos representantes: Representante 1: X Considerando que: D ij = demanda no representante j A1+ X B1+ X C1 C i= A X 900 i1 900
Distribuição em redes de transporte: problema 16 - solução Sujeito a: Demanda nos representantes: Representante 1: X Considerando que: D ij = demanda no representante j A1+ X B1+ X C1 C i= A X 900 i1 900 C i= A X D para j= 1, 2,3, 4 ij j
Distribuição em redes de transporte: problema 16 solução final Função objetivo: Min z = C 4 i= A j= 1 C ij X ij Sujeito a: 4 j= 1 X ij S i para i = A, B, C C i= A X D para j= 1, 2,3, 4 ij j X ij 0 e inteiro
Distribuição em redes de transporte: formulação básica Função objetivo: Min z = m n i= 1 j= 1 C ij X ij Sujeito a: n j= 1 X ij S i para i = 1, K, m m i= 1 X ij D j para j = 1, K, n X ij 0
Problemas típicos: programação de pessoal Visa definir os turnos e dias da semana trabalhados pelos funcionários Objetivo: minimizar o número de funcionários ou custos com estes Restrições dizem respeito a demanda por funcionários, leis trabalhistas, flexibilidade de horários de trabalho, etc.
Programação de pessoal: exemplo problema 17 A emergência de um hospital funciona 24 horas por dia, sete dias por semana. O dia é dividido em 3 turnos de oito horas. A demanda por enfermeiras em um dos turnos, em cada dia da semana é dada na tabela abaixo. As enfermeiras trabalham 5 dias por semana e folgam em dois dias consecutivos. Formular o problema de forma a minimizar o número de enfermeiras do turno em questão e determinar seus dias de folgas. Dia da semana Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Demanda por enfermeiras 3 6 5 6 5 5 5
Programação de pessoal: problema 17 - solução
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i Função objetivo:
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i Função objetivo: Min z = 7 i= 1 x i
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i Função objetivo: S.A.: Dom: Min z = 7 i= 1 x i
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i Função objetivo: S.A.: Min z i= 1 Dom: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 3 = 7 x i
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i Função objetivo: S.A.: Dom: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 3 Seg: Min z = 7 i= 1 x i
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i Função objetivo: S.A.: Min z i= 1 Dom: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 3 Seg: x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 6 = 7 x i
Programação de pessoal: problema 17 - solução x i = número de funcionários que iniciam seu turno no dia da semana i Função objetivo: S.A.: Min z i= 1 Dom: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 3 Seg: x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 6 Ter: x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 5 Qua: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 6 Qui: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 5 Sex: x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 5 Sab: x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 5 = 7 x i x i 0 e inteiro
Problemas típicos: planejamento dinâmico da produção Considera vários períodos de tempo. As decisões são quanto produzir em horário normal e em hora-extra em cada período, quanto estocar, quantas pessoas contratar ou demitir, etc. Objetivo reflete minimização de custos e maximização de lucros ao longo do horizonte de planejamento
Planejamento dinâmico da produção: exemplo problema 18 A demanda do produto Z nos próximos 4 meses é dada por 12, 9, 18 e 22 unidades, respectivamente. Ele pode ser fabricado em turno normal de trabalho ou em hora extra. A capacidade de produção, tanto em turno normal como em hora extra, é variável ao longo destes meses, e dada na tabela que segue. O produto pode ser fabricado em um determinado mês e estocado para atender a demanda de outro mês. Os custos unitários de produção em turno normal, em hora extra e de estocagem são $14, $21 e $1, respectivamente. Formular o problema que minimize custos. Capacidade produtiva (unidade/mês) Meses 1 2 3 4 Turno normal 10 8 10 12 Hora extra 8 6 5 4
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução p i = unidades produzidas em turno normal no mês i h i = unidades produzidas em hora extra no mês i e i = unidades em estoque no mês i (no final do mês) Função objetivo: Min z = custos em turno normal + custos em hora extra + custo de estocagem Min z 14* 4 + 21* + 1* = p i hi i= 1 4 i= 1 4 i= 1 e i
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Capacidade de produção em turno normal:
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Capacidade de produção em turno normal: Mês 1: p 1 10 Mês 2: Mês 3: Mês 4: p 2 8 p 3 10 p 4 12
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Capacidade de produção em turno normal: Mês 1: p 1 10 Mês 2: Mês 3: Mês 4: p 2 8 p 3 10 p 4 12 Então: pi C i Onde C i = capacidade em turno normal no mês i
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Capacidade de produção em hora extra:
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Capacidade de produção em hora extra: Mês 1: Mês 2: h 8 1 h 2 6 Mês 3: Mês 4: h 5 3 h 4 4
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Capacidade de produção em hora extra: Mês 1: Mês 2: h 8 1 h 2 6 Mês 3: Mês 4: Então: h 5 3 h 4 4 hi Ce i Onde Ce i = capacidade em hora extra no mês i
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Demanda:
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Demanda: Mês 1: p + h e 12 1 1 1=
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Demanda: Mês 1: p 1 + h1 e1 = 12 Mês 2: p 2 + h2 + e1 e2 = 9
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Sujeito a: Demanda: Mês 1: Mês 2: p p 1 + h1 e1 = 12 2 + h2 + e1 e2 = 9 Mês 3: p 3 + h3+ e2 e3 = 18 Mês 4: p 4 + h4 + e3 e4 = 22 Então: p e = i + hi + ei 1 i d i Onde d i = demanda no mês i
Planejamento dinâmico da produção: problema 18 - solução Função objetivo: Min z Sujeito a: 14* 4 hi Ce i pi C i + 21* + 1* = p i hi i= 1 4 i= 1 4 i= 1 e i p e = i + hi + ei 1 i d i p ; h ; e i i i 0
Problemas típicos: decisão financeira Visa definir as quantidades a serem investidas em cada alternativa de investimento, dada as restrições de capital e dos investimentos Objetivo é maximizar rentabilidade.
Decisão financeira : exemplo problema 19 O Sr. Gonzaga recebeu 180 mil dólares de herança de um tio com a condição de doá-lo à instituições de caridade dentro de um ano, podendo ficar com a rentabilidade obtida até então. Esta quantia se encontra aplicada em um banco e se não for mexida renderá 56% de juros no final de um ano. O Sr. Gonzaga selecionou outras 3 alternativas de investimento: Alternativa A: adquirir lote de ações a US$ 0,45 / unidade que tem uma rentabilidade esperada de 70% no próximo ano. Alternativa B: comprar letras de câmbio por US$ 30,00 / unidade com uma rentabilidade anual esperada de 61%. Alternativa C: comprar Obrigações do Tesouro Nacional a um preço de US$ 10,00 / unidade e com rentabilidade anual esperada de 50%. Sr. Gonzaga, entretanto, não deseja investir mais de US$150000,00 em ações e/ou letras de câmbio e, por medida de segurança, quer deixar no mínimo US$ 20000,00 aplicados no banco. Deseja ainda que o investimento em Obrigações do Tesouro não seja maior que o dobro do valor aplicado no banco. Seu corretor consegue no máximo 20000 ações e 4000 letras de câmbio. Formular o problema de forma a maximizar a rentabilidade do Sr. Gonzaga.
Decisão financeira : problema 19 - solução
Decisão financeira : problema 19 - solução B = US$ investidos no banco A = US$ investidos em ações L = US$ investidos em letras de câmbio T = US$ investidos em obrigações do tesouro
Decisão financeira : problema 19 - solução B = US$ investidos no banco A = US$ investidos em ações L = US$ investidos em letras de câmbio T = US$ investidos em obrigações do tesouro Função objetivo:
Decisão financeira : problema 19 - solução B = US$ investidos no banco A = US$ investidos em ações L = US$ investidos em letras de câmbio T = US$ investidos em obrigações do tesouro Função objetivo: Max z = 0,56 B+ 0,7 A+ 0,61 L+ 0, 50 T
Decisão financeira : problema 19 - solução Sujeito a: Disponibilidade capital:
Decisão financeira : problema 19 - solução Sujeito a: Disponibilidade capital: Exigências de investidor: B+ A+ L+ T 180000
Decisão financeira : problema 19 - solução Sujeito a: Disponibilidade capital: Exigências de investidor: B+ A+ L+ T 180000 A+ L 150000
Decisão financeira : problema 19 - solução Sujeito a: Disponibilidade capital: Exigências de investidor: B+ A+ L+ T 180000 A+ L 150000 B 20000
Decisão financeira : problema 19 - solução Sujeito a: Disponibilidade capital: Exigências de investidor: B+ A+ L+ T 180000 A+ L 150000 B 20000 2 B T 0 Disponibilidade mercado:
Decisão financeira : problema 19 - solução Sujeito a: Disponibilidade capital: Exigências de investidor: Disponibilidade mercado: B+ A+ L+ T A+ L 150000 B 20000 2 B T 0 180000 A 20000 *0,45= 9000
Decisão financeira : problema 19 - solução Sujeito a: Disponibilidade capital: Exigências de investidor: Disponibilidade mercado: B+ A+ L+ T A+ L 150000 B 20000 2 B T 0 180000 A 20000 *0,45= L 4000 *30= 9000 120000
Decisão financeira : problema 19 solução final Função objetivo: Max z = 0,56 B+ 0,7 A+ 0,61 L+ 0, 50 T Sujeito a: B+ A+ L+ T 180000 A+ L 150000 B 20000 2 B T 0 A 9000 L 120000 B, A, L, T 0