Universidade dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri UFVJM Instituto de Ciência, Engenharia e Tecnologia ICET Grupo de Estudos em Software Livre no Ensino GESE MINICURSO DE GEOGEBRA PARA INICIANTES NO ESTUDO DE CÁLCULO I Assuntos: GRÁFICOS DE FUNÇÕES LIMITES ASSÍNTOTA gese.mucurilivre.org Teófilo Otoni - 2012
O que é o GeoGebra? O GeoGebra é um sofware livre de matemática dinâmica desenvolvido por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University. Isso permite a qualquer pessoa utilizar este software sem custo algum. Criado principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática no ensino básico, o GeoGebra também é utilizado no ensino superior para o ensino superior no estudo de cálculo, álgebra e geometria. Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente. Pode-se trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos. Para baixar o GeoGebra e outros materiais acesse o site http://www.geogebra.org A cara do GeoGebra. Objetivo deste material Este material foi produzido para um minicurso oferecido aos alunos do 1º período do BC&T (ICET/UFVJM) com o objetivo de auxiliá-los no estudo da disciplina de Cálculo I. Abordaremos os seguintes conteúdos matemáticos: Gráficos de funções, Limites, Assintotas. Grupo de Estudos em Software Livre no Ensino GESE (gese.mucurilivre.org) 1
1 Construindo gráficos de funções É muito simples construir o gráfico de uma função no GeoGebra. Basta introduzir a função no campo de entrada. Aperte a tecla enter para visualizar a curva gerada pela função. É possível alterar a cor e o estilo da cuva. Clique com o botão direito sobre a linha da cuva. Em seguida clique em propriedades Se desejar limitar o domínio da função a um intervalo no eixo x digite no campo entrada o comando Função[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] Para analisar gráficos de funções trigonométricas altere a unidade de media do eixo x clicando com o botão direito do mouse sobre a janela de visualização. Depois clique na aba eixo x e faça as alterações conforme imagem ao lado. Grupo de Estudos em Software Livre no Ensino GESE (gese.mucurilivre.org) 2
Para plotar funções definidas por partes utilize o comando Se. Veja o exemplo: f (x)= x+1se x<1 x² +2 se x 1 no campo entrada digite Se[x < 1, -x + 1, Se[x 1, x² + 2]] Atividade: Vamos analisar o comportamento de uma curva variando os coeficientes da função f(x) = ax² + bx + c. Na barra de ferramentas clique na ferramenta (1) controle deslizante (ou seletor). (2) Crie os contreles a, b e c. (3) Digite a função f(x) = a*x² + b*x + c. Utilizando os seletores altere os valores de a, b e c e veja como a curva se comporta. Vejamos agora o comportamento de um ponto na curva gerada por uma função. Crie o gráfico da função f(x) = cos(x). Crie um seletor a com intervalo de [-10, 10]. Crie um ponto A = (a, f(a)). No controle altere o valor de a e veja como o ponto se comporta sob a curva. Grupo de Estudos em Software Livre no Ensino GESE (gese.mucurilivre.org) 3
2 Analisando Limites Vamos agora analisar o x² +2 utilizando o lim x 1 GeoGebra. Plote o gráfico de f (x)= x² +2. Crie um seletor a, o ponto P(1, f(1)), o ponto A(a, f(a)) e as coordenadas nos eixos x e y. Clique no seletor e altere o valor de a para próximo de 1, utilizando as telas de direção para esquerda e para direita. No campo entrada digite o comando Limite[<função>, <número>] e compare. Faça o mesmo com os limites da seguintes funções: 1. f (x)= x²+1 2x x² 2. f (x)= 1+x+2x² 3. f (x)= sen(x) x 4. f (x)= ex +1 x (x 0) (x ± ) (x 0) (x 0) 5. f (x)= x 2 x 4 6. f (x)= x³+2x+1 x 3 7. f (x)=(1+x) 1/ x (x 0) 8. f (x)=tg(x) (x π/2) (x 4) Existe o limite? (x + ) Para discutir em grupos Utilize o GeoGebra para plotar os gráficos e discuta a continuidade das seguintes funções: a) f (x)= 1 x x² 1 b) g(x)= x+1 c) h(x)= x+1se x<1 2 x se x 1 Grupo de Estudos em Software Livre no Ensino GESE (gese.mucurilivre.org) 4
3 Assíntota Para encontrar as assíntotas de uma função basta digitar o comando assíntota[<função>]. Veja o exemplo: Plote o gráfico da função f (x)= ex +1. Encontre as assíntotas de f(x). Crie um seletor a com intervalo x+1 de -4 a +3 e o ponto A=(a, f(a)). Movimente o seletor e verifique se existe o limite quando x -1. Classifique assíntota. Atividades: Determine e classifique as assíntotas dos gráficos das funções abaixo: 9. f (x)= x x+4 10. f (x)= x²+4 x² 1 x³ 11. f (x)= x² +3x 10 x³ +1 12. f (x)= x³ x Referências: 13. f (x)= x 4 x⁴+1 x 9 14. f (x)= 4x²+3x +2 15. f (x)=(1+x) 1 / x 16. f (x)= x³ x² 1 Grupo de Estudos em Software Livre no Ensino GESE (gese.mucurilivre.org) 5
ALVES, D. O. Ensino de funções, limites e continuidade em ambientes educacionais informatizados: uma proposta para cursos de introdução ao Cálculo. 2010. 53 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Departamento de Matemática, Universidade Federal de Ouro Preto. Ouro Preto, 2010. HOFFMANN, Laurence D., BRADLEY, Geraldo L., 1943. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações; tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. - [Reimpr.] - Rio de Janeiro : LTC, 2011. STEWART, James. Cálculo, vol I. 5 ed. Tradução Antonio Carlos Gilli Martins. São Paulo : Cengage Learning, 2008. www.geogebra.org www.calculo.iq.unesp.br/calculo1_applets-geogebra.html Grupo de Estudos em Software Livre no Ensino GESE (gese.mucurilivre.org) 6