NO ESTUDO DE FUNÇÕES

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1 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA SEMANA DA MATEMÁTICA 2014 UTILIZAÇÃO DE SOFTWARES GRÁFICOS NO ESTUDO DE FUNÇÕES PIBID MATEMÁTICA 2009 CURITIBA 2014

2 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 3 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU... 3 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 2º GRAU... 4 GRÁFICOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS... 5 GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS... 5 GRÁFICOS DE FUNÇÕES MODULARES... 6 SOFTWARES GEOMÉTRICOS... 7 IGEOM... 7 CABRI-GEOMETRE... 7 GEOGEBRA SOFTWARES GRÁFICOS... 9 WINPLOT... 9 GRAPH GRAFEQUATION PRIMEIRA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA SEGUNDA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GRAFEQ CONCLUSÃO BIBLIOGRAFIA... 24

3 3 INTRODUÇÃO Em uma era de tecnologia e comunicação é fundamental que os alunos se familiarizem com o computador e com programas específicos para aprofundar mais e melhor sua aprendizagem Matemática. Como, por exemplo, numa resolução de problemas, onde o aluno pode se concentrar mais nos métodos, nas estratégias, nas descobertas, no relacionar logicamente idéias matemáticas e na generalização do problema, deixando os cálculos para que a máquina execute. O objetivo a ser alcançado com este material é fazer com que o aluno visualize os diferentes gráficos das funções de 1º e 2º graus, modulares, exponenciais e logarítmicas, compreendendo o significado dos coeficientes e do comportamento dessas funções. Além disso, que os alunos possam traçar por si mesmos o gráfico destas funções, analisando variações dos coeficientes que por sua vez definirão o translado, rotação ou reflexão dos gráficos sobre os eixos de coordenadas x e y. Como metodologia abordada utilizamos as Investigações Matemáticas em sala de Aula e como ferramenta podemos utilizar softwares geométricos ou de gráficos, como os sugeridos neste trabalho. Nós optamos pelo uso do Software Geogebra para realização de nossas atividades, onde os alunos devem investigar o comportamento dos diversos gráficos das funções propostas, respondendo a um questionário. GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU Diz-se função do 1º grau qualquer função, f de em, do tipo ( ) com a e b reais, sendo. O gráfico da função do 1º grau é representado por uma reta onde a é o coeficiente angular, responsável pela inclinação da reta com relação ao eixo, e b é o coeficiente linear da reta, ordenada do ponto onde a reta corta o eixo. Além disso, o coeficiente a determina se a reta será crescente ou decrescente a partir do seu sinal: Quando a reta é crescente.

4 4 Quando a reta é decrescente. GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 2º GRAU A função do segundo grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo ( ), com a, b e c ϵ e. No caso de b c serem iguais a zero, a função será considerada incompleta. O gráfico de uma função do 2º grau é representado por uma parábola: Quando a concavidade da parábola fica voltada para cima e seu vértice representa o menor ponto da função. Quando representa o maior ponto da função. a concavidade da parábola fica voltada para baixo e seu vértice

5 5 GRÁFICOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS A função exponencial pode ser definida como a inversa da função logarítmica natural ( ), com e. No gráfico de uma função exponencial podemos dividir sua construção em dois casos: e Para : Para : GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Toda função definida pela lei de formação ( ), com e, é denominada função logarítmica de base. Neste tipo de função temos que o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Gráfico da função: Para podermos construir o gráfico da função logarítmica, devemos analisar dois casos: e.

6 6 Para : Para : GRÁFICOS DE FUNÇÕES MODULARES Definição de modulo: Chama-se modulo (ou valor absoluto) de um número real o próprio número, se ele for positivo ou nulo, ou seu oposto, se ele for negativo, ou seja: { d Definimos como função modular tal que ( ) com a, b, c, Observe os gráficos das funções do 1º grau que definem a função ( ) que, neste caso, e ): (Note ( ) ( )

7 7 Assim, como a função modular está bem definida para todos os números reais, seu gráfico resulta da junção dos outros dois: ( ) SOFTWARES GEOMÉTRICOS Neste capítulo vamos abordar três softwares Geométricos, dos quais dois são softwares gratuitos, incluindo uma breve abordagem sobre a utilização do Software Geogebra, o qual será utilizado na Primeira Atividade proposta posteriormente. IGEOM igeom é um software para ensino de geometria que utilizam a interatividade para facilitar o aprendizado de conceitos matemáticos. Desenvolvido sob supervisão do professor Leônidas de Oliveira Brandão, do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, o igeom é uma ferramenta gratuita para ensinar de maneira ativa e interativa, que pode ser usado no ensino fundamental, médio e superior. Por intermédio do programa é possível, por exemplo, determinar a localização do ponto médio, estudar as funções de seno, cosseno, tangente, modelos matemáticos, algoritmos e recorrências (que é uma única figura repetida várias vezes em pontos específicos). Este software de Geometria Interativa é livre (gratuito) e ainda é um programa escrito na linguagem de programação Java, e, portanto funciona em qualquer plataforma. O download do software pode ser encontrado no link CABRI-GEOMETRE O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando as propriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a todos

8 8 os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de fatos geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito além da manipulação dinâmica e imediata das figuras. O Cabri permite ao professor criar livremente atividades para suas aulas, ele é assim caracterizado como um software aberto. Ele pode ser utilizado desde o primário até a Universidade em diversas áreas como Matemática, Física e Desenho Artístico por exemplo. O download do software Cabri-Geometre pode ser encontrado no link GEOGEBRA 4.2 O Geogebra é um software de matemática dinâmica que pode ser utilizado em educação matemática nas escolas do ensino fundamental, médio e superior que reúne geometria, álgebra e cálculo. Este software pode auxiliar na organização do pensamento do aluno quando ele se depara com objetos matemáticos. Este software permite realizar construções com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas bem como funções e mudá-los dinamicamente depois. Do ponto de vista da Álgebra, permite inserir equações e coordenadas diretamente. Assim, o Geogebra tem a habilidade de tratar das variáveis como de funções e oferece comandos como Raízes ou Extremos. Por fim, é um software em português e livre (gratuito) para o ensino e a aprendizagem da matemática, então é permitido copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais. O download do software Geogebra pode ser encontrado no link Vamos utilizar este software na versão 4.2 para desenvolver a atividade 1, onde os alunos devem verificar em cada tipo de função qual a mudança que ocorre quando os coeficientes são alterados. Para entender melhor seu funcionamento, vamos explorar um pouco dos recursos que serão utilizados na atividade 1. A área de trabalho possui um sistema de eixos cartesianos onde o usuário faz as construções geométricas com o mouse. Ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes são mostradas na janela de álgebra. O campo de entrada de texto é usado para escrever coordenadas, equações, comandos e funções

9 9 diretamente e estes são mostrados na área de trabalho imediatamente após pressionar a tecla Enter. No caso da atividade que será desenvolvida, é preciso saber como digitar corretamente as funções no campo entrada. Em Funções do Primeiro Grau devem ser escritas da seguinte maneira: ou ( ) ou, onde a e b são os coeficientes. Em Funções do Segundo Grau:, onde a, b e c são os coeficientes. Em Funções Trigonométricas: Seno: ( ); Cosseno: ( ); Tangente: ( ). Em Funções Exponenciais:. Em Funções Logarítmicas: Logaritmo natural (base e): ( ) ou ( ); Logaritmo (base 2): ( ); Logaritmo (base 10): ( ). Em Funções Modulares: ( ), tendo abs significando como valor absoluto. Para alterar os coeficientes nas funções já plotadas no gráfico, basta na janela de álgebra (à esquerda) dar dois cliques na função e mudar o valor desejado. SOFTWARES GRÁFICOS Neste capítulo tem-se uma breve abordagem sobre três Softwares Gráficos, onde o Software GrafEquation será utilizado para realizar a Segunda Atividade proposta posteriormente. WINPLOT

10 10 Como ferramenta didática para o ensino da Geometria Analítica (plana e espacial), o Winplot é o software mais completo. Além da versão original, em inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. Uma de suas vantagens é a de ser um programa leve, ou seja, funciona em computadores antigos também, sem perder sua eficiência ou rapidez, pode ser usado em todos os níveis educacionais e possui recursos que variam de uma simples função de 1º grau, até funções do 3º grau integrais de todos os tipos. O software plota gráficos e possui uma interface gráfica muito boa que dispensa que os usuários decorem comandos para utilizá-lo. O Winplot é um freeware, o que significa que é gratuito. O download do software Winplot pode ser encontrado no link GRAPH 4.3 O software Graph suporta uma ampla variedade de funções já integradas (seno, coseno, tangente, logaritmo, raiz quadrada, fatorial, etc.), que podem ser feitas em diferentes cores e estilos de linha. Assim, elas são facilmente distinguidas uma das outras. Sombras e pontos também podem ser colocados em todo o sistema de coordenadas. As funções podem ser salvas como um arquivo gráfico, impressa ou exportada para outros softwares. O software Graph permite ainda que se realizem alguns cálculos baseados na função representada no desenho. E para resolver uma função, é só clicar na aba Função e digitar na caixa inserir função. O software além de ser um programa de fácil manipulação, é livre (gratuito). O download do software Graph 4.3 pode ser encontrado no link GRAFEQUATION O GrafEq é um software Educacional intuitivo, flexível e preciso para produzir gráficos de relações implícitas. Foi projetado para nutrir um entendimento visual forte da Matemática, fornecendo um criador de gráficos de equações e inequações de figuras planas. Este software é somente gratuito para testar, e seu diferencial é sua capacidade para lidar com equações e outras relações além de funções, algo alem do pálido para apresentar graficamente calculadoras e sistemas de álgebra computacional.

11 11 O download do software GrafEq pode ser encontrado no link Para entender melhor seu funcionamento, dispomos de uma atividade na qual o aluno deve montar uma figura, fornecida pelo professor, utilizando somente gráficos de funções. O trabalho consiste em explorar um pouco dos recursos que serão utilizados na atividade. A interface do GrafEq apresenta duas janelas principais, Relation e Easy Buttons, como na figura abaixo.

12 12 anteriores. Abaixo temos um índice com o significado de algumas abas encontradas nas figuras 1) Janela na qual será inserida uma relação entre variavéis x e y: para inserir uma restrição você pode pressionar Tab ou ; (ponto e vírgula). variáveis x e y. 2) Janela de restrições, onde podemos estabelecer intervalos para os valores das 3) Easy Buttons: janela que apresenta símbolos matemáticos necessários para a construção de algumas relações, como por exemplo,,, π. Se a janela 2 não estiver visível, basta seguir o caminho: Relation - Easy buttons. x e y. 4) Altera as dimensões do gráfico (tamanho), modificando as extremidades dos eixos 5) Altera as dimensões da janela de visualização do gráfico. 6) Para "criar" o gráfico basta clicar em Create. 7) Janela do Gráfico. 8) View Tools: ferramentas que alteram o gráfico. Nessa janela, você pode alterar as cores do gráfico, além da possibilidade de fazer o gráfico desaparecer ou aparecer, selecionando as relações desejadas. A opção Blend ativada permite uma fusão das cores de imagens sobrepostas no gráfico. Exemplo: Para inserir uma equação ou inequação matemática na janela de Relações Algébricas, basta digitar no campo please enter a relation a relação desejada. Na figura a seguir, temos uma região determinada pela circunferência.

13 13 Podemos inserir uma restrição, tanto para a variável x quanto para a variável y. Para isso, com o cursor posicionado na janela de relações algébricas, utilize a tecla Tab do seu teclado. Se, no exemplo acima, quisermos restringir os valores da variável y, podemos inserir, por exemplo, a restrição -2 < y < 2, obtendo o gráfico a seguir. Podemos utilizar estes recursos do software e as equações e inequações matemáticas para fazer desenhos, como na atividade 2 proposta. PRIMEIRA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA Resolva as questões do 1 ao 5 utilizando o Software Geogebra como auxílio na construção e observação dos gráficos. 1) Faça as atividades a seguir, as quais envolvem Funções do 1º grau. a) Construa o gráfico da função ( ) b) Construa o gráfico da função ( )

14 14 c) O que ocorre quando adicionamos uma unidade à função ( )? Resposta: A reta que representa a função é deslocada uma unidade para cima, com relação ao eixo das ordenadas. d) E se subtraíssemos uma unidade da função ( ) o que ocorreria? Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico. Resposta: A reta que representa a função seria deslocada uma unidade para baixo, com relação ao eixo das ordenadas. ( )? e) Responda sem construir o gráfico: o que acontece se adicionarmos na função f) Construa o gráfico da função ( ) g) O que ocorre ao multiplicarmos por 2 a variável x da função ( )? Resposta: A reta que representa a função aumenta sua inclinação com relação ao eixo das abscissas. h) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico.

15 15 Resposta: A inclinação da reta aumentaria ainda mais, tendo como referência a função ( ). i) Seja a função ( ). Como as constantes a e b interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na inclinação da reta com relação ao eixo das abscissas e a constante b interfere no deslocamento da reta com relação ao eixo das ordenadas e na ordenada do ponto com relação a. 2) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções do 2º Grau. a) Construa o gráfico da função ( ) b) Construa o gráfico da função ( ) c) O que ocorre quando adicionamos oito unidades à função ( )? Resposta: O termo livre (ou coeficiente constante) resultante é 2, o que altera a altura da parábola de -6 para 2 (ordenada no ponto em ). d) E se subtraíssemos uma unidade da função ( ) o que ocorreria? Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico.

16 16 Resposta: O termo constante resultante seria -7 e, conseqüentemente, seria a altura onde a parábola cortaria o eixo (ordenada no ponto do eixo das abscissas). e) Construa o gráfico da função ( ) f) O que ocorre ao multiplicar-se a variável x da função ( )? Resposta: A parábola declina com relação ao eixo das ordenadas, para a esquerda. g) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: A parábola declinaria para a direita, com relação ao eixo. h) Construa o gráfico da função f( ) i) O que ocorre ao multiplicarmos por 2 a variável na função ( )? Resposta: A abertura da parábola fica mais estreita decorrente do aumento da velocidade das imagens de x.

17 17 j) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem esboçar o gráfico. Resposta: A abertura da parábola focaria ainda mais estreita. k) Construa o gráfico da função ( ) l) O que ocorre ao multiplicarmos por -2 a variável da função ( )? Resposta: A parábola passa a apresentar a concavidade voltada para baixo e sua abertura mais estreita. m) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: A concavidade da parábola continuaria voltada para baixo e sua abertura diminuiria (ficaria ainda mais estreita). n) Seja a função ( ). O que as constantes a, b e c interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice, a constante b interfere na declividade da parábola de acordo com o eixo, e a constante c interfere na altura da parábola com relação ao eixo, uma vez que determina onde a parábola corta o eixo das ordenadas.

18 18 3) Faça as atividades a seguir, as quais envolvem Funções Modulares. a) Construa o gráfico da função ( ) b) Construa o gráfico da função ( ) c) O que ocorre quando multiplicamos por 4 a função ( )? Resposta: A abertura do gráfico fica mais estreita decorrente do aumento da velocidade das imagens de x. d) E se multiplicássemos por 8, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico da função ficaria ainda mais estreito decorrente do aumento da velocidade das imagens de x. e) Construa o gráfico da função ( ).

19 19 O que ocorre ao somarmos uma unidade na função ( ) dentro do módulo? Resposta: O gráfico da função ( ) para a direita. apresenta um deslocamento horizontal f) Construa o gráfico da função ( ). O que ocorre ao somarmos uma unidade na função ( ) fora do módulo? cima. Resposta: O gráfico da função ( ) apresenta um deslocamento vertical para g) Seja a função ( ). O que as constantes a e b interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere no deslocamento da função ( ) verticalmente e a constante interfere no deslocamento horizontal da função. 4) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções Exponenciais. a) Construa o gráfico da função ( )

20 20 b) Construa o gráfico da função g(x) = c) O que ocorre quando multiplicamos por 3 a função ( )? Resposta: A gráfico da função corta o eixo na altura 3. d) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico da função cortaria o eixo das ordenadas na altura 4, por se tratar da ordenada do ponto no eixo. e) Construa o gráfico da função ( ). f) O que ocorre ao trocarmos por 5 a base da exponencial? Resposta: O gráfico cresce mais rapidamente, com relação ao

21 21 eixo. g) E se trocássemos por 7, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico cresceria ainda mais rápido, com relação ao eixo. h) Seja a função ( ). O que as constantes a e b interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na velocidade com que há o crescimento (ou decrescimento) do gráfico com relação ao eixo das ordenadas e a constante b determina se a função é crescente ou decrescente. 5) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções Logarítmicas. a) Construa o gráfico da função ( ) ( ) b) Construa o gráfico da função ( ) ( ) c) O que ocorre quando multiplicamos por 4 a função ( ) ( )? Resposta: O gráfico apresenta um afastamento do eixo, significando que há uma diminuição da velocidade de crescimento do gráfico com relação ao eixo.

22 22 d) E se multiplicássemos por 8, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico que representa a função se afastaria ainda mais do eixo das abscissas, representando uma diminuição maior da velocidade de crescimento do gráfico. e) Construa o gráfico da função ( ) ( ) f) O que ocorre ao multiplicarmos o x por 2? Resposta: A posição onde o gráfico corta o eixo mais para a esquerda, se aproximando de zero. é alterada, no caso é deslocado g) E se trocássemos por -3, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico da função seria invertido, com relação ao eixo, e a posição onde o gráfico cortaria x seria mais próxima à zero, sendo a aproximação feita pela esquerda. h) Seja a função ( ) ( ). O que as constantes e b interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante a interfere na velocidade de crescimento (ou decrescimento) da função e a constante b interfere na posição onde o gráfico corta o eixo das abscissas além de determinar é crescente ou decrescente. 6) Construa agora o gráfico das funções ( ) e ( ) ( ). Comparando o gráfico das funções o que você pode perceber que acontece com os mesmos? Resposta: Observando os gráficos, podemos perceber que eles apresentam uma simetria em relação à reta, já que são funções inversas. SEGUNDA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GRAFEQ

23 23 Utilizando o conhecimento adquirido até aqui sobre funções e a influência que suas respectivas constantes causam na construção de seus gráficos (como pode ser analisado na atividade anterior) construa a imagem abaixo, no software GrafEq, utilizando as funções que julgar necessário. E vale lembrar que é necessário delimitar as funções para criar o desenho desejado. (desenho CASA) Resolução para a construção da casa: Para a construção da grama foi utilizado o gráfico da Função Trigonométrica Seno com a seguinte forma ( ) ( ). Para a construção da árvore foram utilizados os gráficos de Exponencial na forma ( ) com e (tronco esquerdo) e ( ) com e (tronco direito), e ainda o gráfico de Circunferência na forma ( ) ( ) ( ) para a cúpula. Para a montanha foi utilizado o gráfico de Função de Segundo Grau na forma ( ) ( ) ( ) com. E para terminar, na construção da casa foram utilizados gráficos de Função do Primeiro Grau onde com e com. CONCLUSÃO

24 24 A linguagem gráfica permite uma melhor visualização e compreensão de conteúdos Matemáticos, levando em consideração as dificuldades de alunos com tal manipulação e interpretação. No tratamento do tema funções, chamamos a atenção para a importância da linguagem gráfica, levando em consideração a possibilidade de compreender suas variações, através da manipulação dos gráficos, tornando as aulas mais dinâmicas e concretas, utilizando como metodologia as Investigações Matemáticas com o uso de softwares gráficos e geométricos sugeridos, para a exploração dos objetos de pesquisa. A concretização desta apostila tomou como base o quanto a formação matemática dos alunos no Ensino Médio é insuficiente, pelo menos em relação aos aspectos relacionados ao estudo de gráficos de funções e utilização de softwares, de acordo com apontamentos de pesquisas e o relato de professores. Normalmente este estudo é feito somente de forma algébrica, onde os gráficos são apresentados apenas como uma possibilidade de representação da lei algébrica, quase sempre feito a partir de tabelas numéricas com pontos magicamente sugeridos pelo professor. Porém com este material e sugestão de atividades, o aluno pode concretizar as idéias que já conhece sobre funções utilizando os softwares sugeridos, podendo não somente traçar os gráficos, mas também interpretá-los, sendo muito importante para a compreensão do conteúdo de gráfico de funções. BIBLIOGRAFIA