XXIV SEMANA ACADÊMICA DE MATEMÁTICA. Minicurso: Explorando o GeoGebra: Um software para o ensino e aprendizagem da matemática.

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1 Universidade Estadual do Oeste do Paraná CCET MATEMÁTICA XXIV SEMANA ACADÊMICA DE MATEMÁTICA Minicurso: Explorando o GeoGebra: Um software para o ensino e aprendizagem da matemática. Ministrantes: Daniel Zampieri Loureiro, Daniely Raquel Ghirotto, Diogo Leandro Piano, Franciele Taís de Oliveira, Jacqueline Gabriela Cantu, Jaqueline Greff, Loise Dietrich, Luciane Maria Tondo, Marizete Laufer Bolsitas do Projeto Institucional de Bolsas de Iniciação a Docência PIBID Coordenado pela Professora Arleni Elise Sella Langer Resumo: Neste minicurso serão trabalhados os conceitos básico para manipulação do software GeoGebra, apresentando suas ferramentas e formas de utilização. Em seguida serão propostas algumas atividades de construção para fixar a utilização das ferramentas. No segundo momento pretende-se desenvolver algumas aplicações matemáticas com a utilização do GeoGebra. Cascavel 2010

2 Ministrante: Luciane Maria Tondo. ATIVIDADES ENVOLVENDO PONTO, RETA E PLANO. ATIVIDADE 1 1. Abra um arquivo novo. 2. Crie um ponto e nomeie-o P. modifique a cor do ponto para vermelho e seu estilo para tamanho Para isso, escolha a ferramenta Novo ponto e clique em qualquer local na área de desenho. Automaticamente o Geogebra o denominará A, sua cor será azul e de tamanho Para alterar as características do ponto clique com o botão direito do mouse sobre ele. 5. Escolha a opção Propriedades. Na janela propriedades escolha a paleta Básico e altere o nome do ponto, em seguida escolha a paleta Cor e altere a sua cor, na paleta Estilo poderá alterar o tamanho do ponto. 6. Clique em Fechar e as alterações já estarão modificadas. 7. Crie uma reta, nomeie-e a r e modifique seu estilo para tracejado de espessura Para isso, escolha a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos, clique em um local do plano, mova o cursor, escolha a posição da reta e clique novamente com o botão esquerdo do mouse. Perceba que é necessário determinar um segundo ponto para que a reta seja traçada. 9. Por padrão, o Geogebra nomeará o primeiro ponto de A, o segundo de B e a reta por a. Clique com o botão direito sobre a reta e escolha a opção Propriedades, altere seus nomes, cores e espessuras e estilo de linha. 10. Determine um ponto Q pertencente à reta r, distintos dos pontos que deram origem à reta. 11. Para isso escolha a ferramenta Novo Ponto e posicione o cursor sobre a reta, quando o cursor estiver sobre a reta aparecerá uma caixa de alerta. Clique, nesta posição será marcado o ponto C. Modifique o nome para Q, conforme já descrito. 12. Determine um ponto T não pertencente à reta r. 13. Com a ferramenta Novo Ponto clique sobre um local do plano não pertencente a reta. Nomeie-o T. 14. Apague o ponto P. 2

3 15. Clique sobre os botões Desfazer e Refazer e observe suas ações sobre a construção. 16. Escolha a ferramenta Mover e arraste o ponto T, coloque e retire-o do traçado da reta. Agora, tente retirar o ponto Q da reta. O que acontece? Explique. 17. Apague o ponto A. O que acontece com a reta r? Desfaça a ação e repita o mesmo com o ponto B. 18. Para finalizar salve o arquivo com o nome Atividade1.ggb. ATIVIDADE Abra um novo arquivo. 2. Crie dois pontos, nomeie-os P e Q. 3. Pode-se clicar com o botão direito sobre o ponto e escolher a opção Renomear. 4. Desenhe a reta que passa por P e Q e atribua a essa reta o nome s. 5. Use a ferramenta Reta Definida por dois Pontos, clique sobre os dois pontos. Nomeie a reta por s e altere a cor da reta por verde. 6. Agora tente usar a ferramenta Reta Definida por dois Pontos para traçar outra reta de cor preta que passe por P e Q. O que acontece? 7. Desfaça a construção para retornar a reta s. 8. Crie um ponto M fora de s. Crie uma nova reta r que é determinada por M e P. 9. Como consequência o ponto P pertencerá as duas retas r e s. O que chamamos de interseção de r e s. 10. Tente movimentar, a reta r, o ponto Q, o ponto M, a reta s. O ponto P deixa de pertencer às duas retas? Tente movimentar o ponto P, tente retira-lo da interseção. Isso é possível? 11. Salve este arquivo como Atividade2.ggb. Ministrante: Jaqueline Greff. ATIVIDADES DE POLÍGONOS ATIVIDADE Utilizando a ferramenta polígono construa um polígono qualquer, e determine suas bissetrizes e movimente os vértices dos polígonos. 3

4 ATIVIDADE Construa um triângulo qualquer utilizando a ferramenta polígono regular. 2. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados. ATIVIDADE Clique em exibir, exibir malha, construa um quadrado utilizando a ferramenta polígonos regulares (de cinco unidades por exemplo), depois conte os quadradinhos e verifique o valor da área fornecida na parte esquerda. 2. Construa agora sem apagar o quadrado um triângulo usando a opção polígonos (de base 5 unidades e altura 5 unidades por exemplo). Conte os quadradinhos. 3. Identifique a base e a altura dos polígonos desenhados. 4. Faça isso e responda: a. A partir da medida das bases e das alturas dos polígonos, é possível construir uma relação numérica para essas áreas? b. Pense inicialmente no quadrado, qual é a relação entre o valor encontrado para a área e a medida do lado? c. Pense agora no triângulo. Qual é a relação entre o valor encontrado para a área e as medidas da base e da altura? ATIVIDADE Clique em exibir, exibir malha, construa um quadrado utilizando a ferramenta polígonos (de base maior 7 unidades, base menor de 3 unidades e altura 3 unidades). 2. Construa um retângulo (de base 5 unidades e altura 3 unidades). 3. Faça uma análise das áreas dos dois polígonos, qual conclusão conseguiu chegar? Tente obter uma relação entre a área do trapézio e a área do retângulo geometricamente. 4

5 Ministrante: Daniel Zampieri Loureiro. SEGMENTO ÁUREO Definição: Dado um segmento AB, determinar um ponto C, interno a A B, tal que A C CB =. O segmento AC que satisfaz as condições do problema anterior, ou AB AC qualquer outro segmento congruente a ele, é denominado segmento áureo de AB. ATIVIDADE Construa o segmento áureo de um segmento AB de 7cm de comprimento. Qual é, aproximadamente, a medida desse segmento áureo? 2. Construa o segmento áureo de qualquer. 3. Construa um triângulo isósceles cujos lados congruentes tem comprimento 5cm e cuja base é o segmento áureo de 5cm. Verifique que o ângulo do vértice mede 36º. Ministrante: Jaqueline Cantu. ATIVIDADES DE CIRCUNFERÊNCIAS ATIVIDADE Construa uma circunferência com: a. medida do raio igual a 2 cm; b. centro O e identifique-o com outra cor; c. pontos ( A, B e C ) pertencentes á circunferência; d. pontos ( D, E e F ) exteriores á circunferência; e. pontos ( G, H e I ) interiores á circunferência; 2. Calcule a área e o perímetro da circunferência. ATIVIDADE Um ponto P dista 10cm do centro O de uma circunferência de raio 5cm. T 2. Trace uma reta tangente á circunferência passando por P. 5

6 ATIVIDADE Se construirmos duas circunferências tangentes entre si, seus centros e o ponto de tangencia serão colineares? 2. Faça uma construção que verifique essa propriedade. ATIVIDADE Por meio de uma construção mostre que vale a seguinte proposição: Numa circunferência, se um raio é perpendicular a uma corda, então ele intercepta a corda no seu ponto médio. ATIVIDADE Por meio de uma construção mostre que vale a seguinte proposição: Uma reta perpendicular a um raio de uma circunferência na sua extremidade final é tangente á mesma. Ministrante: Diogo Leandro Piano. ATIVIDADES DE ÂNGULOS ATIVIDADE Crie um pentágono regular. 2. Calcule seu perímetro e depois seu apótema. ATIVIDADE Construa um triângulo retângulo de catetos iguais a 6 unidades e 3 unidades. 2. Calcule sua área. ATIVIDADE Construa um ângulo agudo 2. Construa um ângulo obtuso 3. Meça os ângulos formados. 6

7 ATIVIDADE Construa dois ângulos adjacentes, utilizando a ferramenta ângulo de amplitude fixa, sendo um com medida de 60 graus e o outro com 45 graus. 2. Depois de construí-los meça a soma desses dois ângulos. ATIVIDADE Construa uma polígono qualquer, e faça o seguinte: a. Meça os seus lados; b. Calcule a medida dos seus ângulos; c. Calcule a área dessa figura. Ministrante: Loise Dietrich. ATIVIDADES DE FUNÇÕES ATIVIDADE Analisando a função linear - como ela se comporta quando os coeficientes mudam? 2. Crie um vetor seletor a variando de (-10,10), com incremento 1; 3. Crie um vetor seletor b variando de (-10,10), com incremento 1; 4. No campo de entrada de texto crie a função abaixo e pressione Enter. 5. f(x)=a*x+b ou f(x)=a x+b 6. Oscile os seletores criados, clicando e segurando com o botão esquerdo sobre a ou b e verifique o que acontece com a função. Ou ative a animação de cada seletor. ATIVIDADE A função do segundo grau: 2. Crie um vetor seletor a variando de (-10,10), com incremento 1; 3. Crie um vetor seletor b variando de (-10,10), com incremento 1; 4. Crie um vetor seletor c variando de (-10,10), com incremento 1; 5. No campo de entrada de texto crie a função abaixo e pressione Enter. 6. f(x)=a*x^2+b*x + c 7. Fixando a=1, movimente o seletor b e verifique o que acontece com a função; 8. Fixando a=1 e b=0, movimente o seletor c e verifique; 7

8 9. Fixando a=1 e c=0, movimente o seletor b verificando o movimento da função; 10. Analise o movimento de todos os seletores obtendo conclusões do comportamento da função. ATIVIDADE Analisando a função seno: 2. Crie um vetor seletor a variando de (-5,5), com incremento 0.5; 3. Crie a função seno no campo de entrada de texto 4. g(x)=sin(x+a) 5. Movimente o vetor a e verifique o que acontece; 6. Modifique a função seno escrevendo-a como; 7. g(x)=sin(x a) ou g(x)=sin(x*a) 8. Verifique o que acontece com a função ao movimentar a, ou ao colocar a animação ativada. 9. Modifique a função seno escrevendo-a da forma abaixo e repita o processo anterior de análise; 10. g(x)=a+sin(x) 11. Faça o mesmo com a função abaixo 12. g(x)=a*sin(x) ou g(x)=a sin(x) ATIVIDADE Analisando a função cosseno: 2. Crie um vetor seletor a variando de (-5,5), com incremento 0.5; 3. Crie a função seno no campo de entrada de texto; 4. h(x)=cos(x+a) 5. Movimente o vetor a e verifique o que acontece; 6. Modifique a função seno escrevendo-a como; 7. h(x)=cos(x a) ou h(x)=cos(x*a) 8. Verifique o que acontece com a função ao movimentar a, ou ao colocar a animação ativada; 9. Modifique a função seno escrevendo-a da forma abaixo e repita o processo anterior de análise; 10. h(x)=a+cos(x) 11. Faça o mesmo com a função abaixo. 12. h(x)=a*cos(x) ou h(x)=a cos(x) 8

9 Ministrante: Daniely Raquel Ghirotto. CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA ATIVIDADE Construa uma reta a definida por dois pontos, neste caso A e B 2. Marque um ponto C fora da reta 3. Marque um ponto D na reta a. 4. Pelo ponto D, construa uma reta perpendicular a reta a 5. Construa a mediatriz entre os ponto C e D. 6. Na intersecção da mediatriz com a reta perpendicular, marque um ponto E. 7. Temos agora que E é um ponto da parábola, C é o foco, e a é a reta diretriz. Clique com o botão direito do mouse no ponto E e selecione a opção HABILITAR RASTRO. 8. Para visualizar o traçado da Parábola, selecione a ferramenta MOVER, clique sobre o ponto D, e arraste-o por toda a reta a. 9. Agora desabilite o rastro do ponto E, da mesma maneira que foi feito para habilitar. 10. Agora selecione a ferramenta PARÁBOLA, indicada abaixo na figura. Clique primeiro no foco, neste caso em C, e depois na reta diretriz, neste caso a. 11. Agora selecione a ferramenta MOVER, indicada abaixo na figura, e movimente o ponto D, por toda a reta a. Ministrante: Franciele Taís Oliveira CONSTRUÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS ATIVIDADE Construa um segmento de reta passando por dois pontos, A e B. 2. Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando por A. 3. Construa um segmento de reta AC, sobre a reta. E em seguida trace o segmento BC. 4. Selecione a ferramenta EXIBIR/ ESCONDER OBJETO, e esconda a reta perpendicular traçada anteriormente, clicando sobre ela. Em seguida clique em MOVER. Assim a reta ficará escondido. 9

10 5. Clique com o botão direito do mouse sobre os lados do triângulo e renomeie-os de a, b e c de conforme convenção para triângulos retângulos. Observação: Os lados são renomeados um de cada vez. 6. Agora marque o ângulo CÂB, clicando primeiro sobre o segmento de reta AB e em seguido sobre o segmento de reta AC. 7. Selecione a ferramenta POLIGNO REGULAR e clique sobre os vértices do triângulo, dois a dois, sempre no sentido horário. E clique em OK. 8. Agora mostre que a área do quadrado maior é igual a soma das áreas dos quadrados menores. Selecione a ferramenta ÁREA, e clique sobre os quadrados, um de cada vez. Ministrante: Marizete Laufer TEOREMA DE TALES Definição: Se três ou mais retas paralelas são cortadas por duas transversais, os segmentos determinados numa das transversais são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados na outra transversal. ATIVIDADE Abra um arquivo novo. 2. Crie uma reta r. 3. Crie outras duas retas s e t paralelas à r. 4. Crie duas retas u e v transversais ao feixe de paralelas {r,s,t}. 5. Determine os pontos A, B e C de interseção de u com r, s e t, respectivamente. 6. Determine os pontos A`, B`e C` de interseção de v com r, s e t, respectivamente. 7. Calcule as razões: AB = BC A' B' B' C' 8. Movimente as retas u e v e movimente também as retas r, s e t. Observe que as razões sempre são iguais. 10

11 REFERÊNCIAS ALBUQUERQUE, Luciane de. O uso do programa no ensino de geometria plana de 5ª a 8ª seres do ensino fundamental das escolas públicas estaduais do Paraná. Curitiba, BARCELOS, Gilmara Teixeira; BATISTA, Silvia Cristina Freitas. Geometria Dinâmica utilizando o software Geogebra. Rio de Janeiro, GERÔNIMO, João Roberto; BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO, Valdeni Soliani Franco. Geometria Euclidiana Plana um estudo com os Software Geogebra. Maringá: EDUEM, SILVEIRA, Enio; MARQUES Claudio. Matemática Compreensão oitavo ano. São Paulo: Moderna,