RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Reumo. O cláico problema envolvendo populaçõe de coelho propoto por Fibonacci em 1202 foi a bae para o etabelecimento da eqüência (número) de Fibonacci, a aber, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... dado pela equação de recorrência linear (1) x(n) = x(n 1) + x(n 2), com x(1) = x(2) = 1, para n > 2. Conideraremo algun problema em outra área do conhecimento tai como Biologia, Economia que podem er modelado por equaçõe de recorrência lineare do tipo (2) x(n) = ax(n 1) + bx(n 2), onde a, b R, para n > 2. Faremo uma análie qualitativa de (2) que ó depende do etudo de equaçõe do 2 o grau e utilizaremo o winplot para ilutrar o reultado. Finalmente, apreentaremo reultado recente para a eqüência dada por (3) x(n) = ax(n r) + bx(n ), onde a, b R e r, N, para n > 2. 1

2 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS 1. Introdução São objeto de etudo, no enino báico, doi tipo de eqüência batante conhecida, a aber: a progreõe aritmética e a progreõe geométrica, ver[??]. Uma progreão aritmética é uma eqüência na qual, dado um primeiro termo obtemo o egundo termo acrecentando uma certa quantidade, obtemo o terceiro acrecentando eta mema quantidade, e aim uceivamente. Por exemplo, 1, 2, 3, 4, 5,.... Nete cao, cada termo, a partir do egundo, é obtido do anterior acrecentado de uma unidade. De uma forma geral, uma eqüência x(1), x(2), x(3),..., x(n 1), x(n),..., é uma progreão aritmética e dado um valor real para x(1), digamo x 1 R, exitir um número r tal que x(1) := x 1, x(2) = x(1) + r = x 1 + r := x 2, x(3) = x(2) + r = x 2 + r := x 3, x(4) = x(3) + r = x 3 + r := x 4,...... x(n) = x(n 1) + r = x n 1 + r := x n,....... Aim, podemo dizer que a recorrência (4) x(n) = x(n 1) + r define uma progreão aritmética de razão r e primeiro termo x(1), dado. Uma progreão geométrica é uma eqüência na qual, dado um primeiro termo obtemo o egundo termo multiplicando uma certa quantidade, obtemo o terceiro multiplicando eta mema quantidade, e aim uceivamente. Por exemplo, 1, 2, 4, 8, 16,.... Nete cao, cada termo, a partir do egundo, é obtido do anterior multiplicando-o por doi. De uma forma geral, uma eqüência x(1), x(2), x(3),..., x(n 1), x(n),...,

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 3 é uma progreão geométrica e dado um valor real para x(1), digamo x 1 R, exitir um número q tal que x(1) := x 1, x(2) = x(1) + r = qx 1 := x 2, x(3) = x(2) + r = qx 2 := x 3, x(4) = x(3) + r = qx 3 := x 4,...... x(n) = x(n 1) + r = qx n 1 := x n,....... Aim, podemo dizer que a recorrência (5) x(n) = qx(n 1) define uma progreão geométrica de razão q e primeiro termo x(1), dado. Dizemo que a recorrência (4) e (5) ão de primeira ordem. 1.1. A eqüência de Fibonacci. Em 1202, Leonardo de Pia, conhecido por Fibonacci, formulou o eguinte problema do coelho: no primeiro mê temo um caal de coelho que acabaram de nacer; o coelho ó atingem a maturidade exual ao fim de um mê; o período de getação de um coelho dura um mê; Ao atingirem a maturidade exual, a fêmea irá dar à luz todo o mee; A mãe terá todo o mee um caal de coelho; O coelho nunca morrem; na hipótee dada, quanto caai de coelho exitirão daqui a um ano? Fazendo a análie do diagrama Aim endo, o número de caal de coelho em cada mê é dado por 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,.... É fácil verificar que etá eqüência não é uma progreão aritmética e nem uma progreão geométrica. Não é difícil obervar que, e dado um valor real para x(1), digamo x 1 e um para x(2), que podemo denotar por x 2, obtemo outro termo da eguinte forma: x(1) := x 1, x(2) := x 2, x(3) = x(2) + x(1) := x 3, x(4) = x(3) + x(2) := x 4, x(5) = x(4) + x(3) := x 5,...... x(n) = x(n 1) + x(n 2) := x n,.......

4 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Aim, podemo dizer que a recorrência (6) x(n) = x(n 1) + x(n 2) define a eqüência de Fibonacci, e coniderarmo x(1) = 1 e x(2) = 1. Dizemo que a recorrência (6) é de egunda ordem.

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 5 2. Modelo e Aplicaçõe O facínio pelo número de ouro, data de há mai de 2000 ano. O antigo perceberam que a arte e a arquitetura baeada na razão de ouro, eram agradávei ao olho. Aim, a razão de ouro começou a er definida em termo geométrico. Dizemo que C entre A e B determina a divião áurea e: quando uma da parte é média proporcional entre a outra parte e o egmento todo, AB = BC, BC AC onde AB = a, BC = x, AC = a x, e aim, a x = x a x x2 ax a 2 = 0, cuja olução é dada por x = a 2 (1 + 5). Se coniderarmo a = 1, temo o número de ouro x = 1, 6. Ma o que é que o número de ouro tem a ver com a uceão de Fibonacci? Lembremo que a eqüência de Fibonacci é dada por: x(1) = 1, x(2) = 1, x(3) = 2, x(4) = 3, x(5) = 5, x(6) = 8,..., x(n 1) + x(n 2),.... Se dividirmo cada um dete número pelo eu antecedente, reparamo que ea razão vai tender para um certo valor, ou eja, Oberve que x(2) x(1) x(n) x(n 1) = 1; x(3) x(2) = 2; x(4) x(3) = x(n 1) + x(n 2) x(n 1) = 1, 5; x(5) x(4) = 1 + x(n) Aim, e exitir 0 < ϕ R tal que lim n x(n 1) 1, 66; x(6) x(5) 1, 6. x(n 2) x(n 1) = 1 + 1 = ϕ temo que x(n 1) x(n 2). ϕ = 1 + 1 ϕ e, portanto, ϕ = 1 + 5 2 o número de ouro. 2.1. Aplicaçõe na Biologia. 2.1.1. Crecimento de Planta [8]. Uma planta em particular, motra o número da uceão de Fibonacci no eu ponto de crecimento. Quando a planta nace leva doi mee para crecer até que a ramificaçõe fiquem uficientemente forte. Sabendo que apó ete período a planta e ramifica todo o mee, obtemo a eguinte figura : Uma planta que crece de forma emelhante a eta, é a epirradeira (oleandro, louro roa) ou cevadilha.

6 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS 2.1.2. Decendente [8]: Em uma colméia temo: (1) Exite uma abelha epecial: a rainha; (2) O zangõe ão macho. Algun dele não trabalham. O macho ão produzido pelo ovo não fertilizado da rainha. Logo, ó têm uma mãe e não têm pai; (3) Toda a fêmea ão produzida quando a rainha acaalou com um macho e aim têm pai e mãe. Pergunta: Quanto triavô têm cada abelha fêmea e cada abelha macho? Para o macho, repare no eguinte diagrama: Figura 1. Diagrama do zangõe

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 7 Para a fêmea, obtemo uma reolução emelhante ao problema do coelho. Então e z e f ão repreentante da árvore genética do zangõe e da abelha fêmea, repectivamente. Então temo, Qt Pai Avô Biavô Triavô Tetravô z 1 2 3 5 8 f 2 3 5 8 13 Se n repreentar a geração da abelha, para a fêmea, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 5,.... Então para e aber o número de avô de n-éimo grau calcula-e atravé da eguinte eqüência de Fibonacci, Para a macho, 2.2. Economia. f(n + 2) = f(n + 1) + f(n). z(3) = 2, z(4) = 3, z(5) = 5,..., z(n + 3) = z(n + 1) + z(n + 2). 2.2.1. Bola de Valore [4]: O uo do número de Fibonacci no mercado de açõe funda-e no trabalho pioneiro de Ralph Nelon Elliott (1871-1948), um analita financeiro norte-americano que etudou o comportamento do índice Dow Jone, da Bola de Valore de Nova Iorque, a partir da década de 20 do éculo paado. Elliot baeava-e em um preupoto da picologia ocial, o de que grupo de peoa têm comportamento que e tornam mai previívei a medida que aumenta o número de peoa envolvida, ete é o cao da bola de valore. A idéia báica é a de que a flutuaçõe do mercado eguem um padrão de crecimento e decrecimento que podem er analiado egundo o número de Fibonacci, uma vez determinada a ecala de obervação. Temo aim que exitem relaçõe entre pico e vale do gráfico da flutuação de bola e eta tendem a eguir razõe numérica aproximada da razõe de doi número conecutivo da eqüência de Fibonacci. Como exemplo, tomemo o gráfico abaixo: Segundo Elliot, o padrão típico de flutuação da Bola têm dua fae ditinta, uma acendente e outra corretiva, cada qual formada por onda, momento de crecimento ou de decrecimento. O percuro que vai do momento zero até o número 1 é chamado de onda 1; o que vai do número 1 até o número 2 é chamado de onda 2, e aim por diante. A primeira fae, também chamada otimita, motra que o percuro geral do valor do papéi é de crecimento, com breve momento de queda. Na fae otimita podemo notar 5 onda. A egunda fae, também chamada peimita, não é numerada, ma marcada com letra. Do pico até o ponto C, temo 3 onda. Dea forma, temo um total de 8 onda no ciclo todo. Note que o número 3, 5 e 8 ão número de Fibonacci. Ete é um do ciclo padrõe da flutuaçõe. Na ecala do tempo, temo a eguinte ituação:

8 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Figura 2. Bola de Valore Figura 3. Ciclo da Bola de Valore momento A, de partida, até o momento B, de pico, temo 5 onda. Do momento de pico até o momento final da queda (e início de um novo ciclo), temo 3 onda. A razão entre o egmento AB/BC é 5/3, ou eja, 1, 666..., próximo do número de ouro. Foem a onda da fae acendente em número de 34, e a da fae decendente em número de 21, a razão eria 34/21, ou eja, 1, 619..., um valor ainda mai próximo do número de ouro. A previão é feita obervandoe a primeira onda de um ciclo e determinando-e a onda ubeqüente, de acordo com uma tabela de padrõe de Fibonacci previamente determinado. No repectivo momento de pico ou vale, venda ou compra de açõe. Livro recente avançam ea idéia, e encontram relaçõe de ouro entre o ponto de pico e o de vale, como no gráfico

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 9 Se tomarmo o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmo com o valor entre ete pico e o pico máximo, encontraremo também o número de ouro. O ciclo, naturalmente, pode etar invertido, e o momento de pico podem e tornar momento de vale, e vice-vera. 2.2.2. Moeda de um Paí [8]: Problema da moeda: cada paí tem a ua moeda monetária. Por exemplo, na Grã-Bretanha exitem moeda que podem valer 1 penny (1p) ou 2 pence (2p). Se exitirem apena moeda no valor de 1p e 2p, de quanta maneira podemo amontoar uma certa quantia de dinheiro? Por exemplo: 1p = 1p (uma única maneira); 2p = 1p + 1p ou 2p (dua maneira); 3p = 1p + 1p + 1p ou 1p + 2p ou 2p + 1p (trê maneira); E aim uceivamente. Se coniderar 1p + 2p e 2p + 1p como oluçõe diferente, então é porque etá intereado em toda a orden poívei de moeda. Será que conegue adivinhar quanta maneira exitem de juntar uma quantia de dinheiro com o valor de 4p? Será que conegue adivinhar uma fórmula para determinar o cao geral? Ma o deafio vai er o eguinte: conegue explicar como é que o número de Fibonacci aparecem nete problema? Supondo que etá intereado apena na coleção de moeda em vez da eqüência deta. Então 1p + 2p é a mema coleção de 2p + 1p. Aim quanta coleçõe exitem? 2.3. Tranmião de Informação. Suponhamo que tenhamo um itema de informação que tenha omente doi inai, 1 e 2. A menagen ão enviada codificando-o atravé de um tring ou eqüência dete ímbolo. Suponhamo que para enviarmo 1 e 2 ejam neceário k 1 e k 2 unidade de tempo, repectivamente. Aim endo, para um tempo finito k, podemo enviar omente um número finito de tring de menagen ditinta. Se m(k) denotar o número de tring ditinto de duração k, encontre uma equação que permita obter m(k). Primeiro conideremo toda a menagen de duração k que e encerram com o inal 1. Como 1 leva k 1 unidade de tempo, o último inal deverá iniciar no tempo k k 1. No entanto, até o tempo k k 1 exitem m(k k 1 ) menagen poívei para o quai o inal 1 poderá er adicionado. Então, temo m(k) = m(k 1). Como o número total de duração k que ão finalizado com 2 é dado por m(k 2), temo que uma menagem de duração k que ão finalizado com inal 1 ou 2 é dado por (7) m(k) = m(k k 1 ) + m(k k 2 ). Se k 1 = 1 e k 2 = 2, então (7) é dado por m(k) = m(k 1) + m(k 2).

10 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Obervemo ainda que, como o inai 1 e 2 ão de duração de uma unidade de tempo e dua, repectivamente, um tring cuja duração total é k poderá er repreentado por uma eqüência finita de 1 e 2. Para k = 1, é poível ter omente um tring, que conite do inal 1, m(1) = 1; para k = 2, exitem 2 poibilidade, um de 1 e um de 2, ou eja, m(2) = 2; para k = 3, um de 1 e doi de 2, m(3) = 3. E aim uceivamente. Para maiore detalhe veja [5]. 2.4. Número de Fibonacci e a Matemática. O número de Fibonacci podem relacionar-e com vária outra tema de matemática, veja [6, 8]. Embora a uceão de Fibonacci eja freqüentemente repreentada por: x(n) = x(n + 1) + x(n + 2) com n natural, exitem divera fórmula e propriedade relacionada com eta uceão. 2.4.1. Propriedade: (1) A oma do n primeiro termo é: x(1) + x(2) +... + x(n) = x(n + 2) 1. Notemo que: x(3) = x(2) + x(1) x(1) = x(3) x(2); x(4) = x(3) + x(2) x(2) = x(4) x(3);..................... x(n + 2) = x(n + 1) + x(n) x(n) = x(n + 2) x(n + 1). Somando, obtemo o reultado deejado. (2) Soma do número de Fibonacci de índice ímpare, x(1) + x(3) + x(5) +... + x(2n 1) = x(2n). Obervemo que, x(1) = x(2) x(1) = x(2); x(4) = x(3) + x(2) x(3) = x(4) x(2); x(6) = x(5) + x(4) x(5) = x(6) x(4);........................ x(2n) = x(2n 1) + x(2n 2) x(2n 1) = x(2n) x(2n 2). (3) Soma do número de índice pare, x(2) + x(4) + x(6) +... + x(2n) = x(2n + 1) 1. Temo, (8) x(1) + x(2) +... + x(2n) = x(2n + 2) 1

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 11 (9) x(1) + x(3) + x(5) +... + x(2n 1) = x(2n) (10) x(2n + 1) = x(2n + 2) x(2n) Por (8) e (9), obtemo a identidade deejada. (4) A oma do quadrado do número de Fibonacci (5) Notemo que: x 2 (1) + x 2 (2) +... + x 2 (n) = x(n)x(n + 1). x 2 (1) = x(1)x(1) = x(1)x(2); x 2 (2) = x(2)x(2) = x(2)(x(3) x(1)) = x(2)x(3) x(2)x(1); x 2 (3) = x(3)x(3) = x(2)(x(4) x(2)) = x(3)x(4) x(2)x(3);. x 2 (n) = x(n)x(n) = x(n)(x(n + 1) x(n 1)) = x(n)x(n + 1) x(n)x(n 1). Somando, obtemo a identidade deejada. x(1) + 2x(2) + 3x(3) +... + nx(n) = nx(n + 2) x(n + 3) + 2. (6) Para n 1, x 2 (n) x(n + 1)x(n 1) = ( 1) n. Para n = 1, x(1) = 1 2 1 = 1. Agora, para n qualquer abemo que x(n + 1) = x(n 1) + x(n), então Logo, x(n) = x 2 (n) x(n + 1)x(n 1) = x 2 (n) (x(n 1)+ x(n))(x(n 1)) = x(n)(x(n) x(n 1)) x 2 (n 1) = x(n)x(n 2) x 2 (n 1). x(n) = x(n 1) = x(n 2) =... = ( 1) n x(1) = ( 1) n. (7) Na eqüência de Fibonacci, mdc(x(n), x(n 1)) = 1, para todo n 1. O cao em que n for igual a 1 ou 2 é trivialmente verdadeiro. Para n 3, faremo por redução ao aburdo. Suponha que mdc(x(n), x(n 1)) eja um inteiro d maior do que 1. Nee cao, d divide x(n) e d divide x(n 1). Como x(n) = x(n 1) + x(n 2), para n 3, egue que d divide x(n 2). Do fato de que x(n 2) = x(n 1) + x(n 3), egue que d divide x(n 3).

12 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Proeguindo-e dete modo, d dividirá x(1) = 1. Contradição. Logo mdc(x(n), x(n 1)) = 1. Ob.: Será que e n é primo o número de Fibonacci também é primo. Nem empre, tome por exemplo x(19) = 4181 = 37 113. (8) Todo número natural n pode er ecrito como uma oma finita de número de Fibonacci ditinto e não conecutivo. Por recorrência obre n. Para n = 1, 2, 3, 4, 5 temo: 1 = x(1), 2 = x(2), 3 = x(3) + x(1), 4 = x(3) + x(1), 5 = x(5). Suponha que a afirmação eja verdadeira para todo número natural inferior a x(n). Ito é, cada um do número naturai 1, 2, 3, 4,..., k, com k = x(n 1), pode er ecrito como uma oma finita de número de Fibonacci ditinto e não conecutivo do conjunto {x(1), x(2), x(3),..., x(n 1)}. Vamo motrar que a afirmação é verdadeira para todo o número naturai menore que x(n + 1). Seja n tal que x(n) n < x(n + 1) e x(n) o maior termo na repreentação de n como oma de número de Fibonacci. Quando n > x(n), podemo ecrever n = x(n) + r. Nete cao, r = n x(n) < x(n + 1) x(n) = x(n 1). Portanto, pela hipótee de indução, r pode er repreentado como uma oma de número de Fibonacci ditinto e não conecutivo pertencente ao conjunto {x(1), x(2), x(3),..., x(n 1)}. Dee modo, n, e, como coneqüência, cada um do inteiro 1, 2, 3,..., x(n+ 1) 1 pode er expreo como uma oma de número, ditinto e não conecutivo, do conjunto {x(1), x(2),..., x(n 1), x(n)}, poi na repreentação de n não exitirá mai o termo x(n 1) dentre o termo da repreentação de r e o termo x(n). O que completa a indução e a prova. (9) A combinação linear de eqüência de Fibonacci é uma eqüência de Fibonacci Se x(n) e y(n) ão eqüência de Fibonacci não proporcionai, então toda eqüência x(n) de Fibonacci pode er ecrita como combinação linear de x(n) e y(n). Demontração: Exite uma propriedade da proporçõe que garante que a b = c d é equivalente a b = a + c. Uaremo ete fato para motrar b + d inicialmente que x(1) y(1) x(2) y(2).

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 13 Suponhamo que x(1) y(1) = x(2) y(2), então x(1) y(1) = (x(1) + x(2)) (y(1) + y(2)) = x(3) y(3). Utilizando a mema idéia para o termo poteriore da eqüência de Fibonacci, obtemo x(3) y(3) = x(4) y(4) = x(5) y(5) =... = x(n) y(n) =.... Motramo que e a eqüência x(n) e y(n) ão proporcionai, temo aburdo. Aim podemo afirmar que, x(1) y(1) x(2) y(2). Conideremo agora uma eqüência tal que: u(1) = ax(1) + by(1), u(2) = ax(2) + by(2). A partir de u(1) e u(2) podemo contruir uma eqüência de Fibonacci u(n) que é uma combinação linear de x(n) e y(n). Reolvendo o itema com 2 equaçõe e incógnita a e b: u(1) = ax(1) + by(1); u(2) = ax(2) + by(2). obtemo, pela Regra de Cramer, que: a = u(1)y(2) u(2)y(1) x(1)y(2) x(2)y(1), x(1)u(2) x(2)u(1) b = x(1)y(2) x(2)y(1) e podemo garantir que para todo n natural, exitem ecalare a e b, tal que: u(n) = ax(n) + by(n). (10) A eqüência de Fibonacci e a Fórmula de Binet. Inicialmente conideremo uma progreão geométrica que atifaça a recorrência de Fibonacci, ito é, uma eqüência x(n) tal que ou eja, x(n) = x(n 1) + x(n 2), q n = q n 1 + q n 2, ou ainda, q 2 = q + 1. Reolvendo eta equação do egundo grau obtemo a dua raíze: q 1 = 1 + 5 e q 2 = 1 5. 2 2 Obervamo que q 1 + q 2 = 1 e q 1 q 2 = 1. Para cada raiz, obtemo uma eqüência de Fibonacci, ejam x(n) e y(n) dado por: x(n) = q n 1 1 e y(n) = q n 1 2.

14 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Temo que u = u(n) é uma combinação linear de x(n) e y(n), ito é, u(n) = ax(n) + by(n), que pode er ecrito como ( 1 + ) n 1 ( 5 1 ) n 1 5 u(n) = a + b. 2 2 Como x(1) = 1 e x(2) = 1 devemo ter a + b = 1 e aq 1 + bq 2 = 1, e aim obtemo a = 1 + 5 2 e b = 1 5 5 2 5. Subtituindo na expreão de u(n), obteremo a Fórmula de Binet: ( u(n) = 1 1 + ) n ( 5 1 1 ) n 5. 5 2 5 2 Para valore muito grande de n, o egundo termo da Fórmula de Binet pode er deprezado poi a bae deta potência é um número real menor do que 1, aim é poível motrar que quando n tende a infinito, a expreão matemática para u(n) é da ordem de (Φ) n, logo o quociente de u(n + 1) por u(n) é da ordem de Φ, aim o limite do quociente entre um número de Fibonacci e o eu antecedente converge para o número de ouro. 2.5. Múltiplo na Seqüência de Fibonacci. Repare que o terceiro número de Fibonacci é múltiplo do número doi (x(3) = 2), ou ainda: i) x(3), x(6), x(9), x(12),..., x(3k), onde k é um número natural, ão múltiplo de doi; ii) x(4), x(8), x(12),..., x(4k), onde k é número natural, ão múltiplo do número trê; iii) Geralmente, podemo afirmar que: O k-éimo número de Fibonacci é múltiplo de x(k), ou ainda x(nk) é múltiplo de x(k), com k um número natural. 2.6. Seqüência de Fibonacci e o Triângulo de Pacal e de Pitágora. O triângulo de Pacal e o triângulo de Pitágora também e relacionam com o número deta uceão. Vamo ver ainda como podemo obter uma epiral de Fibonacci a partir do número de Fibonacci, veja [7]. Triângulo de Pacal - de cima para baixo, o coeficiente da expanõe de: (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 15 O triângulo de Pitágora é um triângulo retângulo. Para qualquer triângulo retângulo com lado, t e o lado maior h (hipotenua), temo pelo Teorema de Pitágora que 2 + t 2 = h 2, com, t, h número inteiro. No cao do triângulo apreentado ao lado temo: = 3, t = 4 e h = 5. Figura 4. Triângulo Retângulo Será que podemo uar o número de Fibonacci para fazer Triângulo de Pitágora? A repota é afirmativa, para tal bata coniderar 4 número de Fibonacci conecutivo. Sejam a, b número de Fibonacci conecutivo e coniderando a + b e a + 2b = (a + b) + b), temo que: 1) multiplicando b por a + b reulta c; 2) duplicando o reultado de 1), tem-e 2c; 3) multiplicando a por a + 2b, obtém-e d; 4) omando o quadrado de b com o quadrado de a+b obtém-e e, a hipotenua. Aim, com ete dado, obtemo ao triângulo pretendido, cujo lado ão 2c, d e e. Por exemplo, e a = 3 e b = 5, temo a+b = 8 e a+2b = 13. Como c = b (a+b) obtém-e c = 40. Por 2) tem-e 2c = 80. Coniderando d = a (a + 2b) e ubtituindo o repectivo valore, temo d = 39. Coniderando e = b 2 + (a + b) 2 e atribuindo o devido valore obtém-e: e = 25 + 64 = 89. Note que o reultado obtido atifaz o Teorema de Pitágora. Referência [1] Caminha, A., Seqüência Recorrênte Lineare, Revita da Olimpíada, n o 4, p. 72-78, CE- GRAF, Goiânia, Goiá, 2003. (www.ime.ufg.br). [2] Gumão, G. P. A., Seqüência, Revita da Olimpíada, n o 1, pp. 65-74, CEGRAF, Goiânia, Goiá, 2000. (www.ime.ufg.br). [3] Gumão, G. P. A., Seqüência de Fibonacci, Revita da Olimpíada, n o 3, pp. 47-73, CE- GRAF, Goiânia, Goiá, 2000. (www.ime.ufg.br). [4] Lope, Frederico Joé Andrie, O Número de Fibonacci e a Bola de Valore, Intituto Vianna Júnior Faculdade de Ciência Econômica Vianna Júnior, Revita Eletrônica de Economia N. o 3.

16 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS [5] Micken, Ronald M., Difference Equation, Theory and Application, econd edition, Van Notrand Reinhold, New York, 1990. [6] Vorobiev, N. N., Numero de Fibonacci, Leccione populare de matemática, ed. Mir, Mocou, 1974. [7] http://www.mat.ufrg.br/ portoil/hito2b.html. [8] http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/index.htm.

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 17 3. Equaçõe Diferença Lineare de Segunda Ordem Neta eção vamo tratar de uma generalização da eqüência de Fibonacci utilizando a idéia de recorrência de egunda ordem vita na eção anterior e o conceito báico da equaçõe diferença lineare autônoma de egunda ordem, com coeficiente contante, mai epecificamente, a que envolvem uma única variável dependente, o leitore intereado poderão ver em [1, 1, 3, 6] o reultado apreentado aqui para equaçõe de orden uperiore. Dado o número reai a e b vamo coniderar a recorrência (11) x(n) = ax(n 1) + bx(n 2), n Z. Uma eqüência {x(n)} n 0 ou implemente x(n) é uma olução de (11) e atifaz (11). Dado o número reai x 0 e x 1. O problema de encontrar uma olução de (11), para todo n > 1, tal que x(0) = x 0 e x(1) = x 1 é chamado de Problema de Valor Inicial para (11). Teorema 1. Um Problema de Valor Inicial para (11) tem uma única olução. Demontração. De fato, a eqüência x(n) tal que x(0) = x 0, x(1) = x 1 e atifaz a equação (11), x(0) = x 0, x(1) = x 1, x(2) = ax(1) + bx(0) = ax 1 + bx 0 := x 2, x(3) = ax(2) + bx(1) = ax 2 + bx 1 := x 3,... x(n 2) = ax(n 3) + bx(n 4) = ax n 3 + bx n 4 := x n 2, x(n 1) = ax(n 2) + bx(n 3) = ax n 2 + bx n 3 := x n 1, x(n) = ax(n 1) + bx(n 2) = ax n 1 + bx n 2 := x n,... é, naturalmente, a única olução do Problema de Valor Inicial dado. 3.1. Dependência Linear. Dada a eqüência x 1 (n), x 2 (n),..., x k (n), k N. Dizemo que ela ão linearmente dependente para n n 0 e exitirem contante reai a 1, a 2,..., a k, não toda nula, tai que (12) a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) + + a k x k (n) = 0, n n 0.

18 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Seja 1 j k tal que a j 0, então podemo multiplicar ambo o membro de (12) por 1/a j e obter ito é, x j (n) = a 1 a j x 1 (n) a 2 a j x 2 (n)... a j 1 x j 1 (n) a j+1 x j+1 (n) a r x k (n), a j a j (13) x j (n) = a j k j i=1 a i a j x i (n). Ito no diz implemente que cada x j (x), com coeficiente não-nulo, é uma combinação linear da outra x j (n). A negação da dependência linear é a independência linear. Ito é, dizemo que a eqüência x 1 (n), x 2 (n),..., x k (n) ão linearmente independente (l.i.) para n n 0 e, empre que, a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) + + a k x k (n) = 0, para todo n n 0, então a 1 = a 2 = = a k = 0. Exemplo 1. A funçõe f, g : N R definida por f(n) = 2 n e g(n) = 3 n ão linearmente independente em N. De fato, Suponha que a contante a 1 e a 2 ão tai que a 1 2 n + a 2 3 n = 0, para todo n N. Então, para n = 0 temo a 1 + a 2 = 0 e para n = 1 temo 2a 1 + 3a 2 = 0, daí temo que a 1 = 0 e a 2 = 0. Definição 1. O conjunto de 2 oluçõe linearmente independente da equação (11) é chamado de conjunto fundamental de oluçõe. Definição 2. Sejam x 1 (n), x 2 (n) oluçõe da equação (11), o Caoratian C(n) é dado por ( ) x1 (n) x C(n) = det 2 (n). x 1 (n + 1) x 2 (n + 1) A eguir vamo etudar a relação entre a independência linear da oluçõe da (11) e o Caoratian. Baicamente, vamo motrar que o conjunto de 2 oluçõe é um conjunto fundamental de oluçõe (l.i.) e o eu Caoratian não e anula. Teorema 2. O conjunto de oluçõe {x 1 (n), x 2 (n)} da equação (11) é um conjunto fundamental e e omente e para algum n 0 N, eu Caoratian C(n 0 ) 0. Demontração. Sejam x 1 (n), x 2 (n) oluçõe da equação (11). Sejam a 1, a 2 e n 0 N tai que a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) = 0, para todo n n 0,

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 19 temo também que ou eja, a 1 x 1 (n + 1) + a 2 x 2 (n + 1) = 0, para todo n n 0, ( x1 (n) x 2 (n) x 1 (n + 1) x 2 (n + 1) ) ( ) ( a1 0 = a 2 0 Obervamo que ete itema tem uma única olução (a nula), ito é, a 1 = 0, a 2 = 0) e e omente e o determinante da matriz ( ) x1 (n) x (14) X(n) = 2 (n) x 1 (n + 1) x 2 (n + 1) for diferente de zero, ma det X(n) = C(n). Exemplo 2. O conjunto {2 n, 3 n } é um conjunto fundamental de oluçõe para a equação x(n) = 5x(n 1) 6x(n 2). De fato, x 1 (n) = 2 n é olução poi ). x 1 (n) 5x 1 (n 1) + 6x 1 (n 2) = 2 n 5 2 n 1 + 6 2 n 2 = 2 n 5 2 2n + 6 4 2n = 0. De forma análoga, podemo motrar que x 2 (n) = 3 n também é olução. Agora, ( ) 2 n 3 C(n) = det n 2 n+1 3 n+1. Aim, ( 1 1 C(0) = det 2 3 ) = 3 2 = 1 0. Logo, pelo Teorema 2, a oluçõe 2 n e 3 n ão linearmente independente e formam um conjunto fundamental de oluçõe. Teorema 3. A equação (11) tem um conjunto fundamental de oluçõe. Demontração. Pelo Teorema 1 exite uma olução x 1 (n), com x 1 (0) = 1 e x 2 (1) = 0 e uma olução x 2 (n), com x 2 (0) = 0 e x 2 (1) = 1. Logo, ( ) ( ) x1 (0) x C(0) = det 2 (0) 1 0 = det = 1 x 1 (1) x 2 (1) 0 1 Aim, pelo Teorema 2 temo que {x 1 (n), x 2 (n)} é um conjunto fundamental de oluçõe da equação (11). Obervação 1. Exite uma infinidade de conjunto fundamentai de oluçõe da equação (11).

20 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Lema 1. Se x 1 (n) e x 2 (n) ão dua oluçõe de (11) e a um número real qualquer, então (i) p(n) = cx 1 (n) é uma olução de (11). (ii) (n) = x 1 (n) + x 2 (n) é uma olução de (11). Demontração. (i) Como x 1 (n) é olução de (11) temo que x 1 (n) ax 1 (n 1) bx 1 (n 2) = 0, logo p(n) ap(n 1) + bp(n 2) = cx 1 (n) a(cx 1 (n 1)) b(cx 1 (n 2)), De forma análoga, motramo o item (ii), = c ( x 1 (n) ax 1 (n 1) bx 1 (n 2) ) = 0. (n) a(n 1) b(n 2) =x 1 (n) + x 2 (n) a(x 1 (n 1) + x 2 (n 1)) b(x 1 (n 2) + x 2 (n 2)), = ( x 1 (n) ax 1 (n 1) bx 1 (n 2) ) + ( x2 (n) ax 2 (n 1) bx 2 (n 2) ) = 0. Teorema 4 (Princípio da Superpoição). Se x 1 (n), x 2 (n) ão oluçõe de (11) e a 1, a 2 R, então x(n) = a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n), é olução de (11). Demontração. Bata combinar o íten (i) e (ii) do Lema 1. Teorema 5. Seja {x 1 (n), x 2 (n)} um conjunto fundamental de oluçõe de (11) e x(n) uma olução qualquer de (11), então exitem contante a 1, a 2 tai que x(n) = a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n). Demontração. Sejam ξ 1, ξ 2 R, ( ) x(n) (n) = x(n + 1) e ξ = de (14), podemo ecrever X(n)ξ = (n). Como X(n) é invertível, temo que ξ = X 1 (n)(n). Aim, bata fazer n = n 0 e a 1 = ξ 1 e a 2 = ξ 2. Definição 3. Se {x 1 (n), x 2 (n)} é um conjunto fundamental de oluçõe de (11), então a olução geral da equação (11) é dada por para contante a 1, a 2 quaiquer. x(n) = a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n), ( ξ1 ξ 2 )

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 21 3.2. Comportamento Aintótico da Soluçõe. O reultado a eguir já é bem conhecido, veja por exemplo [1, 2], ó mudamo um pouco a forma de apreentar e demontrar. Uma progreão geométrica x(n) = r n para qualquer r R é olução da equação (11) e, e omente e, (15) r 2 ar b = 0. De fato, bata obervar que x(n) ax(n 2) bx(n 2) = r n ar n 1 br n 2 = r n 2 (r 2 ar b). O íten a, b da propoição a eguir podem er encontrado em [5] e c em [4]. Propriedade 1. a) Se r 1 r 2 ão raíze reai ditinta de (15), então a olução geral de (11) é x(n) = a 1 r n 1 + a 2 r n 2, n N. b) Se r 1 = r 2 = r R, então a olução geral da (11) é x(n) = a 1 r n + a 2 nr n, n N. c) Se r 1 e r 2 = r 1 C, então a olução geral da (11) onde r = r 1 e θ = arg(r 1 ). x(n) = r n (a 1 co(θn) + a 2 en(θn)), n N, Demontração. a), b) Deixamo como exercício. Para motrar o item c), eja r = r 1, θ = arg(r 1 ) e i 2 = 1, temo que φ(n) = re inθ e ψ(n) = re inθ atifazem a equação (11). Pela linearidade da equação (11) a eqüência dada por α(n) = 1 2 (φ(n) + ψ(n)) e β(n) = 1 (φ(n) ψ(n)) 2i ão oluçõe (l.i.) de (11). Logo, a olução geral de (11) é dada por (16) x(n) = r n (a 1 co(θn) + a 2 en(θn)). Aim, a oluçõe da equação (11) tendem a zero e, e omente e, o módulo da raíze da equação caracterítica forem menore do que 1. Propriedade 2. O módulo da raíze da equação (15) é menor do que 1 e, e omente e, 1 + a b < 0, 1 a b < 0 e b > 1. Para demontrar a Propoição 2, motraremo primeiro doi lema. Lema 2. Sejam r 1, r 2 a raíze da equação (15), com a 2 + 4b 0. Afirmamo que:

22 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Figura 5. A região do plano do parâmetro ab onde o módulo da raíze é menor do que 1, dada pela Propriedade 2 (i) A raíze r 1 e r 2 ão negativa e, e omente e, a < 0, b < 0. (ii) A raíze r 1 e r 2 ão poitiva e, e omente e, a > 0, b < 0. (iii) Uma raiz é poitiva e a outra é negativa e, e omente e, b > 0. Demontração. Definimo a função f : R R por f(x) = x 2 ax b, que pode er ecrita na forma ( f(x) = x a ) 2 a 2 + 4b. 2 4 Como a 2 + 4b 0, temo que em x = a/2 a função f aume o eu menor valor, ito é, f(x) f(a/2) para todo x R, veja a figura 6. Temo o eguinte cao a coniderar: a) Se a < 0 e { f(0) = b 0, então a dua raíze ão não poitiva. f(0) = b < 0, então uma raiz é negativa e a outra poitiva. b) Se a > 0 e { f(0) = b 0, f(0) = b < 0, então a dua raíze não negativa. então uma raiz negativa e a outra é poitiva. Lema 3. A raíze reai da equação (15) têm módulo menor do que ou igual a 1 e, e omente e, 1 + a + b < 0, 1 a + b < 0 e b > 1. Demontração. Primeiro, uponha que a 2 + 4b 0, ito é, que a raíze da equação (15) ão reai. E obervamo que:

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 23 a 2 f(0) = b 0 x a 2 x f(0) = b < 0 (a) (b) Figura 6. (a) motra o cao a < 0 e (b) o cao a > 0. a) x 2 ax b = (x 1) 2 (a + 2)(x 1) (1 + a + b). Fazendo y = x 1 temo, pelo Lema 2, que a raíze da equação ão negativa, e e omente e, y 2 (a + 2)y (1 + a + b) = 0 a + 2 < 0 e 1 + a + b < 0. b) x 2 ax b = (x + 1) 2 (a 2)(x + 1) (1 a + b). Fazendo w = x + 1 temo, pelo Lema 2, que a raíze da equação ão poitiva, e e omente e, w 2 (a 2)w (1 a + b) = 0 a 2 > 0 e 1 a + b < 0. Agora, vamo upor que a 2 + 4b < 0, ito é, a raíze ão complexa z = a 2 ± a2 + 4b i, 2 temo que z = b. Daí, nete cao, z < 1 e, e omente e, b < 1. Para ilutrar ete reultado faremo algun exemplo uando o winplot e repreentaremo a oluçõe no plano de x(n), x(n 1), ito é, fazendo y(n) = x(n 1) temo x(n) = ax(n 1) + by(n 1) y(n) = x(n 1). Por exemplo, e ecolhermo a = 1 e b = 9 aintoticamente etável. x(n) = 1x(n 1) 9 y(n 1) 10 y(n) = x(n 1), 10 temo que a olução nula é

24 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS ilutrado na figura 7(lado equerdo), para x(0) = x(1) = 1. Por outro lado, e ecolhermo a = 1 e b = 11 temo que a olução nula é 10 intável. x(n) = 1x(n 1) 11 y(n 1) 10 y(n) = x(n 1), ilutrado na figura 7(lado direito), para x(0) = x(1) = 0, 1. Figura 7. O triângulo etá no plano a b e a órbita no plano x(n) x(n 1). Aintoticamente etável e intável. 3.3. Soluçõe Periódica. Uma eqüência x(n) é periódica com período ω R + e x(n + ω) = x(n) para todo n N. Obervamo que e x(n) é uma eqüência periódica de período 1, ito é, x(n + 1) = x(n) temo que x(n + 2) = x(n + 1) = x(n). Aim, a equação (11) e reduz a x(n) ax(n 1) bx(n 2) = x(n) ax(n) bx(n) = (1 a b)x(n) = 0. Portanto, e 1 a b = 0 temo que toda eqüência de período 1 é olução da equação (11). Agora, dada uma eqüência periódica de período 2, ito é, x(n + 2) = x(n), tal que x(n + 1) x(n), dizemo que x(n) é periódica de período mínimo 2. Obervamo que e x(n + 1) = µx(n), para algum µ R, implica µ = ±1. Logo, etamo intereado no cao µ = 1. Da equação (11) temo x(n) ax(n 1) bx(n 2) = x(n) + ax(n) bx(n) = (1 + a b)x(n) = 0. Portanto, e 1 + a b = 0 temo que toda eqüência de período 2, com x(n + 1) = x(n) é olução da equação (11).

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 25 Propriedade 3. Se a 2 + 4b < 0 e o módulo da raíze de (15) forem iguai a 1, então b = 1 e a = 2 co θ, onde θ o argumento da raíze. Além dio, e θ/2π for racional então toda a oluçõe de (11) ão periódica. Cao contrário, ito é, e θ/2π for irracional, então o conjunto {x(n)} é deno em [ A, A], A = a 2 1 + a 2 2. Demontração. A primeira parte da propoição é imediata, poi e a raíze de (15) tem módulo 1, ito é, r 1 = co θ + i en θ e r 2 = co θ i en θ, para algum θ [0, 2π), temo que b = r 1 r 2 = 1 e a = (r 1 + r 2 ) = 2 co θ. Agora, ejam k e p inteiro tai que θ 2π = k p, ito é, θ = 2kπ p e, de (16), temo x(n + p) = a 1 co ( 2kπ p (n + p)) + a 2 en ( 2kπ p (n + p)), = a 1 co ( 2kπ p n + 2kπ) + a 2 en( 2kπ p n + 2kπ), = a 1 co ( 2kπ p n) + a 2 en ( 2kπ p n) = x(n). Por outro lado, uponha que θ/2π = λ eja irracional. Sejam A = a 2 1 + a 2 2, ϕ = 2λπ e ν (0, 1] fixado, temo que x(n) = A co(θn ϕ) = A co(2λπn 2λπ) = A co(2(nλ ν)π), = A co ( 2(nλ nλ ν)π ) = A co ( 2(ξ n ν)π ) onde, pelo Teorema 6 o conjunto do ponto ξ(n) = nλ nλ é deno em (0, 1) e µ (0, 1), fixado. Temo que o conjunto de ponto 2(ξ(n) ν)π é deno no intervalo ( 2νπ, 2 2νπ], de comprimento 2π. Logo, x(n) = A co(ξ(n) ν)π) é deno em [ A, A]. Por exemplo, e ecolhermo p = 3 e k = 1 temo que a = 1 e b = 1. Aim, temo x(n) = 1x(n 1) 1y(n 1) y(n) = x(n 1), ilutrado na figura 8(lado equerdo), para x(0) = x(1) = 1. Ecolhendo p = 4 e k = 1 temo x(n) = 1x(n 1) y(n) = x(n 1), ilutrado na figura 8(lado direito), para x(0) = x(1) = 1. Se ecolhermo p = 5 e k = 1 temo x(n) = 1x(n 1) + 2 co( 2π 5 y(n) = x(n 1), )y(n 1)

26 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Figura 8. Uma olução 3-periódica e outra 4-periódica. ilutrado na figura 9 (lado equerdo), para x(0) = x(1) = 1. Agora, eja, por exemplo, θ = 2π/ 26, então x(n) = 1x(n 1) + 2 co( 2π 26 )y(n 1) y(n) = x(n 1), ilutrado na figura 9(lado direito), para x(0) = x(1) = 1. Figura 9. uma olução 5-periódica e outra dena Apêndice Um ubconjunto X de Y R é deno em Y e, e omente e, todo intervalo aberto de Y contém algum elemento de X. (Exige-e intervalo aberto para excluir o cao de um intervalo fechado degenerado [a, a] = {a}). Notação x repreenta o maior inteiro menor do que ou igual x R. Teorema 6 (Kronecker, Theorem 439, p. 364, [3]). Se λ é irracional, então o conjunto do x n = nλ nλ, n = 1, 2,..., é deno no intervalo (0, 1).

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 27 Ob.: A figura dete trabalho foram gerada com ajuda do oftware livre winplot que pode er obtido no ite: math.exeter.edu/rparri. O arquivo para gerar tai figura e e divertir com a animaçõe apreentada no minicuro podem er obtido na página: www.mat.ufg.br/docente/jhcruz. Referência [1] Elaydi, S. N., An Introduction to Difference Equation, Springer-Verlag New York, 1996. [2] Goldberg, S., Introduccion a La Ecuacione en Diferencia Finita, Editorial Pueblo y Educación, Cuba, 1973. [3] Hard and Wright, The Theory of Number, Oxford, 1938. [4] Lima, E. L., Álgebra Linear. CMU/IMPA, 1999. [5] Lima, E. L., Carvalho, P.C.P, Wagner, E., Morgado, A. C., A Matemática do Enino Médio. CPM/SBM, 2000. [6] Moreira, C. G. Seqüência recorrente: apecto analítico e aritmético, II Bienal de Matemática, (2004) (www.bienabm.ufba.br). [7] Pollman, H. S. Equaçõe de Recorrência, Eureka, n. 9, 2000, pp. 33-40, (www.obm.org.br/eureka).

28 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS 4. Recorrência do Tipo Fibonacci de Orden Superiore Nea eção vamo coniderar equação (11) da eção 3 anterior com r, inteiro poitivo. Etudaremo o comportamento aintótico da oluçõe da equação (17) x(t) = ax(t r) + bx(t ). Aim endo, o objetivo é a de determinar a região onde e encontram o parâmetro a e b para o quai a oluçõe de (17) convergem para zero. 4.1. Reultado Anteriore. Para que a equação (17) eja aintoticamente etável é neceário e uficiente que toda a raíze da equação caracterítica tenham módulo menor que um. O reultado dado a eguir ão fundamentai para determinar a região etável de (17). Teorema 7 (Clark, 1976). Sejam a e b reai arbitrário e l um inteiro poitivo. Se a + b < 1 então a equação (17) é aintoticamente etável. Figura 10. a + b < 1. Teorema 8 (Kurukli, 1994). Sejam a e b reai, com a 0, r = 1 e > 1 um inteiro. A raíze da equação (17) pertencem ao dico unitário e, e omente e, a < 1, e a 1 < b < (a 2 + 1 2 a co(φ)) 1 2, par. a b < 1 e b < (a 2 + 1 2 a co(φ)) 1 2, ímpar. onde φ é a olução da equação en(( 1)θ) en(θ) = 1 a no intervalo (0, π ). ( Teorema 9 (Kipni and Nigmatulin, 2003). Seja b 0 = 2 en (1) Se b > 0 então a olução nula da equação (17) é intável. π 2(2 r 1) ).

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 29 Figura 11. (i) r ímpar e ímpar. (ii) r ímpar e par. (2) Se é diviível por r então a olução nula é aintoticamente etável e (18) b 0 < b < 0 e intável e, (19) b < b 0 (3) Se não é diviível por r então a olução nula da equação (17) é intável para todo b 0. 5 3a arco( ) 4 Teorema 10 (Kipni e Nigmatulin, 2003). Seja µ 0 = arco( 3a2 +8a 3). 2a (1) Se a 2 > 1, então a olução nula da equação (17) é intável. (2) Se 1 < a < 3 e é diviível por r, então a olução nula equação (17) a aintoticamente etável, e (20) r < µ 0 e intável e, (21) r > µ 0. (3) Se não é diviível por r, então a olução nula equação (17) é intável para todo a 1. Em [2] fizemo uma decrição completa, no plano do parâmetro a, b, da regiõe de etabilidade e intabilidade para a equação etudada por Kurukli [6], ver figura 12.

30 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Figura 12. Regiõe de Etabilidade e Intabilidade para a equação x(t) + ax(t 1) + bx(t l) = 0. Oberve que eta equação é um cao particular da equação (17) com r := 1, := l, a := a e b := b. O número de 1 a l indicam a quantidade de raíze com módulo maior do que 1, em cada região. O doi reultado, a eguir, ão equivalente e foram obtido de forma independente. Teorema 11 (Kipni e Nigmatulin, 2004). Sejam r e inteiro poitivo, com > r e mdc(r, ) = 1. A olução nula da equação (17) é aintoticamente etável e, e omente e, o par (a, b) é um ponto interior da região finita limitada pela curva: (1) a + b = 1; en(w) (2) a = en(( r)w), b = en(rw) en(( r)w) ; (3) ( 1) r a + ( 1) b = 1, (4) a = ( 1) r en(w) en(( r)w) ; b = en(rw) ( 1) en(( r)w). onde, w varia entre jπ/ e kπ/r. Sendo j é o menor inteiro poitivo tal que rj k = 1 com k também inteiro. Teorema 12 (Cruz e Santo, 2004). Conidere doi inteiro > r 1. Sendo m é o menor inteiro poitivo tal que rm q = 1 com q também inteiro, então a olução nula da equação (17) é aintoticamente etável e, e omente e, o ponto (a, b) pertence ao interior da região do plano ab, contendo a origem, limitada por onde k 1 = C k1, C k2, a + b = 1 e ( 1) r a + b = ( 1), + 1 e k 2 = ( m)( r) + 1. m( r)

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 31 Figura 13. Algun exemplo para ilutrar o Teorema 12. Na próxima eção apreentaremo o deenvolvimento realizado em [3] para a demontração do Teorema 12. 4.2. Etabilidade da equação x(t) = ax(t r) + bx(t ). A equação caracterítica aociada a (17) é; (22) λ aλ r b = 0 Inicialmente obervamo que o etudo para r, Q + e reduz ao cao em que r, N e ão primo entre i. De fato, e r = p q e = m n. Subtituindo λ = zm, onde M = mmc(q, n) tranformamo a equação caracterítica em uma equação com coeficiente inteiro e λ < 1 z < 1. De modo análogo, endo r e inteiro poitivo e d = mdc(r, ). Subtituindo λ d = w temo, w 1 aw 1 r 1 b = 0, com mdc( 1, r 1 ) = 1 e, λ < 1 w < 1. Agora, vamo obter o lugar geométrico do ponto (a, b) para o quai a equação (22) poui raiz com módulo igual a 1. Para io, conidere λ uma raiz de (22), com λ = 1. Dea forma, e λ R temo que λ = ±1. De (22) egue que (23) ( 1) ( 1) r a b = 0 ou 1 a b = 0.

32 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS Por outro lado, e λ R, então λ = co θ + i en θ, com θ (0, π), aim, de (22), temo, (24) co(θ) a co(( r)θ) b = 0 e en(θ) a en(( r)θ) = 0. Para θ kπ, k = 1, 2,..., r 1 temo, r en(θ) a = (25) C k := en(( r)θ) b = en(rθ) en(( r)θ), θ ( k 1 r π, k r π) = I k, k = 1, 2,..., r. Oberve que não exite raiz complexa para θ = kπ, k = 1, 2,..., r 1. r 4.3. Propriedade da curva de bifurcação. Ea curva tem a eguinte propriedade: Lema 4. Conidere > r 1 inteiro e primo entre i. Se 1 j k r ão tai que P := C j (θ 1 ) = C k (θ 2 ), com θ 1 θ 2, então P = (0, ±1) ou P = (±1, 0). Demontração. Sejam λ 1 = co θ 1 + i en θ 1 e λ 2 = co θ 2 + i en θ 2 raíze de (22). Temo que (26) λ 1 aλ r 1 b = 0 e (27) λ 2 aλ r 2 b = 0. Se a = 0, temo que λ 1 b = 0 b = 1 b = ±1. Se a 0, ubtraindo (27) de (26), (λ 1 λ 2) (λ r 1 λ r 2 )a = 0 a = λ 1 λ 2 λ r 1 λ r. 2 Agora, podemo reecrever (26), na forma λ 1 λ 1 λ 2 λ r 1 λ r λ r 1 b = 0 b = 0. 2 Portanto, a = ±1. Oberve que e λ 1 λ 2, então λ 1 λ 2 e λ r 1 λ r 2 não ão imultaneamente nulo. Lema 5. Se (a, b) = C k (θ), para algum k {0, 1,..., r} e algum θ I k, então a + b 1 ou a b 1.

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 33 Além dio, lim θ θ j lim C 1(θ) = θ 0 + ( r, r r ) ( ) ( 1) r, lim C ( r)(θ) = θ π r, ( 1)+1 r. r C j (θ) =, e lim C j (θ) =, θ j = jπ, j = 1, 2,..., r 1. θ θ + j 1,j 1 r Demontração. Sejam k {0, 1,..., r} e θ I k tai que (a, b) = C k (θ). Aim, Obervamo que, a = en(θ) en(( r)θ) e b = en(rθ) en(( r)θ). 1 co(( r)θ) 1 = 1 co(θ) co(rθ) + en(θ) en(rθ) 1. Daí, temo doi cao a coniderar: (i) Se en(θ) en(rθ) 0, então 2 en(θ) en(rθ) 2 en 2 (θ) en 2 (rθ) 2 en(θ) en(rθ) co(rθ) co(θ) o que implica 2 en(θ) en(rθ) (en(θ) en(rθ)) 2 (en(rθ) co(θ) en(θ) co(rθ)) 2 (en(θ) + en(rθ)) 2, ito é, (28) en(θ) en(rθ) en(( r)θ) en(θ) + en(rθ). (ii) Se en(θ) en(rθ) < 0, temo, (29) en(θ) + en(rθ) en(( r)θ) en(θ) en(rθ). De (28) temo a + b 1 e (29) temo a b 1. Obervação: Uma demontração geométrica pode er obtida obervando que, no plano complexo, aλ r pertence a um círculo de raio a e centro na origem. O limite ão obtido diretamente da expreõe da curva C k. De poe da propriedade da curva de bifurcação podemo agora decrever a região do ponto (a, b) tai que a equação (22) poui raíze com módulo menor do que 1, chamada de região de etabilidade aintótica ou implemente região etável. Levin, em [7], motrou que no interior do quadrado a + b < 1, toda a raíze de (22) tem módulo menor do que 1. Como uma coneqüência do Teorema de Rouchè temo a continuidade da raíze com repeito ao parâmetro, veja Dieudonné [5, Th. 9.17.4], por exemplo. Portanto, e (a, b) varia no plano ab começando no interior do conjunto a + b < 1, uma raiz de (22) com módulo maior que 1 aparece e, e omente e, o par (a, b) interceptar uma curva de bifurcação ou uma da reta 1 a b = 0 e ( 1) ( 1) r a b = 0. Trê cao devem er coniderado:

34 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS r par e ímpar; r ímpar e par; r ímpar e ímpar. Detalharemo o cao r par e ímpar. Inicialmente obervamo que no primeiro e quarto quadrante a reta (23) ão a fronteira da região etável que, nete quadrante, coincidem com a obtida por Levin. A fronteira no egundo e terceiro quadrante ão parte de curva de bifurcação mai próxima da região a + b < 1. Para determina-la etudaremo a inclinação do vetor tangente a curva (25), no ponto (0, 1) e (0, 1), ito é, θ = σπ, com σ = 1,..., 1. Para er mai precio, etamo intereado na curva que paa por (0, 1) com inclinação máxima e na curva que paa por (0, 1) com inclinação mínima. Como o vetor tangente, em um ponto qualquer da curva (25), é dado por Em θ = σπ, temo C k(θ) := (a, b ), onde a = da dθ e b = db dθ. C k( σπ ) = ( 1) σ co( rσπ en( rσπ ) ), en( rσπ ) para σ = 1,..., 1, e a inclinação é dada por, b = ( 1) σ+1 co( rσπ a ). Sejam ϕ e 0 inteiro, 0 < 0 <, tai que rσ = ϕ + 0. Aim a inclinação pode er ecrita, ito é, (30) Dea forma temo, b = ( 1) σ+1 co( rσπ a ) = ( 1)σ+1 co(ϕπ + 0 π), b = ( 1) σ+ϕ+1 co( 0π a ). (31) ( 1) σ+ϕ+1 co( π ) ( 1)σ+ϕ+1 co( 0π ) ( 1)π ( 1)σ+ϕ+1 co( ) ou (32) ( 1) σ+ϕ+1 co( π ) ( 1)σ+ϕ+1 co( 0π ) ( 1)π ( 1)σ+ϕ+1 co( ). Portanto, o extremo da inclinação ocorrem em 0 = 1 ou 0 = 1. Sendo r e primo entre i e (m, q) a olução em que m é o menor inteiro poitivo, uma olução da equação rσ ϕ = 1 é dada por (σ, ϕ) = (m 1, q 1 ), onde m 1 = m e q 1 = q + 1 r.

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 35 A primeira coordenada do vetore tangente à curva C k em θ = mπ e θ = m 1π ão dada, repectivamente, por (33) a ( mπ ) = en( rmπ ) = en(qπ + π ) = ( 1)q+1 en( π ). e (34) a ( m 1π ) = en( rm 1π ) = en(q 1 π + π ) = ( 1)q1+1 en( π ). Se m for par, então q é ímpar, m 1 é ímpar e q 1 é par. Nee cao, da deigualdade (31), temo co( π ) co( 0π 1)π ) co(( ), para todo 0 = 1,..., 1. Io ignifica que para θ = mπ, no ponto (0, 1), o vetor tangente tem inclinação máxima. Além dio, com q ímpar em (33), temo a > 0 (o entido da curva é do egundo para o primeiro quadrante). Aim, o intervalo de definição da curva tem como extremo uperior θ = mπ e o extremo inferior é o primeiro múltiplo (inteiro) de π imediatamente anterior a r mπ, ito é, mr π r. Portanto, a curva C k1 (θ), k 1 = m( r) + 1, retrita ao intervalo, [ mr π r, mπ ], limita a região etável no egundo quadrante. Por outro lado para θ = m 1π, no ponto (0, 1), o vetor tangente tem inclinação mínima. Da deigualdade (34) temo a < 0 (o entido da curva é do quarto para o terceiro quadrante). Io ignifica que m 1π é o extremo inferior do intervalo que define a fronteira no terceiro quadrante. O extremo uperior é o primeiro múltiplo de π maior do que m 1π, ito é,( m 1r r + 1)π r. Portanto, a curva C k2 (θ), k 2 = m 1( r) + 1, retrita ao intervalo, [ m1 π ], ( m 1r + 1)π, r limita a região etável no terceiro quadrante. Se m é ímpar então q é ímpar, m 1 é par e q 1 é par. Nee cao, em virtude de (32), teremo inclinação mínima para θ = mπ, em (0, 1) e máxima para θ = m 1π, em (0, 1). Obervando o inal de a em (33) e (34) concluimo que C k1 (θ), k 1 = m( r) + 1, retrita ao intervalo, [ mr π r, mπ ],

36 JOSÉ H. DA CRUZ, MARINA T. MIZUKOSHI E RONALDO A. DOS SANTOS limita a região etável no terceiro quadrante. Enquanto que C k2 (θ), k 2 = m 1( r) + 1, retrita ao intervalo, [ m1 π ], ( m 1r + 1)π, r limita a região etável no egundo quadrante. Io conclui a demontração para o cao em que r é par e é ímpar. Com argumento análogo podemo encontrar a fronteira da região etável no outro doi cao, concluindo a demontração do Teorema 12. Obervação 2. Para r = 1, temo que C k1 = C 1 e C k2 = C 1 e, nete cao, em virtude do Lema 5, a fronteira da região etável em doi quadrante erá formada por parte da curva de bifurcação e parte da reta (23), enquanto que no outro doi quadrante apena parte da reta (23) formam a fronteira. Obervação 3. A coordenada da curva C k1 e C k2, no repectivo intervalo que definem a fronteira, ão funçõe monótona, poi, tanto o inal de a como o de b ão preervado no intervalo I m e I m1, já que ee não pouem ponto do tipo kπ e kπ, com k inteiro, em eu interiore. r Referência [1] Clark, C. W., A delayed-recruitment model of population dynamic, with an application to baleen whale population, J. Math. Biol. 3, 381-391,1976. [2] Cruz, J. H. e Santo, R. A. Uma nota obre a etabilidade e intabilidade da equação x(t) ax(t 1) + bx(t l) = 0, 58 0 Seminário Braileiro de Análie, Novembro de 2003. [3] Cruz, J. H. e Santo, R. A., A regiõe de etabilidade, no plano do parâmetro a e b, da equação x(t) ax(t r) bx(t ) = 0, 60 Seminário Braileiro de Análie, 2004, 275-284. [4] Kipni, M. M. and Nigmatullin, R. M. Stability of the Trinomial linear Difference Equation With Two Delay, Automation and Remote Control, Vol. 65, no. 11, 2004, pp. 1710-1723. [5] Dieudonné, J. Foundation of Modern Analyi, Academic Pre, New York, 1964. [6] Kurukli, S. A., The aymptotic tability of x n+1 ax n + bx n k = 0. Journal of Math. Analyi and Aplication, 188, 719-731, 1994. [7] Levin, S. A. and R. M. May, A note on diference-delay equation Theoret. Popul. Biol. 9. 178-187, 1976.

RECORRÊNCIAS DO TIPO FIBONACCI E APLICAÇÕES - III BIENAL DA SBM 37 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS Intituto de Matemática e Etatítica Caixa Potal 131 74.001-970 Goiânia, GO, Brail E-mail addre: jhilario@mat.ufg.br E-mail addre: tuyako@mat.ufg.br E-mail addre: raanto@mat.ufg.br