UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC PROJETO REENGE - ENG. ELÉTRICA CADERNO DIDÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 ELABORAÇÃO: Prof. Hélio Leães Hey, Dr. Eng. DIGITAÇÃO: Patrick, bolsista AGOSTO - 1997

APOSTILA DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 ÍNDICE CAPÍTULO 1 - GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE 1.1- INTRODUÇÃO I-1 1.2- DEFINIÇÕES BÁSICAS I-1 1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA I-2 1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE I-3 1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA I-4 CAPÍTULO 2 - REVISÃO MATEMÁTICA 2.1- INTRODUÇÃO II-1 2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA II-1 2.3- FUNÇÕES ANALÍTICAS II-2 2.4- TEOREMA DE EULER II-2 2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE II-3 2.5.1- OBTENÇÃO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES II-3 a) Função Exponencial II-3 b) Função Degrau II-4 c) Função Rampa II-4 d) Função Senoidal II-4 e) Função Co-senoidal II-5 2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE II-6 a) Função Transladada II-6 b) Função Pulso II-7 c) Função Impulso II-7 d) Multiplicação de f(t) por e -αt II-8 e) Mudança de escala de tempo II-8 f) Demonstração do teorema da diferenciação II-8 g) Teorema do Valor Final II-10

h) Teorema do Valor Inicial II-11 2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE II-11 2.6.1- MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS II-12 DETERMINAÇÃO DOS RESÍDUOS ASSOCIADOS AOS PÓLOS II-12 a) Pólos Reais e Distintos II-12 b) Pólos Reais Múltiplos II-14 c) Pólos Complexos Conjugados II-15 2.7- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO ATRAVÉS DE T.L. II-16 CAPÍTULO 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3.1- INTRODUÇÃO III-1 3.2- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA III-1 COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA III-1 3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS III-2 - Blocos e Fluxo de Sinais III-2 - Ponto de Soma III-2 - Pontos de Ramificações III-2 3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA III-3 3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES III-4 3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS III-5 3.7- GRÁFICOS DE FLUXO DE SINAL III-6 DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADOS EM GRÁF. DE FLUXO DE SINAIS III-7 ÁLGEBRA DO GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS III-7 3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASON III-8 3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTADO III-9 3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO DE VARIÁVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMA III-12 3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS III-13

3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA III-13 3.13- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE ESTADO III-14 3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE ESTADOIII-15 CAPÍTULO 4 - MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS 4.1- INTRODUÇÃO IV-1 4.2- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS IV-1 - Massa IV-1 - Força IV-2 - Torque IV-2 - Deslocamento, Velocidade e Aceleração IV-2 - Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular IV-2 LEIS DE NEWTON IV-3 - Segunda lei de Newton (Translação) IV-3 - Segunda lei de Newton (Rotação) IV-3 4.2.1- SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO IV-3 - Elemento de Inércia (Massa) IV-3 - Elemento de Amortecimento (Amortecedor) IV-4 - Elemento de Elasticidade (Mola) IV-4 4.2.2- SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO IV-6 - Elementos de inércia (Momento de Inércia) IV-7 - Elemento de Amortecimento (Amortecedor) IV-7 - Elemento de Elasticidade (Mola) IV-7 4.3- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS IV-8 4.3.1- CIRCUITO RLC IV-8 4.4- SISTEMAS ANÁLOGOS IV-9 4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS IV-9 a) Analogia Força-Tensão IV-9 b) Analogia Força-Corrente IV-10 4.5 - SISTEMAS ELETROMECÂNICOS IV-11

4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA IV-11 4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC IV-12 4.5.1.2- GERADOR CC IV-16 4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS IV-17 4.7- LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NÃO-LINEARES IV-18 CAPÍTULO 5 - AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE E CONTROLADORES AUTOMÁTICOS INDUSTRIAIS 5.1- AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE V-1 5.1.1- AÇÃO DE CONTROLE ON-OFF OU DE DUAS POSIÇÕES V-1 5.1.2- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL V-2 5.1.3- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL V-2 5.1.4- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL V-3 5.1.5- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO V-4 5.1.6- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO V-4 5.2- CONTROLE PROPORCIONAL APLICADO A UM SISTEMA DE 1 a ORDEM V-5 5.2.1- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL V-6 5.2.2- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO V-6 5.2.3- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL V-7 5.3- EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE INTEGRAL E DERIVATIVA NO DESEMPENHO DO SISTEMA V-8 5.3.1- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL V-8 5.3.2- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE PROPORCIONAL A PERTURBAÇÃO V-9 5.3.3- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE P-I A PERTUBAÇÕES V-9 CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA, DO ERRO DE REGIME PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS 6.1- INTRODUÇÃO VI-1

6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM VI-1 a) Resposta ao degrau VI-1 b) Resposta a Rampa Unitária VI-2 6.3- SISTEMAS DE 2 a ORDEM VI-3 a) Pólos Reais VI-3 b) Pólos Complexos VI-3 1 o Caso: SISTEMA SUBAMORTECIDO VI-3 2 o Caso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO VI-4 3 o Caso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO VI-5 6.3.1- ESPECIFICAÇÕES DO TEMPO DE RESPOSTA VI-6 - Tempo de Subida tr VI-6 - Tempo de Pico tp VI-6 - Tempo de Acomodação ts VI-6 - Overshoot Máximo Mp VI-6 6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITÓRIA VI-8 6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTE PARA UM SISTEMA DE 2 a ORDEM ASSOCIADA A UM COMPENSADOR PROPORCIONAL VI-9 6.6- CONTROLADOR P-D APLICADO A UM SISTEMA DE 2 a ORDEM VI-10 6.7- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ VI-11 6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE VI-12 6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITÁRIO VI-13 6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITÁRIA VI-13 6.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARÁBOLA VI-14 QUADRO RESUMO VI-15 CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES 7.1- INTRODUÇÃO VII-1 7.2- MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES VII-1 7.2.1- PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES VII-1 7.2.2- DEFINIÇÃO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES VII-3

7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DOS LUGARES VII-5 CAPÍTULO 8- ANÁLISE DO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 8.1- INTRODUÇÃO VIII-1 8.2- PRINCÍPIO BÁSICO VIII-1 8.3- DIAGRAMA DE BODE VIII-4 8.3.1- GANHO CONSTANTE K VIII-5 8.3.2 - PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM VIII-5 8.3.3- PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO VIII-6 8.3.4- PÓLOS E ZEROS COMPLEXOS VIII-7 8.4- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST VIII-9 Teorema de Cauchy: VIII-10 8.4.1- VANTAGEM DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ VIII-11 8.4.2- APLICAÇÕES DO CRITÉRIO DE NYQUIST VIII-11 8.5- ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE VIII-12 Margem de Ganho: VIII-12 Margem de Fase: VIII-12 8.6- DIAGRAMAS DE NYQUIST - CASOS ESPECIAIS VIII-14

Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I I-1 &$3Ì78/2, GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE 1.1- INTRODUÇÃO Embora muitas vezes não percebemos, todos os dias participamos ativa ou passivamente de diversos sistemas de controle. Sempre que o ser humano participa de um determinado processo com a função de monitorá-lo, está participando do fechamento de uma malha. Como exemplos de sistemas de controle, pode-se citar: - Ato de guiar um automóvel (malha fechada); - Ato de utilizar um liqüidificador (malha fechada); - Ato de utilizar um máquina de lavar (malha aberta); - Ato de utilizar um microondas (malha aberta). Atualmente os sistemas de controle têm assumido um papel progressivamente importante no desenvolvimento da civilização moderna. Praticamente todos aspectos de nossa atividade diária são afetados por algum tipo de sistema de controle. A busca da qualidade, eficiência e precisão, praticamente exige a presença de sistemas de controle em malha fechada sem a presença do operador humano, isto é, CONTROLE AUTOMÁTICO. O primeiro dispositivo que utilizava controle em malha fechada que se tem notícia, é o relógio de água inventado dois séculos antes de cristo. O tempo era medido pelo volume de água acumulada no reservatório inferior, o qual recebia os pingos de água com uma vazão constante de um reservatório para o outro. Isto era conseguido, graças a válvula flutuante do primeiro reservatório que possuía a função de garantir sempre o mesmo nível de água no primeiro reservatório. Esta válvula apresentava as funções de sensor e atuador do sistema. 1.2- DEFINIÇÕES BÁSICAS A seguir são introduzidas as definições básicas a respeito das denominações utilizadas na teoria de controle. - Planta: A planta de um sistema de controle é definida como sendo a parte do sistema a ser controlada. Ex: reator químico, caldeira, gerador, etc. - Processo: O processo é definido como sendo a operação a ser controlada na planta. Ex: processo químico, físico, biológico, etc.

Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I I-2 - Perturbações: São sinais que tendem a afetar o valor da saída de um sistema. Se a perturbação é gerada dentro do sistema, ela é denominada interna. Caso contrário, é considerada como um sinal de entrada do sistema. - Controle Realimentado: É a operação que na presença de perturbações externas, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e a entrada de referência. - Sistema de Controle Realimentado: É um sistema que tende a manter uma relação preestabelecida entre o sinal de saída e a entrada de referência, comparando-as e utilizando a diferença entre estes sinais como um meio de controle do sinal de saída. Ex: sistema de controle de temperatura de uma sala. Pela comparação da temperatura da sala (saída) com a temperatura desejada (entrada), um termostato abre ou fecha, com o objetivo de igualar os sinais. Outro exemplo é o controle de velocidade de um automóvel pelo motorista. Para que o automóvel não ultrapasse uma velocidade predefinida, o motorista deve comparar continuamente a velocidade do veículo (saída) com a velocidade estabelecida (entrada). - Servo Mecanismo: É um sistema de controle realimentado no qual a saída do sistema é uma posição mecânica, velocidade ou aceleração. - Sistema Regulador Automático: É um sistema de controle cujas saída e entrada de referência são constantes, ou variam lentamente, e o objetivo do sistema é manter a saída em um valor desejado mesmo na presença de perturbações. Ex: controle de pressão e temperatura em um processo químico. 1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA O controle em malha fechada é o mesmo que controle realimentado. A diferença entre o sinal de entrada (referência) e o sinal de saída realimentado, chamado de sinal de erro, é introduzido no controlador que atua na planta ou no processo de forma a reduzir o erro e manter a saída em um valor desejado. Conforme já foi mencionado anteriormente, existem dois tipos de controle em malha fechada (realimentado), definidos como controle manual e controle automático. No controle automático, o operador é substituído por dispositivos que desempenham as suas funções de formas mais eficientes e precisas. Já nos sistemas de controle em malha aberta, a saída não tem efeito na ação de controle, isto é, a saída não é medida nem realimentada para comparação com a entrada. Para cada entrada de referência haverá uma condição preestabelecida de operação. Qualquer sistema que opere em uma base de tempo é um sistema em malha aberta. A operação em malha aberta deve ser usada, quando se conhece a relação entre entrada-saída e o sistema não apresentar nenhum tipo de perturbação.

Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I I-3 Nem sempre, os sistemas em malha fechada são aconselháveis. Nos sistemas em que as entradas são conhecidas e não estão sujeitas a perturbações, a operação em malha aberta deve ser preferida. Entretanto, quando o sistema estiver sujeito a perturbações e variações imprevisíveis devese preferir a operação em malha fechada. Porém, estes sistemas devem ser analisados e projetados com bastante cuidado, visto que outros problemas podem ser gerados como por exemplo, instabilidade e oscilações. 1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE - Sistemas de Controle Linear e Não-Linear Praticamente todos os sistemas físicos existentes na prática são não-lineares. Entretanto, quando os módulos dos sinais dos sistemas de controle são limitados a uma certa faixa de valores, na qual os componentes do sistema exibem características lineares, o sistema é dito linear. Quando os módulos dos sinais se estendem fora da faixa linear de operação, o sistema deverá ser considerado como não-linear. No geral o sistema é dito linear, quando o princípio da superposição pode ser aplicado. - Sistemas de Controle Invariante no tempo e Variante no tempo Um sistema de controle é dito invariante no tempo quando seus parâmetros são estacionários com relação ao tempo, isto é, não variam com o tempo. A resposta do sistema independe do instante de tempo no qual a entrada é aplicada. Por outro lado, um sistema de controle é dito variante no tempo, quando um ou mais parâmetros variam com o tempo e a resposta do sistema depende do instante de tempo no qual a entrada é aplicada. Um exemplo de um sistema de controle variante no tempo é o controle de um míssil teleguiado, no qual a massa do mesmo diminui com o tempo, já que combustível é consumido durante o vôo. - Sistemas de Controle Contínuos e Discretos Um sistema é dito contínuo, quando todas as variáveis do sistema são conhecidas em todos os instantes de tempo. Um sistema é dito discreto, quando pelo menos uma variável do sistema só é conhecida em alguns instantes de tempo. - Sistemas de Controle uma entrada - uma saída e várias entradas - várias saídas Um exemplo claro de um sistema uma entrada - uma saída é o sistema de controle de velocidade de um motor elétrico, onde a entrada é a velocidade desejada e a saída é a velocidade atual. Como exemplo de sistemas várias entradas - várias saídas pode-se citar o controle de pressão e temperatura de um caldeira, que apresenta duas grandezas de entrada e de saída (pressão e temperatura). - Sistemas de Controle Clássico e Sistemas de Controle Moderno A teoria de controle clássico utiliza exaustivamente o conceito de função de transferência, onde a análise e o projeto de um sistema são feitos no domínio de freqüência, isto é, no domínio S. Esta teoria fornece resultados satisfatórios somente para sistemas do tipo uma entrada - uma saída.

Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I I-4 A teoria de controle moderno é baseado na abordagem de espaço de estado, que utiliza exaustivamente os conceitos de matriz de transferência e a análise e o projeto de um sistema são feitos no domínio do tempo. 1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA - Requisitos de um Sistema de Controle A exigência fundamental de um sistema de controle é ser estável, isto é, apresentar estabilidade absoluta. Deve também, apresentar um boa estabilidade relativa, isto é, a velocidade de resposta deve ser rápida e esta resposta deve apresentar um bom amortecimento. O sistema de controle deve ser capaz de reduzir os erros para zero ou para algum valor pequeno tolerável. As exigências de uma ótima estabilidade relativa e erro zero em regime, muitas vezes são incompatíveis. Deve-se portanto buscar um ponto ótimo entre estas exigências. - Modelagem Matemática Os componentes e dispositivos presentes nos mais diversos sistemas de controle são geralmente de natureza totalmente distintas, como por exemplo, eletromecânicos, hidráulicos, pneumáticos, eletrônicos, etc. Para que haja uma uniformidade na análise estes componentes e/ou dispositivos são substituídos pelos seus modelos matemáticos. Um dos primeiros problemas que nos deparamos quando vamos projetar um sistema de controle, é na obtenção de modelos matemáticos precisos para os dispositivos físicos. Estes modelos devem representar os aspectos essenciais destes dispositivos. A análise do desempenho do sistema baseado no seu modelo matemático deve ser razoavelmente precisa. Sistemas aparentemente diferentes podem ser descritos pelo mesmo modelo matemático. É baseado neste fato que a teoria de sistemas de controle é uma abordagem única e interdisciplinar. Devido a facilidade de se manipular e analisar os sistemas lineares, muitos dispositivos em que a relação entre entrada-saída não são lineares, normalmente são linearizados em torno do ponto de operação através das técnicas disponíveis. - Análise, Projeto e Síntese de um Sistema de Controle A análise de um sistema de controle significa a investigação do desempenho do sistema, cujo modelo matemático é conhecido sob certas condições especificadas. Esta, deve começar pela descrição matemática de cada dispositivo que o compõe. Uma vez que o modelo matemático do sistema é obtido, a análise do mesmo independe de sua natureza física (eletrônico, pneumático, etc.). No geral, a análise de um sistema é feita sob dois aspectos: análise da resposta transitória e análise de regime permanente. Projetar um sistema, significa determiná-lo de modo a desempenhar uma dada tarefa. Se as características da resposta transitória e do regime permanente não forem satisfatórias, deve-se adicionar um componente ao sistema, com o objetivo de compensar o desempenho indesejado do mesmo. Este componente adicional é conhecido como compensador. Em geral o projeto de um compensador, na teoria de controle clássico, é baseado nos métodos da resposta em freqüência e/ou do lugar das raízes. Síntese de um sistema, é a sua determinação através de um procedimento direto que faça com que funcione com uma característica específica. Geralmente, este procedimento é puramente matemático. Atualmente, os computadores têm tido um papel importante na análise, projeto e operação de sistema de controle, tanto na parte de simulação do sistema e projeto orientado, como também fazendo parte do sistema atuando como um controlador digital. - Abordagem Básica para Projetos de Sistema de Controle

Projeto Reenge - Eng. Elétrica Apostila de Sistemas de Controle I I-5 Geralmente o projeto de um sistema de controle envolve métodos de tentativa e erro. Isto se deve principalmente, as não-linearidades do sistema e também as imprevisões e simplificações adotadas na determinação dos modelos característicos dos dispositivos do sistema. Na prática, o projetista de posse da planta a ser controlada, projeta o resto do sistema para que atenda as especificações solicitadas, como por exemplo, Amortecimento, Precisão em Regime Permanente, Confiabilidade e Custo. As especificações podem ser solicitadas explicitamente ou não. Caso sejam solicitadas, o projetista deve, dentro do possível, obtê-las. Caso contrário, deve obter as especificações que julgar conveniente. As especificações devem ser analisadas em termos matemáticos. Deve-se salientar, que as especificações devem ser realísticas. - Metodologia de projeto De posse da planta a ser controlada, deve-se escolher qual o melhor sensor e atuador a ser utilizado. Após, deve-se obter os modelos matemáticos da planta, sensor e atuador. A seguir, define-se o modelos matemático do controlador, para que o sistema em malha fechada satisfaça as especificações do projeto. Uma vez que o projetista tenha em mãos o modelo matemático completo do sistema, deve simulá-lo para avaliar o seu desempenho em relação a variações do sinal de entrada e também na presença perturbações. Nesta fase é que devem ser feitos os ajustes no sistema, para que a resposta do mesmo atenda as especificações solicitadas. Após, deve-se construir o protótipo físico do sistema, para que o mesmo seja testado e para que sejam feitos os ajustes práticos.