Conceitos Básicos em Análise de Sobrevivência Aula Estatística Aplicada Prof. José Carlos Fogo Departamento de Estatística - UFSCar Outubro de 2014 Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 1 / 21
Sumário 1 Introdução Tempo de falha Eventos terminais e recorrentes Populações homogêneas e heterogêneas Censuras 2 Conceitos Básicos Função de Risco 3 Modelos de Sobrevivência Modelos de Regressão Função de Verossimilhança Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 2 / 21
Introdução Análise de Sobrevivência: técnicas estatísticas para o estudo de dados de tempos de vida de um indivíduo, item ou componente. Exemplos: i) Em estudos médicos envolvendo doenças que não tem cura (ou casos terminais) há o interesse em se medir o tempo de sobrevida dos pacientes a partir do instante inicial de um tratamento. ii) Estudos médicos podem, ainda, ser aplicados para se mensurar o tempo de cura (ou recuperação) de um paciente, a partir de um instante inicial de tratamento. Para certas doenças corriqueiras mede-se o tempo entre recorrências (ocorrências sucessivas). Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 3 / 21
Introdução Análise de Sobrevivência: técnicas estatísticas para o estudo de dados de tempos de vida de um indivíduo, item ou componente. Exemplos: i) Em estudos médicos envolvendo doenças que não tem cura (ou casos terminais) há o interesse em se medir o tempo de sobrevida dos pacientes a partir do instante inicial de um tratamento. ii) Estudos médicos podem, ainda, ser aplicados para se mensurar o tempo de cura (ou recuperação) de um paciente, a partir de um instante inicial de tratamento. Para certas doenças corriqueiras mede-se o tempo entre recorrências (ocorrências sucessivas). Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 3 / 21
Introdução Análise de Sobrevivência: técnicas estatísticas para o estudo de dados de tempos de vida de um indivíduo, item ou componente. Exemplos: i) Em estudos médicos envolvendo doenças que não tem cura (ou casos terminais) há o interesse em se medir o tempo de sobrevida dos pacientes a partir do instante inicial de um tratamento. ii) Estudos médicos podem, ainda, ser aplicados para se mensurar o tempo de cura (ou recuperação) de um paciente, a partir de um instante inicial de tratamento. Para certas doenças corriqueiras mede-se o tempo entre recorrências (ocorrências sucessivas). Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 3 / 21
Introdução...continuação: iii) Itens são fabricados (máquinas, componentes, ferramentas, etc..), sendo de interesse conhecer as suas durações. Isso é feito colocando-se diversos itens em observação, num experimento controlado, até que os mesmos venham a falhar. iv) Alguns produtos manufaturados podem ser reparados após uma falha. Neste caso têm-se o interesse em determinar o intervalo de tempo entre falhas sucessivas para se montar um programa de manutenção. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 4 / 21
Introdução...continuação: iii) Itens são fabricados (máquinas, componentes, ferramentas, etc..), sendo de interesse conhecer as suas durações. Isso é feito colocando-se diversos itens em observação, num experimento controlado, até que os mesmos venham a falhar. iv) Alguns produtos manufaturados podem ser reparados após uma falha. Neste caso têm-se o interesse em determinar o intervalo de tempo entre falhas sucessivas para se montar um programa de manutenção. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 4 / 21
Introdução Dois campos de estudo: a) Análise de Sobrevivência: estudos de tempos de vida na área médica evento = morte, recorrência de um sintoma ou doença, cura; b) Análise de Confiabilidade: estudos de tempos de vida na área industrial ou na engenharia. evento = falha ou recorrência de um defeito. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 5 / 21
Introdução Dois campos de estudo: a) Análise de Sobrevivência: estudos de tempos de vida na área médica evento = morte, recorrência de um sintoma ou doença, cura; b) Análise de Confiabilidade: estudos de tempos de vida na área industrial ou na engenharia. evento = falha ou recorrência de um defeito. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 5 / 21
Tempo de falha Tempo de falha É o tempo decorrido a partir de um instante inicial até a ocorrência do evento de interesse (morte, remissão, falha, recorrência). Pode, ainda, ser chamado de: tempo de sobrevivência; tempo de vida; tempo de recorrência. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 6 / 21
Eventos terminais e recorrentes Eventos terminais e recorrentes Eventos terminais: ocorrem quando a observação se encerra no instante de sua ocorrência (morte, quebra ou falha funcional, primeira ocorrência). Tempo terminal é conhecido como tempo de sobrevivência ou tempo de vida. Eventos recorrentes: ocorrem quando a observação não se encerra no instante de sua ocorrência (falhas de um equipamento reparável, recorrência de doenças ou sintomas). Eventos recorrentes têm dependência temporal, podendo ser modelados por processos de contagem (AALEN, 1978); Tempos de recorrência são chamados tempo até o evento. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 7 / 21
Eventos terminais e recorrentes Eventos terminais e recorrentes Eventos terminais: ocorrem quando a observação se encerra no instante de sua ocorrência (morte, quebra ou falha funcional, primeira ocorrência). Tempo terminal é conhecido como tempo de sobrevivência ou tempo de vida. Eventos recorrentes: ocorrem quando a observação não se encerra no instante de sua ocorrência (falhas de um equipamento reparável, recorrência de doenças ou sintomas). Eventos recorrentes têm dependência temporal, podendo ser modelados por processos de contagem (AALEN, 1978); Tempos de recorrência são chamados tempo até o evento. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 7 / 21
Eventos terminais e recorrentes Eventos terminais e recorrentes Figura: Representação gráfica para dados terminais Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 8 / 21
Eventos terminais e recorrentes Eventos terminais e recorrentes Figura: Representação gráfica para dados recorrentes Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 9 / 21
Populações homogêneas e heterogêneas Populações homogêneas e heterogêneas Populações heterogêneas: muitas vezes, informações adicionais que descrevem características individuais, são observadas por meio de covariáveis ou variáveis explanatórias. As covariáveis, geralmente, são observadas uma única vez durante o estudo. Populações homogêneas: não se observam informações adicionais e as características individuais são consideradas fixas. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 10 / 21
Populações homogêneas e heterogêneas Populações homogêneas e heterogêneas Populações heterogêneas: muitas vezes, informações adicionais que descrevem características individuais, são observadas por meio de covariáveis ou variáveis explanatórias. As covariáveis, geralmente, são observadas uma única vez durante o estudo. Populações homogêneas: não se observam informações adicionais e as características individuais são consideradas fixas. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 10 / 21
Censuras Censuras A censura ocorre quando o tempo de vida de um indivíduo ou unidade não é observado. O indivíduo deixa de ser observado ou o experimento deve ser encerrado e ainda existem itens em funcionamento. A falha, ou morte, ocorre por outras causas. São classificadas em: Tipo I - o estudo é conduzido até um tempo limite L, pré-fixado e os indivíduos que ainda não experimentaram o evento são censurados; Tipo II - o estudo é encerrado quando da ocorrência de r falhas e as (n r) unidades ainda em funcionamento, são todas censuradas em t (r) ; Aleatória - semelhante à censura tipo I, porém, com os indivíduos sendo incorporados de maneira aleatória. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 11 / 21
Censuras Censuras A censura ocorre quando o tempo de vida de um indivíduo ou unidade não é observado. O indivíduo deixa de ser observado ou o experimento deve ser encerrado e ainda existem itens em funcionamento. A falha, ou morte, ocorre por outras causas. São classificadas em: Tipo I - o estudo é conduzido até um tempo limite L, pré-fixado e os indivíduos que ainda não experimentaram o evento são censurados; Tipo II - o estudo é encerrado quando da ocorrência de r falhas e as (n r) unidades ainda em funcionamento, são todas censuradas em t (r) ; Aleatória - semelhante à censura tipo I, porém, com os indivíduos sendo incorporados de maneira aleatória. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 11 / 21
Censuras Censuras A censura ocorre quando o tempo de vida de um indivíduo ou unidade não é observado. O indivíduo deixa de ser observado ou o experimento deve ser encerrado e ainda existem itens em funcionamento. A falha, ou morte, ocorre por outras causas. São classificadas em: Tipo I - o estudo é conduzido até um tempo limite L, pré-fixado e os indivíduos que ainda não experimentaram o evento são censurados; Tipo II - o estudo é encerrado quando da ocorrência de r falhas e as (n r) unidades ainda em funcionamento, são todas censuradas em t (r) ; Aleatória - semelhante à censura tipo I, porém, com os indivíduos sendo incorporados de maneira aleatória. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 11 / 21
Censuras Censuras A censura ocorre quando o tempo de vida de um indivíduo ou unidade não é observado. O indivíduo deixa de ser observado ou o experimento deve ser encerrado e ainda existem itens em funcionamento. A falha, ou morte, ocorre por outras causas. São classificadas em: Tipo I - o estudo é conduzido até um tempo limite L, pré-fixado e os indivíduos que ainda não experimentaram o evento são censurados; Tipo II - o estudo é encerrado quando da ocorrência de r falhas e as (n r) unidades ainda em funcionamento, são todas censuradas em t (r) ; Aleatória - semelhante à censura tipo I, porém, com os indivíduos sendo incorporados de maneira aleatória. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 11 / 21
Censuras Censuras A censura ocorre quando o tempo de vida de um indivíduo ou unidade não é observado. O indivíduo deixa de ser observado ou o experimento deve ser encerrado e ainda existem itens em funcionamento. A falha, ou morte, ocorre por outras causas. São classificadas em: Tipo I - o estudo é conduzido até um tempo limite L, pré-fixado e os indivíduos que ainda não experimentaram o evento são censurados; Tipo II - o estudo é encerrado quando da ocorrência de r falhas e as (n r) unidades ainda em funcionamento, são todas censuradas em t (r) ; Aleatória - semelhante à censura tipo I, porém, com os indivíduos sendo incorporados de maneira aleatória. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 11 / 21
Censuras Censuras A censura ocorre quando o tempo de vida de um indivíduo ou unidade não é observado. O indivíduo deixa de ser observado ou o experimento deve ser encerrado e ainda existem itens em funcionamento. A falha, ou morte, ocorre por outras causas. São classificadas em: Tipo I - o estudo é conduzido até um tempo limite L, pré-fixado e os indivíduos que ainda não experimentaram o evento são censurados; Tipo II - o estudo é encerrado quando da ocorrência de r falhas e as (n r) unidades ainda em funcionamento, são todas censuradas em t (r) ; Aleatória - semelhante à censura tipo I, porém, com os indivíduos sendo incorporados de maneira aleatória. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 11 / 21
Censuras Censuras Figura: Representação gráfica de censuras à direita, de tipo I Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 12 / 21
Censuras Censuras Figura: Representação gráfica de censuras à direita, de tipo II Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 13 / 21
Conceitos Básicos Conceitos Básicos Considere a v.a. T, não negativa e com fdp f (t), representando os tempos de vida de uma população. Função de sobrevivência:s(t) = P(T t) = 1 F (t) Função de risco:h(t) = lim dt 0 P(t T t + dt T t) dt Função de risco Acumulada:H(t) = t 0 h(u)du Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 14 / 21
Conceitos Básicos Conceitos Básicos Considere a v.a. T, não negativa e com fdp f (t), representando os tempos de vida de uma população. Função de sobrevivência:s(t) = P(T t) = 1 F (t) Função de risco:h(t) = lim dt 0 P(t T t + dt T t) dt Função de risco Acumulada:H(t) = t 0 h(u)du Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 14 / 21
Conceitos Básicos Conceitos Básicos Considere a v.a. T, não negativa e com fdp f (t), representando os tempos de vida de uma população. Função de sobrevivência:s(t) = P(T t) = 1 F (t) Função de risco:h(t) = lim dt 0 P(t T t + dt T t) dt Função de risco Acumulada:H(t) = t 0 h(u)du Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 14 / 21
Conceitos Básicos Função de Risco Função de Risco Relação ente h(t), f (t) e S(t): h(t) = lim dt 0 P(t T t + dt T t) dt = lim dt 0 P([t T t + dt] e [T t]) dt P(T t) P(t T t + dt) 1 = lim dt 0 dt S(t) = f (t) S(t), de onde se obtem: f (t) = h(t) S(t). Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 15 / 21
Conceitos Básicos Função de Risco Função de Risco ou, ainda, h(t) = log[s(t)]. t Daí, segue-se que: { S(t) = exp t e, consequentemente: { f (t) = h(t) exp 0 } h(u)du t 0 } h(u) du. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 16 / 21
Conceitos Básicos Função de Risco Função de Risco ou, ainda, h(t) = log[s(t)]. t Daí, segue-se que: { S(t) = exp t e, consequentemente: { f (t) = h(t) exp 0 } h(u)du t 0 } h(u) du. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 16 / 21
Conceitos Básicos Função de Risco Função de Risco ou, ainda, h(t) = log[s(t)]. t Daí, segue-se que: { S(t) = exp t e, consequentemente: { f (t) = h(t) exp 0 } h(u)du t 0 } h(u) du. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 16 / 21
Conceitos Básicos Função de Risco Função de Risco Figura: Tipos diferentes de funções de risco Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 17 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Sobrevivência Modelo Exponencial: f (t) = λ e λ t, t 0, λ > 0; S(t) = e λ t ; h(t) = λ. Modelo Weibull: f (t) = γ δ t δ 1 exp{ γ t δ }, t 0, δ, γ > 0; S(t) = exp{ γ t δ }; h(t) = γ δ t δ 1. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 18 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Sobrevivência Modelo Exponencial: f (t) = λ e λ t, t 0, λ > 0; S(t) = e λ t ; h(t) = λ. Modelo Weibull: f (t) = γ δ t δ 1 exp{ γ t δ }, t 0, δ, γ > 0; S(t) = exp{ γ t δ }; h(t) = γ δ t δ 1. Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 18 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Regressão Modelos de Regressão Em populações heterogêneas, algumas características individuais variam de uma unidade para outra. Essas características são representadas por um vetor de covariáveis z, as quais podem ser medidas e incorporadas ao modelo. Conjunto de dados: D = {(t i, z i1, z i2,..., z ip ), i = 1, 2,..., n} A influência das covariáveis no tempo de vida se dá por meio da função de risco h(t); Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 19 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Regressão Modelos de Regressão Em populações heterogêneas, algumas características individuais variam de uma unidade para outra. Essas características são representadas por um vetor de covariáveis z, as quais podem ser medidas e incorporadas ao modelo. Conjunto de dados: D = {(t i, z i1, z i2,..., z ip ), i = 1, 2,..., n} A influência das covariáveis no tempo de vida se dá por meio da função de risco h(t); Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 19 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Regressão Modelos de Regressão Em populações heterogêneas, algumas características individuais variam de uma unidade para outra. Essas características são representadas por um vetor de covariáveis z, as quais podem ser medidas e incorporadas ao modelo. Conjunto de dados: D = {(t i, z i1, z i2,..., z ip ), i = 1, 2,..., n} A influência das covariáveis no tempo de vida se dá por meio da função de risco h(t); Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 19 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Regressão Modelos de Regressão Os modelos que incorporam as covariáveis são chamados de modelos de regressão e são classificados como paramétricos, não paramétricos e semi-paramétricos (modelo de Cox); Modelo: h(t z) = h 0 (t)g(z), h 0 (t) = função de risco de base, g(z) = função de regressão, normalmente g(z) = exp{β z}. Para o modelo de Weibull, o modelo de regressão pode ser expresso por: h(t i z i ) = δ ti δ 1 exp { β } z i Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 20 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Regressão Modelos de Regressão Os modelos que incorporam as covariáveis são chamados de modelos de regressão e são classificados como paramétricos, não paramétricos e semi-paramétricos (modelo de Cox); Modelo: h(t z) = h 0 (t)g(z), h 0 (t) = função de risco de base, g(z) = função de regressão, normalmente g(z) = exp{β z}. Para o modelo de Weibull, o modelo de regressão pode ser expresso por: h(t i z i ) = δ ti δ 1 exp { β } z i Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 20 / 21
Modelos de Sobrevivência Modelos de Regressão Modelos de Regressão Os modelos que incorporam as covariáveis são chamados de modelos de regressão e são classificados como paramétricos, não paramétricos e semi-paramétricos (modelo de Cox); Modelo: h(t z) = h 0 (t)g(z), h 0 (t) = função de risco de base, g(z) = função de regressão, normalmente g(z) = exp{β z}. Para o modelo de Weibull, o modelo de regressão pode ser expresso por: h(t i z i ) = δ ti δ 1 exp { β } z i Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 20 / 21
Modelos de Sobrevivência Função de Verossimilhança Função de Verossimilhança Função de verossimilhança para dados sujeitos a censuras do tipo I a direita [os dados D são formados por pares (t i, δ i )]: n L (θ D) = [f (t i )] c i [S(t i )] 1 c i, i=1 em que c i é um indicador de falha, assumindo valores 0 ou 1. Incorporando covariáveis em populações heterogêneas: { n } L (θ D) = [h(t i z i )] c i i=1 { ti } exp h(u z i )du. 0 Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 21 / 21
Modelos de Sobrevivência Função de Verossimilhança Função de Verossimilhança Função de verossimilhança para dados sujeitos a censuras do tipo I a direita [os dados D são formados por pares (t i, δ i )]: n L (θ D) = [f (t i )] c i [S(t i )] 1 c i, i=1 em que c i é um indicador de falha, assumindo valores 0 ou 1. Incorporando covariáveis em populações heterogêneas: { n } L (θ D) = [h(t i z i )] c i i=1 { ti } exp h(u z i )du. 0 Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático Outubro de 2014 21 / 21