MATEMÁTICA ENEM 09 PROF. MARCELO CÓSER
Funções Lineares: problemas com variação constante. f(x) = ax + b VARIAÇÃO CONSTANTE VALOR INICIAL a > 0 a < 0 a y x
0) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema póspago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A. A(x) = 0,25x + 50 B(x) = 40 para x 50. E para x > 50? (50; 40) Para x > 50, a função B(x) tem sua lei na forma B(x) = ax + b. Do enunciado, a B =,5. Assim, B(x) =,5x + b. Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos,5x - 35 = 0,25x + 50,25x = 85 x = 68 minutos. (50, 40) B(x). Logo, 40 =,5 50 +b. Assim, b = 40-75 = -35.
02) A lei de resfriamento de Newton diz que a temperatura de um corpo após x horas é dada por T(x) = T AMBIENTE + a b x. Uma chaleira com água é colocada em uma sala a º C imediatamente após a água ferver. Uma hora mais tarde, sua temperatura era de 80º C. Qual será a temperatura ao final da segunda hora? Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos Se a chaleira foi colocada na sala logo após a água ferver, o ponto (0, 00) pertence à função. Ainda, temos o ponto (, 80). 0,, 00 80 Logo, 80 b T a b 80 80b 3 4 x 80. 0 00 a 80 x 60 b 3 4 3 4 2 9 6 o T 2 80 80 5 9 65 C
03) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição: Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial. Após 8 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas? Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 8 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 0,5 0,5 0,5 = 7,5 mg Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas. Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5: f. f 0,5 f 2 0,5 f Q 0,5 2 60.0,707,443 42,42mg 0,707
04) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que: F N 9.0 ( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe. ( F ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe. ( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 8 mil pessoas sejam infectadas. ( ) o número de pessoas infectadas atingirá mil. V F 0,5t N t = 0 9.0 N 9. N 0,5.0 N N N t = 2 9.0 9.0 0,5.2 6,89 N,9 2,9 t = 4 N 9.0 N 9.0 0,5.4 2 6,8 0,9,9 N = 9.0 9.0 0,5t 0,5t 0,5t 9.0 0,5t 9.0 0 0,5t 0 0 Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.
N 9.0 0,5t
Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes. Escala em PG x log 2 x 0 2 4 2 8 3 6 4 32 5 64 6 Escala em PA
05) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 0 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal? a) 3 vezes b) 0 vezes c) 30 vezes Xd).000 vezes e) mais de.000 vezes A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 0 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a 0 0 0 =.000 vezes a intensidade do som da conversação. Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.
PROBABILIDADE São duas as questões pertinentes na resolução de um problema envolvendo probabilidades. Primeiro, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados possíveis, que será chamado de espaço amostral. Segundo, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados desejados, que será chamado de evento. Com tais dados obtidos, pode-se definir a probabilidade de um determinado evento X ocorrer como sendo a razão entre as quantidades de elementos dos conjuntos acima. Assim, ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Sendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos: MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Sendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos: Importante: O evento A ocorre e o evento B ocorre. Importante: O evento A ocorre ou o evento B ocorre.
06) (ENEM) Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 0,00. A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$400,00 é igual a: Xa) 0 b) /3 c) /2 d) 2/3 e) /6 R$ 400 equivalem a dois acertos. Seria possível acertar as duas primeiras, as duas últimas ou a primeira e a terceira. No entanto, é impossível: se errar a primeira, por exemplo (com V ou E ), automaticamente outra estará errada também, pois uma das letras já foi usada; ainda, se acertar as duas primeiras, então a última estará certa também. Logo, P = 0.
07) (ENEM) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas conforme a figura. Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de X distribuídos entre os 5 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é: a) /27 b) /36 Xc) /54 d) /72 e) /08 Como são 7 bolas e quatro estarão nas linhas 4 e 5, restarão uma bola por cada uma das três primeiras linhas. Logo, P 3 4 3 2 3 2 2 54
08) (ENEM) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Ao lado, a representação da letra A. O número total de caracteres que podem ser representados é: a) 2 b) 3 c) 36 Xd) 63 e) 7 2 2 2 2 2 2 Grande Grande Grande Grande Grande Grande Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena 64 = 64-2 = 62 Contam como um caractere! 62 + = 63 Todas grandes ou todas pequenas