Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Eletrônica Departamento de Sistemas e ontrole EES-5/ ELE/AES Engenharia de ontrole LAB : rojeto e Simulação de ontrolador com ealimentação de Estados para o Servomecanismo de osição usando Alocação de ólos rof. airo L. Nascimento Jr.. Objetivo: rojeto e simulação de um controlador com realimentação de estados para o servomecanismo de posição disponível no laboratório usando a técnica Alocação de ólos.. Introdução: A experiência objetiva apresentar e investigar a técnica de projeto de controladores no espaço de estados conhecida como alocação de autovalores (ou alocação de pólos). Essa técnica assume que todos os estados do sistema dinâmico estão disponíveis para realimentação, uma hipótese questionável em função dos custos dos sensores. A lei de controle é definida como uma combinação linear dos estados da planta de forma tal que o sistema em malha fechada possua um certo comportamento desejado. É necessário então determinar os valores numéricos dos ganhos (invariantes no tempo) para cada estado que é incluído na lei de controle. A figura representa o fluxo de sinal no servomecanismo de posição disponível no laboratório e será usada para deduzir o seu modelo dinâmico no espaço de estados. O sinal de controle u é a tensão no campo do gerador V. Uma possível escolha para os componentes do vetor de estado x é: a corrente de campo I, a velocidade angular do motor Ω, e a posição angular do potenciômetro de saída θ s. Os sinais de tensão correspondentes a essas componentes do estado (que serão usados na implementação da lei de controle) compõe o vetor de medidas y e são gerados empregando respectivamente: uma resistência ext em série com o campo do gerador, o tacômetro para medir a rotação de saída, e o comparador de erro entre as posições angulares dos potenciômetros de saída e de erência p V p (θ s θ ). ortanto no nosso caso temos então: u V, I x Ω, e θ s exti TAΩ y ( ). N V θs θ /Ago/ /6
V I E G I A - T atr Ω Ω TA θ s /( sl ) ext G /(sl) /(J sb /N - t /(N s) θ V (θ s θ ) ext I E E TA Ω/N V Figura - Diagrama de Fluxo de Sinal do Servomecanismo em alha Aberta. onsidere desprezíveis os torques de atrito seco e viscoso e a indutância de armadura do conjunto motor/gerador (T atr, B e L ). É assim obtido um modelo dinâmico de malha aberta de ordem a partir das seguintes equações: V di I di ( V I ) L () dt dt L ( ) I E I Ω E G GI AG A A A () T dω IA J () dt dθs Ω () dt N Substituindo () em (), teremos: dω EG E GI Ω IA (5) dt J J J O modelo dinâmico linear com parâmetros invariantes no tempo, mediante emprego das equações (), () e (5), pode então ser escrito na forma x & A x Bu : di L d dt Ω J d dt θ s dt G ( ) J N I Ω θ s L Vc (6) Seja uma lei de controle com realimentação dos estados, ou seja, uma lei de controle da forma: u x r (7) onde: vetor de ganhos (invariantes no tempo) de realimentação, r(t) sinal de erência. No nosso caso teremos: [ ] e r θ. Daí /Ago/ /6
V I Ω θ θ (8) s Note que no nosso caso u(t) e r(t) são sinais escalares. A dinâmica do sistema da eq. (6) em malha fechada com a lei de controle dada pela eq. (8) será: onde obviamente A F ( x r) ( A B) x Br A F x Br x & A x B (9) A B. ortanto: di dt L dω G dt J dθ s dt L J N ( ) I L L Ω θ θ s () As raízes do polinômio característico da matriz A F são os autovalores de malha fechada do sistema dinâmico e portanto determinam os modos de resposta do sistema nessa condição. Essas raízes variam com o vetor de ganhos. O polinômio característico da matriz A F é definido por: ( λ) ( ) det λ I A F () Deseja-se que os autovalores de malha fechada sejam alocados de forma a atender os requisitos de projeto. omo o requisito de projeto deseja-se que o sistema em malha fechada tenha seu comportamento dinâmico aproximado por um sistema dinâmico linear invariante no tempo de a ordem. O polinômio característico desejado relaciona-se com tal requisito de projeto por: onde: ( λ) ( λ λ )( λ ξ ϖ ϖ ) () nλ n ξπ exp () ξ T SUB π β () ϖ ξ n cos β ξ (5) e e T SUB representam respectivamente o sobresinal e o tempo de subida ( a %).O valor do autovalor λ deve ser positivo e arbitrado tal que o pólo correspondente seja suficientemente rápido para que o sistema dinâmico em malha fechada apresente aproximadamente dinâmica de a ordem. omo o requisito de projeto deseja-se que para um sinal de erência θ constante no tempo o erro da saída em regime estacionário seja nulo, ou seja, θ θ S. Isso implica que: x& A x Br A x B r (6) F x θs e θ omo no nosso caso [ ] T F r, da eq. () teremos que. /Ago/ /6
O vetor de ganhos pode então ser determinado pelos seguintes passos: escolha os valores de e T SUB desejados e arbitre o valor de λ, use as eqs. ()-(5) para determinar ξ e ϖ n, defina ( λ) ( λ λ)( λ ξ ϖnλ ϖn ), use as eqs. () e () para determinar ( λ) det( λ I A F ), faça ( λ) ( λ) e determine o sistema de equações lineares onde as incógnitas são os componentes do vetor, resolva o sistema de equações lineares para determinar o vetor. Uma vez determinado o vetor de ganhos, a implementação (na forma analógica ou digital) da lei de controle requer a transformação (medida) do vetor de estados x e do sinal de erência escalar r(t) em sinais de tensão. Note que os vetores de saída y e de estado x se relacionam pela transformação linear y T x, onde: Assim da eq. (7) podemos escrever: u ext TA T (7) N V x r T y r (8) pois a matriz T é, por definição, inversível. Das eqs. (8), (7) e (8) temos: onde V Vθ V y T y V (9) V y. Finalmente então teremos: V y N y V (t) ext TA pvp V () y /Ago/ /6
. Taas:.) Implemente no SIULIN o diagrama de simulação do servomecanismo de posição usando o diagrama da figura (modelo completo de a ordem) e os valores da tabela. Tabela : Valores típicos dos parâmetros do servomecanismo de posição disponível no laboratório arâmetro Valor Unidade, rad - V V L 8 mh, Ω G,5 V/A L L G L 77 mh G Ω 7 mv s J -6 g m B 58-6 N m s T mv s/rad N 5 Simule o servomecanismo de posição em malha fechada com realimentação apenas da saída e um V t A V θ θ onde A 7, 8. Verifique que o controlador proporcional, ou seja, ( ) ( ) sobresinal para entrada degrau é % e denomine de A % tal ganho. egistre os gráficos dos sinais físicos disponíveis na simulação (tensão e corrente de campo do gerador, corrente e rotação do motor, ângulo de saída). Determine o tempo de subida ( a %) do sinal de saída..) Determine o vetor de ganhos tal que, fechando-se a malha com a lei de controle proposta acima, o servomecanismo de posição: a. rastreie o sinal de erência tipo degrau θ com sobresinal de %; b. apresente um tempo de subida (T SUB ) reduzido à metade daquele obtido com ganho proporcional A % e realimentação unitária de posição (como visto nas experiências anteriores); c. apresente erro nulo em regime permanente para entradas tipo degrau. Dicas dos comandos do Symbolic ath Toolbox: Os seguintes comandos calculam o polinômio característico de A F : syms lambda; Amf[ -(c)/lc -/Lc -/Lc m*g/(jeq*gm) -m*m/(jeq*gm) /(N*N*N) ]; digits(5); Amfvpa(Amf), B[/Lc; ; ], olpoly(amf,'lambda'); olvpa(collect(ol)), Os seguintes comandos calculam o polinômio característico desejado: ol(lambdalambda)*(lambda*lambda*qsi*wn*lambdawn*wn); olcollect(ol,lambda); olvpa(ol), factor(ol), roots(sympoly(ol)), s /Ago/ 5/6
Os seguintes comandos resolvem o sistema de equações obtido ao igualar os polinômios característicos calculados acima e determinam os ganhos desejados do controlador: olcollect(ol-ol), eqcoeffs(ol,'lambda'); solve(eq(),eq(),eq(),'','',''); [.,.,.];.) Use os seguintes comandos do ATLAB para verificar o seu projeto com o modelo simplificado de a ordem: (); (); (); Amf_Numdouble(vpa(subs(Amf))); B_NumB*double(); SysF_Ess(Amf_Num, B_Num, [ ], ); % sistema na forma {A,B,,D} TFSysF_Etf(SysF_E), % calcula a função de transferência eig(amf_num), % calcula os auto-valores step(sysf_e), % resposta ao degrau unitário Da resposta ao degrau unitário determine o sobresinal, o tempo de subida e o erro em regime para entradas tipo degrau. omente se os requisitos de projeto foram satisfeitos..) Arbitre um valor para ext (pequeno em relação a c ) e simule o servomecanismo de posição (modelo completo de a ordem incluindo o efeito de ext no campo do gerador) em malha fechada com a realimentação do vetor de saídas calculada no item.. Note que os sinais de entrada e de saída do controlador são sinais de tensão. egistre os gráficos dos sinais físicos disponíveis na simulação (tensão e corrente de campo do gerador, corrente e rotação do motor, ângulo de saída). Determine o sobresinal e o tempo de subida ( a %) do sinal de saída. ompare o resultado obtido com o resultado esperado do seu projeto..5) Faça o diagrama de montagem do servomecanismo de posição disponível no laboratório. roponha uma implementação física do controlador analógico com realimentação de estados usando componentes eletrônicos. roponha valores para os componentes eletrônicos. /Ago/ 6/6