Aula 8 Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial

Aula 8 Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial Introdução Estrutura do Controlador PID Efeito da Ação Proporcional Efeito da Ação Integral Efeito da Ação Derivativa Sintonia de Controladores PID Problemas Bibliografia Introdução Controladores do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, comumente denominados de PID, são controladores largamente utilizados no cenário industrial. Segundo Aströn [1], entre 90 e 95% dos problemas de controle são solucionados empregando tais controladores, podendo considerá-los como o pão e a manteiga da engenharia de controle. Tal utilização deve-se ao fato deste controlador ser facilmente implementável, de baixo custo e versátil com capacidade de alterar os comportamentos transitório e de regime permanente dos processos sob controle. Atualmente, a maioria dos processos automatizados que utilizam Controladores Lógicos Programáveis CLP s, possuem em suas malhas de controle algoritmos PID, cabendo aos engenheiros e técnicos resposáveis pelo processo a tarefa de sintonia dos parâmetros dos controladores. De acordo com [1], a principal razão para a baixa performance de processos automatizados está relacionada a problemas em válvulas, sensores e a sintonia incorreta dos controladores PID empregados junto aos processos. Nesta aula será apresentada a estrutura básica de um controlador do tipo PID, discutindo-se o efeito que cada uma das ações Proporcional, Integral e Derivativa causa sobre a variável do processo a ser controlada. Estrutura do Controlador PID De forma a apresentar a estrutura de um controlador PID, considera-se inicialmente o sistema de controle em malha-fechada apresentado na Figura 8.1. r(t) e(t) Controlador u(t) Processo y(t) _ Fig. 8.1: Diagrama de blocos de um sistema de controle em malha-fechada. Em linhas gerais a tarefa do controlador apresentado na Figura 8.1 é a de, com base no sinal de diferença existente entre o sinal de referência r(t) e o sinal de saída y(t), gerar em sua saída um sinal de controle u(t) que seja capaz de corrigir e se possível anular tal diferença. No caso específico do controlador PID, a lei de controle descrita pelo bloco do controlador é composta de três termos, i.e, Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1

u(t) u (t) u (t) u (t) (8.1) p Cada um dos termos do lado direito da equação (8.1) são individualmente associados a cada um dos tipos de ações do controlador. Em nível de blocos, o controlador PID apresentado na Figura 8.1, pode ser representado conforme a Figura 8.2. Nesta representação observa-se que o sinal de erro e(t) é utilizado como entrada em três blocos distintos. i d K u p (t) e(t) K i (.) dt u i (t) u(t) d(.) K d dt u d (t) Controlador PID Fig. 8.2: Diagrama de blocos de um controlador do tipo PID. O bloco superior, constituído de uma constante K, é o responsável pela ação proporcional do controlador. O sinal de saída deste bloco é dado pela seguinte equação: u p (t) Ke(t) (8.2) De forma análoga, pode-se escrever os sinais de saída relativos aos blocos integral e derivativo, apresentados nas equações (8.3) e (8.4), i.e. u i (t) K i e(t) dt (8.3) de(t) u d (t) K d (8.4) dt O efeito de cada uma destas ações e suas implicações no comportamento dinâmico de um sistema de controle serão apresentados na seqüência. Efeito da Ação Proporcional O efeito das ações proporcional, integral e diferencial será analisado considerando-se com exemplo um sistema de controle de velocidade apresentado na Figura 8.3. r(t) _ e(t) K p u(t) Amplificador de Potência Motor e Carga 100 1 s 100 s 36 y(t) Fig. 8.3: Exemplo de um sistema de controle de velocidade com controle proporcional. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 2

Consideremos, por simplicidade, que a análise do efeito da variação do ganho proporcional será realizada admitindo um sinal de referência r(t) do tipo degrau. Pode-se observar pelas Figuras 8.4 e 8.5, que o aumento do ganho proporcional tem impacto direto na rapidez da curva de resposta do sistema, na máxima sobrepassagem do sinal de saída e no valor do erro de regime permanente. A rapidez da curva de resposta do sistema e a máxima sobrepassagem devem-se ao fato de que o incremento do ganho proporcional ocasiona um incremento na freqüência 0dB tendo por conseqüência um aumento na largura de banda do sistema de controle em malha-fechada. Uma vez que a curva de fase do sistema permanecerá inalterada independentemente do valor associado ao ganho K p, a margem de fase deste sistema irá diminuir implicando aumento na máxima sobrepassagem. Fig. 8.4: Respostas ao degrau e seus respectivos sinais de controle para quatro valores distintos de ganhos proporcional: caso 1: K=100, caso 2: K=50, caso 3: K=20 e caso 4: K=10. Fig. 8.5: Respostas em freqüência do sistema de controle da Figura 8.3 para quatro valores distintos de ganhos proporcional: caso 1: K=100, caso 2: K=50, caso 3: K=20 e caso 4: K=10. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 3

O erro em regime permanente deste sistema pode ser analisado com base na sua função de transferência de malha-aberta, ou seja 100 G(s) K (s 100)(s 36) (8.5) Admitindo-se como referência um sinal do tipo degrau de amplitude unitária tem-se que o erro de regime permanente é dado por sendo 1 ess (8.6) 1 K p 100K K p lim G(s) s0 3600 concluindo-se por (8.7) que o aumento do ganho do controlador proporcional diminuirá o erro de regime permanente apresentado na equação (8.6). Efeito da Ação Integral O efeito da ação integral será analisado com base em um controlador do tipo Proporcional Integral - PI. Neste caso será considerado constante o ganho proporcional K, variando-se apenas a constante de tempo de integral T i 1. A lei de controle associada a este tipo de controlador é apresentada na equação (8.8). 1 u(t) K e(t) e(t) dt Ti De forma similar a realizada no caso do controle puramente Proporcional, o efeito da variação da ação integral será observado nas curvas de resposta temporal da variável de saída do processo, Figura 8.6, e nas curvas de resposta em freqüência do sistema apresentadas nas Figuras 8.7. (8.7) (8.8) Fig. 8.6: Respostas ao degrau e seus respectivos sinais de controle para quatro valores distintos para a constante de tempo integral: caso 1: T i =0.05, caso 2: T i =0.02, caso 3: T i =0.01 e caso 4: T i =0.008, sendo em todos os casos admitido ganho proporcional K=100. 1 Em muitas referências é citado o ganho integral como K i = K/T i. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 4

Observa-se que aumentando a ponderação da ação integral, o sistema fica mais oscilatório apresentando um sobrepasso mais elevado. Tal conclusão pode ser obtida diretamente da função de transferência do controlador PI, extraída da equação em (8.8), e das curvas de resposta em freqüência deste controlador para cada um dos casos estabelecidos na Figura 8.6, apresentados na Figura 8.8. s 1 Ti G PI (s) K (8.9) s Fig. 8.7: Resposta em freqüência do sistema de controle da Figura 8.3, com controlador PI, admitindo quatro valores distintos para a constante de tempo integral: caso 1: T i =0.05, caso 2: T i =0.02, caso 3: T i =0.01 e caso 4: T i =0.008, com ganho proporcional K=100. Fig. 8.8: Resposta em freqüência do controlador PI descrito em (8.9), para cada um dos casos considerados na Figura 8.7. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 5

1. Com base nas Figuras 8.7 e 8.8, explicar porque o sistema com controle Proporcional Integral torna-se mais oscilatório com o aumento do ganho integral K i. 2. Concluir, da mesma forma que foi realizado no caso do controle puramente proporcional, qual o influência no erro de regime permanente causada pelo controlador PI. As curvas de resposta em freqüência dos controladores proporcional, primeiro caso, e proporcional integral, segundo caso, diferem claramente em fase uma vez que a inclusão do pólo na origem ocasionada pela inserção do modo integral vem acompanhada de uma contribuição de fase de 90 o, impactando diretamente na margem de fase do sistema como um todo, controlador e processo. Observa-se também, nas curvas de resposta temporal apresentadas na Figura 8.6, que o aumento da ação integral fez com que o comportamento transitório do sistema em malha-fechada se torna-se predominante oscilatório. Efeito da Ação Derivativa Da mesma forma que no caso anterior, o efeito da ação derivativa será analisado com base em um controlador do tipo Proporcional Derivativo - PD. Neste caso será considerado constante o ganho proporcional K, variando-se apenas a constante de tempo derivativa T d. A lei de controle associada a este tipo de controlador é apresentada na equação (8.8), i.e. de(t) u(t) Ke(t) Td (8.8) dt A interpretação da ação derivativa pode ser realizada, admitindo-se a expansão em série de Taylor do sinal de erro predito T d segundos a frente do instante de tempo presente t, truncada no termo de primeiro ordem, dada por de(t) et Td e(t) Td (8.9) dt Fig. 8.9: Interpretação física da ação preditiva inserida pelo modo derivativo. Comparando as equações (8.8) e (8.9), observa-se que o sinal de controle resultante do controlador Proporcional Derivativo é proporcional ao valor do sinal de erro estimado T d segundos a frente, através de uma extrapolação linear ilustrada na Figura 8.9. Conforme observado em Aströn [1], em muitas aplicações práticas os sinais de referência são constantes por partes, significando que a parcela relativa a variável de referência, presente no sinal de erro, somente terá valor para a ação derivativa quando houver variação no Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 6

sinal de referência. Nestes instantes porém, a derivada tenderia a assumir valores infinitamente grandes, casos em que a extrapolação linear não se aplicaria. Da mesma forma, a extrapolação linear não é uma boa aproximação para sinais que variam rapidamente quando comparados ao horizonte de predição T d. De forma a minimizar tais problemas, o termo derivativo dos controladores Proporcionais Derivativos são comumentes realizados com base na seguinte função de transferência: KTds G d (s) (8.10) T 1 s d N Tal realização pode ser mais bem entendida como uma pré-filtragem, através de um filtro passa-baixas, do sinal de erro e(t), definido na Figura 8.1 como e(t) = r(t)-y(t). De forma similar a realizada no caso do controle puramente proporcional, o efeito da variação do ganho derivativo será observado nas curvas de resposta temporal da variável de saída do processo, Figura 8.10, e nas curvas de resposta em freqüência do sistema apresentadas nas Figuras 8.11, apresentadas na seqüência. Fig. 8.10: Respostas no tempo e em freqüência para quatro valores distintos de ganho derivativo: caso 1: T d =0.001, caso 2: T d =0.002, caso 3: T d =0.005 e caso 4: T d =0.01, sendo em todos os casos admitido ganho proporcional K=100. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 7

A Figura 8.11 apresentada a seguir, ilustra o comportamento em freqüência de um controlador Proporcional Derivativo, descrito pela função de transferência (8.11). KTds G PD (s) K (8.11) T 1 s d N Fig. 8.11: Resposta em freqüência do controlador PD, para cada um dos casos considerados na Figura 8.9, admitindo N=20. 1. Conclua sobre o efeito da ação derivativa na resposta da variável de saída de um sistema operando em malha-fechada que utiliza um controlador do tipo PD. 2. Estabeleça as semelhanças existentes entre os controladores PI, PD e os controladores de atraso e avanço de fase. Estender a análise para o caso dos controladores PID e os controladores de atraso e avanço de fase. 3. Um dado sistema de controle apresenta as seguintes curvas de resposta em freqüência: Fig. 8.12: Diagrama de Bode de malha-aberta de um dado processo. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 8

i. Desenhar o diagrama de blocos do sistema operando apenas com o controlador PD (Proporcional e Derivativo), ressaltando o controlador e o processo; ii. Esquematizar o diagrama de blocos do controlador PD, com os blocos relativos a cada uma das ações, Proporcional e Derivativa; iii. Esboçar o sinal de saída de cada um destes blocos (bloco proporcional e bloco derivativo), admitindo como sinal de referência um degrau de amplitude unitária. iv. Com base no diagrama de bode do sistema, porque não é necessário empregar a ação integral do controlador PID para que este sistema siga um sinal de referência do tipo degrau com erro de regime permanente nulo. 4. Um motor de corrente contínua com excitação constante é representado por: v(t) di(t) Ri(t) L e(t) dt As grandezas v(t), i(t), R e L são, respectivamente, a tensão, a corrente, a resistência e a indutância de armadura do motor e e(t) é a tensão induzida na armadura, que é proporcional a velocidade do motor. No controle i(t), é utilizada uma fonte de tensão CC de saída variável que é modelada com um sistema de 1 ª ordem dado por: onde: Vr (s) V(s) stf 1 - V(s) e V r (s) são, respectivamente, as Transformadas de Laplace das tensões de saída da fonte de referência; - T f é a constante de tempo da fonte, igual a 0.5ms; Calcule os parâmetros K p e K i de um controlador PI contínuo para o controle i(t), conforme a Figura 8.12 abaixo, de forma a compensar por cancelamento, o pólo dominante do sistema s=-r/l e a definir um sistema de malha-fechada com pólos complexos s1,2 1 j 2Tf A tensão e(t) pode ser considerada nula no cálculo do controlador por variar lentamente. Os parâmetros do motor são R=0.5 e L=1.5 mh. Fig. 8.12: Diagrama de blocos do sistema de controle proposto. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 9

Sintonia de Controladores PID A tarefa de sintonia de controladores Proporcional, Integral e Derivativo, na maioria dos casos é realizada de forma empírica pelos operadores e técnicos responsáveis pelo processo sob controle. A tarefa basicamente consiste em variar os ganhos do controlador e avaliar o impacto destas variações junto a variável de saída do processo. Ainda assim, por vezes, encontrar o conjunto de ganhos satisfatórios para o início da operação de um dado processo pode resultar em uma tarefa enfadonha e nada sistemática. Visando sistematizar tal tarefa em 1942, Ziegler e Nichols [7] publicaram um trabalho que, com base em alguns dados experimentais do processo, o operador fosse capaz de determinar um conjunto de parâmetros iniciais, K p, K i e K d de controladores tipo PID. Este trabalho deu origem a dois métodos distintos de sintonia, conhecidos como métodos de Ziegler-Nichols, apresentados na seqüência. Primeiro Método Curva de Reação Com base nos métodos de modelagem de processos industriais através da análise do comportamento da variável de saída do processo operando em malha-aberta, empregando como sinal de referência um valor constante em sua entrada, apresenta-se nesta seção o procedimento para determinação dos parâmetros de sintonia de controladores PID baseado na função de transferência aproximada obtida por métodos de modelagem não-paramétrica de um processo dada pela equação 8.12. s K ce Gp(s) (8.12) s 1 O conjunto de parâmetros iniciais que serão empregados no controlador PID, isto é, os ganhos proporcional, integral e derivativo, serão determinados com base nas tabelas 8.1 e 8.2. Observa-se que tais valores correspondem ao ponto inicial de ajuste dos parâmetros do controlador para aqueles processos que apresentam características de auto-regulação. Controlador Ziegler-Nichols Cohen-Coon 3C Proporcional 1.0 1.0 KK c KK c 0. 333 KK c 1.208 0.956 Proporcional Integral KK c 0.9 T i 3.33 1.0 1.0 KK c 0.9 0.082 3.33 1.0 11.0 T i 1.0 2.2 KK c 0.928 T i 0.928 0.583 0.946 Tabela 8.1: Parâmetros do controlador P e PI. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 10

Controlador Ziegler-Nichols Cohen-Coon 3C Proporcional Integral Derivativo KK c 1.2 T i 2.0 T d 0.5 1.0 1.0 KK c 1.35 0.27 2.5 1.0 5.0 T i 1.0 0.6 0.37 T d 1.0 0.2 Tabela 8.2: Parâmetros do controlador PID. KK c 1.370 T i T d 1.3514 0.365 0.950 0.738 0.950 A tabela 8.1 e 8.2 apresentam os procedimentos de cálculo a ser utilizado para determinação dos ganhos de controladores do tipo Proporcional, Proporcional Integral e Proporcional Integral e Derivativo, sendo Kp K, Ki = K / T i e Kd = KTd. 6. Determine um modelo equivalente de primeira ordem com atraso de transporte do processo representado pela função de transferencia G(s). O diagrama de simulação e a resposta temporal a uma entrada do tipo degrau unitário são apresentadas nas Figuras 8.13 e 8.14. Preencha a tabela 8.3 empregando os métodos apresentados. 2 1 G(s) (s 0.5)(s 1)(s 1)(s 2) (8.13) Fig. 8.13: Sistema original e aproximado. 2 Este exercício foi desenvolvido na nota de aula nº 9. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 11

Fig. 8.14: Resposta temporal do sistema G(s) original. Método 1 Atraso de Transporte () Constante de Tempo (T) Ganho (K) Método 2 Método 3 Tabela 8.3: Parâmetros das funções de transferencias aproximadas utilizando os métodos apresentados. 7. Determine o ajuste do controlador (P, PI e PID), empregando as Tabelas 8.1 e 8.2, para o sistema de controle apresentado na Fig. 8.15. O processo G(s) é definido pela equação 8.13 e.os parâmetros do sistema aproximado são apresentados na tabela 8.3. ref(t) _ e(t) Controlador u(t) G(S) y(t) Fig.8.15: Sistema de controle em malha-fechada. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 12

Segundo Método - Sensibilidade Limiar Para empregar diretamente esse método de Ziegler-Nichols no ajuste dos ganhos do controlador PID é utilizado a representação do controlador PID apresentada na equação 8.14. 1 PID( s) K 1 Td s (8.14) Ti s onde K é o ganho do controlador, T i é a constante de tempo do modo integral e T d é a constante de tempo do modo derivativo. O método de Ziegler-Nichols consistem em ajustar um ganho K cr de maneira que o sistema apresente uma oscilação sustentada na saída para um sinal de referencia do tipo degrau. O diagrama de blocos para realizar este teste é apresentado na Fig. 8.16. Obtendo o valor de ganho critico e o período da oscilação do sinal de saída emprega-se a tabela 8.4 para encontrar os ganhos do controlador. - K CR G(s) H(s) P CR Fig. 8.16: Diagrama de blocos para identificar o ganho e período critico. Tipo Controlador K p T i T d P 0.5*K cr 0 PI 0.45*K cr (1/1.2)*P cr 0 PID 0.6*K cr 0.5*P cr 0.125*P cr Tabela 8.4: Método de Ziegler-Nichols para ajuste de PID. Para empregar este método o sistema deve ser capaz de instabilizar com o aumento do ganho. Um sistema que é naturalmente estável para qualquer ganho positivo não pode produzir uma oscilação sem amortecimento no sinal de saída. O procedimento para encontrar o ganho e o período critico é experimental, não há necessidade do conhecimento explicito da função de transferencia do sistema, basta conhecer sua resposta em freqüência. Entretanto, conhecida a função de transferencia do processo pode ser utilizado o critério de Routh para avaliar a estabilidade. Os valores encontrados de ganho não garantem uma característica de resposta temporal predeterminada, apenas indica uma região de operação favorável. Deve ser feito um ajuste manual em cada ganho para obter a característica de resposta desejada. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 13

8. Um dado sistema de controle apresenta na Figura 8.17, com a função de transferência do processo G(s) dada pela equação 8.15. Determine: i. Empregar o método de ajuste de controladores Ziegler-Nichols - para determinação dos ganhos dos controladores P, PI e PID; ii. Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobresinal, erro de regime e tempo de estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional com o ganho ajustado no item i. Como é possível melhorar a performance deste sistema de controle? Justifique sua resposta. iii. Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobresinal, erro de regime e tempo de estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional e integral ( PI ) com os ganhos ajustados no item i. Como é possível melhorar a performance deste sistema de controle? Justifique sua resposta. iv. Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobresinal, erro de regime e tempo de estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional, integral e derivativo ( PID ) com os ganhos ajustados no item i. Como é possível melhorar a performance deste sistema de controle? Justifique sua resposta. R(s) E(s) Controlador U(s) G(s) Y(s) - Fig. 8.17: Sistema de controle K G(s) s(s 36)(s 100) (8.15) 9. Um dado sistema de controle apresenta as seguintes curvas de resposta em freqüência: Fig. 8.18: Resposta em freqüência de um sistema de controle. Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 14

i. Empregar o método de ajuste de controladores exposto em aula Ziegler-Nichols - para determinação dos ganhos do controlador PID; ii. Desenhar o diagrama de blocos do sistema operando apenas com o controlador PD (Proporcional e Derivativo), ressaltando o controlador e o processo; iii. Esquematizar o diagrama de blocos do controlador PD, com os blocos relativos a cada uma das ações, Proporcional e Derivativa; iv. Esboçar o sinal de saída de cada um destes blocos (bloco proporcional e bloco derivativo), admitindo como sinal de referência um degrau de amplitude unitária. v. Com base no diagrama de bode do sistema, porque não é necessário empregar a ação integral do controlador PID para que este sistema siga um sinal de referência do tipo degrau com erro de regime permanente nulo. Bibliografia [1] Aströn, K. J., Hägglund, T., PID Control, The Control Handbook, IEEE Press, 1996. [2] Aströn, K. J., Hägglund. T., PID Controllers, Theory, Design and Tuning, 2 º Edition, Instrument Society of America, 1995. [3] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing. [4] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Second Edition. [5] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems, Addison-Wesley Publishing Company. [6] Dorf, R.C. & Bishop, R.H., Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company. [7] Ziegler, J.G. and Nichols, B.N., Optimum Settings for Automatic Controllers, Transactions of the ASME, Vol.64, n 11, Nov.1942 Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 15