Programação não Linear Conteúdos da Seção Programação Não Linear Aplicações Solução Gráfica Resolução no Ecel Controle de Eestoque Modelo do Lote Econômico Problemas de Localização Caso LCL Telecom S.A.
Programação Não Linear De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma: Ma ou Min st 0 g b i f onde = i para i, =,,..., m,..., n Onde g e/ou f apresentam algum tipo de nãolinearidade Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato. Aplicações Problemas de Mi de Produtos em que o lucro obtido por produto varia com a quantidade vendida. Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada. Seleção de Portfolio com Risco
Solução Gráfica Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica Restrições são quadráticas 3 Ma Z = 3 + 5 s.t. 4 6 ;6 9 + 5 6 0, 0 4 Solução Viável A solução ótima : 0 0 3 4 Continua na fronteira do conjunto de soluções viáveis. Não há mais garantia que possa ser em um ponto etremo do espaço de busca. Não eiste a simplificação eistente em Programação Linear
4 A função objetivo é quadrática. MaZ= 6 9 + 8 3 s. r. 4 3 + 8 0, 0 6 4 Solução Viável = 907 Z = 857 Z = 807 Z= 6 9 6 Z 9 8 + 8 Z 44 637 = 9 Para Z = 907 7 = 9 Para Z = 857 = 9 Para Z = 807 7 = 9 8 3 6 3 [ 7 ] 3 7 7 + 3 7 + 3 7 + 3 [ ] [ ] [ 7 ] [ ] [ 7 ] [ ] [ 7 ] = 9 6 9 4 6 + 8 3 8 3 8 + 6
A solução ótima : A solução ótima de um problema de programação não linear NLP, diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer valor do conjunto de soluções viáveis. 5 6 Ma Ma Z = Z 98 = 54 = 54 9 + 78 3 Z=89 Z=6 4 3 Solução Viável Z=98 Solução no interior do conjunto de soluções viáveis e não mais na fronteira do conjunto Z= 54 9 + 78 3 3 4 Z 9 54 3 78 54 54 78 78 9 3 8 = 6 + 9 8 + 3 6 [ ] Z = 98 0 = Z = 89 = Algoritmos em NLP devem pesquisar todos os valores possíveis. [ ] [ ] [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] Z 8 7 = 9 3 3 3 Para 9 3 + 3 3 Para 9 9 3 3 3 Para Z = 6 36 = 9 3 + 3 3
6 Otimização não linear sem restrições Funções-desafio multimodais Otimização não linear com restrições
Métodos Baseados em gradiente Generalized Reduced Gradient GRG: Usado pelo Ecel: não garante que a solução encontrada é uma solução global. O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero A partir de uma solução inicial, segue passo a passo calculando valores para as variáveis do modelo e verificando o comportamento da função objetivo. O Solver aproima as derivadas numericamente, adicionando um pequeno valor a cada variável e observando a taa de alteração nas restrições e função objetivo. Este processo é chamado de diferenciação finita. O processo pára quando a função objetivo inverte a tendência. 7
Métodos Baseados em gradiente Gradiente conjugado Quasi-Newton Também são considerados otimizadores locais, isto é, são dependentes de um ponto inicial dado dentro do espaço de busca; Uma maneira prática para tentar minorar o problema de máimos e mínimos locais é começar a otimização de diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente. Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado, há uma grande chance de se ter atingido um ponto global. Uma forma mais elegante é garantir o ótimo baseando-se nas condições de concavidade e conveidade da função-objetivo. Eistem várias técnicas que garantem boa convergência robustez para estes métodos Métodos baseados em derivadas enfrentam problemas com descontinuidades de espaço de busca. 8
Métodos Conveidade de funções Funções não lineares podem unimodal ou multimodal. As funções unimodais podem ser côncavas ou conveas. Fornece informação para que se possa afirmar se um mínimo ou máimo local é também mínimo ou máimo global. Conveidade: côncava, a função objetivo é uma função côncava tem um único máimo convea, a função objetivo é uma função convea tem um único mínimo 9 Como calcular?
Métodos Programação côncava e convea Sem restrições: Função côncava: máimo local é também global; Função convea: mínimo local é também global; Com restrições: Seja a função objetivo côncava maimização ou convea minimização pode ser resolvido se o conjunto de soluções viáveis for conveo Conjunto conveo: g i b i e g i for convea g i b i e g i for côncava Programação quadrática Formato geral: f X = n i= A i i n n i= j= i+ Eemplo: a +by+cy Um problema de otimização é dito PPQ se: A função objetivo é uma função quadrática Maimização: função côncava Minimização: função convea As restrições são lineares B ij i 0 j
Baseadas em avaliação de soluções Padrões de busca: Down-hill simple: On, Seja X={,,..., n+ } um conjunto de pontos em R n avaliados pela função objetivo f :
Baseadas em avaliação de soluções Down-hill simple: Hooke-Jeeves direct search: On
Técnicas para solução Baseadas em avaliação de soluções Metaheurísticas: Estratégias específicas para eplorar o máimo de soluções possíveis em tempo computacional admissível Sistemas imunológicos: Imunologia: seleção clonal e mutação; Aspectos do problema representam antígenos que ativam células do sistema imunológico mais aptas a produzirem anticorpos soluções contra eles; Clones são gerados com cardinalidade proporcional à sua afinidade 3
Metaheurísticas: Sistemas imunológicos Maturação de afinidade: células ou anticorpos podem sofrer variações genéticas mutação, permitindo que eles se adaptem melhor ao ambiente aumentem a afinidade. Seleção clonal: seleção é efetuada sobre a população de clones após sua maturação. 4
Metaheurísticas: Sistemas imunológicos em otimização Otimização multimodal: cada anticorpo irá eplorar sua vizinhança. 5
Metaheurísticas: Sistemas imunológicos em otimização Otimização combinatória: TSP 6
Técnicas para solução Algoritmos Evolutivos: Evolução das espécies: seleção natural, cruzamento e mutação; Soluções de qualidade podem ser obtidas a partir de soluções de qualidade; Eemplo: algoritmos genéticos, estratégias evolutivas e programação evolutiva; Busca scatter Não há uma estratégia inspirada na natureza Baseado no balanceamento de movimentos de eploração e intensificação eploration and eploitation; Soluções de qualidade podem ser obtidas a partir de soluções de qualidade, sem desprezar subespaços de busca pouco promissores; Mantém dois conjuntos de soluções: Referência e Diversificado Realiza combinações entre soluções desses conjuntos cruzamento; Tem políticas de inclusão e eclusão de soluções desses conjuntos; Realiza busca local; 7
Técnicas para solução Algoritmos híbridos Metaheurística e busca local: eploração e intensificação Eemplos: AG+Gradiente; Scatter + SNM Busca evolutiva através de agrupamentos: 8
Controle de Estoque Um dos modelos mais simples de controle de estoque é conhecido como Modelo do Lote Econômico. A demanda ou uso do produto a ser pedido é praticamente constante durante o ano. Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no eato instante em que este chegar a zero. Objetivo: determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: Manutenção de Estoque Custo por se manter o capital no estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa. Custo do Pedido associado ao trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto. Custo de Falta associado às perdas decorrentes da interrupção da produção por falta do produto. 9 50 Demanda Anual =00 Lote=50, Pedidos = Estoque Médio = 5 Demanda Anual =00 Lote=5,Pedido= 4 Estoque Médio =,5 5 5,5 6 meses 3 6 9 meses
Controle de Estoque Variável de Decisão Q Quantidade por Pedido Função Objetivo = Custo Total = D C + D Q S + Q C Onde: D = Demanda Anual do Produto C = Custo Unitário do Produto S = Custo Unitário de Fazer o Pedido C m = Custo unitário de manutenção em estoque por ano Caso LCL Computadores A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da mainboard é de R$50,00, o custo anual unitário de manutenção de estoque é de R$0,00 e o custo unitário do pedido é de R$0,00, encontre o lote econômico para atender a uma demanda anual de 000 mainboards. m 0
Problema de localização versão não linear Localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica. Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte. Deve-se determinar a posição dos centros consumidores em relação a uma origem aleatória, usando um mapa com um eio cartesiano. Se as distâncias d forem conhecidas, então trata-se de um problema de transporte versão linear
Problema de localização versão não linear Modelo
Caso LCL Telefonia Celular S.A. O Gerente de Projetos da LCL Telecom, tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baiada Maranhense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 0 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaio, determine o melhor posicionamento para a torre. Localidade X Y Viana -5 0 Cajari Penalva 0 5 3 Variáveis de Decisão X Coordenada no eio X da torre de transmissão Y Coordenada no eio Y da torre de transmissão
4 Caso LCL Telefonia Celular S.A. Variáveis de decisão Onde localizar a antena X,Y X Coordenada no eio X da torre de transmissão Y Coordenada no eio Y da torre de transmissão Função Objetivo = + 3 i i i Y y X Min Restrições de Distância 0 0 0 3 3 + + + Y y X Y y X Y y X 0 0 0 3 3 + + + Y y X Y y X Y y X
Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução 5