v m = = v(c) = s (c).

Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando funções crescentes e decrescentes com o sinal da derivada fosse muito sugestivo, não pode ser entendido como uma prova das afirmações feitas. Para uma demonstração rigorosa da relação eistente entre o crescimento ou decrescimento de uma função e o sinal da sua derivada, precisamos de um resultado conhecido como teorema do valor médio. O teorema do valor médio é um dos resultados mais importantes do cálculo diferencial e é usado, principalmente, na demonstração de outros teoremas. O teorema do valor médio é a tradução matemática para um fato que aparece de forma corriqueira em muitas situações de nossa vida. Por eemplo, se a média de velocidade em uma viagem de carro de uma cidade a outra é de 80 km/h, então em algum momento da viagem o velocímetro do carro deve ter marcado 80 km. Vamos traduzir a afirmação acima em termos matemáticos. Seja s(t) a posição do carro, em cada instante de tempo t. Se a viagem começa em t = a (horas) e termina em t = b (horas), a velocidade média é dada por v m = s(b) s(a). b a A afirmação de que, em algum momento da viagem, a velocidade instantânea deve ser igual a velocidade média significa que para algum instante de tempo c entre a e b tem-se v m = s(b) s(a) b a = v(c) = s (c). O teorema do valor médio estabelece as condições mínimas que uma função s deve satisfazer para que a igualdade acima seja verdadeira. Antes de provar o teorema do valor médio, enunciaremos um de seus casos particulares que ficou conhecido como teorema de Rolle, em homenagem a Michel Rolle (165-1719), que o demonstrou em 1690. 17.1.1 Teorema de Rolle Considere uma função f satisfazendo as seguintes condições: (1) f é contínua no intervalo fechado [a, b] () f é derivável no intervalo aberto (a, b) (3) f(a) = f(b) Então, eiste um número c em (a, b), tal que, f (c) = 0. O teorema de Rolle pode ser interpretado, geometricamente, da maneira descrita a seguir. Seja f uma curva suave (contínua e derivável), não constante, ligando os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), tal que f(a) = f(b). Então, se o gráfico de f sobe, deverá descer, e vice-versa. Portanto, como a curva é suave, em algum ponto entre a e b, onde o gráfico para de subir e começa a descer (ou vice-versa), a reta tangente deve ser horizontal. Demonstração Como f é contínua em [a, b], pelo teorema dos valores etremos f assume um valor máimo e um valor mínimo em [a, b]. Sejam m e n os pontos de [a, b] onde estes valores são atingidos, isto é, sejam m e n tais que f(n) f() f(m), para todo em [a, b]. f(a)=f(b) a c b

30 Cap. 17. Teorema do Valor Médio Eistem dois casos a serem considerados: (i) A função f é constante em [a, b]. Neste caso, f() = f(a) = f(b) para todo de [a, b]. Assim, f () = 0 para todo de (a, b). (ii) f() f(a) = f(b) para algum no intervalo aberto (a, b). Neste caso, ou m ou n é diferente das etremidades a e b do intervalo considerado. Sem perda de generalidade, suponhamos que seja m este ponto. Como m é um ponto de máimo e está no intervalo aberto (a, b) onde f é derivável, tem-se f (m) = 0. Logo, o ponto c = m satisfaz a conclusão do teorema. Observação As hipóteses do teorema de Rolle são essenciais para que a conclusão se verifique, isto é, se uma das condições do teorema não for verificada, poderá não eistir o ponto c que satisfaz f (c) = 0. Os eemplos a seguir ilustram como este teorema pode ser aplicado e mostram como o teorema falha, caso qualquer uma de suas hipóteses não se verifique. Eemplo 1 { ( 1) Considere a função f() =, 1 < 1, 5 ( )., 1, 5 Esta função é contínua no intervalo [1, ], f(1) = f() = 0 mas não é derivável em (1, ). Repare que não eiste nenhum ponto da curva = f() no qual a reta tangente a esta curva seja zero. Em outras palavras, não eiste c em (1, ) tal que f (c) = 0. O teorema de Rolle não pode ser aplicado a este caso porque a função dada não é derivável no intervalo (1, ). 0 0. 0. 0. 0.18 0.16 0.1 0.1 0.1 0.08 0.06 0.0 0.0 1 1. 1. 1.6 1.8 Eemplo { Seja f() =, 0 definida no intervalo [ 1, 1]. Temos 1, = 0 que f( 1) = f(1) = 1, mas f não é contínua no zero. Não eiste c em ( 1, 1) tal que f (c) = 0. O teorema de Rolle falha neste caso porque f não é contínua em [ 1, 1]. Eemplo 3 Determine um ponto c que satisfaça o teorema de Rolle para as seguintes funções: (a) f() = + 3 definida em [0, 1]. (b) f() = + sen definida em [0, π]. Solução (a) A função f é contínua em [0, 1] e derivável em (0, 1). Mesmo que ela não seja derivável no zero, isto não importa: o teorema eige apenas que f seja derivável em (0, 1). Também temos que f(0) = f(1) =, de modo que todas as condições do teorema de Rolle são satisfeitas. Assim, eiste um ponto c em (0, 1), tal que f (c) = 0. Como f () = 1 3 (1 3 ) =, esta derivada será zero para = 1 3. Logo, no ponto c = 1 3 a reta tangente à curva é horizontal. 0.. 1.8 1.6 1. 1. 1 0.8 0.6 0. 0. 0. 0. 0.6 0.8 1 (b) Neste caso f é contínua e derivável em [0, π] e f(0) = f( π) =. Assim, pelo teorema de Rolle, eiste um ponto c em (0, π)), tal que f (c) = 0. De fato, usando o Maple para resolver esta última equação, obtemos > f:=->+sin(): > solve(diff(f(),)=0,); 1 π Portanto, c = π. Veja o gráfico a seguir. > plot([f(),f(pi/),[[pi/,0],[pi/,f(pi/)]]],=0..*pi,color=[red,blue]);

W.Bianchini, A.R.Santos 31 3.5 1.5 1 0.5 0 1 3 5 6 Observe que, neste eemplo, eiste um outro ponto c em (0, π), a saber, c = 3 π, no qual a reta tangente ao gráfico da função também é horizontal. Isto não contradiz o teorema de Rolle. Este teorema garante a eistência de pelo menos um ponto no intervalo considerado, tal que f (c) = 0. Como vimos no eemplo acima, pode eistir mais de um ponto com esta propriedade. 17.1. Teorema do valor médio Considere uma função f satisfazendo as condições: (1) f é contínua no intervalo fechado [a, b] () f é derivável no intervalo aberto (a, b) Então, eiste um número c em (a, b), tal que f (c) = f(b) f(a). b a Geometricamente, o teorema do valor médio diz que se f é uma função suave que liga os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), eiste um ponto c, entre a e b, tal que a reta tangente ao gráfico de f em c é paralela à reta secante que passa por A e por B. A B a c b Demonstração A demonstração é feita usando-se o teorema de Rolle. Para isso, considere a função d() = f() g(), onde g() é a reta que une os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), isto é, g() = f(a) + f(b) f(a) b a ( a). Repare que a função d() assim definida, mede, para cada, a distância vertical entre os pontos (, f()), do gráfico de f, e (, g()), na reta suporte do segmento AB. A função d() satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle, isto é, d é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b), pois f e g o são, e, além disso, d(a) = d(b) = 0. Assim, eiste um ponto c (a, b) onde d (c) = 0. Note no diagrama a seguir que a reta tangente ao gráfico de f é paralela ao segmento AB eatamente no ponto em que a diferença d() atinge o seu maior valor. Logo, 0 = d (c) = f (c) g (c) = f (c) f(b) f(a) b a, ou seja, f (c) = f(b) f(a) b a. 17.1.3 Conseqüências do teorema do valor médio A primeira conseqüência é a recíproca do fato trivial de que a derivada de uma função constante é igual a zero, ou seja, se a derivada de uma função é zero, a função é constante. A princípio nada nos assegura que este fato seja verdadeiro. Será que não poderia eistir uma função desconhecida, estranha e não constante, cuja derivada fosse zero?

3 Cap. 17. Teorema do Valor Médio Usando o teorema do valor médio podemos provar que tal função estranha não eiste. Isto é feito no Corolário 1 a seguir. Nesse corolário e nos seguintes, consideramos f e g contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis em (a, b). Corolário 1 (Funções com derivada zero) Se f () = 0 em (a, b), então f é uma função constante em [a, b], isto é, eiste um número real k, tal que, f() = k, qualquer que seja o ponto de [a, b]. Demonstração Seja (a, b]. Apliquemos o teorema do valor médio em [a, ]. Então eiste c (a, ), tal que, f() f(a) = f (c) ( a). Como f () = 0 em (a, b), tem-se f (c) = 0. Assim, f() = f(a), para todo em (a, b]. Porém, obviamente, esta igualdade vale para todo em [a, b]. Assim, f é constante em [a, b]. Corolário (Funções com derivadas iguais) Suponha que f () = g () para todo no intervalo (a, b). Então, f e g diferem por uma constante, isto é, eiste um número real k, tal que f() = g() + k, para todo em [a, b]. Demonstração Considere a função h() = f() g(). Então, h () = f () g () = 0, para todo em (a, b). Logo, pelo Corolário 1, h() = k para todo em [a, b] e alguma constante k real, ou seja, Interpretação geométrica f() g() = k, que é equivalente a f() = g() + k. Como as duas funções f e g diferem por uma constante, o gráfico de f pode ser obtido a partir do gráfico de g, ou vice-versa, por uma translação vertical. Além disso, como estas funções têm a mesma derivada em cada ponto de [a, b], seus gráficos têm retas tangentes paralelas nos correspondentes pontos (, f()) e (, g()). Por isso estes gráficos são ditos paralelos. Eemplo 1 Se f () = 3 sen e f(0) =, determine a função f. 6 1 0 1 Solução Observe que a derivada da função g() = 3 cos é igual a 3 sen = f (). Assim, f e g diferem por uma constante, isto é, f() = g() + k = 3 cos + k, onde k é um número real qualquer. Como f(0) =, temos que f(0) = 3 + k =, ou seja, k = 5. Assim, f() = 3 cos + 5. Eemplo Suponha que f () = k em um intervalo [a, b], com k real. Prove que f é uma reta. Solução Seja g() = k + b. Então, g () = k. Logo, f e g diferem por uma constante, ou seja, f() = g() + c, onde c é real. Assim, f() = k + b + c = k + d, onde d = b + c. Logo, f é uma reta.

W.Bianchini, A.R.Santos 33 Corolário 3 (Funções crescentes e decrescentes) (i) Se f () > 0 para todo em [a, b], então f é uma função crescente em [a, b]. (ii) Se f () < 0 para todo em [a, b], então f é uma função decrescente em [a, b]. Demonstração Vamos demonstrar o primeiro item; a demonstração do segundo é análoga. Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m < n. Aplicamos o teorema do valor médio no intervalo [m, n]. Como este intervalo está contido em [a, b], as hipóteses do teorema do valor médio continuam válidas em [m, n]. Assim, eiste um ponto c em (m, n), tal que f(n) f(m) = f (c) (n m). Como, por hipótese, f (c) > 0 e (n m) > 0, segue que f(n) f(m) > 0, isto é, f(m) < f(n). Como m e n são pontos quaisquer em [a, b], segue que f é uma função crescente em [a, b]. Corolário (Teorema do valor médio generalizado) Sejam f e g contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b) e suponha, além disso, que g () 0 para a < < b. Então, eiste pelo menos um c entre a e b, tal que f (c) f(b) f(a) g = (c) g(b) g(a). Demonstração Repare que se g(a) = g(b), pelo teorema de Rolle g () se anula em algum ponto entre a e b, o que contradiz a hipótese. Portanto, g(a) g(b), e o segundo membro da igualdade acima faz sentido. Para provar o corolário, considere a função F () = (f(b) f(a)) (g() g(a)) (f() f(a)) (g(b) g(a)). É fácil ver que esta função satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle. Logo, eiste um ponto c, entre a e b, tal que F (c) = 0. Esta última afirmação é equivalente a (f(b) f(a)) g (c) f (c) (g(b) g(a)) = 0, que, por sua vez, é equivalente a afirmação que se quer provar. Repare que se g() =, este corolário se reduz ao teorema do valor médio e, portanto, é uma generalização deste teorema. 17. Eercícios 1. (a) Nos itens a seguir, mostre que a função dada satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [a, b] indicado e ache todos os números c em (a, b) que verificam a conclusão do teorema: i. f() = em [0, ] ii. f() = 9 em [ 3, 3] iii. f() = 1 1+ em [ 1, 1] (b) Nos ítens a seguir, mostre que a função dada não satisfaz a conclusão do teorema de Rolle no intervalo indicado. Eplicite que hipótese do teorema não é satisfeita. i. f() = 1 em [ 1, 1] iii. f() = + em [0, 1] ii. f() = 1 ( ) 3 em [1, 3]. (a) Em cada um dos ítens a seguir, decida se o teorema do valor médio se aplica. Em caso afirmativo, ache um número c em (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a) b a. Esboce um gráfico mostrando a tangente passando por (c, f(c)) e a reta passando pelos pontos etremos do gráfico em [a, b], indicado em cada caso. i. f() = 1 em [1, ] vii. f() = 1 em [ 1, 0] ii. f() = 1 em [ 1, ] viii. f(t) = t (t 1) em [0, 1] iii. f() = 3 em [0, 1] i. f() = 3 em [ 1, 7] iv. f() = 3 { em [ 1, 0] 1 0 < v. g() = sen () em [0, π ]. f() = em [ 1, 1] 0 < 0 vi. h() = tg() em [ π, 3 π ]

3 Cap. 17. Teorema do Valor Médio (b) Como vimos no item (i) acima, o teorema do valor médio não se aplica à função f() = 3 no intervalo [ 1, 7]. No entanto, mostre que eiste um número c em ( 1, 7), tal que f (c) = f(7) f( 1) 7 ( 1). (c) Eplique por que o teorema do valor médio não se aplica à função f() =, no intervalo [ 1, ]. 3. Para as funções dadas em cada um dos ítens a seguir, determine os intervalos abertos em que cada uma delas é crescente ou decrescente. Com base nas respostas encontradas, faça a correspondência de cada função com um dos gráficos dados. (a) f() = (b) f() = + 1 (1) (c) f() = 3 + 1 (e) f() = 3 + 1 (d) f() = 3 3 (f) f() = () 6 3 9 (3) 0 0 3 1 0 1 3 () (5) (6) 0 0 0. (a) Use o teorema de Rolle para mostrar que a equação 6 5 5 + 3 = 0, tem pelo menos uma raiz real no intervalo (0, 1). (b) Se f() é um polinômio de grau 3, use o teorema de Rolle para provar que f tem no máimo três zeros reais. Generalize este resultado para polinômios de grau n. (c) Nos itens seguintes, mostre que a equação dada tem eatamente uma solução no intervalo indicado. i. 5 + 3 = 0 em [0, 1] iii. 3 = 0 em [, 3] ii. 10 = 1000 em [1, ] 5. (a) Nos ítens seguintes, determine a função f que satisfaz às condições dadas: i. f () = ; f(0) = 5 ii. f () = iii. f () = ; f(0) =3 (); f(0) = iv. f () = 0; f(0) = 1 e f (0) = 1 3 (b) Em cada um dos ítens, ache todas as funções f tais que: i. f () = sen ii. f () = 3 iii. f () = + 17.3 Problemas propostos 1. (a) Seja f() =. Neste caso, mostre que para qualquer intervalo [a, b] o ponto c dado pelo teorema do valor médio é em realidade o ponto médio c = a+b, do intervalo [a, b]. (b) Mostre que o resultado acima vale para qualquer polinômio do segundo grau f() = c + c 1 + c 0. (c) Ache uma função f para a qual o ponto de valor médio c não é o ponto médio de [a, b].. (a) Prove que a função f() = (1 + ) 3 3 1 é crescente em (0, ). Conclua então que (1 + ) 3 > 1 + 3 para todo > 0. (b) Mostre que < 1 + se > 0. 3. Mostre que D(tg ) = D(sec ) no intervalo aberto ( π, π ). Conclua que eiste uma constante C tal que tg = sec + C para todo em ( π, π ). Calcule C.

W.Bianchini, A.R.Santos 35. (a) Suponha que haja n pontos distintos em [a, b] nos quais a função derivável f se anule. Prove que f deve se anular em pelo menos n 1 pontos de [a,b]. (b) Suponha que a função f seja derivável em [ 1, 1] e tal que f( 1) = 1 e f() = 5. Prove que eiste um ponto no gráfico de f em que a reta tangente é paralela à reta de equação =. 5. Suponha que as funções f e g sejam contínuas em [a, b] e diferenciáveis em (a, b). Suponha também que f(a) = g(a) e que f () < g () para a < < b. Prove que f(b) < g(b). Sugestão: Aplique o teorema do valor médio à função h = f g. 6. Usando o teorema de Rolle, prove que, qualquer que seja o valor de m, a função f m () = 3 3 + m não pode ter duas raízes reais em [0, 1]. Para entender geometricamente o que acontece, trace na mesma janela os gráficos de f 0 e f 1 e conclua como seria o gráfico de f m, para m qualquer. 7. Seja f() = 1 e g() = { 1, se > 0 1 + 1, se < 0 Mostre que f () = g () para todo nos seus domínios. É possível concluir que f g é constante? 8. (a) Se f é um polinômio de grau menor ou igual a um, sabemos que f () = 0 para todo. Demonstre a recíproca desta afirmação, isto é, se f é uma função qualquer, tal que f () = 0 para todo, então f() = a 1 + a 0, onde a 1 = f (0) e a 0 = f(0). (b) Se f é um polinômio de grau menor ou igual a dois, sabemos que f () = 0 para todo. Demonstre a recíproca desta afirmação isto é, se f é uma função qualquer tal que f () = 0 para todo, então f é um polinômio de grau menor ou igual a dois. De fato, f() = f(0) + f (0) + f (). (c) Suponha que f n () = 0, para todo. Caracterize f e demonstre a sua resposta. 9. (a) Suponha que f(1) = 1, f (1) = 3, f (1) = 6 e f () = 0 para todo. Demonstre que, para todo, f () = 6, f () = 6 3 e que f() = 3 3 + 1. (b) Suponha que c é uma constante e que f(c) = a 0, f (c) = a 1, f (c) = a e f () = 0 para todo. Demonstre que f() = a ( c) + a 1 ( c) + a 0. (c) Suponha que c é uma constante e que f(c) = a 0, f (c) = a 1,..., f (n) (c) = a n e f (n+1) () = 0, para todo. Demonstre que f() = f(c) + ( c) f (c) + ( c) f (c) +... + ( c)n n! f (n) (c), onde n! = n k. 10. Às duas horas da tarde, o velocímetro de um carro marca 30 km/h. Às duas horas e dez minutos, marca 50 km/h. Mostre que, em algum instante entre duas e duas e dez, a aceleração deste carro foi eatamente igual a 10 km/h. 11. Dois corredores começam uma disputa ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que, em algum instante durante a corrida, eles correram com a mesma velocidade. Sugestão: Considere a função f(t) = g(t) h(t), onde g e h são as funções que fornecem as posições dos dois corredores, para qualquer instante de tempo t. 1. Uma função f, não necessariamente derivável, definida em um intervalo I, é chamada convea em I, se f( ) f( 1 ) 1 f( 3) f( ) 3, sempre que 1 < < 3 forem três pontos de I. Veja a figura a seguir à esquerda e interprete geometricamente a definição dada. (a) Demonstre que se f eiste em I e é crescente, então f é convea. (b) Demonstre que se f é maior ou igual a zero em todo o intervalo I, então f é convea em I. (c) Mostre que se 1 < < 3, as duas condições abaio são equivalentes: 1 1 3 3 1 + 3 1 3 1 ( 1 ) (Esta última condição fornece uma outra definição geométrica alternativa para conveidade: entre dois pontos quaisquer 1 e de I, o gráfico de f fica abaio da reta que passa por P 1 = ( 1, f( 1 )) e P 3 = ( 3, f( 3 )), como mostra a figura a seguir à direita. k=1

36 Cap. 17. Teorema do Valor Médio P1 P1 P P3 P P3 1 3 1 3 17. Para você meditar: O significado de c Em muitas situações físicas, os fenômenos observáveis são apresentados em tabelas, que relaciona a velocidade de um automóvel com a distância percorrida até que o mesmo pare, após acionados os freios. velocidade (km/h) 0 60 80 100 10 distância (m) 8 18 3 50 7 Fonte: Revista Quatro Rodas - Automóvel Fiat-Uno A partir de tabelas deste tipo, tentamos deduzir a lei ou função matemática que melhor se ajusta aos dados apresentados. Muitas vezes, precisamos fazer uma estimativa de um valor da variável dependente (neste eemplo, a distância percorrida pelo automóvel) correspondente a um valor da variável independente (neste caso a velocidade do automóvel), que não faz parte da tabela. Por eemplo, qual a distância percorrida por um automóvel que viaja a 70 km/h, antes que este pare completamente? Em geral, para obter uma resposta aproimada para esta pergunta usamos interpolação linear, isto é, aproimamos o gráfico da função que modela o problema por segmentos de reta que ligam os pontos da tabela e estimamos o valor pedido como se a função procurada variasse linearmente, entre os pontos dados. No eemplo apresentado, a equação da reta que liga os pontos (60, 18) e (80, 3) é > f:=unappl(interp([60,80],[18,3],),); f := 7 10 Usando esta equação para calcular uma estimativa para o valor pedido, temos: > f(70.); 5.00000000 Como as grandezas anteriores, claramente não estão relacionadas por uma linha reta, o valor calculado envolve um erro que, a priori, nada garante que seja pequeno. 1. Eplique como o teorema do valor médio está relacionado com o erro máimo cometido ao usarmos interpolação linear para estimarmos os valores correspondentes a pontos que não estão eplicitados na tabela.. Observando os valores apresentados na tabela dada, você é capaz de deduzir a lei que governa o fenômeno? (Use a técnica da n-ésima diferença seção Para meditar, do Cap 7 para tentar chegar a uma conclusão e o comando interp do Maple para conferir a sua resposta.) 3. Faça um gráfico da interpolação linear e da função deduzida no item acima para tentar concluir se 5 m é uma boa resposta para a indagação feita. Esta estimativa é por falta ou por ecesso?. Use a função deduzida acima e o teorema do valor médio para, usando interpolação linear, estimar o erro máimo cometido ao calcularmos a distância que um automóvel percorre antes de parar completamente, após acionados os freios. 17.5 Projetos 17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado Suponha que uma partícula esteja se movendo, de acordo com uma determinada lei, ao longo de uma reta. Se você imaginar que o movimento se dá ao longo do eio, então o movimento pode ser descrito por uma função s, isto é,

W.Bianchini, A.R.Santos 37 para cada tempo t do intervalo I, s(t) fornece a posição da partícula neste instante. Na figura a seguir, a partícula se move durante o intervalo de tempo [t 1, t ]. Além disso, o movimento começa em t = t 1 quando a partícula está no ponto = 1; no intervalo de tempo [t 1, t ], a partícula se move do ponto =1 até o ponto = ; no intervalo [t, t 3 ], a partícula retrocede e muda da posição = para = -1; e no intervalo [t 3, t ], a partícula avança de = 1 até = 6. 6 1 t1 t t3 t 1 A figura mostra o movimento restrito a um intervalo de tempo I = [t 1, t ] finito. Mais geralmente, a função s pode ser definida num intervalo de tempo da forma I = [ t 1, ) ou mesmo I = R = (, ). Mas, na maioria das vezes, na Terra, os movimentos começam em algum instante de tempo t 0 e terminam quando a partícula se choca com alguma coisa ou por alguma outra razão, cessa de se movimentar de acordo com a lei dada. Como já vimos no Cap. 11, desde que a função s seja derivável o que ela usualmente é, a velocidade da partícula, em cada instante de tempo t, é dada pela derivada de s, isto é, v(t) = s (t). Desde que a função v seja derivável, o que ela usualmente é, a aceleração da partícula é dada, em cada instante de tempo t, pela derivada de v, isto é, a(t) = v (t) ou a(t) = s (t). (Observe que para movimentos no plano ou no espaço a velocidade e a aceleração em um dado instante devem ser entendidas como quantidades vetoriais, isto é, como grandezas que têm, também, sentido e direção. Somente para movimentos retilíneos podem ser descritos como fizemos acima, pois sobre uma reta a direção está definida e o sentido é determinado pelo sinal da velocidade.) Há ainda uma quarta função associada ao movimento da partícula que denotaremos por F. Essa função F representa, em cada instante de tempo t, a resultante das forças F (t) que agem sobre o corpo no instante t. O objetivo deste projeto é descrever por meio de equações matemáticas o movimento de uma partícula em queda livre. Antes de podermos trabalhar matematicamente com este problema, precisamos estabelecer as hipóteses físicas a serem consideradas. A Segunda Lei de Newton afirma que a aceleração de um corpo em movimento é proporcional à força dividida pela massa do corpo, isto é, (1) a(t) = k1 F (t) m (k 1 = constante) Para um corpo caindo em queda livre (ou um projétil lançado verticalmente para cima), a força é a resultante do peso (que atua para baio) e a resistência do ar (que atua no sentido contrário ao do movimento). Se a velocidade do corpo não é muito grande, a resistência do ar pode ser desprezada. Assim, temos que () F (t) = P (t) < 0 (o peso é negativo porque pua o objeto para baio). Obviamente o peso não varia somente porque o tempo está passando, mas na realidade depende de, isto é, da altitude do corpo no qual a gravidade está agindo: quanto maior a altitude, menor a força com que a Terra atrai o corpo. Por outro lado se a altitude não é muito grande, o peso pode ser considerado constante. Para todos os fins práticos, podemos considerar o peso de um objeto caindo em queda livre, próimo à superfície da Terra, como constante. Assim, temos (3) F (t) = k < 0 (k = constante). Como já vimos que o peso é a resultante das forças que atuam sobre a partícula de (1) e (3), temos que a(t) = k 3 m < 0 para todo t, onde k 3 = k 1 k. Esta última equação diz que para cada corpo caindo em queda livre eiste uma constante que é igual a sua aceleração, independentemente do tempo que dure o movimento. Permanece, entretanto, uma questão fundamental: eiste uma constante que descreve a aceleração de todos os corpos em queda livre, caso contrário a constante de aceleração depende de qual propriedade do corpo? Por muito tempo pensou-se que esta constante dependia da massa m do corpo, isto é, a lei que governa a queda de corpos pesados (balas de canhão, por eemplo) deveria ser diferente da lei que governa a queda de corpos leves (por eemplo, bolas de pingue-pongue).

38 Cap. 17. Teorema do Valor Médio De fato, até a época de Galileu pensava-se que corpos pesados caíssem mais depressa. A história conta que para provar a falsidade desta hipótese Galileu apelou para a força bruta: deiou cair do alto da Torre de Pisa duas bolas de ferro de tamanhos diferentes provando, assim, que elas chegavam ao chão ao mesmo tempo. Esta constante, que independe da massa do corpo e que fornece a aceleração de qualquer objeto em queda livre, é chamada aceleração da gravidade e é denotada, usualmente, pela letra g. Se a distância é medida em metros (m) e o tempo em segundos (s), numericamente, temos que g é aproimadamente igual a 10 m s. Os resultados desta discussão podem ser resumidos da seguinte maneira: Se a resistência do ar puder ser desprezada e se considerarmos desprezível a variação do peso devido à altitude, a aceleração de um corpo em queda livre é dada pela equação onde g é uma constante e vale aproimadamente 10 m s. a(t) = g, A discussão precedente serviu para tentarmos mostrar porque a afirmação acima, sob certas hipótese razoáveis, é uma boa tradução matemática para o problema em questão. Nós não provamos que esta afirmação é sempre correta ou para que valores limites ela vale. Esta não é uma questão matemática, mas algo com que os físicos se preocupam e tentam corroborar por meio de eperimentos. A questão matemática que queremos resolver é a de encontrar funções que satisfaçam a equação a(t) = f (t) = g Esta equação é um eemplo do que em matemática chamamos de equação diferencial ordinária, porque estabelece uma relação entre a função e suas derivadas. Para resolver esta equação é necessário encontrar a função f que satisfaça a relação dada. Esta questão é adequadamente formulada no problema a seguir. Problema Ache a função s que satisfaz as seguintes propriedades: (a) s (t) = g para todo t. (b) s (0) é um dado número v 0. (c) s(0) é um dado número s 0. Este problema pode ser interpretado em termos físicos da seguinte maneira: Conhecendo-se a aceleração da gravidade g, a velocidade inicial v 0 e a posição inicial s 0, determine a lei que governa o movimento de queda livre de um corpo, no vácuo. Problemas envolvendo equações diferenciais onde são conhecidos os valores da função e suas derivadas em um determinado ponto são conhecidos como problemas de valor inicial. Este problema pode ser generalizado como se segue: Se I é um intervalo de tempo qualquer (finito ou infinito) e t 0 é um ponto qualquer de I, determine a função s que satisfaz as seguintes condições: (a) s (t) = g para todo t. (b) s t 0 = v 0. (c) st 0 = s 0. A solução deste último problema é eatamente igual à do anterior. 1. Tendo em vista a discussão acima e usando o que vimos até agora sobre derivadas de funções, resolva o problema proposto, isto é, determine a lei que governa a queda livre dos corpos.. Se você resolveu corretamente o item acima, em algum momento da dedução deve ter usado uma conseqüência importante do teorema do valor médio. Especifique que resultado foi e onde ele foi usado. 3. Em cada um dos ítens a seguir ache a função desconhecida que satisfaz as condições dadas. Em todos os ítens, eceto em um deles, as condições dadas são suficientes para determinar a função. Nesse único item, entretanto, há infinitas possibilidades. Neste caso, tente determinar que tipo de funções satisfazem as condições dadas. (a) f (t) = 3 t +, f(0) = (b) f () = 3 7 + 5, f(0) = 1 (c) f (t) = 1, f (0) =, f(0) = 3 (d) f () = 3, f (1) = 0. Para resolver os ítens a seguir, não aplique fórmulas. Escreva as equações que modelam o problema e resolva o sistema resultante.

W.Bianchini, A.R.Santos 39 (a) Um projétil é lançado verticalmente para cima, da superfície da Terra, num tempo t = 0, com velocidade inicial de 3 m/s. Quando ele atingirá o solo novamente? Para que intervalo de tempo o movimento é descrito pela condição a(t) = g? (b) Um projétil é lançado verticalmente para cima e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual era a sua velocidade inicial? (c) Uma bola de bilhar é deiada cair do alto de um edifício e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual é a altura do edifício? (d) Queda livre perto da superfície da Lua funciona da mesma maneira que queda livre perto da superfície da Terra, eceto pela aceleração da gravidade g L, que é diferente por causa da massa menor da Lua. Suponha que você está na Lua e deia cair uma bola de bilhar, descobrindo, então, que a bola cai 1 metro, no primeiro segundo. O que você pode concluir a respeito de g L?