Root Locus (Método do Lugar das Raízes)

Root Locus (Método do Lugar das Raízes) Ambos a estabilidade e o comportamento da resposta transitória em um sistema de controle em malha fechada estão diretamente relacionadas com a localização das raízes da equação característica. É frequentemente necessário ajustar um ou mais parâmetros para se obter a localização adequada das raízes. É importante conhecer o local percorrido pelas raízes da equação característica com a variação dos parâmetros. O Método do Lugar das Raízes (root locus) é uma técnica gráfica para se determinar o caminho percorrido pelos polos de malha fechada com a variação de parâmetros do sistema. É uma ferramenta muito usada tanto para análise de estabilidade quanto para projeto de sistemas de controle. 1 of 32

Considere o sistema de controle abaixo. Os termos G(s) e H(s) podem ser representados por polinômios de s: G(s) = N G(s) D G (s), H(s) = N H(s) D H (s) Consequentemente, a função de transferência de malha fechada é dada por: T(s) = Y(s) R(s) = KN G (s)d H (s) D G (s)d H (s)+kn G (s)n H (s) Os zeros de T(s) consistem nos zeros de G(s) e nos polos de H(s). Os polos de T(s) não são conhecidos e dependem de K. A resposta do sistema e a estabilidade dependem dos polos de T(s). Root locus apresenta a localização dos polos de T(s) em função de K. 2 of 32

Exemplo Considere o sistema de controle abaixo. A função de transferência de malha fechada é dada por: com K = K 1 K 2. T(s) = K s 2 +10s +K A Tabela a seguir apresenta os valores dos polos de malha fechada com a variação do ganho K. 3 of 32

Exemplo K Polo 1 Polo 2 0 10 0 5 9, 47 0, 53 10 8, 87 1, 13 15 8, 16 1, 84 20 7, 24 2, 76 25 5 5 30 5+j2,34 5 j2,34 35 5+j3,16 5 j3,16 40 5+j3,87 5 j3,87 45 5+j4,47 5 j4,47 50 5+j5 5 j5 Observe que, para K = 0, há um polo em 10 e outro em 0. À medida em que K aumenta, o polo mais a esquerda se move para direita sobre o eixo real e o polo mais a direita se move para esquerda sobre o eixo real. Os polos se encontram sobre o eixo real no ponto 5. A partir daí um polo se move verticalmente para cima, enquanto o outro se move verticalmente para baixo. 4 of 32

Para K < 25, os polos são reais e distintos, ou seja, o sistema é superamortecido. Para K = 25, os polos são reais e idênticos, e o sistema é criticamente amortecido. Para K > 25, o sistema é subamortecido. Para K > 25, com o aumento do ganho K, o coeficiente de amortecimento diminui e o sobressinal aumenta. A frequência de oscilação amortecida também aumenta. No entanto, o tempo de assentamento permanece sem alterações. Para K > 0, o sistema é sempre estável. 5 of 32

8.1. Representação Vetorial de Números Complexos Qualquer número complexo s = σ+jω pode ser representado graficamente por um vetor. Na forma polar, M θ, tem-se amplitude M e ângulo θ. Quando s = σ +jω é usado em uma função complexa F(s), tem-se outro número complexo. Por exemplo, substituindo-se s = σ+jω em F(s) = (s+a), tem-se F(s) = (σ +a)+jω. Observe que F(s) apresenta um zero em a. Seovetorfordeslocadodea unidadesàesquerda, tem-seumarepresentação alternativa do número complexo, aonde o vetor se origina no zero de F(s) e termina no ponto s = σ +jω. 6 of 32

Conclui-se que (s + a) é um número complexo que pode ser representado por um vetor traçado a partir do zero da função F(s) até o ponto s. Considere a função complexa abaixo aonde cada fator do numerador e do denominador é um número complexo que pode ser representado por um vetor. F(s) = m (s +z i ) i=1 n (s +p j ) j=1 A magnitude de F(s) em qualquer ponto s é dada por: M = m (s +z i ) i=1 n (s +p j ) j=1 sendo (s + z i ) o comprimento do i-ésimo zero, ou seja, a magnitude do vetor traçado a partir de z i ao ponto s. 7 of 32 Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil

O ângulo de F(s) em qualquer ponto s é dado por: m n θ = (s +z i ) (s +p j ) i=1 onde (s +z i ) é o ângulo, medido no sentido antihorário, a partir do eixo real, de um vetor traçado de z i ao ponto s. Exemplo Obtenha F(s) no ponto s = 3+j4, sendo F(s) = s+1 s(s+2). j=1 8 of 32

Exemplo Portanto, (s) : 5 126,9 (s +1) : 20 116,6 (s +2) : 17 104,0 20 F(s) s= 3+j4 = 5 17 (116,6 126,9 104,0 ) = 0,217 114,3 9 of 32

Conceito do Lugar das Raízes (Root Locus) O comportamento dinâmico de um sistema é determinado pela função de transferência de malha fechada, sendo: A equação característica é dada por: T(s) = Y(s) R(s) = KG(s) 1+KG(s)H(s) 1+KG(s)H(s) = 0 KG(s)H(s) = 1 Como G(s)H(s) é uma grandeza complexa, tem-se as condições de módulo e fase: KG(s)H(s) = 1 KG(s)H(s) = ±180 (2k +1), k = 0, 1, 2,... 10 of 32

Os valores de s que satisfazem tanto a condição de módulo quanto a condição angular são as raízes da equação característica(polos de malha fechada). O lugar das raízes é o caminho das raízes da equação característica no plano s quando se varia um parâmetro do sistema, como o ganho K. Um ponto no plano-s está sobre o LR para um valor particular de K, se os ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos de G(s)H(s), todos em relação ao ponto s, somam um valor múltiplo ímpar de 180. Exemplo Determine se o ponto 2+j3 está sobre o LR do sistema abaixo. 11 of 32

Exemplo A soma dos ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos é dada por: G(s)H(s) = θ 1 +θ 2 θ 3 θ 4 = 56,31 +71,57 90 108,43 = 70,55 Portanto, 2+j3 não é um ponto sobre o LR, ou seja, não é um polo de malha fechada para algum valor de K. Entretanto, o ponto 2+j ( 2/2 ) está no LR, pois seus ângulos somam 180. O valor de K para esse ponto é: K = [ ] (s +2) (s +1) = L ( ) 3L 4 2/2 (1,22) = (s +3) (s +4) s= 2+j( 2/2) L 1 L 2 (2,12)(1,22) = 0,33 12 of 32

Esboço do Lugar das Raízes Considerando-se os polos e zeros infinitos, toda F(s) tem um número igual de polos e zeros. Se F(s) quando s, então F(s) tem um polo no infinito. Se F(s) 0 quando s, então F(s) tem um zero no infinito. Para se realizar um esboço aproximado do lugar das raízes, considera-se: (a) Número de ramos: igual ao número de polos de malha fechada. (b) Simetria: o LR é simétrico em relação ao eixo real negativo. (c) Segmentos sobre o eixo real: para K > 0, o LR existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos de malha aberta sobre o eixo real. (d) Pontos de entrada e de saída: o LR se inicia nos polos da função de transferência de malha aberta, G(s)H(s), e termina em seus zeros. 13 of 32

(e) Comportamento no infinito: o LR tende a retas assíntotas quando o mesmo tende ao infinito. A equação das assíntotas é dada pelo ponto de interseção sobre o eixo real, σ a, com ângulo θ a, onde k = 0, ±1, ±2, ±3,..., e o ângulo em radianos, no sentido anti-horário, a partir do eixo real positivo. polos finitos zeros finitos σ a = #polos finitos #zeros finitos (2k +1)π θ a = #polos finitos #zeros finitos Sendo a função de transferência de malha aberta: KG(s)H(s) = K s(s +1)(s +2) Há polos finitos em s = 0, 1, 2 e não há zeros finitos. Há três zeros infinitos, pois, para s muito grande, tem-se: KG(s)H(s) K s s s Logo, o LR se inicia nos polos finitos e termina nos zeros infinitos. 14 of 32 Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil

Exemplo Esboce a forma do lugar das raízes do sistema abaixo. σ a = ( 1 2 4) ( 3) = 4 4 1 3 (2k +1)π π/3, k = 0 θ a = = π, k = 1 3 5π/3, k = 2 Até o momento, apenas os segmentos sobre o eixo real e as assíntotas são possíveis de serem representados. 15 of 32

Exemplo (Continuação) Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil 16 of 32

(f) Ponto de saída e de chegada sobre o eixo real: O ganho K deve ser máximo no eixo real no ponto onde ocorre a saída e deve ser mínimo no ponto de chegada sobre o eixo real. Em vários casos, o LR sai do eixo real quandoos polosse tornam complexos. Em outros casos, o LR retorna ao eixo real quando os polos se tornam reais. Nesses pontos, um par de ramos do LR se funde no eixo real quando K aumenta. Pode-se encontrar o ponto de saída de duas formas: Primeira: derivando-se a equação característica e igualando-a a zero. Segunda: utilizando-se o método de transição. Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação abaixo, sendo z i e p i, respectivamente, os negativos dos zeros e dos polos de G(s)H(s). m 1 1 σ +z i = n 1 1 σ +p i, 17 of 32

Exemplo Para o exemplo anterior, obtenha o pontos de saída do eixo real. Utilizando a regra de transição, tem-se: 1 1 = σ +3 σ + 1 σ +1 + 1 σ+2 + 1 σ +4 1 4σ 3 +21σ 2 +28σ+8 = σ +3 σ 4 +7σ 3 +14σ 2 +8σ 3σ 4 + 26σ 3 +77σ 2 +84σ+24 = 0 As raízes da equação são dadas por: σ 1 = 3,3110+j0,6812 σ 2 = 3,3110 j0,6812 σ 3 = 1,6097 σ 4 = 0,4349 Como o ponto de saída está entre 0 e 1, tem-se que σ = 0,4349. 18 of 32

(g) Pontos de intersecção no eixo jω: de acordo com o critério de Routh- Hurwitz, raízes sobre o eixo jω só podem ocorrer quando há uma linha com todos os elementos nulos no arranjo de Routh. Exemplo (Continuação) Para o exemplo anterior, a função de transferência de malha fechada é dada por: K(s +3) T(s) = s 4 +7s 3 +14s 2 +(8+K)s +3K Aplicando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, tem-se: s 4 1 14 3K s 3 7 8+K s 2 90 K 7 3K s 1 s 0 720 65K K2 90 K 3K Para valores positivos de ganho, uma linha completa de zeros só pode ser obtida na linha s 1 do arranjo, então: 19 of 32 K 2 +65K 720 = 0

Exemplo (Continuação) As raízes são K = 9,65 e K = 14,65. Para ganhos positivos, tem-se K = 9,65. Nessa situação, os elementos da linha s 1 resultam em zero e, portanto, o polinômio auxiliar da linha s 2 é um fator do polinômio original. Assim, 90 9,65 s 2 +39,65 = 0 80,35s 2 +202,56= 0. 7 Resolvendopara s, encontra-ses = ±j1,59. Dessa forma, o LR cruza o eixo jω em ±j1,59,com ganhode 9,65. O sistemaéentãoestável para 0 K 9,65. (h) Ângulos de partida e de chegada: O LR se inicia nos polos e termina nos zeros de malha aberta. Quando há zeros e/ou polos complexos finitos, os ângulos de partida e de chegada devem ser determinados. Para isso, deve-se escolher um ponto de teste ǫ em uma região do LR muito próximo a um polo ou zero complexo. A soma dos ângulos dos polos e zeros finitos até este ponto é um múltiplo ímpar de 180. 20 of 32

Pode-se concluir que o ângulo de partida do LR a partir do polo p 3 é dado por: 21 of 32 ϕ 1 θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 = (2k +1)180 θ 3 = ϕ 1 θ 1 θ 2 θ 4 (2k +1)180

Da mesma forma, admitindo um ponto ǫ sobre o LR próximo ao zero complexo z 2, tem-se: ϕ 1 +ϕ 2 θ 1 θ 2 θ 3 = (2k +1)180 ϕ 2 = θ 1 +θ 2 +θ 3 ϕ 1 +(2k +1)180 22 of 32

Exemplo Encontre o ângulo de partida dos polos complexos e esboce o LR do sistema abaixo. Assíntotas: σ a = ( 1+j1)+( 1 j1)+( 3) ( 2) 3 1 = 1,5 θ a = (2k +1)π 3 1 = π 2 ; 3π 2 23 of 32

Exemplo (Continuação) Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil Ângulos de partida: o ângulo de partida do polo p 3 é 0. Para o polo p 2, tem-se: θ 2 = ϕ 1 θ 1 θ 3 (2k +1)π θ 2 = 45 90 26,6 180 θ 2 = 251,6 = 108,4 Devido à simetria em relação ao eixo real, o ângulo de partida do polo p 1 é dado por 251,6. 24 of 32

Exemplo Esboce o lugar das raízes do sistema abaixo. Procedimento: (a) Determinar o ponto de saída do eixo real; (b) Determinar para quais valores do ganho K o sistema é estável; (c) Determinar o ponto de interseção com o eixo imaginário; (d) Determinar o ponto onde o LR cruza a reta de relação de amortecimento ζ = 0,45. Neste ponto o ganho é K = 0,417; (e) Determinar o ângulo de chegada nos zeros de malha aberta. (f) Esbocar o LR com as informações obtidas nos itens anteriores. 25 of 32

Exemplo (Continuação) Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil (a) 1 σ +2 + 1 σ+4 = 1 σ+2 4j + 1 σ +2+4j ( σ 2 +6σ +8 ) (2σ+4) = ( σ 2 4σ +20 ) (2σ+6) (b) 18σ 2 +24σ 88 = 0 { σ1 = 2,98 σ 2 = +1,64 σ = 2,98 T(s) = G(s) 1+G(s) = K(s 2 4s +20) (K +1)s 2 +(6 4K)s +(8+20K) s 2 (K +1) (8+20K) s 1 (6 4K) s 0 (8+20K) Portanto, o sistema é estável para 0 < K < 1,5. 26 of 32

Exemplo (Continuação) (c) Substituindo K = 1, 5 na equação característica do sistema, tem-se: 2,5s 2 +38 = 0 s = ±j3,9 (d) Sabe-se que o ângulo de qualquer ponto na linha ζ = 0,45 em relação ao eixo real é igual a 180 cos 1 (0,45) = 116,7 e que K = 0,417 no ponto de interesse. Substituindo essas informações na equação característica, extraindo e igualando a parte imaginária a zero, pois sistemas fisicamente realizáveis não podem possuir coeficientes complexos, a equação resultante é dada por 2,834L 2 cos(116,7 )sin(116,7 )+4,33Lsin(116,7 ) = 0 Resolvendo para L, obtém-se L = 3,4. Portanto, o ponto de intersecção com a reta ζ = 0,45 é dado por 27 of 32 Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil s = 3,4 116,7 = 1,53+j3,04

Exemplo (Continuação) Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil (e) Oângulodechegadaaozeroz 1 édado por: ϕ c1 = 180 90 +tan 1 (2/3)+45 = 168,7 Por simetria, o ângulo de chegada ao zero z 2 é igual a 191,3. (f) O esboço do root locus é apresentado ao lado. 28 of 32

A seguir alguns exemplos típicos de root loci. 29 of 32

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Lugar das Raízes com Matlab Na construção do gráfico do lugar das raízes com o MATLAB, a equação característica 1+KG(s)H(s) = 0 é apresentada na forma abaixo, aonde num e den representam, respectivamente, o numerador e o denominador de G(s)H(s). 1+K num den = 0, UmcomandoemMATLABparadesenharográficodorootlocus édadoabaixo, sendo o vetor de ganho K determinado automaticamente. rlocus(num, den); Pode-se ainda utilizar o comando rlocus da seguinte forma: rlocus(sys); %onde sys é o systema definido por num e den rlocus(a,b,c,d); %sistema está representado no espaço de estados Caso seja desejado informar o vetor de ganhos K, pode-se usar: rlocus(num,den,k); rlocus(sys,k); rlocus(a,b,c,d,k); 31 of 32

O comando sgrid mostra linhas radias (grades) com ζ constante e circunferências concêntricos com w n constante. Se forem desejadas apenas determinadas linhas com ζ constante, como ζ = 0.5 e ζ = 0.707,edeterminadascircunferênciascomω n constante, comoω n = 0,5, ω n = 1 e ω n = 2, pode-se fazer: sgrid([0.5 0.707],[0.5 1 2]); Prof. Alessandro Vargas, UTFPR, Brasil Exemplo Esboce a forma do lugar das raízes dos sistemas abaixo. 32 of 32