Pesquisa Operacional Introdução à Modelagem de Problemas Lineares Recursos Escasso. Componentes de um modelo de PL O modelo Matemático é composto por: Função Objetivo (eq. Linear, Ex.: Lucro) Restrições Técnicas (inequações lineares, cap. Materia-prima) Variáveis Variáveis controladas ou de decisão - são variáveis cujo valor está sob controle do administrador. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma destas variáveis. Numa programação da produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar. Variáveis não controladas ou parâmetros- são variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são exemplos de variáveis não controladas.
Sugestão de Roteiro Quais as variáveis de decisão? Precisamos identificar e explicitar as decisões que devem ser tomadas e representar as possíveis decisões. Se o problema é de programação de produção, as variáveis de decisão são as quantidades a produzir no período; se for um problema de programação de investimentos, as variáveis vão representar as decisões de investimento, isto é, quanto investir em cada oportunidade de investimento e em que período. Nas descrições sumárias de sistemas, elas ficam claras quando lemos a questão proposta, isto é, a pergunta do problema. 3 Sugestão de Roteiro Qual o Objetivo? Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de decisão. Elas aparecem geralmente na forma de maximização de lucros ou receitas, minimização de custos, perdas, etc. A função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, custo, receita, perda, etc.), em função das variáveis de decisão. 4
Sugestão de Roteiro Quais as restrições? Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variáveis de decisão Então... ) Quais as variáveis de decisão? ) Qual é o objetivo? 3) Quais as restrições? 5 Exemplo: Certa empresa fabrica dois produtos P e P. O lucro unitário do produto P é de $000 e o lucro unitário de P é de $800. AS empresa precisa de 0 horas para fabricar uma unidade de P e de 30 horas para fabricar uma unidade de P. O tempo anual de produção disponível para isto é de 00 horas. A demanda esperada para o produto P é de 40 unidades anuais, enquanto para o produto P é de 30 unidades anuais. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para este caso. 6
Quais as variáveis de decisão? O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P e de P. Vamos denominar as variáveis de decisão de X e X X = quantidade anual a produzir de P X = quantidade anual a produzir de P. 7 Qual o objetivo? O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P: 000. X (lucro por unidade de P X quantidade produzida de P) Lucro devido a P: 800. X (lucro por unidade de P X quantidade produzida de P) Lucro total: L = 000. X + 800. X Objetivo: Maximizar L = 000. X + 800. X 8
Quais as restrições? Disponibilidade de horas para a produção: 00 horas. Tempo ocupado com P: 0 X (uso por unidade de P X quantidade produzida de P) Tempo ocupado com P: 30 X Tempo total de utilização na produção: 0 X + 30 X Restrição do tempo de produção: 0 X + 30 X 00. Disponibilidade de mercado para os produtos: Demanda por P : 40 unidades Quantidade a produzir de P: X Restrição da demanda por P: X 40. Demanda por P : 30 unidades Quantidade a produzir de P: X Restrição da demanda por P: X 30. 9 Resumo do Modelo Max L = sujeito a : { 000X + 800X } 0X + 30X X 40 X 30 X 0 X 0 00 0
Exemplo (Dieta) Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 3 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa $3 e cada unidade de ovo custa $,5. Quais as variáveis de decisão? Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia. Qual o objetivo? O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado: Quais as restrições? As restriçõqs impostas pelo sistema são: necessidade mínima de vitamina: 3 unidades necessidade mínima de proteína: 36 unidades
Suposições necessárias para se formular um problema como PL Explícitas: A função objetivo e as restrições são funções lineares e O problema é de maximização ou de minimização. Implícitas: Proporcionalidade Aditividade Divisibilidade (continuidade) Parâmetros constantes e dados 3 Exemplos ) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta unidades de couro para fabricar unidade de sapato e unidade de couro para produzir uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5 e o do cinto é de $, pede-se o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. ) Certa empresa fabrica produtos P e P. O lucro por unidade de P é de $00, e o lucro por unidade de P é de $50. A empresa necessita de horas para fabricar uma unidade de P e 3 horas para fabricar uma unidade de P. O tempo mensal disponível para estas atividades é de 0 horas. As demandas esperadas para os produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos não devem ultrapassar 40 unidades de P e 30 unidades de P por mês. Construa o modelo de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 4
3) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 00 caixas de laranjas a $0 de lucro por caixa, pelo menos 00 caixas de pêssegos a $0 de lucro por caixa, e no máximo 00 caixas de tangerinas a $30 a $30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão de modo a obter lucro máximo? Construa o modelo do problema. 5 4) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano. P (Pecuária) Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (00 kg/alq) e irrigação (00.000 l de água/alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de Soja) Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 00 kg por alqueire de adubos e 00.000 de água/alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano:.750.000 de água 4.000 kg de adubo 00 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão. 6