Métodos de Pesquisa Operacional I. Lista de exercícios complementares - I

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1 Lista de exercícios complementares - I Problema 1. Uma companhia de móveis faz cadeiras e mesas como parte de sua linha de móveis para jardim. O quadro abaixo mostra os recursos consumidos por unidade de cada produto e os lucros para cada produto. Por simplicidade, assumiremos que somente dois recursos são consumidos na manufatura destes móveis: madeira (310 metros de placa em estoque), e marcenaria (113 horas disponíveis). O proprietário quer determinar quantas mesas e cadeiras deverá fazer para maximizar o lucro total. Recurso Mesa Cadeira Quantidade disponível Madeira (metros de placa) Marcenaria (boras) Lucro (R$) 6 8 Problema 2. O sr. Silva é proprietário e operador da Companhia de Metal Bell, uma pequena companhia que trabalha com metal que fabrica lustres de latão para uso caseiro. No passado, pelo fato da demanda ser baixa, a companhia satisfazia a demanda simplesmente atendendo aos pedidos à medida que eram feitos. Recentemente, entretanto, a demanda cresceu tanto que a firma está tendo dificuldades em atender todos os pedidos. Por esta razão, o sr. Silva decidiu que deve usar um procedimento sistemático para ajudá-lo a utilizar os recursos da firma de tal maneira que otimize seus valores. A Companhia de Metal Bell faz somente dois tipos de lustres, que chamaremos de lustre I e lustre 2. Ele determinou a contribuição ao lucro de cada lustre subtraindo as variáveis dos custos usados em produzir o produto do preço de venda do lustre. Dessa maneira, ele obteve os seguintes valores: lustre I: R$ 60,00 por lustre e lustre 2: R$ 30,00 por lustre. Cada lustre produzido precisa das seguintes quantidades de metal: lustre 1: 2 kg. por lustre e lustre 2: 4 kg. por lustre. Durante o próximo período de produção, o suprimento de latão da companhia está limitado em 320 kg. As máquinas de usinagem da companhia são necessárias na produção dos lustres, e somente 180 horas do tempo destas estão disponíveis para o próximo período de produção, sendo que cada lustre precisa dos seguintes tempos nestas máquinas: lustre I: 3 horas para cada lustre e lustre 2: I hora para cada lustre. Uma limitação adicional é que cada lustre I precisa de 2 bocais especiais orientais que devem ser importados de Hong Kong. No presente, restrições governamentais de comércio limitam a importação a 100 destes bocais para cada período de produção.. Qual a quantidade de cada tipo de lustre que o sr. Silva deve produzir para maximizar seu lucro? Problema 3. Um fabricante de ração para cães produz dois tipos de mistura, F e H. Duas matérias-primas, cereal e carne, são utilizadas. Considerando os dados a seguir, o fabricante quer achar a quantidade de cada produto que maximize seus lucros. O tipo F é uma mistura de 1 kg. de cereal e 1,5 kg. de carne e é vendido a 70 cents o pacote de 2,5 kg. O tipo H é uma mistura de 2 kg. de cereal e I kg. de carne e é vendido a 60 cents o pacote com 3 kg. O cereal custa 10 cents o kg.; a carne custa 20 cents por kg. O tipo H custa 18 cents por pacote para empacotar e o tipo F custa 14 cents. No período de um mês a companhia tem disponível kg. de cereal e kg. de carne. O tipo F exige uma máquina especial para empacotamento, que pode empacotar no máximo unidades por mês. Problema 4. Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, li, 1lI e IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam, respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1,5 e 3 horas para decoração. Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante dispõe de horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas semanais). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante a próxima semana a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades produzidas possam ser vendidas. Página 1

2 Problema 5. O gerente de operações da agência 001 do banco Y, tem um limite operacional de R$ ,00. Três clientes solicitaram empréstimos e ele decidiu atendê-los da melhor forma possível, O Cliente I, cuja classificação de risco é Conceito C, pediu R$ ,00 e paga até 12 de juros. O Cliente 2, cuja classificação de risco é Conceito B, pediu R$ ,00 e paga até 10 de juros. O Cliente 3, cuja classificação de risco é Conceito A, pediu R$ ,00 e paga até 8 de juros. Todos aceitam valores inferiores ao que foi originalmente solicitado. O banco Y tem por política que no máximo 25 da carteira seja destinada para atender clientes cuja classificação de risco seja Conceito C e que não mais do que 60 da carteira seja alocada para clientes classificados como B ou C. Se o objetivo do banco é a maximização de lucro, qual a quantia que deveria ser emprestada à cada um dos clientes? Problema 6. Uma excursionista planeja fazer uma viagem acampando. Há cinco itens que a excursionista deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de 30 kg. que ela supõe ser capaz de carregar. Para ajudar a si própria no processo de seleção ela atribuiu valores, por ordem crescente de importância, a cada um dos itens segundo a tabela: Item Peso (kg) Valor Que itens devem ser conduzidos de forma a maximizar o valor total sem exceder as restrições de peso? Problema 7. Uma indústria produz porcas, parafusos e pregos, podendo usar dois métodos distintos (mas não simultaneamente) para produzi-los. O primeiro método produz porcas, parafusos e pregos por hora, enquanto o segundo produz parafusos e pregos por hora, mas nenhuma porca. A indústria tem uma encomenda de porcas, parafusos e pregos. Durante quantas horas ela deve empregar cada método para fazer a entrega o mais rapidamente possível? Problema 8. Um planejador de uma linha aérea que voa para 4 diferentes cidades de sua base em Recife possui 10 jatos grandes (B707), 15 propulsores (Electra) e 2 jatos pequenos (DC9). Assumindo condições de voo e uso de passageiros constantes, os seguintes dados estão disponíveis: B707 Electra DC9 Cidade Custo da Viagem (R$) Lucro da Viagem Tempo médio de vôo A B C O A B C O A B C O Página 2

3 Formule as restrições considerando o seguinte: i) A cidade O deve ser atendida 2 vezes diariamente; e as cidades A, B, C devem ser servidas 4 vezes ao dia; ii) Assuma que cada avião pode voar no máximo 18 horas/dia Formule o problema considerando os seguintes objetivos: i) Minimizar os custos; i) Maximizar os lucros; ii) Minimizar o tempo de vôo. Problema 9. Um transportador autônomo possui 8 m 3 de espaço disponível sobre um caminhão com partida programada para New York. Um distribuidor com grandes quantidades de 3 diferentes tipos de utensílios, todos destinados à cidade de New Y ork, ofereceu ao transportador as seguintes taxas de pagamento para transportar tantos itens quantos o caminhão possa acomodar: Utensílios Taxa (RS/item) Volume (m 3 /item) I 11 1 II 32 3 III 58 5 Determine quantas unidades de cada item o transportador deve levar de forma a maximizar o seu lucro. Problema 10. A Rodovia Interestadual 17 tem uma cobrança de pedágio cuja demanda de funcionários é a seguinte Horário Número de Funcionários Oh-6h 2 06/out 6 10/dez 4 dez/ Chamando de X j o número de funcionários que iniciam na hora j e, considerando que eles trabalham 8 horas ininterruptas, construa um modelo matemático que minimize o número de funcionários. Problema 11. A Cia. Alfa S/ A está cogitando em adquirir uma frota de caminhões para fazer face às suas necessidades de distribuição que é de toneladas-quilômetros/mês. Três tipos de caminhões estão sendo considerados: Tipo Valor de Aquisição Custo Operacional Capacidade (ton-km/mês) (R$) (ton-km) (R$) Jamanta , Médio , Pick-up Página 3

4 Os fundos disponíveis para a compra dos caminhões estão limitados a R$ ,00. Além da restrição orçamentária existem restrições quanto ao tipo de caminhões a serem comprados. A primeira refere-se ao espaço da plataforma de carregamentos dado que só existem espaços para 28 caminhões. Uma jamanta ou um caminhão médio usam um espaço. Duas pick-ups usam um espaço. Outra restrição é imposta pelo tamanho e tipo de entregas. Pelo menos 2/3 dos caminhões comprados teriam de ser jamantas ou caminhões médios. O excesso de carga não entregue terá que ser entregue por outra transportadora ao preço de R$ 5,00 por ton-km, Qual deve ser a composição ótima da frota? Problema 12. Uma fábrica de polpa para papel fabrica polpa mecânica (PM) e polpa química (PQ). Como ela pertence a uma cooperativa, ela quer garantir um mínimo de 300 empregos e uma renda bruta diária de R$ ,00. Os dois tipos de polpa exigem I trabalhador/dia por tonelada produzida. A PM é vendida por RS IOO,OO/ton e a PQ é vendida por R$ 2oo,00/ton.A poluição é medida pela demanda bioquínúca de oxigênio (DBO). Uma tonelada de PM gera I DBO e 1 tonelada de PQ gera 1,5 DBO.A capacidade máxima de produção diária é 250 toneladas de PM e 300 toneladas de PQ (os processos são independentes). Quanto se deve fabricar diariamente de cada tipo de polpa poluindo o mínimo possível? Problema 13. Uma empresa produz quatro produtos (1, 2, 3 e 4). As exigências de matéria-prima, espaço para estocagem, taxas de produção e lucros estão apresentados no Quadro abaixo. A quantia de matéria-prima disponível por dia, para os quatro produtos é de 180 kg, O espaço total disponível para estocagem é de 230 m2 e a empresa trabalha 7,5 horas por dia. O comportamento do mercado tem sido o de que o Produto 2 não consiga uma fatia de mercado maior do que 35 do total de produtos vendidos. O Produto I é usado como complemento do produto 4 e não é interessante que a sua produção seja maior do que a produção do Produto 4. Se o objetivo da empresa é o de maximização de lucros, quanto de cada peça deve ser produzida? Produtos Matéria-Prima (kg/peça) Espaço (m z ) Taxa de produção Lucro (peçaslhora) ($/peça) Problema 14. Uma empresa agro-industrial deseja desenvolver um sistema de captação de água a partir de m locais potencialmente favoráveis. O custo de bombear água do local i tem um custo fixo de A i e um custo variável de C ij, proporcional a quantidade bombeada para o local j. A quantidade máxima que o local i pode produzir mensalmente é Li. Há 3 locais de demanda de água, sendo que o local j necessita da quantidade Q j, mensalmente, j= I, 2 e 3. A unidade de água é 1 metro cúbico. Construa um modelo que minimize o custo, decida quais poços ativar e quanto de água mandar do poço i para o local j, mensalmente. Problema 15. Uma empresa possui duas minas, A e B. A mina A pode produzir I ton de minério de alto grau, 4 ton de médio grau e 6 ton de baixo grau por dia. A mina B pode produzir 2 ton de cada tipo por dia. A empresa está necessitando de pelo menos 60 ton de minério de alto grau, 120 ton de médio grau e 150 ton de baixo grau. Se custa R$ 200,00 por dia para operar a mina A e R$ 300,00 para operar a mina B, quantos dias a empresa deve operar cada mina pelo menor custo? Problema 16. Uma empresa dispõe de 3 fábricas com excesso de capacidade. Todas as fábricas estão aptas à produção de um certo produto. A administração propõe a redução do excesso de capacidade pela fabricação adicional de produtos. Esses produtos podem ser fabricados em 3 tamanhos (pequeno, médio e grande) que geram contribuições para o lucro de R$ 72,00, R$ 80,00 e R$ 96,00 para os tamanhos pequeno, médio e grande, respectivamente. As fábricas (A, B e C) dispõem, respectivamente, de excessos de capacidade (mão-de-obra e equipamentos) suficientes para a produção diária de até 520, 630 e 350 unidades do produto. Cada fábrica pode utilizar o seu excesso de capacidade para produzir qualquer combinação de tamanhos. Existem, todavia, restrições para estocagem ao longo do processo de produção. As fábricas A, B e C dispõem, respectivamente, de 300, 210 e 120 metros quadrados para estocagem. Cada Página 4

5 unidade dos modelos pequeno, médio e grande requer, respectivamente, de 0.40, 0.50 e 0.65 metros quadrados para estocagem. Qual a melhor estratégia de produção para utilizar o excesso de capacidade da empresa? Problema 17. Uma empresa está considerando 4 possíveis alternativas de investimentos (projetos A, B, C e D). A TMA (Taxa de Mínima Atividade) da empresa é de 6 ao ano após Imposto de Renda. Todos os projetos têm horizonte de planejamento igual a 10 anos. Outras informações relevantes para a tomada de decisão estão apresentadas no quadro a seguir. Projetos Investimento Inicial (R$) Fluxo de Caixa após IR (R$) VPL (valor presente líquido)(r$) TIR (taxa interna de retorno) (R$) A ,01 B C D ,01 a) Se os projetos forem mutuamente exclusivos, qual deles deve ser selecionado? Resposta: Neste caso, como os projetos são mutuamente exclusivos, para atender ao objetivo de maximização do valor da empresa, deve-se selecionar aquele projeto que apresente maior VPL, que é o Projeto C, com VPL = R$ 4.833,00. b) Considere-se o mesmo exemplo, apenas trocando a hipótese de projetos mutuamente exclusivos pela hipótese de projetos independentes. Resposta: Sendo os projetos independentes e com VPL positivos, então todos devem ser selecionados. Neste caso, o VPL da carteira (projetos A, B, C e D) será de R$ ,00. c) Considere-se o mesmo exemplo, incluindo agora, uma restrição orçamentária de R$ ,00 e, ainda, as seguintes informações: - os projetos A e D são mutuamente exclusivos; - o projeto C é dependente do projeto D. Construa um modelo matemático que resolva este problema. Problema 18. A Peças Amaru produz 3 tipos de peças para máquinas de lavar. Ela compra as peças brutas, recémfundidas, de uma fundição local e então as beneficia através de operações de fresa, forma e polimento. Os preços de venda das peças A, B e C são, respectivamente, R$ 5,00, R$ 6,00 e R$ 10,00. A oficina tem apenas uma unidade de cada equipamento. Os custos de uma hora de operação das máquinas são de: R$ 20,00 para fresa, R$ 30,00 de forma e R$ 30,00 para polimento. A capacidade em peças por hora de cada máquina está no quadro a seguir. Máquina Peça A Peça B Peça C Fresa Forma Polimento O diretor da empresa deseja saber quantas unidades de cada tipo deve produzir por hora para maximizar o lucro de uma hora. Problema 19. Bolabo é o gerente da área de fundos de um grande banco privado. No último pacote do governo, foi obrigado a investir parte dos recursos em debêntures de longo prazo. Estuda o investimento em debêntures de 6 empresas, com rendimento e vencimento diferentes, de acordo com o quadro a seguir. Empresa Rendimento Vencimento Qualidade A 8, Excelente B 9, Muito Boa C 10, Razoável O 9, Boa E 8, Excelente F 9, Muito Boa O valor a ser investido é de R$ ,00 (em lotes de R$ l.000,00). Não mais que 25 do total investido pode estar num único papel. Ao menos 50 devem ser investidos em papéis com vencimento após 2005 e não mais que Página 5

6 podem estar investidos em papéis com qualidade inferior a Muito Boa. Formule o PPL que obtenha o maior rendimento dentro das restrições acima. Problema 20. Aurélio Luis precisa determinar quanto da sua verba de R$ ,00 deve ser gasto nas seguintes mídias: televisão, rádio, revistas e brindes. Cada real gasto em televisão aumenta as vendas em R.$ 10,00. Anúncios em rádio e revistas resultam na metade deste retomo e brindes aumentam as vendas em R$ 2,00 para cada R$ investido. Os anúncios da TV não podem passar da metade da verba, e os anúncios de rádio precisam ser ao menos 20 dos anúncios da TV. Ao menos R$ ,00 precisa ser gasto em anúncios de revista, e pelo menos R$ ,00 em brindes. O objetivo de A.L. é o de aumentar o volume de faturamento. Formule esta decisão como um PPL. Problema 21. O gerente de uma carteira precisa decidir quanto investir em cada um dos seguintes papéis: Papel Taxa Prazo Risco taxação A 8 Longo Alto Sim B 9 Curto Baixo Isento C 9 Longo Alto Isento O 10 Curto Baixo Isento E 9 Curto Alto Sim Ele vai utilizar um problema de PL para ajudar a determinar o melhor perfil de investimento (portfólio). Deve no entanto se sujeitar às seguintes definições feitas pelo seu diretor, Sr. Adernar. 1) O valor atual da carteira é de R$ ,00; 2) Ao menos 50 deve ser investido em papéis de curto prazo; 3) Não mais que 30 podem ser investidos em papéis de alto risco; 4) Ao menos 25 devem ser investido em papéis isentos de taxação; 5) O rendimento dos papéis isentos deve ser ao menos um quarto do rendimento total. Problema 22. O Sr. Salis precisa definir os volumes das linhas de crédito de um grande banco. As características das linhas são as seguintes: Linha de Crédito Spread liquidez Prazo A 0,50 0,10 5 dias B 1,50 0,50 30 dias C 0,70 0,25 5 dias D 1,70 1,00 30 dias E 3,00 2,50 90 dias F 1,00 50, dias Também precisa atender as seguintes determinações do C.E. (Comitê Executivo): 1) Não mais que 40 do total pode estar em linhas de iliquidez acima de 0,75; 2) Por determinação do governo pelo menos 15 deve estar na linha F; 3) Por questões de caixa, pelo menos 30 devem estar em linhas de prazo inferior a 15 dias; 4) Para cada R$ utilizado na linha E deve haver a utilização de outro R$ nas linhas B ou D; 5) O total das linhas não pode superar R$ ,00 Formule o PPL que maximize o lucro a ser obtido. Problema 23. Felipe K. é o novo coordenador de marketing da superintendência regional dos Correios e está com um pequeno problema. No ano passado a venda de cartões de dia das crianças foi um grande sucesso e este ano se espera a repetição deste novo hábito na população. Na verdade houve filas no ano passado e este ano se espera que a demanda cresça ainda mais. Infelizmente o Sr. Felipe K. não tem condições de atender todos os pedidos das agências e assim decidiu que deve adotar um processo sistemático para determinar a forma de produção que otimize os resultados da regional. Estão previstos dois tipos de cartão - pré-impressos-, ambos produzidos em lotes de unidades. O Página 6

7 primeiro cartão é conhecido como Alegria dos Avós e o segundo como Orgulho dos Pais, ambos destacando a importância para a criança de receber uma correspondência em sua casa - minha primeira carta-. Felipe calculou a contribuição ao lucro de cada tipo de cartão, subtraindo do preço de venda ao público todos os custos variáveis de produção, distribuição, venda e entrega. Desta maneira ele obteve os seguintes valores: Cartão Alegria dos Avós = R$ 60,00 por milheiro Cartão Orgulho dos Pais = R$ 30,00 por milheiro Cada cartão utiliza as seguintes quantidades de papel especial: Cartão Alegria dos Avós = 2 resmas por milheiro Cartão Orgulho dos Pais = 4 resmas por milheiro Para atender a confecção dos cartões de dia das crianças, o suprimento de papel especial da regional está limitado a 320 resmas. Para evitar fraudes cada cartão deve passar na sua impressão por uma máquina franqueadora especial, também utilizada por outros produtos, sendo que somente estão disponíveis 180 horas desta máquina até o final de setembro, prazo final de fabricação dos cartões. Cada tipo de cartão necessita os seguintes tempos na máquina : Cartão Alegria dos Avós = 3 horas por milheiro Cartão Orgulho dos Pais = I hora por milheiro Uma limitação adicional é que cada cartão Alegria dos Avós precisa de 2 cromos especiais que devem sem importados da China. Não havendo tempo hábil para importar mais unidades a produção deste tipo de cartão fica limitada aos 100 milheiros de cromos disponíveis. De posse destas informações, ajude Felipe K. a estabelecer o melhor quadro de distribuição da produção determinando: 1. Quanto deve ser produzido de cada tipo de cartão; 2. Qual o lucro estimado para a operação "minha primeira carta"; 3. Qual a sobra de cada recurso, se houver; Para facilitar os cálculos trabalhe em lotes de cartões. Problema 24. A CBUP produz umas postais em fibra de vidro para coleta de correspondência, estando atualmente habilitada a produzir dois tipos de urna: a urna externa para ser instalada em pequenos postes nas calçadas e a urna interna para ser afixada nas vitrines das agências do correios. O suprimento de fibra de vidro (importada e especial para estas umas ficarem invioláveis) está limitado a 140 litros por dia. Cada uma utiliza 10 litros de fibra de vidro. A urna externa também necessita de 20 minutos de secagem a vapor e cada uma interna de 40 minutos de secagem. A máquina de secagem de vapor está disponível por 400 minutos cada dia. Cada uma externa utiliza uma manopla, e a disponibilidade desta manopla é de 12 unidades por dia. Já as urnas internas se utilizam de 2 manoplas especiais e somente 16 unidades diárias destas estão sendo produzidas. Cada uma externa dá um lucro de R$ 3,00 e cada uma interna um lucro de R$ 4,00. Na atual situação, com crescimento de demanda, tudo que for produzido é utilizado. Formule o problema da CBUP como um PPL. O objetivo é achar o programa de produção diária que maximize o lucro. Problema 25. Urna empresa que administra um parque de diversões precisa alocar seus funcionários segundo os planos de jornadas de trabalho semanal. Cada funcionário trabalha 5 dias seguidos e folga 2. Os 7 planos possíveis e as demandas diárias estão na tabela. Construa um modelo que decida quantos funcionários devem trabalhar em cada plano, satisfazendo a demanda e minimizando o número total de funcionários. Página 7

8 Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Demanda Página 8