MÉTODOS EXPERIMENTAIS E TÉCNICAS DE MEDIDAS

MÉTODOS EXPERIMENTAIS E TÉCNICAS DE MEDIDAS Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br

Aula 5 Distribuição Normal

Variável Aleatória Contínua Mestrado em Eng. Mecânica 3/65

Função de Probabilidade Para uma X, tínhamos que a função de probabilidade era uma função tal que: f x 0 i n i1 f 1 x i f x PX x i i Mestrado em Eng. Mecânica 4/65

Função de Probabilidade Para uma X, teremos que uma função densidade de probabilidade é uma função tal que: f f x 0 xdx 1 P a X b f x b dx Métodos a Experimentais e Técnicas de Medidas Área sob f(x) de a a b, para qualquer a e b Mestrado em Eng. Mecânica 5/65

Distribuição Uniforme Mestrado em Eng. Mecânica 6/65

Vamos apresentar distribuições de probabilidades para variáveis aleatórias contínuas. Para ilustrar a correspondência entre área e probabilidade, vamos aprender as. Em seguida, as, que ocorrem frequentemente em aplicações reais e têm papel importante nos métodos de inferência estatística. Mestrado em Eng. Mecânica 7/65

Distribuições Uniformes O foco será o estudo da Distribuição de Probabilidade Normal, porém iremos começar com a, que nos dará informações para compreender estas duas propriedades importantes: 1. A área sob o gráfico de uma distribuição de probabilidades é igual a 1; 2. Há uma correspondência entre área e probabilidade (ou frequência relativa), de modo que algumas probabilidades podem ser encontradas pela identificação das áreas correspondentes. Mestrado em Eng. Mecânica 8/65

Distribuição Uniforme Uma variável aleatória contínua tem uma se seus valores se espalham uniformemente sobre a faixa de valores possíveis. O gráfico de uma Distribuição Uniforme resulta em uma forma retangular. Mestrado em Eng. Mecânica 9/65

EXEMPLO A companhia de Energia fornece eletricidade com níveis de voltagem que são uniformemente distribuídos entre 123 e 125 volts. Isto é, qualquer quantidade de voltagem entre 123 e 125 volts é possível, e todos os possíveis valores são equiprováveis. Se selecionamos aleatoriamente um dos níveis de voltagem e representarmos seu valor pela variável aleatória x, então x tem uma distribuição que tem um gráfico como: Mestrado em Eng. Mecânica 10/65

EXEMPLO Um gráfico de uma distribuição de probabilidade contínua, como este, é chamado de. Mestrado em Eng. Mecânica 11/65

EXEMPLO Dada a distribuição uniforme do nível de voltagem, ache a probabilidade de que um nível de voltagem selecionado aleatoriamente seja maior do que 124,5 volts. Mestrado em Eng. Mecânica 12/65

Curva de Densidade Uma curva de densidade deve satisfazer os seguintes requisitos: 1. A área sob a curva tem que ser igual a 1. 2. Cada ponto na curva tem que ter uma altura vertical maior ou igual a 0, ou seja, a curva não pode estar abaixo do eixo x. Mestrado em Eng. Mecânica 13/65

Área Probabilidade Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, existe uma correspondência entre e. No caso da Distribuição Uniforme, a área abaixo da curva, que é facilmente calculada por: Área = Base Altura, corresponderá à probabilidade referente a esta área. Mestrado em Eng. Mecânica 14/65

Área Probabilidade Como a curva de densidade de uma Distribuição Normal tem a forma de sino, é mais difícil acharmos a área, porém o princípio básico é o mesmo: Há uma correspondência entre e Mestrado em Eng. Mecânica 15/65

Distribuição Normal Mestrado em Eng. Mecânica 16/65

Distribuição Normal Uma característica essencial de uma distribuição normal é que, quando se constrói seu gráfico o resultado tem forma de. As frequências começam baixas, crescem até uma frequência máxima e depois decrescem para uma frequência baixa. A distribuição deve ser aproximadamente, com frequências igualmente distribuídas em ambos os lados da frequência máxima. Mestrado em Eng. Mecânica 17/65

Propriedades da Dist. Normal É simétrica; Tem forma de sino; Está definida de - a +, com caudas assintóticas ao eixo x; Apresenta a particularidade: Me = Mo = Média Dois parâmetros: de forma (s 2 ) e de locação (m). Mestrado em Eng. Mecânica 18/65

Distribuições Distribuição Assimétrica: Quando se estende mais para um lado do que para o outro. Distribuição Simétrica: Quando a metade esquerda de seu histograma é praticamente uma imagem espelhada de sua metade direita. Mestrado em Eng. Mecânica 19/65

Distribuições Assimétrica negativa Simétrica Assimétrica positiva Mestrado em Eng. Mecânica 20/65

Distribuição Normal Se uma variável aleatória contínua tem uma distribuição com um gráfico simétrico e em forma de sino, e que pode ser descrito pela equação a seguir, dizemos que ela tem Depende apenas de m e s f x e s 1 2 xm s 2 2 Mestrado em Eng. Mecânica 21/65

Distribuição Normal EXEMPLO: A velocidade de veículos em uma rodovia segue uma distribuição Normal com média 60km/h e variância 400 (km/h) 2. Qual a probabilidade de um veículo ser flagrado a mais de 100km/h? f x dx e 1 x60 2 20 20 2 100 100 2 dx Mestrado em Eng. Mecânica 22/65

Uma solução é transformar uma distribuição Normal qualquer em uma distribuição Normal padrão. Mestrado em Eng. Mecânica 23/65

Distribuição Normal padrão Mestrado em Eng. Mecânica 24/65

Distribuição Normal Padrão A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade normal com média m = 0 e desvio-padrão s = 1, e a área total sob a curva de densidade é 1. -3-2 -1 0 1 2 3 Escore z Mestrado em Eng. Mecânica 25/65

Distribuição Normal Padrão A tem as seguintes propriedades: 1. Seu gráfico tem forma de sino; 2. Sua média é igual a 0 (m = 0); 3. Seu desvio-padrão é igual a 1 (s = 1). Mestrado em Eng. Mecânica 26/65

Seja uma variável aleatória X que segue uma distribuição N(m, s 2 ). As seguintes afirmações se verificam: I. (X m) ~ N(0, s 2 ) II. X s ~ N æ ç m ès,1 ö ø æ X - m ö ç ~ N 0,1 è s ø ( ) III.. e, portanto, Mestrado em Eng. Mecânica 27/65

Escore z Mestrado em Eng. Mecânica 28/65

Escores z Encontra-se um (ou ), convertendo-se um valor para uma escala padronizada. Um escore z (ou valor padronizado) é o número de desviospadrão a que se situa determinado valor x, acima ou abaixo da média. Mestrado em Eng. Mecânica 29/65

Escores z O escore z é encontrado usando-se: z x s x Escore z Amostral z x m s Escore z Populacional Mestrado em Eng. Mecânica 30/65

Escores z Arredonde escores z para duas casas decimais. Exemplo: z = 2,46. Esta regra se deve ao fato de que a tabela-padrão de escores z apresenta escores z com duas casas decimais. Mestrado em Eng. Mecânica 31/65

Exemplo Vamos considerar as alturas e as massas de 40 homens. Média Desvio-padrão Altura 173,58 cm 7,67 cm Massa 78,27 kg 11,94 kg Vamos comparar dois valores individuais. Qual é mais extremo, 193,55 cm de altura de um homem ou 107,55 kg de massa de um homem? Precisaremos comparar os escores z. Mestrado em Eng. Mecânica 32/65

Escores z Valores não-usuais têm escores z menores do que -2 e maiores do que +2. Valores comuns têm escores z entre -2 e +2. Valores Não Usuais Valores Usuais Valores Não Usuais -3-2 -1 0 1 2 3 Mestrado em Eng. Mecânica 33/65

Escores z Sempre que um valor de dado é do que a média, seu escore z correspondente é. Sempre que um valor de dado é do que a média, seu escore z correspondente é. Mestrado em Eng. Mecânica 34/65

Escore z Distribuição Normal Padrão Mestrado em Eng. Mecânica 35/65

Distribuição Normal Padrão Não é fácil a determinação de áreas para a curva de densidade da distribuição normal padrão, então necessitamos de valores já calculados previamente e que constam na seguinte tabela: Mestrado em Eng. Mecânica 36/65

Distribuição Normal Padrão Ao usar a Tabela da distribuição normal padrão, temos que: 1. A tabela refere-se apenas à, que tem média 0 e desvio padrão 1; 2. A tabela é apresentada em duas páginas, uma para e a outra para ; 3. Cada valor no corpo da tabela é a até uma reta vertical sobre um valor específico do escore z; Mestrado em Eng. Mecânica 37/65

Distribuição Normal Padrão 4. Ao trabalhar com um gráfico, entre escores z e áreas. Escore z Distância na escala horizontal da distribuição normal padrão; refere-se à coluna à esquerda e à linha do topo da tabela. Área Região sob a curva; refere-se aos valores no corpo da tabela. Mestrado em Eng. Mecânica 38/65

Distribuição Normal Padrão z,00,01-3,4 0,0003 0,0003-3,3 0,0005 0,0005-3,2 0,0007 0,0007-3,1 0,0010 0,0009 Área Mestrado em Eng. Mecânica 39/65

Distribuição Normal Padrão Exemplo 1: Uma companhia de instrumentos científicos de precisão fabrica termômetros que devem informar temperaturas de 0 o C no ponto de congelamento da água. Testes em uma grande amostra desses instrumentos revelam que, no ponto de congelamento da água, alguns termômetros indicam temperaturas abaixo de 0 o C e alguns dão temperaturas acima de 0 o C. Suponha que a leitura média seja 0 o C e que o desvio-padrão das leituras seja 1,00 o C. Suponha, também, que as leituras sejam normalmente distribuídas. Se um termômetro é selecionado aleatoriamente, ache a probabilidade de que, no ponto de congelamento da água, a leitura seja menor que 1,27 o C. Mestrado em Eng. Mecânica 40/65

EXEMPLO 1 Gostaríamos de saber agora, qual a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente um termômetro que apresente leitura (no ponto de congelamento da água) superior a -1,23 o C. Agora, determine a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente um termômetro que apresente leitura (no ponto de congelamento da água) entre -2,00 o C e 1,50 o C. Mestrado em Eng. Mecânica 41/65

O último resultado do exemplo 1, pode ser generalizado como a seguinte regra: A área correspondente à região entre dois escores z específicos pode ser encontrada achando-se. Mestrado em Eng. Mecânica 42/65

Com uma distribuição de probabilidade contínua, tal como a distribuição normal, a probabilidade de se obter qualquer valor único exato é 0 (P(z=a) = 0). De modo que: P (a z b) = P (a < z < b) Então, a probabilidade de se obter um escore z no é igual à probabilidade de se obter um escore z. Mestrado em Eng. Mecânica 43/65

Escores z Áreas conhecidas Em muitos casos, temos que: Dada uma área (ou probabilidade), achar o escore z correspondente. Mestrado em Eng. Mecânica 44/65

Escores z Áreas conhecidas Procedimento para a determinação de um Escore z a partir de uma área conhecida. 1. Desenhe uma curva em forma de sino e identifique a região sob a curva que corresponde à probabilidade dada. Se a região não é uma região acumulada à esquerda, trabalhe com regiões conhecidas que sejam regiões acumuladas à esquerda. 2. Usando a área acumulada à esquerda, localize a probabilidade mais próxima no corpo da tabela da distribuição normal padrão e identifique o escore z correspondente. Mestrado em Eng. Mecânica 45/65

Escores z Áreas conhecidas Se um valor desejado de área na tabela, selecione o valor ; Se um valor está a entre dois valores da tabela, selecione o ; Para escores z, podemos usar como uma aproximação para a área acumulada à esquerda; Para escores z, podemos usar como uma aproximação para a área acumulada à esquerda. Mestrado em Eng. Mecânica 46/65

EXEMPLO 2 Use os mesmos termômetros do exemplo anterior, com leituras de temperatura no ponto de congelamento da água normalmente distribuídas, com média de 0 o C e desviopadrão de 1 o C. Ache a temperatura correspondente a P 95, o 95 o percentil. Isto é, ache a temperatura que separa os 95% inferiores dos 5% superiores. Ache, agora, as temperaturas separando os 2,5% inferiores e os 2,5% superiores. Mestrado em Eng. Mecânica 47/65

Valores Críticos Para uma distribuição normal, um valor crítico é um escore z na fronteira que separa os escores z que têm ocorrência provável daqueles que têm ocorrência improvável. Valores críticos comuns são z = -1,96 e z = 1,96. Os valores abaixo de 1,96 são improváveis de acontecer, pois ocorrem em apenas 2,5% dos dados, e os valores acima de z = 1,96 também são improváveis de acontecer, pois também ocorrem em apenas 2,5% das leituras. Mestrado em Eng. Mecânica 48/65

Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão Mestrado em Eng. Mecânica 49/65

Aplicações da distribuição normal É pouco comum encontrarmos situações que seguem uma distribuição normal padrão. As distribuições normais típicas envolvem médias diferentes de 0 e desvios-padrão diferentes de 1. Nestes casos, devemos ser capazes de encontrar probabilidades correspondentes a valores da variável x e, dado algum valor de probabilidade, devemos ser capazes de encontrar o valor correspondente da variável x. Mestrado em Eng. Mecânica 50/65

Aplicações da distribuição normal Para trabalhar com distribuições normais não padronizadas, simplesmente iremos padronizar os valores para usar os mesmo procedimentos aprendidos até aqui. Se convertermos valores para escores z padronizados usando a fórmula a seguir, os procedimentos usados serão os mesmos usados para a distribuição normal padrão. z x m s Arredonde os escores z para 2 casas decimais Mestrado em Eng. Mecânica 51/65

Aplicações da distribuição normal Procedimento para achar áreas com uma distribuição normal não padronizada: 1. Esboce a curva normal, marque a média e os valores específicos de x e, então, sombreie a região que representa a probabilidade desejada; 2. Para cada valor relevante de x que representa um limite da região sombreada, converta o valor em seu escore z equivalente; 3. Consulte a tabela para achar a área da região sombreada. Mestrado em Eng. Mecânica 52/65

EXEMPLO 3 Uma porta típica de uma casa tem uma altura de 2 metros. Dado que as alturas de homens são normalmente distribuídas, com média de 1,725 m e desvio-padrão de 7 cm. Ache a porcentagem de homens que passarão por uma portapadrão sem se curvar e sem bater a cabeça. Essa porcentagem é alta o bastante para que se continue a usar 2 metros como padrão de altura? Mestrado em Eng. Mecânica 53/65

EXEMPLO 3 O valor do escore z é 3,93, dando uma área de 0,9999. Conclui-se que a proporção de homens que podem passar pelas portas com altura-padrão de 2 m é 0,9999 ou 99,99%. Pouquíssimos homens terão que se abaixar ou baterão a cabeça. Essa porcentagem é baixa o suficiente para justificar o uso de 2 m como altura-padrão para portas. Mestrado em Eng. Mecânica 54/65

EXEMPLO 4 Os pesos ao nascer nos Estados Unidos são distribuídos normalmente, com média de 3420 g e desvio-padrão de 495 g. O Hospital Geral de Newport exige tratamento especial para bebês que nasçam com menos de 2450 g (não usualmente leves) ou mais de 4390 g (não usualmente pesados). Qual é a porcentagem de bebês que não requerem tratamento especial por terem pesos ao nascer entre 2450 g e 4390g? Sob essas condições, muitos bebês precisam de cuidados especiais? Mestrado em Eng. Mecânica 55/65

EXEMPLO 4 Expressando o resultado em porcentagem, podemos concluir que 95% dos bebês não exigem cuidados especiais por terem pesos entre 2450 g e 4390 g. Segue que 5% dos bebês requerem tratamento especial por serem não usualmente leves ou pesados. A taxa de 5%, provavelmente, não é muito alta para hospitais típicos. Mestrado em Eng. Mecânica 56/65

Áreas conhecidas Não confunda escores z e áreas; Escolha o lado correto (direito/esquerdo) do gráfico; Um escore z tem que ser negativo sempre que se localizar na metade esquerda da distribuição normal; Áreas (ou probabilidades) são valores positivos ou nulos, mas NUNCA negativos. Mestrado em Eng. Mecânica 57/65

Áreas conhecidas Procedimento para achar valores a partir de áreas conhecidas 1. Esboce o gráfico da distribuição normal, introduza a probabilidade ou porcentagem dada na região apropriada do gráfico e identifique o(s) valor(es) x de interesse; 2. Use a Tabela para achar o escore z correspondente à área mais próxima e, em seguida, identifique o escore z correspondente; Mestrado em Eng. Mecânica 58/65

Áreas conhecidas 3. Usando a fórmula de conversão de valores para escore z, encontre o valor de x; z x m s 4. Consulte o esboço da curva para verificar se a solução faz sentido no contexto do gráfico e no contexto do problema. Mestrado em Eng. Mecânica 59/65

EXEMPLO 5 No planejamento de um ambiente, um critério comum é que se ajuste a 95% da população. Qual a altura de uma porta se 95% dos homens devem passar por ela sem se abaixar e sem bater a cabeça? Isto é, ache o 95 º percentil das alturas dos homens, que são normalmente distribuídas, com média de 1,75m e desviopadrão de 0,07 m. Mestrado em Eng. Mecânica 60/65

EXEMPLO 5 O resultado é: x = 1,87 m. Isto significa que uma altura de porta de 1,87 permitiria que 95% dos homens passassem sem se curvar ou bater a cabeça. Assim, 5% dos homens não passariam por uma porta com altura de 1,87 m. Como muitos homens passam por portas com muita frequência, esta taxa de 5%, provavelmente, não seria prática. Mestrado em Eng. Mecânica 61/65

EXEMPLO 6 O Hospital Geral de Newport deseja redefinir os pesos ao nascer mínimo e máximo que exigem tratamento especial por serem não usualmente baixos ou altos. Depois de considerar fatores relevantes, um comitê recomenda um tratamento especial para os 3% inferiores e os 1% superiores dos pesos ao nascer. Ajude o comitê a identificar os pesos ao nascer que separam os 3% inferiores e os 1% superiores. Os pesos ao nascer, nos Estados Unidos, são normalmente distribuídos, com média de 3420 g e desvio-padrão de 495g. Mestrado em Eng. Mecânica 62/65

EXEMPLO 6 O Resultado nos indica que: O peso ao nascer de 2489 g (arredondado) separa os 3% inferiores dos pesos ao nascer, e 4573 (arredondado) separa o 1% superior dos pesos ao nascer. Agora, o hospital tem critérios bem definidos para determinar se um bebê recém-nascido deve receber tratamento especial relativo a um peso ao nascer não usualmente baixo ou alto. Mestrado em Eng. Mecânica 63/65

Distribuição Normal no R help(normal) Quando tem-se a média e o desvio padrão da população você pode utilizar o comando abaixo para descobrir a probabilidade para qualquer intervalo. pnorm(x, mean, sd, lower.tail = TRUE) ## Ficar atento para quando você quer medir intervalo acima da média ou abaixo dela. Quando for acima, você precisa substituir o TRUE por FALSE Mestrado em Eng. Mecânica 64/65

Referências Triola, M.F. Introdução à Estatística: Atualização da Tecnologia. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 11ª Edição, 2014. ISBN 978-85-216-2206-2. Montgomery, D.C., Runger, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro, RJ: LTC, Quinta Edição, 2012. ISBN 978-85-216-1902-4. Ferreira, E.B., Oliveira, M.S. Introdução à Estatística Básica com R. Universidade Federal de Lavras Lavras MG. Mestrado em Eng. Mecânica 65/65