Capítulo 2 Torção
2.1 Revisão Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.
Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo. A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada, considerando um eixo formado por tiras axiais separadas. As tiras deslizam umas em relação as outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo.
A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra. T Quando submetido à torção, cada seção transversal de um eixo circular permanece plana e indeformada. Seções transversais para barras circulares cheias ou vazadas permanecem planas e indeformadas, porque a barra circular é axissimétrica. Seções transversais de barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção. L
Tr I max e p T I p I p : momento polar de inércia da área da seção. ρ: distância radial da linha central do eixo T: torque interno resultante que age na seção τ: tensão de cisalhamento (máxima na superfície externa)
Ângulo de torção: TL I G p G : módulo de elasticidade ao cisalhamento L: comprimento do eixo ϕ: ângulo de torção (rad)
Convenção de sinais Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento, o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento. TL i i I G i pi i
Exemplo 1 - O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos de seção circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d. Para o carregamento mostrado na figura, determine: (a) as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.
Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de equilíbrio estático para encontrar cargas de torque. T M AB x 0 6kN mt M 0 6kN m 14kN m 6kN m T CD - AB T BC x 20kN m - T BC
(a)aplicar fórmulas de torção elástica para encontrar tensões mínima e máxima na barra BC. (b)dada a tensão de cisalhamento admissível e torque aplicado, invertese a fórmula de torção elástica e encontra-se o diâmetro necessário. I p r r 2 2 4 4 4 4 2 1 0,060 0,045 13,9210 m 6 4 TBC r2 max 2 6 4 I 13,92 10 m 20 kn m 0,060m 86.2MPa p 20 kn m0,045m BC 1 min 1 6 4 I p 13,92 10 m min T r 64,7MPa max min max 4 3 I p 2r 2r r 86,2MPa 64,7MPa Tr Tr 6kN m 65MPa 3 38,910 m d 2r 77,8mm
2.2 Eixos Estaticamente Indeterminados Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado (solicitação), gostaríamos de encontrar as reações de torque em A e B. A partir de uma análise de corpo livre da barra, estaticamente T T T A B (1) EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE: indeterminado Dividindo o eixo em dois componentes que devem ter deslocamentos rotacionais compatíveis, TALAC T BLCB AB AC CB 0 I G I G T B L L AC CB T A (2) p p
Teremos um sistema: T A TB T LAC TB TA LCB T A LCB T Ll LAC TB T Ll
Exercício de fixação 1)O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B. Respostas: T A =-345Nm e T B =645Nm
Exercício de fixação 2)Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. I p é constante. Resposta: 16,3MPa
Exercício de fixação 3) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 0,5in e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. G aço =10,8(10 3 )ksi. Resposta: τ max =29,3ksi
2.3- Estruturas heterogêneas quanto aos materiais O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão. Se um torque de T=250Nm for aplicado em sua extremidade, como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção transversal? G AÇO =80GPa G LAT =36GPa
A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de torque às quais resistem o aço e o latão. O equilíbrio exige: Aplicando a relação carga-deslocamento, TAÇOL TLAT L I G I G paço AÇO plat LAT T AÇO T T 250 Nm (1) Aço LAT Compatibilidade: Exige-se que o ângulo de torção na extremidade A sejam o mesmo para o aço e para o latão, visto que eles estão unidos. AÇO LAT TL I G / p temos: 4 4 3 2 4 3 2 /2 20mm 10mm 8010 N / mm /2 10mm 3610 N / mm T LAT
T AÇO 33,33 T (2) LAT Resolvendo o sistema: T T AÇO LAT 242,72Nm 7,28Nm Pela fórmula da torção: LAT máx 3 242,72 10 20 Nmm mm AÇO máx 4 4 /220mm 10mm 3 242,72 10 10 Nmm mm AÇO mín /2 20mm 10mm 4 4 7,28 10 10 3 Nmm mm 4 /210mm 20,6MPa 10,3MPa 4,63MPa max Tr I p Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latãoaço. Isso era de se esperar, já que os materiais têm módulos de rigidez diferentes.
Exercício de fixação 4)O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão. Se estiver preso a um dos apoio rígido, determine o ângulo de torção que ocorre em sua extremidade. G AÇO =75GPa e G LAT =37GPa Respostas: 0,00617rad
Exercício de fixação 5)Uma barra de aço sólida de diâmetro 1,2in está circundada por um tubo de diâmetro externo igual a 1,8in e diâmetro interno igual a 1,4in. Tanto a barra como o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de forma bem segura na extremidade B. A barra composta, que tem 20in de comprimento, é torcida por um torque T=4400lb.in agindo na placa da extremidade. Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e no tubo e o ângulo de torção em graus da placa, assumindo que o módulo de elasticidade do aço é G=11,6x10 6 psi. Respostas: barra 3,08 ksi 4,62ksi 0,507 tubo
2.4 Eixos maciços não circulares
A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são:
A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal retangular são: a a/b c 1 c 2 1,0 0,208 0,1406 1,2 0,219 0,1661 1,5 0,231 0,1958 2,0 0,246 0,229 2,5 0,258 0,249 3,0 0,267 0,263 4,0 0,282 0,281 5,0 0,291 0,291 10,0 0,312 0,312 b T max 2 c 1ab TL 3 c 2ab G a maior lado b menor lado
Exemplo 2- O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τ adm = 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φ adm = 0,02 rad. G al = 26 GPa.
O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha central do eixo também é T. 20T N 20T ; 56 T 179200 Nmm=179,2Nm a mm 40 mm adm 3 2 3 3 3 46TL 46T 1,2 10 mm adm ; 0,02rad T 24120Nmm 24,12Nm 4 agal 4 4 3 N 40 mm 26 10 2 T 24,12 Nm mm Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.
Exercício de fixação 6)O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC. Respostas: MPa BC máx 0,955 1,592MPa AC máx
Exercício de fixação 7)Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas barras de alumínio mostradas, e o correspondente ângulo de torção em B, sabendo-se que G=26GPa e. Respostas: a) T 2,25 knm =0,816 b) T 1,77 knm =0,901 adm 50MPa
2.5 Tubos de parede fina com seções transversais fechadas A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é méd T 2tA m τ méd = tensão de cisalhamento média T = torque interno resultante na seção transversal t = espessura do tubo A m = área média contida no contorno da linha central Para o ângulo de torção, TL 2 4A G m ds t
Exemplo 3- Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento. Considere G al = 26 GPa.
O torque interno no ponto A é T = 85 Nm. Para tensão de cisalhamento média: 3 8510 Nmm méd 2 2tAm 2 10mm 2.500mm méd T 1,7 MPa 2 2 A m 50 2.500 mm A área sombreada é. Para ângulo de torção, 3 3 1,5 10 2 3 2.500 2610 4 1 TL ds 85 10 ds 0,196 10 mm 2 4A G t 4 10 m A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno 4 0,196 10 4 50 do tubo. Assim, 3 3,92 10 rad ds
Exercício de fixação 8)O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na forma e dimensões indicadas. Se está sujeito aos dois torques como mostrado, determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B, e o ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E. Considerar G=38GPa. Respostas: 1,75 MPa, 2,92 MPa e =0,00626rad A B
Exercício de fixação 9)Um torque de 1,2kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio, que tem a seção mostrada na figura. Determinar a tensão de cisalhamento da barra. Respostas: 44,4MPa
Exercício de fixação 10)O tubo é feito de plástico, tem 5mm de espessura e as dimensões médias são mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T=500Nm. Respostas: 9,6MPa