Exercícios do item 1.6: 1) Calcule as reações nos apoios da viga abaixo.

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1 Exercícios do item 1.5: 1) Calcule a força de tração nas duas barras da estrutura abaixo. tan θ 0 1 θ1 arc tan (0,75) θ1, 87 tan θ 0 θ arc tan (1,) θ 5, 1 o x 0 : 1 cos (,87 ) cos(5,1 ) 0 0, 0,8 1 0,8 0, ,75 o y 0 : 1 sen (,87 ) sen(5,1 ) , 0, Colocando-se a força 1 na expressão acima, tem-se: 0,75 0, 0, o ,5 0,75 x ) Calcule a força de tração nos dois cabos da figura N o 9.00 N

2 0 : y M 0 : x 0, x1,8 x, 0 1 M 0 : 1 x, x 1, x 0, ,8 N.9, N Exercícios do item 1.: 1) Calcule as reações nos apoios da viga abaixo. x 0 : H y 0 : V VB 0 V VB M 0 : x,0 VB x,5 0 VB MB 0 : V x, x 1,5 0 V N.000 N ) Calcule as reações no apoio da viga em balanço (ou viga cantilever). x 0 : Hb 0

3 y 0 : Vb Vb MO 0 : x,0 M b 0 M b.000 N.m Exercícios do item 1.9: 1) Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. Dado: γ s 77 kn/m carga q (N/m) é obtida multiplicando-se o peso específico pela área da seção transversal: x100x x mm Ou:.000 (10 )m,0 x10 m q γ (N / m ) x,0x10 (m ) 1 N / m x 0 H y 0 V VB 0 q. L

4 Então: V VB 1x 9,0 L M B 0 V. L q. L. V V q L 079 B V 1 x 9,0 B 0 V 109,5 N N ql ) Calcule as reações de apoio da viga de aço abaixo. Dado: γ s 77 kn/m x 0 H B 0 y 0 VB q. L 1x 9,0 079 N L ql Mo 0 q. L. M B 0 M B 955,5 N.m Observação muito importante: substituição de uma carga distribuída pela força resultante somente pode usada para calcularem-se as reações de apoio. Não deve ser usada para mais nada.

5 Exercícios do item.1: 1) Calcule a tensão normal nos dois cabos da figura. Dados: φ 1 φ 5, mm Área dos cabos 1 e : Tensão normal nos cabos 1 e : 1 π(1,7) 1 50,7 mm.9,(n) 1 1,8 N / mm 1 50,7(mm ).70,8(N) 7, N / mm 50,7(mm ) ) Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. Dados: φ 1 1,5 mm ; φ 0,0 mm

6 o o x 0 : 1 cos(5 ) cos(5 ) 0 1 Tensão normal nas barras 1 e : o o y 0 : 1 sen(5 ) sen(5 ) , ,1 N 5, ,8 N / mm 1 π(,5) 5,1 11, N / mm π(10) ) Calcule a tensão normal nas duas barras da treliça abaixo. s duas barras têm seção transversal circular. Dados: φ Barra tracionada 15 mm ; φ Barra comprimida 0 mm o x 0 : 1 cos(0 ) 0 1 0,8 o y 0 : sen(0 ) Tensão normal nas barras 1 e : ( ).0, ,0 N / mm 1 π(7,5) , N / mm π(10) N.00 N

7 ) Uma barra, de seção transversal retangular, tem altura variável (como indicado) e largura b constante igual a 1 mm. Calcule a tensão normal no ponto de aplicação da força e no engaste. Dado: N Engaste x x5, N / mm,7 N / mm 5) Uma barra prismática está pendurada por uma de suas extremidades. Construa os diagramas de força normal e de tensão normal. Dados: γ: peso específico; : área da seção transversal azendo-se um corte imaginário à distância x os esforços que eram internos passam a ser externos. parte recortada também tem que estar em equilíbrio, pois qualquer parte (ou ponto) de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio. N(x): representa a ação da parte de cima sobre a parte de baixo. y 0 : N(x) γ x 0 N(x) γ x

8 N(x) γx γ x Exercícios do item.: 1) Uma barra prismática de seção transversal circular (φ 5 mm) e de comprimento L 800 mm fica solicitada por uma força axial de tração N. Calcule a tensão normal e a deformação linear específica sabendo que o alongamento da barra é de,0 mm π(1,5) 1,1N / mm ε L L,0 (mm) 800 (mm),5 x 10 ) Um elástico tem comprimento não esticado igual a 0,0 cm. Calcule a deformação linear específica do elástico quando for esticado ao redor de um poste com diâmetro externo igual a 1 cm. P: Perímetro externo do poste: P πr π.8 50,7 cm ε L L i Lf Li L i 50, ,8

9 Exercícios do item.: 1) Uma barra prismática de seção transversal circular (d 0 mm) fica solicitada por uma força axial de tração.000 N. Experimentalmente, determinou-se a deformação linear específica longitudinal ε o L / oo. Calcule a tensão normal, a variação do comprimento e do diâmetro da barra. Dado: ν 0,5. x.000 π(10) 19,1N / mm o ε L εx / oo 0, Lx εx Lx εx Lx,0 x Lx,5 mm L ε y x L L y y L y ε y L y L y d ε y d ε ν ε y x ε y ν ε x 0,5 x,0 x10 7,5 x10 d 7,5 x10 x 0 0,015 mm ) Calcule o volume final da barra do problema anterior. V i : volume inicial da barra; V f : volume final da barra V L π(10) x i i i 71.8,9 mm π(0 0,015) V f f Lf x (1500,5) 71.9,9 V V V 71.9,9 71.8,9 f i 705 mm mm Exercício do item.: figura abaixo mostra um diagrama orça-longamento de um ensaio de tração simples. barra tem seção transversal circular (d 0 mm) e comprimento inicial (referência) igual a 800 mm. Calcule:

10 a) a tensão (ou limite) de proporcionalidade ( P ); b) a tensão (ou limite) de escoamento ( Y ); c) a tensão última ( U ); πd π.0 π.r 70,8 mm a) P 1,15 N / mm P 1,15 MPa 70, b) Y 1,98 N / mm Y 1,98 MPa 70, c) U 8,9 N / mm U 8,9 MPa 70,8 Exercícios do item.5: anterior. Ε. ε 1) Calcule o módulo de Young (Ε) da barra do problema ε L L mm 800 mm ε,75 x 10 Ε ε 1,15 N / mm,75 x10 Ε.77, N / mm Ou : Ε.77, MPa Ou: Ε,77 GPa

11 ) Uma circunferência de raio R 00 mm é desenhada em uma placa. Calcule ao aplicar-se a tensão normal x 81,0 MPa os valores dos diâmetros ab e cd. Dados da placa: Ε 10 GPa; ν 0, Lei de Hooke: ε Ε εx Ε x x 81x10 ε x 9 Ε 10x10 ε x,75 x 10 L x ε L,75 x10 x x x 00 L x L ab 00 0,05 00,05 mm 0,05 mm Coeficiente de Poisson (ν): εy ν y ν εx ε ε y L x ε Ly Ly, x10 y 0,x,75x10 x 00 0,158 mm,x10 L cd 00 0, ,85 mm ) Um bloco de massa m kg é sustentado por dois cabos de seção transversal circular. Sendo dados d 1 8,0 mm; d 1,0 mm; Ε 1 70 GPa e Ε 10 GPa, calcule: a) o valor do ângulo θ sabendo que 1 ; b) valor da tensão normal nas duas barras; c) a deformação linear específica das duas barras.

12 y 0 senθ P 0 x 0 1 cosθ 0 1 P sen θ P cosθ sen θ a) Pcosθ senθ π() P senθ π() cosθ θ arc cos θ o,1 b) 1 sen(,1 ) 1 π() 1 Pcos (,1 P sen(,1 π() o ) o o ) ,81 0,8958 π c) Lei de Hooke: ε Ε 1500 x 9,81 x0, 0,89 π 1 15, N / mm 15, N / mm ε, (N / mm ) 1 Ε1 1 ε1 ε 1,07 x x10 (N / mm ) ε, (N / mm ) Ε ε ε 1,1x x10 (N / mm )

13 Exercícios do item.1: 1) Uma barra prismática de aço, com seção transversal circular, tem,0 metros de comprimento e está solicitada por uma força axial de tração 10 N. Sabendo-se que o alongamento da barra é de,5 mm e que Ε 05 GPa, calcule: a) o diâmetro da barra; b) a tensão normal. L 10 x 000 a) L,5 R,1 mm E 05 x10 πr Então: d 1, mm b) 10 π(,1) 85,5 N / mm ) Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura abaixo. Dados: φ 1 φ 5, mm; L 1 L,5 m; Ε 1 Ε 70 GPa 1 L1 9, x 500 L1 L1 E 70 x10 50,7 1 1 L 70,8 x 500 L L1 E 70 x10 50,7 0, mm 0,7 mm ) Calcule o alongamento das duas barras da treliça abaixo. Dados: φ 1 1,5 mm ; φ 0 mm; L 1 1,0 m; L,0 m; Ε 1 05 GPa; Ε 10 GPa

14 L 1 L E 5,1 x L x10 1,7 0,1 mm L E L 5,1 x 000 L1 10 x10 1, 0,19 mm Exercícios do item.: 1) Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicação da força de 00 kn. Dados: 800 mm ; Ε 70 GPa H n i 1 Li E x x x x x x i i i,18 mm ) Duas barras de seção transversal circular são soldadas como mostra a figura. Sendo dados: φ 1 1 mm; φ 8 mm; Ε 1 Ε 70 GPa, calcule: a) a tensão normal nas duas barras; b) o alongamento da barra. a) 1 π(7) 15,9 mm ; π() 50, mm mm 15,9 000 mm 50, 51,98 N / ; 59, N /.000 x x x 000 b) L 1,91 mm 70 x10 50, 70x10 15,9 70x10 15,9 ) Calcule a tensão normal máxima e o alongamento da barra prismática abaixo. Dados: 7,1 x 10 m ; Ε 10 GPa; γ.00 N/m

15 tensão normal máxima ocorre no apoio: máx γl.000 7,1x10.00 x 5 5, x10 0, x10 N / m máx 5,85 x10 N / m Cálculo do alongamento: 5,85 MPa L L E γ L E O alongamento máximo ocorre na extremidade livre: L máx 10 x x,0 9 7,1 x x 10 x10 9 1,1x10,1 x10 m L máx 1, x10 m 0,1 mm

16 Exercícios do item.: 1): Calcule a tensão normal nas três barras da treliça abaixo e o deslocamento vertical do ponto de aplicação da força P. Dados: P N; Ε 1 Ε 05 GPa; Α 1 Α x 10 m Diagrama de corpo livre: x 0 1 cos 55 1 cos 55 0 o y 0.1 sen55 P 0 De onde: 1, 1 P (1) o o Temos uma equação e duas incógnitas, o problema é uma vez hiperestático. outra equação virá da compatibilidade dos deslocamentos. E L cos 5 o 1 L E L cos 5 o L 1 1

17 Cálculo do comprimento da barra 1: L 1 cos5 o L,0 L L o 1 cos5 1 Da equação de compatibilidade:, m o x,0 cos 5 1, 1,9 1 () Colocando-se a equação () na equação (1), tem-se: 1, 1 1,9 1 P, N 7.10 N Cálculo da tensão normal nas barras 1 e :: 79 x x10,9 MPa 5,70 MPa Cálculo do deslocamento vertical do ponto de aplicação da força P: L 710 x.000 V L V 0,5 mm E 9 05 x 10 x x10 Exercício ): barra rígida (indeformável) B, de peso desprezível, é rotulada em, suspensa por dois cabos e suporta uma força P N. Calcule a tensão normal nos cabos 1 e e a reação vertical no apoio. Dados: L 1 L ; Ε 1 70 GPa; Ε 05 GPa; Α 1 Α 5 x 10 m

18 0 V 1 P 0 (1) y M 0 1 xd P xd x d De onde: x 1 x x P () Temos duas equações independentes da estática e três incógnitas. O Problema é uma vez hiperestático e a outra equação virá da compatibilidade dos deslocamentos. 0 L d 1 L d L 1 L 1 L1 L 1 E E 9 70x x10 9 De onde: 5,8 1 () Colocando-se a equação () na equação (), tem-se: x x 5,81 1 x P

19 5, 1 x , N 0.080,1 N Cálculo da tensão normal nos cabos: 89, 5x , 5x10 1,8 MPa 80,1 MPa Cálculo da reação vertical no apoio (equação (1): V 1 P.89, 0.080, , N Exercício ): barra prismática abaixo está presa em dois apoios indeformáveis e solicitada por uma força axial. Determine as reações nos apoios e B. 0 H H B 0 (1) x O problema é uma vez hiperestático. Vamos retirar um dos apoios e determinar o deslocamento que o apoio retirado está impedindo. Colocando-se o apoio retirado, tem-se:

20 Compatibilidade dos deslocamentos: H.a H B.L L1 L H B E E H H.a L L L.a L.a L (L a) L B H. b L Exercício ): barra prismática abaixo está carregada axialmente por duas forças 1 e. Calcule: a) as reações nos apoios indeformáveis e B; b) a tensão normal no meio da barra. Dados: N;.500; seção transversal 00 mm Superposição dos efeitos: H 1.b.000x1,8.a.000x 0,8 1.8, N H , N L, B L, 1

21 H. b.500x 0,.a.500 x,0 807,7 N H B.9, N L, L, 1 H H H 1.8, 807,7 57,9 N 1 B H B H H B 15,.9,.07,9 N Cálculo da tensão normal no meio da barra: força normal axial no meio da barra H Á 1 57, ,1 N Ou: H B.07, ,1 N Então: 1.,1 00 7,1 N / mm ou : 7,1MPa Exercício 5): barra prismática está na posição indicada quando a força 0. Calcule as reações nos apoios rígidos e B quando for aplicada a força N. Dados: Ε 1,5 GPa; Α 5 x 10 m

22 OBS.: Se a barra não encostar no apoio B as reações são dadas por: Vamos retirar o apoio B: H N e H B 0.0 L x.000 E x ,5x10 x 5x10 1,8 mm Colocando-se o apoio B, a reação H B deverá diminuir (encurtar) a barra de L 1 mm. H 1,5x10 B 9 x.00 x 5x10,8,0 H B.5,5 N H H B H ,5 11.7,5 N Exercício ): Um pilar de concreto armado tem,0 metros de comprimento longitudinal e possui quatro barras de aço de diâmetro Φ igual a 1 mm. seção transversal do pilar é quadrada (00 mm x 00 mm) e está solicitado por uma força axial de compressão N aplicada através de uma placa rígida. Sendo dados Ε c GPa e Ε s 05 GPa calcule a tensão normal no concreto e nas barras de aço.

23 Chamando de c a força absorvida pelo concreto e s a força absorvida pelas barras de aço, tem-se: c s N O problema é uma vez hiperestático. Sabendo-se que a força é aplicada através de uma placa rígida, os dois materiais (aço e concreto) tem o mesmo encurtamento: L E c c c c L E s s s s L c L s x ( π 8 c ) 05 x π 8 s De onde: c 1,07 s Então: 1,07 s s N s ,1 N c , ,9 N Cálculo da tensão normal: c 80.09, π 8,1 N / mm s ,1 π 8,75 N / mm

24 Exercícios do item.: 1) barra prismática abaixo está livre de tensão quando a temperatura é igual a 0ºC. Sabendo que os engastes são indeformáveis calcule a tensão normal na barra quando a temperatura subir para 50ºC. Dados: Ε 05 GPa; α 11,7 x 10 / o C Retirando-se o apoio B, tem-se: Compatibilidade dos deslocamentos L L E L T αl T Eα T 05x10 9 x 11,7x10 x 0 71,95x10 N / m Ou: compressão 71,95 MPa

25 Exercício ): barra prismática abaixo está livre de tensão quando a temperatura é igual a 5º C. Sabendo que os engastes e B são indeformáveis calcule a tensão normal na barra quando a temperatura descer para 0ºC. Dados: Ε 70 GPa; α 1, x 10 / o C; L,0 m Compatibilidade dos deslocamentos: L L T L E αl T Eα T 70 x10 9 x 1,x10 x85 18,5 x10 N / m Ou: tração 18,5 MPa

26 Exercício ): Resolva o problema anterior considerando que à temperatura t 0º C o apoio B se desloca de mm e o apoio continua indeformável. Dados: Ε 70 GPa; α 1, x 10 / o C; L,0 m L x10 L T L x10 E αl T E L x10 αl T x x10 1,x x10 x x 85

27 x 70 x10 9 7, x 10 x10 7,0 x10 N / m Ou: tração 7,0 MPa ) estrutura abaixo é perfeitamente ajustada aos engastes rígidos e B quando a temperatura é igual a 18º C. Calcule a tensão normal nas barras 1 e quando a temperatura subir para 100º C. Dados: Ε 1 Ε 05 GPa; α 1 α 1 x 10 / o C; Α 1 00 mm ; Α 00 mm L T α1 L1 T α L T L 1x10 x 500 x 8 1x10 x 00 x 8 0,885 mm T L1 L E 1 1 E L

28 L x500 05x10 x 00 x 05 x x 00 1,059 x L L T então: 1,059 x , , N Cálculo da tensão normal: 8.791, 1 19,7 N / 00 mm 1 Ou: 1 19,7 MPa 8.791, 79, N / 00 mm Ou: 79, MPa 5) barra prismática está na posição indicada na figura abaixo quando a temperatura é igual a 5º C. Sabendo que apoios e B são indeformáveis calcule a tensão normal na barra quando a temperatura for igual a: a) 10º C; b) 70º C; c) 105º C; Dados: Ε 70 GPa; que α 0 x 10 / o C a) 0,0 T < b) L 0x10 x.500 x 5,5 mm,5 mm

29 Portanto, a barra não vai encostar no apoio B, então: 0,0 T > c) L 0x10 x.500 x 80,0 mm,5 mm x.500 x.500 L 1,5 compressão 70x10 70 x10 N / mm ) barra prismática está na posição indicada na figura abaixo quando a força 0 e a temperatura é igual a 15º C. Sabendo que apoios e B são indeformáveis calcule as reações H e H B quando for aplicada a força N e a temperatura subir para 0º C. Dados: Ε 10 GPa; que α 9, x 10 / o C; 15 mm L x1.500 L1 L LT αl T 9,x10 x.000x 5 E 10x10 x 15,17 mm

30 L HB 1,17 mm H B E L 1,17 mm H B x.000 1,17 10x10 x15 H B N H H B N H 18.5 N 7) s barras estão na posição indicada na figura abaixo quando a temperatura é igual a 5º C. Determine a distância d que o ponto a se desloca quando a temperatura subir para 0º C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatação térmica insignificante. Dados: α 1 x 10 / o C; α 1 x 10 / o C

31 LT1 α1l1 T x10 x 900 x 5 0,9 mm LT α L T 1 x10 x 900 x 5 0,9 mm LT1 LT 0 x 90 0,9 0,9 0 x 90 x 90 0, 0 x 0, 0.90,5 mm d 0,9,5,7 mm

32 8) Um tubo de alumínio mede 5 m à temperatura de º C. Um tubo de aço, à mesma temperatura, é 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos terão o mesmo comprimento. Dados: α lumínio 1, x 10 / o C; α S 11,7 x 10 / o C LT L LT S , x α LL L T αsls T x T ,7 x ,75 T ,10 T x x T 0,75 T 0,10 T , T 5 T 1,5 o C T 1,5 T,5 o C Observação: à temperatura t,5ºc têm-se os seguintes comprimentos: L L , x10 x x 1, ,9 mm LS ,7 x10 x x 1, ,9 mm

33 Exercícios do item.: 1) Calcule a tensão de cisalhamento média que ocorre na cola τ m τ m,5 x 10 N / m x 0,0 x 0,10,5 MPa Ou: τ m τ m,5 N / mm x 0 x100,5 MPa ) Calcule a tensão de cisalhamento média no pino e a tensão normal de tração média no cabo da luminária abaixo.

34 τ m.500 π x10 τ m 71,7 N / mm m π x7 m 9,5 N / mm ) Um suporte para televisão é sustentado por um pino de 8 mm de diâmetro. Calcule a tensão de cisalhamento média no pino sabendo que a massa da televisão é igual a 5 kg. Observação: a força cisalhante no pino é provocada pelo binário exigido para o equilíbrio de momentos fletores. M 0 P x 800 x x 9,81x 800 x 50.9 N Cálculo da tensão cisalhante média no pino:

35 τ m.9,1 x τ m 78,1 N / mm Exercício do item.: Um bloco está solicitado por uma força 11 kn. Calcule: a) a tensão cisalhante média; b) o deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior não se desloca. Dados: Ε 87,5 GPa; ν 0, a) τm 10 x 50 τ m 1 N / mm b) tg γ γ 80 γ 80 Lei de Hooke no cisalhamento: τ G γ G E 87,5 G 5 (1 ν) (1 0,5) GPa

36 γ τ G 1 (N / mm 5 x10 ) (N / mm ) γ x10 rad. 80 x x10 0,0 mm Exercícios do item.5: 1) Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo. Dados: N; d 19,05 mm Neste caso n e n 1 (corte simples) τ méd x1x,1 x(9,55) τ méd 0,7 N / mm ) Calcule o diâmetro dos parafusos da ligação abaixo. Dados: N; τ 95 N / mm Para este problema: n 8 e n 1 (corte simples)

37 τ méd 95 R 8 x1x,1 x(r) 9,15 mm Portanto: d 18, mm ) Calcule a tensão de cisalhamento nos parafusos da ligação abaixo e a tensão normal nas chapas. Dado: d 1 mm 1ª opção: N; n ; n 1 τ méd x1x,1 x() τ méd,1 N / mm x N / mm ª opção: N; n ; n τ méd x x x,1 x() τ méd,1 N / mm 50 N / mm

38 Exercícios do item 5.: 1) Para o eixo abaixo calcule: a) a tensão de cisalhamento máxima; b) o giro relativo da seção transversal B em relação ao engaste indeformável ; c) o deslocamento horizontal do ponto c. Dados: T.00 N.mm; G 0 GPa. T. r a) τ J π ( D D ) ( 18 1 ) J 8.70, mm π J e i.00 x 9 τ máx 5,01 N / mm ou : τmáx 5, , MPa TL.00 x 800 b) θ 7, x10 rad. GJ 0x10 x 8.70, c) tg θ θ 9 9x θ 9 x 7, x 10 0,07 mm Exercício : Um eixo de seção transversal circular fica solicitado pelos momentos de torção indicados na figura abaixo. Calcule a tensão de cisalhamento máxima e o giro relativo da seção transversal B em relação ao engaste indeformável. Dado: G 5 GPa.

39 T. r τ onde: J π π J D 50 J 1.59, mm x 5 τ máx 1,7 N / mm ou : τmáx 1,7 1.59, MPa θ θ B TL GJ.000 x x.000,19 x10 5x10 x 1.59, 5x10 x 1.59, rad. Resposta: θ B,19 x10 rad. (no sentido de.000 N.mm) Exercício ) Calcule a tensão de cisalhamento máxima e o giro relativo da seção transversal B em relação ao engaste indeformável. Dado: d mm; d 0 mm; G 1 G 0 GPa.

40 π π J 1 D 100 J1 9,8x10 mm π π J D 0 J 1,7 x10 mm Cálculo de τ máx : τ T. r J τ máx 1 80 x 50 9,8 x10 τ máx 1 0, N/ mm τ máx 1570 x 0 1,7 x10 τ máx 0,7 N/ mm Resposta: τ máx 0, MPa Cálculo de θ B : θ TL GJ θ B x.000 0x10 x 9,8x x x10 x 1,7x x x10 x 9,8 x10 θ B 1,1 x10 rad. Obs.: conversão de radianos para graus: o 1,1x10 x180 1 π rad. 180 então : θb 0,05º π Exercício ) Sendo G a) a tensão de cisalhamento máxima; 0 GPa calcule para o eixo de seção circular: b) o giro relativo da seção transversal B em relação ao engaste indeformável ; c) o deslocamento horizontal do ponto c. o

41 a) T. r τ, onde: J J π 0,0 J 1,57 x x 0,10 τmáx, x 10 N / m ou : τmáx, 1,57 x10 m MPa b) θ TL GJ 0x x1,00 9 x1,57 x10 0x x1,5 9 x1,57 x10 θ 1,0 x10 rad. (ou: 0,1º) B tg θ θ 0,10 0,10 x θ 0,10 x1,0 x 10 1,0 x 10 Exercício 5) tensão de cisalhamento máxima que solicita o eixo abaixo é igual a,5 MPa. Sabendo que o eixo tem seção transversal circular (Φ 1 mm) e L 500 mm calcule o valor da força. Para este valor de calcule o giro relativo da seção transversal onde está aplicado o binário em relação ao engaste rígido. Dado: G GPa. m T 1

42 τ T.r J π J 1 J 05,75 Cálculo do ângulo de torção: mm 1 τ máx,5 918,9 05,75 θ TL GJ θ 0,0 rad. (ou:,7º) 1 918,9 500 x10 x 05,75 N Exercícios do item 5.5: 1) Determine as reações nos engastes indeformáveis. O eixo é prismático e tem seção transversal circular. M 0 T TB T O Problema é uma vez hiperestático. Precisamos de mais uma equação que virá da compatibilidade dos deslocamentos. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo θ B : θ TL GJ B T.a GJ

43 Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo θ B : B θ T B G J.L Compatibilidade dos deslocamentos: θ B θ B T B G J.L T.a G J T.a T B L Da equação de equilíbrio: T.a L T T TB T T L L T T. b T ( L a) T L L T. a L Exercício ) Calcule as reações nos engastes indeformáveis do eixo abaixo. Superposição dos efeitos:

44 x, x 0, T 857,1 N.m TB,8,8 1,9 N.m.000 x 1,8.000 x 1,0 T 1.85,7 N.m TB,8,8 71, N.m.000 x 1,0.000 x 1,8 T 1.071, N.m TB,8,8 1.98, N.m T 857,1 185, , T B 1,9 71, 198,, N.m N.m

45 Exercício ) Calcule a tensão de cisalhamento máxima que ocorre no eixo abaixo. Os engastes e B são indeformáveis. Dados: G 1 G ; D 100 mm; d 50 mm; Τ,0 x 10 7 N.mm M 0 T TB T Retirando-se o apoio B, tem-se: θ B TL GJ T.000 GJ D Colocando-se o apoio B: θ B T B GJ.L T B.000 GJ D T B.000 GJ d Compatibilidade dos deslocamentos: θ B θ B T. 000 G J D T B.000 GJ D T B.000 GJ d Cálculo de J e J : D d

46 π (100) J D 9,8 x 10 mm ( ) 9,0 x 10 mm π J d T.000 9,8 x10 T B.000 9,8 x10 TB.000 9,0 x10 0,7 T 59,75 T T 15,8x 10 N. mm B B T T TB T, x10 N.mm Cálculo de τ máx : τ T.r J,x10 x 50 τ máx1 15, N/mm 9,8 x10 15,8x10 x 50 τ máx 8,59 N/mm 9,0 x10 Resposta: τ máx 15, MPa Exercício do item 5.: Calcule a tensão de cisalhamento média da barra com seção vazada de parede fina com espessura t constante.

47 T τ méd Onde: é a área limitada pela linha do esqueleto t τ méd x.0 x τ méd 10,1 N / mm Exercício do item 5.10: Calcule a tensão de cisalhamento máxima da barra abaixo. Dado: Τ N.mm τ máx i i T. t 0, máx ( a t ) i a t 0x 0 x 0 x i 10.0 mm τ máx x 0, x ,0 N / mm

48 Diagramas de esforços internos (Momento fletor e força cortante)

49

50 M(x) V(x) qx. qx x qx (se o sistema de referência for colocado na extremidade livre) M(x) V B.x M B qx ql ql.x qx (Se o sistema de referência colocado no engaste) V(x) VB qx ql qx

51 V P.b L V B P.a L M máx V.a Pba Ou: L M máx VB. b P a b L V M M L V B M L M M V.a a M VB.b b L L 1 M M M 1 M a b (a b) M L L L M

52 V M L V B M L V VB q.l M máx q.l 8

53 M máx V.L 1 P. L

54

55 x M(x) V.x q ( 0 x L1) M(L L1 1) V.L1 q P. L

56

57 ql V ql V B M 0,0qL máx M(x) qx V x L origem no apoio ) ql qx x ( 0 x L) L (se o eixo x tiver M(x) V qx x B qx L eixo x tiver origem no apoio B) ql qx qx x ( 0 x L) L (se o

58 Exercícios do item.: 1) Calcule a tensão normal e a tensão cisalhante nos pontos I, J e K. Esforços internos na seção transversal que contém os três pontos: M N.m e V N I Z 0,08 x 0,0 1 Cálculo da tensão normal (): 1,8 x10 m M. y I Z x ( 0,15) I 1,5 x10 N / m 1,8 x10 I 1,5 MPa x (0) 1,8 x10 J J 0 K x (0,15) K 1,5 x10 N / m 1,8 x10 1,5 MPa

59 Cálculo da tensão cisalhante (τ): τ V. Q b. I Z τ x 0 0,08 x 1,8x10 I x 0,08 x 0,15 x 0,075 5 τj,15 x10 N / m 0,08 x 1,8 x10 0,15 MPa τ x 0 0,08 x 1,8x10 K 0 ) Uma viga em balanço tem largura b constante em todo o comprimento igual a 10 cm e altura variável, como mostra a figura abaixo. Calcule máx t, máx c e τmáx no meio da viga e no engaste. Dado: P N

60 No meio da viga tem-se os seguintes esforços internos (ou esforços solicitantes): M (N) x,5 (m) N.m V N I Z 0,10 x 0,15 1,815 x x( 0,075) 00 x 10 N / m 5,815 x 10 máx t m 00 MPa máx c x(0,075) 00 x 10 N / m 5,815 x MPa τ x(0,10x 0,075 x0,075) x 10 N / m 5 0,10 x,815 x 10 máx MPa No engaste da viga tem-se os esforços internos: M (N) x 5,0 (m) N.m V N I Z 0,10 x 0,5 1 1,01x x( 0,15) 1 x 10 N / m 1,01x 10 máx t m 1 MPa máx t x(0,15) 1 x 10 N / m 1,01x 10 1 MPa τ x(0,10x 0,15 x0,05) 1,8 x 10 N / m 0,10 x 1,01x 10 máx 1,8 MPa

61 ) Para a viga abaixo calcule as tensões normais extremas ( máx T e máx C ) e a maior tensão cisalhante. Y 0 V VB N M x 1, x,7 VB x,9 0 V B 1.07,9 N MB 0 V x, x, x 1, 0 V 1.9,1 N I Z 0,18 x 0, 1,998 x , x 0,18, x10 N / m,998x10 máx t m, MPa

62 máx c 1.89, x ( 0,18), x10 N / m,998x10, MPa τ 1.07,9 x 0,18x0,18 x0, , N / m 0,18 x,998x10 máx 0, MPa ) viga abaixo está solicitada por três forças atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tensões normais extremas ( máx T e máx C ) e a maior tensão cisalhante.

63 Y 0 V VB N M x,0.500x,0 VB x,0.000x 9 0 V B N M B 0 x V.000 x,0.500x,0.000x,0 0 V.500 N Cálculo do momento de inércia I Z : I Z b. h 1 0,10 x 0,0 1,5 x10 Cálculo das tensões normais extremas: M.y I Z x 0,15,5 x10,0 x10 m N / m,0 MPa,0 MPa máx T Cálculo de τ máx : τ V.Q b I Z máx C τ máx.000 x (0,10x 0,15 x 0,075) 0,10 x,5 10,0x 10 5 N / m 5) viga abaixo está solicitada por três forças atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tensões normais extremas ( máx T e máx C ) e a maior tensão cisalhante.

64 Cálculo das coordenas do centróide: _ z 0 _ y _ y _ y 0,15 x0,0 x 0,15 0,15x 0,0 0,55 x 0,10 x 0,5 0,55 x 0,10 0, m Cálculo de I Z : 0,55 x 0,10 I Z 0,55x 0,10 x (0,1 0,05) 1 0,15 x 0,0 1 0,15x 0,0 x (0, 0,15) 1,7 x 10 m

65 e x.( 0,1) 1,7 x ,5 N / m f x.(0,) 1,7 x , N / m g.000 x.( 0,1) 1,7 x ,0 N / m h.000 x.(0,) 1,7 x ,1 N / m 1,70 MPa 1,1 MPa máx T máx C Cálculo de τ máx : τ máx.000 x0,15 x 0, x 0,1 0,15 x 1,7 x ,8 N / m ) viga abaixo está solicitada pela força P atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tensões normais extremas ( máx T e máx C ) e a maior tensão cisalhante. Cálculo das coordenadas do centróide:

66 z _ 0 0 x100 x 50 x 0 x0 x y _ 0 x 100x 0 x ,7 mm I Z 0 x 100 0x 100 x (8,7 50) x 1 0 x 0 1 0x 0 x (7,7 10) 11,8 x 10 mm Cálculo das tensões normais extremas: máx t x 8,7 11,8 x 10 7,9 N / mm máx c x( 7,7) 11,8 x 10 1,1 N / mm Cálculo de τ máx : τ máx x(8,7 x 0 x 1,5 x ) 0 x11,8 x10 7,5 N / mm

67 Convenção de sinais para os momentos fletores M z e My : Exercícios item.7: 1) Uma viga em balanço com,0 m de comprimento está solicitada por duas forças: 1 (vertical) e (horizontal). Calcule na seção transversal do engaste as tensões normais extremas e o ângulo (φ) que a L. N. forma com o eixo z. Dados: N; N

68 Momentos fletores na seção transversal do engaste M y e M z : M y x x N.m Mz x 1 x N.m M y é negativo porque comprime o sentido positivo do eixo z. M z é negativo porque comprime o sentido positivo do eixo y (comprime em baixo). linha neutra do momento fletor M y coincide com o vetor momento porque o eixo y é um eixo principal de inércia (Ι ZY 0). linha neutra do momento fletor M z coincide com o vetor momento porque o eixo z é um eixo principal de inércia (Ι ZY 0). Iz 0,0x 0,0 1 Iz,5x10 m Iy 0,0x 0,0 1 Iy,0 x10 m

69 Cálculo da tensão normal na seção transversal do engaste: Mz.y Iz M y.z Iy y,5x z,0 x10 a b ( 0,15) ( 0,10),5x10,0 x (0,15) (0,10),5x10,0 x10 7 x 10 7 x 10 N / m N / m Na linha neutra y,5x z,0 x10 Para z 0 y 0, portanto, a linha neutra passa pelo centróide. Para z 0,10 m y 0,05 m

70 0,05 tg φ φ arctg (,05) 0,10 o 7,1 ) Sendo dados P N e θ 7º calcule na seção transversal do engaste: a) as tensões normais extremas; b) o ângulo (φ) que a linha neutra forma com o eixo z. Decompondo-se o vetor momento nas direções principais de inércia: o M z Mcos 18 Mz 7.81N.m

71 o M y Msen 18 My 1.11 N.m Outra forma de calcularem-se os momentos fletores M z e My : decompondo-se a força P No engaste têm-se os seguintes momentos fletores: o M z Py, sen 7,0 Mz 7.81N.m o M y Pz, cos 7,0 My 1.11 N.m x Mz.y Iz M y.z I y

72 x 7.81y 0, 0, z 0,5 0, 1 x 17,89 x 10 y, x10 z a) a x 17,89 x 10 ( 0,5), x10 (0,10) 8,11 x 10 N / m b x 17,89 x 10 (0,5), x10 ( 0,10) 8,11 x 10 N / m b) Na linha neutra ,89 x 10 y, x10 z Para z 0 y 0 Para z 0,1m y 0,0 m 0,0 o tg φ φ arc tg (,0) φ,8 0,1 Na flexão oblíqua a linha neutra não coincide com o vetor momento, portanto, a L.N. é obliqua ao plano que contém o carregamento e o centróide.

73 Exercício sobre flexão de viga constituída de dois materiais (item.8): viga abaixo é composta por madeira (150 mm x 50 mm) e por uma lâmina de aço (150 mm x 10 mm). Calcule as tensões normais máximas no aço e na madeira. Dados: Ε s 05 GPa; Ε M 10,5 GPa n E E s m 05 10,5 0 Cálculo das coordenadas do centróide colocando-se o sistema de referência na face superior: y _ 18,78 mm Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo z do centróide:

74 I z (18,78 15) (77, 5) I 77,x 10 z mm Cálculo do momento fletor máximo: M P L x máx 5 x10 Cálculo das tensões normais máximas: N.mm M I z.y M 5 10 ( 18,78) 77, 10 9,58 N / mm S 5 10 (77,) 77, ,90 N / mm Exercício sobre flexão de viga de concreto armado (item.9): Calcule a tensão normal máxima no concreto e nas barras de aço da viga abaixo. armadura é constituída de duas barras de aço com diâmetro Φ 0 mm. Dados: Ε s 05 GPa; Ε C 1,7 GPa n E E 05 1,7 s c 15 S M máx πr q L 8 π( x 8 8 ) Nm 1,17 x10 m

75 Seção equivalente (seção homogeneizada): Cálculo da coordenada _ y do centróide: _ n s bd y 1 1 b ns _ 15 1,17 x10 y 0,5 0,5 0, ,17 x10 1 de onde: y _ 0,19 m Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo z: I b y 1 s n (d y ) I 0,5 (0,19) ,17 x 10 (0,50 0,19),55 x10 m Cálculo da tensão normal no concreto e nas barras de aço: M.y I z C ( 0,19),55 10,01 MPa (0,81) S ,71 MPa,55 10

76 Exercícios sobre flexão composta (item 7.1): 1) Para a estrutura abaixo calcule as tensões normais extremas e a posição da linha neutra. Dado: N Reduzindo a força ao centróide tem-se: M Z (N) x 100 (mm) 1,0 x 10 7 N.mm Mz I z x 00 1,5 y M I y y z 7 1,0 x10 y 00 x00 1 9,75 x10 y

77 Cálculo das tensões normais extremas: máx T 1,5 9,75 x 10 ( 00) 0,5 N / mm máx C 1,5 9,75 x 10 (00),15 N / mm Equação da linha neutra: 0 0 y 1,5 1,5 9,75 x10 9,75 x10 y 1, mm Exercício ) Calcule a tensão normal nos pontos f e g e a posição da linha neutra no engaste. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima. Seção transversal do engaste: M z 000 x, x,5.00 N.m

78 Mz I z y ,5x 0,5 1, x10 00 y 0,5 x0,5 1 9,0 x10 y Cálculo das tensões normais: f 1, x10 9,0 x10 ( 0,5) g 1, x 10 9,0 x10 1,0 MPa ( 0,5), MPa Equação da linha neutra: 0 0 y 1, x10 1, x10 9,0 x10 9,0 x10 y 0,1 m Cálculo de τ máx : τ V Q b I Z τ máx x 0,5 x0,5 x 0,15 0,5 x,0 x N / m Exercício ) Um pilar está solicitado por uma força de compressão N. Calcule: a) as tensões normais extremas; b) o ângulo (φ) que a linha neutra forma com o eixo z. Dados: a 0 mm; b 0 mm

79 Reduzindo a força ao centróide, tem-se: a 0 tan θ θ arc tan (1,) θ b 0 M 5.000(N) x 50(mm) 1,5 x10 N.mm o 5,1 O vetor momento M deve ser decomposto nas direções principais de inércia (direções z e y). M z Mcos(,87 ) o 1,0 x10 N.mm M y Msen (,87 ) o N.mm

80 Outra forma de calcularem-se M e M : z y M P.a 5.000(N) x 0 (mm) z M y P. b 5.000(N) x 0 (mm) 1,0 x N.mm N.mm O momento fletor Mz é positivo (traciona o sentido positivo do eixo y) O momento fletor My é positivo (traciona o sentido positivo do eixo z) M I z z y M I y y z x 00 1x10 y 10 x z 00x10 1 1,0 1,5x10 y, x10 z a) f 1,0 1,5x10 ( 100), x10 ( 0) f,85 N/mm,85 MPa g 1,0 1,5 x10 (100), x10 (0) g 1,77 N/mm 1,77 MPa b) Linha neutra: 0

81 0 1,0 1,5x10 y, x10 z Para y 0: 1,0, x10 z z 0mm Para z 0: 1,0 1,5 x10 y y 8, mm 8,(mm) tan φ,08 φ 0(mm) o, Exercício ) Um pilar, de seção transversal circular, está solicitado por uma força de compressão N. Calcule: a) as tensões normais extremas; b) a posição da linha neutra. Dados: a 80 mm; b 0 mm M (N) x 100 (mm),0x 10 7 N.mm Existem infinitos eixos de simetria passando pelo centróide de uma área circular. Todos estes eixos são eixos principais de inércia. Desta forma o eixo z pode ser girado até encontrar a direção do vetor momento M.

82 Mz' y' I força é negativa (compressão) e o momento fletor M z é negativo (porque comprime o sentido positivo do eixo y ' ). z' π 150,8,0 x10 7 π(00) 5,0 x 10 y' y' a) f,8 5,0 x 10 ( 150),71N / mm g,8 5,0 x 10 (150) 10, N / mm b) 0,8 5,0 x 10 y' y' 5, mm

83 Exercícios sobre núcleo central (item 7.): 1) Calcule a área de um pilar, com seção transversal circular, na qual uma força de compressão (tração) pode atuar e não ocorre tensão normal de tração (compressão). n Área do núcleo central: t Área total do pilar: n π R π 5 t π R π 100 n 19,5 0,05 n,5% da 1.15,9 t 19,5 mm 1.15,9 mm área total ) Calcule a área de um pilar, com seção transversal retangular, na qual uma força de compressão (tração) pode atuar e não ocorre tensão normal de tração (compressão). n Área do núcleo central: t Área total do pilar: 50 x100 n x mm 150 x mm n ,055 n 5,5 % da t t área total

84 Exercícios do item 8.: 1) Sendo Ε Ι constante, determine: a) a equação da tangente à linha elástica; b) a equação da linha elástica; c) a deflexão do ponto ; d) a deflexão do ponto d. 1ª solução: Colocando-se o sistema de referência no ponto : E Iv (x) M(x) E Iv (x) M(x) P.x (0 x L) P.x P x E Iv (x) C1 Os engastes impedem rotações, então: v (L) 0 P L PL E Iv (L) C1 0 C1 P x PL a) E Iv (x) Integrando a equação acima tem-se a expressão de v(x): P x PL x E Iv(x) C Os engastes impedem deslocamentos, então: v (L) 0 E Iv(L) b) P L E Iv(x) PL L C 0 P x PL x PL C PL PL PL

85 c) d) E Iv(0) v(0) v P0 PL 0 PL EI ( L ) PL P PL (L E Iv(L ) PL PL PL EIv(L / ) 8 5 PL v(l / ) vd 8EI ) PL (1 1 1) PL 8 ª solução: Colocando-se o sistema de referência no engaste: Reações de apoio : M B PL e VB P M(x) M B V B x PL P.x (0 x L) E Iv (x) M(x) E Iv (x) PL P.x P x E Iv (x) PL x C Os engastes impedem rotações, então: v (0) 0 P 0 E Iv (0) PL0 C1 0 C1 a) E Iv (x) PL x P x Integrando a equação acima tem-se a expressão de v(x): PLx Px E Iv(x) C Os engastes impedem deslocamentos, então: v (0) 0 E Iv(0) 0 0 C 0 C 1 0 0

86 c) b) E Iv(x) E Iv(L) v(l) v PLx PLL PL EI Px PL 1 ( )PL d) E Iv(L ) v(l/ ) P L v ( L ) P(L / ) PL PL 1 d 5PL 8EI 8 8 ( 8 )PL ) Sendo Ε Ι constante, determine: a) a equação da tangente à linha elástica; b) a equação da linha elástica; c) a deflexão do ponto ; d) a deflexão do ponto d. M(x) qx (0 x L) E Iv (x) qx E Iv (x) qx C1 Os engastes impedem rotações, então: v (L) 0 q L ql E Iv (L) C1 0 C1 q x ql a) E Iv (x) Integrando a equação acima tem-se a expressão de v(x): q x ql x E Iv(x) C

87 Os engastes impedem deslocamentos, então: v (L) 0 E Iv(L) q L ql L C 0 C ql ql ql 8 b) E Iv(x) q x ql x ql 8 c) E Iv(0) q 0 ql 0 ql 8 v(0) v ql 8EI d) E Iv(L/) q (L/) ql (L/) ql 8 EIv(L /) ql ql v(l/) v ql 8 1 ql 19EI d (1 108 ) ql 19 17qL EI ) Sendo Ε Ι constante, determine: a) a equação da tangente à linha elástica; b) a equação da linha elástica; c) a deflexão máxima; d) a rotação nos apoios. M(x) V x qx ql qx x (0 x E Iv (x) ql qx x E Iv (x) ql qx x C1 E Iv(x) ql qx x C1 x C 1 L) Condições de contorno (ou condições de extremidades):

88 v (0) 0 e v (L) 0 ql q0 E Iv(0) 0 C1 0 C 0 C 1 ql ql E Iv(L) L C1 L 0 1 ql ql ql C1 L C 1 1 ql qx ql a) E Iv (x) x ql qx ql b) E Iv(x) x x 1 c) deflexão máxima ocorre no meio da viga: 0 E Iv(L / ) E Iv(L / ) ql (L/ ) 1 ql 9 vmáx v(l/ ) ql 8 q(l/ ) 5 ql 8EI ql 8 ql (L/ ) ( 1 8) ql 8 Observação: Para vigas bi-apoiadas a deflexão máxima ocorre onde v (x) E Iv (x) De onde: 0 ql L x x qx L 0 ql x 0 x L x L 0 equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são: X 1 1,L X 0,5L X 0,L d) Rotação nos apoios: v (x) θ(x) E Iv E Iv (0) (L) ql 0 ql L q0 ql ql ql v (0) θ v (L) θ B ql EI ql E I

89 ) Sendo Ε Ι constante, determine: a) a equação da tangente à linha elástica; b) a equação da linha elástica; c) a deflexão no meio do vão; d) a deflexão máxima; M(x) ql L ql M 0 V L 0 V B ql L ql M 0 VBL 0 V B qx ql qx V x x (0 x L) L L ql qx E Iv (x) x L ql qx E Iv (x) x C1 1 L ql qx E Iv(x) x C1 x 10L 5 C Condições de contorno (ou condições de extremidades): v (0) 0 e v (L) 0

90 a) 5 ql q0 E Iv(0) 0 C1 0 C C 10L ql ql E Iv(L) L C1 10L ql ql C1 L C 1 10 E Iv (x) ql 1 x 5 qx L 7qL 0 L 0 7qL 0 ql qx 7qL b) E Iv(x) x x 10L 0 ql q(l / ) 7qL c) E Iv(L / ) (L / ) (L/ ) 10L 0 v(l / ) 5 5qL 78 EI d) deflexão máxima ocorre onde v (x) 0 E Iv (x) ql 1 x qx L 7qL Multiplicando a expressão acima por 0L, tem-se: 0 0L x 15x 7L 0 Chamando de : a x 0L a 15 a 7L 0 s raízes da equação do segundo grau acima são: a 1,7L a 1 x 0,7L a x1 ± 1,7L ± 1, L x ± 0,7L ± 0,5 L Portanto, a deflexão máxima vai ocorrer na coordenada x 0,5L: 5 ql q(0,5l) 7qL E Iv(0,5L) (0,5L) (0,5L) 10L 0 v(0,5l) v máx 0,005qL EI

91 5) Calcule a deflexão (flecha) máxima da viga abaixo. E I constante. Dados: Ε 10 GPa; q N/m I b h 1 0,0 (0,5) 1 I,08 x10 m v máx 0,005qL EI v máx 0,005 x x (5) 9 10 x10 x,08 x10 1, x 10 m

92 ) Sendo Ε Ι constante, determine: a) a equação da tangente à linha elástica; b) a equação da linha elástica; c) a deflexão máxima; d) a deflexão do ponto de aplicação da força P. Trecho 1: M(x) 0 (0 x L / ) E Iv (x) 0 E Iv (x) C1 E Iv(x) C1x C Trecho : M(x) Px (0 x L / ) E Iv (x) P x Px E Iv (x) C Px E Iv(x) Cx C Condições de contorno: Para x L/ do trecho : v (L/) 0 e v(l/) 0 P(L / ) E Iv (L / ) C 0 P(L / ) PL E Iv(L / ) (L/ ) C 8 C 0 PL 8 PL PL C C 8 1 PL ª condição de contorno: Em função da continuidade da linha elástica: E Iv (L / ) E Iv (0) Trecho 1 Trecho

93 P0 C1 C C1 ª condição de contorno: E Iv(L / ) E Iv(0) Trecho 1 Trecho PL 8 P(0) 1(L/ ) C C(0) C C PL PL (L / ) C 8 PL PL 5PL C 1 8 a) Trecho 1: E Iv (x) PL 8 Trecho : E Iv (x) Px PL 8 b) Trecho 1: E Iv(x) PL 5PL x 8 8 Trecho : E Iv(x) Px PL x 8 c) E Iv(0) PL 5PL PL vmáx 8E I PL d) Para calcular a deflexão do ponto de aplicação da força P pode-se usar a equação de v(x) para x L/ do trecho 1 ou a equação de v(x) do trecho para x 0: E Iv(0) v(0) P0 PL EI PL 8 0 PL 7) Determine a deflexão do ponto. E I constante. M(x) Px qx (0 x L)

94 E Iv(x) P x PL x PL q x ql x ql 8 E Iv(0) P 0 PL 0 PL q 0 ql 0 ql 8 v(0) v PL EI ql 8 E I É válido o princípio da superposição dos efeitos para o cálculo de flechas. 8) Determine a deflexão no meio da viga. E I constante. P Trecho 1: M(x) x (0 x L / ) P E Iv (x) x P E Iv (x) x C1 P E Iv(x) x C1x C 1 Condições de contorno: Para x L/: v (L/) 0 P E Iv (L / ) (L / ) C1 Para x 0: v(0) 0 P PL E Iv(0) 0 0 C 0 C 1 1 P PL Então: E Iv(x) x x 1 1 Cálculo da deflexão no meio do vão: P PL E Iv(L / ) (L/ ) (L / ) 1 1 PL v(l / ) 8EI 0 PL 9 C 0 1 PL 1 ( 0 x PL L / ) ( 1 ) PL 9 9) Sabendo que a deflexão máxima da viga abaixo é igual a 0, cm calcule o valor do módulo de elasticidade da viga abaixo. E I constante.

95 v máx PL 8E I I z 0,00 0,15 0, (,),75x10 8 E,75x10 m E ou: 70,1 x 10 E 9 70,1 N / m GPa 10) Calcule a deflexão (flecha) máxima da viga abaixo devida ao peso próprio. viga é de aço e tem seção transversal em forma I. Dados: γ s 77 kn/m ; Ι z,1x10 5 m ; Ε s 05 GPa; E I constante. carga q (N/m) é obtida multiplicando-se o peso específico pela área da seção transversal: x100x x mm

96 Ou: q γ..000 ( (N / m )m ) x,0x10,0 x10 (m ) m 1 N / m v máx 5qL 8EI 5x 1x 9 8 x 05 x10 9 x,1 x10 5,1x10 m 11) Sendo E I constante determine a deflexão máxima e a rotação nos apoios. M(x) M V x x L M E Iv (x) x L E Iv (x) M x C1 L E Iv(x) Mx C1x C L Condições de contorno: v(0) 0 e v(l) 0: E Iv(0) M0 C10 C 0 C L E Iv(L) ML ML C1L 0 C1 L Então: E Iv (x) M x ML L E Iv(x) Mx ML x L 0 deflexão máxima ocorre onde v (x) 0 M x ML E Iv (x) 0 L x L L x L x L ± 0,58L M(0,58L) ML E Iv(0,58L) (0,58L) L v(0,58l) v máx 0,0ML EI 0,0ML

97 Rotação nos apoios: E Iv (0) M0 L ML v (0) ML EI E Iv (L) ML L ML v (L) ML EI 1) Sabendo que a deflexão do ponto d é igual a 11 mm calcule o módulo de elasticidade da viga. E I constante. E Iv(x) P x 1 Para x,0 m, tem-se: E Iv(,0) I P 1 0,0x 0,0 1 E 1,07x10 PL 1 (,0) x P(,0) 1 1,07 x10 0,011, (0 x L / ) (,0) m,8p E 5,55 x10 9 N / m 5,55 GPa

98 Exercícios do item 8.: 1) Construa os diagramas de esforços internos (momento fletor e força cortante) da viga abaixo. Ε Ι constante. Y 0 V VB q L 0 L M 0 q L VB L M B 0 Vamos retirar o apoio (a viga fica isostática) e determinar o deslocamento que este apoio está impedindo: Colocando-se o apoio Compatibilidade dos deslocamentos: V L ql V EI 8EI ql 8 s outras duas reações são obtidas com as equações de equilíbrio: ql VB q L V q L VB 8 M B M B ql 5qL L 8 ql 8 5q L 8

99 Com o sistema de referência com origem no apoio, tem-se: M(x) V x qx e V(x) V q x (0 x L) O momento fletor máximo positivo ocorre onde V(x) 0: V V q x 0 x q ql 8 q x L 8 ql q(l 8) Mmáx M(L 8) (L 8) 8 9qL 18 ) Determine a força () de tração na mola. Ε Ι constante. Retirando-se a mola da viga:

100 mola aplica uma força na viga em sentido contrário da força P: Compatibilidade dos deslocamentos: L EI δ M PL EI Lei de Hooke para molas: k δ M Multiplicando a expressão acima por De onde: EI L PL k nálise de casos extremos: Se: E I 0 Se: EI 0 P Se: k P Se: k 0 0 L EI EI : PL EI L k k PL EI EI L PL k

101 Exercícios sobre flambagem: 1) Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados: Ε BC 10 GPa; L BC,0 m. Cálculo da carga crítica do pilar BC: P CR π EI ( L ) fl min 50 x 0 I min mm L fl K L 1,0 x mm P π 10 x 10 x CR ( 000) 8.7,5 N

102 força de compressão que atua no pilar BC é maior do que a carga crítica ( P CR ) do pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC. ) Resolva o problema anterior considerando que o pilar BC está engastado no ponto C. Cálculo da carga crítica do pilar BC: P CR π EI ( L ) fl min L fl K L 0,7 x mm P π 10 x 10 x CR ( 800) 1.99,9 N BC < P CR, neste caso não vai ocorrer flambagem do pilar. ) Calcule o valor crítico da força P. s duas barras têm seção transversal circular com diâmetro φ 15mm e módulo de elasticidade Ε 05 GPa.

103 0,5 cos θ θ arc cos(0,5) θ 0,9 Y 0 P sen θ 0 o 0 P sen cos θ 0 1 X 1 ( 1,155P) cos0 o 0,5775 P Cálculo da carga crítica da barra : o cosθ 1,155 P P CR π EI ( L ) fl min I min π D π(0,015),85 x10 9 m L fl K L 1,0 x 0,9 0,9 m P 9 9 π 05 x10 x,85 x10 CR ( 0,9) N Para que ocorra flambagem da barra : P cr, então: 1,155 P P 9.1,9 N ) treliça abaixo é formada por quatro barras de aço com seção transversal circular. Todas as barras têm o mesmo diâmetro φ 0 mm e módulo de elasticidade Ε 05 GPa. Calcule: a) a tensão normal na barra CD; b) o alongamento da barra C; c) investigue se a barra B irá flambar.

104 M B 0 H D x1, 100x 5, 0 H D 800 N X 0 H B H D 0 H B 800 N Diagrama de corpo livre do nó : 1, tan θ θ arc tan (0,5),8 o,57 Y 0 senθ C C 8,8 N X 0 C cosθ B 0 B C cosθ B 8,8 cos (,57 o ) 00 N

105 Diagrama de corpo livre do nó B: X 0 B BC cosθ H B 0 BC cosθ B H B cos BC θ ( 00) cos(,57).8, N Y 0 V B BC senθ 0 VB ( 8,) sen(,57 ) 100 N o Portanto, V D 0. a) CD CD CD 800 π 15 CD,79 N / mm C LC 8,8x,1 5 b) LC 5,79x10 m 9 E 05 x10 π(0,015) C C c) Cálculo da força crítica da barra B: π D π(0) I min 970,8 L fl K L 1,0 x mm mm P π Ε Imin π 05 x10 x970,8 CR Lfl ( 500).55, N B.00 N < P CR.55, N, portanto, a barra B não irá flambar.

106 Exercícios resolvidos do nexo Exercício 1) Determine as coordenadas do centróide de uma área retangular. _ y y.d h b y.dy dz 0 0 b.h 1 y b. h 1 b. h. [ z].. b h 0 b 0 h de onde: y _ h _ z z.d h b dy z.dz 0 0 b.h 1 b. h [ y] de onde: z _ b b h 0 z. 0 1 h b.h O Sistema de referência pode ter origem em qualquer ponto do plano da área. b Para o sistema de referência acima: z _ xx mm

107 y.d y _ 0 y 0 _ então: y. d 0 Q Z y. d 0 O eixo z passa pelo centróide da área, portanto, o momento estático de uma área finita em relação a qualquer eixo que passa pelo centróide é nulo. ) Calcule o momento estático da área hachurada em relação ao eixo horizontal do centróide. Q Q Z Z y. d y.dy. dz 1 0 y z [( 10) ( 00) ] [ 0 ( 0) ] [ ] 10 Q Z mm Outra forma de calcular-se o momento estático: _ y y.d _ y Q Z Q Z _ y Q Z ( 180) mm Outra forma de calcular-se o momento estático: através da área abaixo

108 Z _ Q y mm ) Calcule o momento estático da área hachurada em relação ao eixo horizontal do centróide. Z _ Q y mm Demonstração do teorema dos eixos paralelos I I Z Z. a I I Y I I I Z Z Z Y. b (y ) d (y a) d [(y ) y a a ] (y ) d a y d a d O momento estático de uma área em relação a um eixo que passa pelo seu centróide é nulo, então: y d 0 d

109 Z Z a. I I ) Para a área abaixo, determine: a) o momento de inércia I Z b) o momento de inércia I Y a) b b h h Z dz dy y d y I h h Z y I b b z b b 8 h 8 h 1 1 bh I b 8 h 8 h 1 I Z Z b) b b h h Y dz z dy d z I h h I Y y b b z 1 b h 5) Determine o momento de inércia de uma área circular vazada em relação ao eixo Z.

110 Z d y I onde: dr rd d θ θ θ sen r y r y sen θ θ dr rd ) (rsen I Z π θ r e r i 0 d sen dr r ( ) π θ θ θ 0 r e ri Z cos sen 1 r I ( ) ( ) [ ] sen0 cos 0) (0 cos sen 1 r r I i e Z π π π ( ) ( ) r r I 1 r r I i e Z i e Z π π Ou colocando em função dos diâmetros externo e interno: π i e Z D D I π 1 D 1 D i e [ ] i e Z D D I π Particularizando para seção cheia (D i 0): D I e Z π Observações: 1ª) Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centróide de uma área circular. Portanto, todos os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo centróide são iguais.

111 ª ) Não confundir momento de inércia (I) com momento de inércia à torção (J ) I J é usado na flexão é usado na torção J I Z π D IY (para seção circular cheia) r z y r d J I Y I Z (z y )d z d π D π D π D y d ) Calcule o momento de inércia de uma área em forma de T em relação ao eixo horizontal (Z) do centróide.

112 Cálculo das coordenadas do centróide: z _ 0 _ y _ 1 _ yd 1 y1 y 0,0x0,50x0,5 0,80x0,10x0,55 0,50x0,0 0,80x0, 10 0,09 y _ 0,18 0,8 m Se o sistema de referência auxiliar for colocado na face superior, tem-se: _ y 0,80x0,10x0,05 0,0x0,50x0,5 0,50x0,0 0,80x0,10 0,09 0,18 0,17 m

113 Transladando-se o sistema de referência para o centróide da figura, tem-se: Cálculo de I Z usando-se o teorema dos eixos paralelos: I I Z Z. a 0,8 x 0,1 0, x0,5 Z 0,8x0,1x(0,17) 0,x0,5 x(0,1) I 1 1 I Z,15 x10 m 7) Para a área do exercício anterior calcule o momento de inércia em relação ao eixo y ( I Y ). I Y 0,10x 0,80 1 0,50 x 0,0 1,x10 m

114 Exercícios sobre eixos principais de inércia: 1) Calcule os momentos de inércia centrais principais e as direções dos eixos principais de inércia. Cálculo das coordenadas do centróide: _ y n i 1 n i 1 i _ y i i y _ 1,7 7, 8,1 1,7 7,,5 1,7 7, ( 5,),5 mm 1,7 7, 1,7 7, 1,7 7,

115 n 1 i i n 1 i i _ i _ z z 7, 1,7 7, 1,7 7, 1,7 (95,5) 7, 1,7 50,8 7, 1,7,5 7, 1,7 z _ 50,8 mm 1 7, 1,7 I Z 1,75) 7,(, ,7 7, Z mm.900.1,7 I 7,(1,75) 1,7 1 7, 1,7 1 1,7 7, I Y,5) 7,(, , 1,7 Y mm.18.01,0 I 7,(,5) 1,7 1 1,7 7, 0 I Y Z ),5 ( 1,75) ( 7,,7 1 5, 1,75 7, 1,7 0 Y Z mm ,7 I

116 Cálculo de Ι 1, Ι, θ 1 e θ I Z IY IY I Z 1 I ZY I.1.51 mm IZ IY IY I Z IZY I ,5 mm I ZY tgθ 1 5,7º I I 1 Y θ IZY IY I tg 7,7º ) Calcule os momentos de inércia centrais principais e as direções dos eixos principais de inércia.

117 Cálculo das coordenadas do centróide: y _ 1,7 7, 8,1 1,7 7, 9,85 1,7 7, 8,1 8,8 mm 1,7 7, 1,7 7, 1,7 7, z _ 1,7 7,,5 1,7 7, 50,8 1,7 7, 95,5 50,8 mm 1,7 7, 1,7 7, 1,7 7, I Z 1,7 7, 1,7 7, (8,8 8,1) 1 7, 1,7 1 1,7 7, (7,5,5) I Z , mm I y 7, 1,7 1,7 7, (8,1,5) 1 1,7 7, 1 I y.5.59, mm

118 O produto de inércia Ι zy é igual a zero (a área possui um eixo de simetria), então os eixos Z e Y são os eixos principais de inércia. Ι y é o maior momento de inércia Ι 1 Ι z é o menor momento de inércia Ι ) Para a área abaixo calcule os momentos de inércia principais. 500 x x00 I Z 1 1 1,97 x10 10 mm 800 x x00 I Y 1 1 I 7,x10 9 mm Z Y 0 IZ e IY são os eixos principais de inércia I Z 1,97 x10 mm I 9 I Y 7,x10 mm I