Aula 17 Máximo e Mínimo Absolutos O maior e o menor valor de f(x, y), num certo domínio, nem sempre existem, como ilustrado na Figura 1 (domínio = R ). Neste caso, não existe máximo absoluto. Uma das causas, mas não a única, é o domínio da função não ser limitado. Figura 1 Figura Figura Na Figura, o domínio da função f(x, y) é limitado mas continua não existindo máximo absoluto (note que o valor aparentemente maior, assinalado com um círculo vermelho, não é um valor assumido pela função). Isto ocorre porque o domínio da função não é fechado, isto é, não contém todos os pontos da sua fronteira. Na Figura, o domínio da função f(x, y) é limitado e fechado, e existem mínimo absoluto, que ocorre no interior do domínio, e máximo absoluto, que ocorre na fronteira do domínio. O teorema a seguir dá condições gerais que garantem a existência do máximo e mínimo absolutos de uma função f num determinado domínio D. Teorema 1 (Weierstrass). Seja f uma função contínua num domínio D limitado e fechado. Então f tem máximo e mínimo absolutos em D. Como calcular o máximo e mínimo absolutos, caso existam? Em cálculo I, como calculávamos o máximo e mínimo absolutos de uma função contínua de uma variável f(x) no intervalo limitado e fechado I = [a, b], assumindo que f é diferenciaável em ]a, b[? 1
Pelo Teorema de Weierstrass, o máximo e mínimo absolutos de f em I existem. Existem possibilidades para os pontos onde estes valores ocorrem: (1) Ou eles ocorrem no interior de I, isto é, em ]a, b[, e necessariamente ocorrem em pontos críticos (por exemplo, se for ponto de máximo absoluto, então é ponto de máximo local e consequentemente ponto crítico). () Ou algum deles ocorre na fronteira de I, isto é, em {a, b}. Portanto, apenas temos de comparar os valores de f nos pontos críticos e nos pontos a e b: o máximo absoluto será o maior destes valores e o mínimo absoluto será o menor destes valores. Para funções de duas ou mais variáveis, acontece o mesmo, o máximo e mínimo absolutos podem ocorrer no interior de D ou na fronteira de D (assumindo que estamos nas condições de Weierstrass): Interior de D Candidatos 1: pontos críticos Fronteira de D Candidatos : duas maneiras: i) Redução de variável ou ii) Método de Multiplicador de Lagrange Assumindo que (f é diferenciável no interior de D e) existe um número finito de pontos críticos no interior de D, digamos (x 1, y 1 ),, (x n, y n ), estes serão os Candidatos 1 onde o máximo ou mínimo absolutos podem ocorrer. Ao contrário do que acontecia em cálculo I, a fronteira de D agora é um conjunto com infinitos pontos, então para tentar obter um número finito de Candidatos, temos que aplicar algum método. Admitindo que depois de aplicar algum método chegamos a um número finito de Candidatos, ( x 1, ȳ 1 ),, ( x n, ȳ n ), o máximo e mínimo absolutos de f em D são o maior e o menor valor, respectivamente de f(x 1, y 1 ),, f(x n, y n ), }{{} candidatos 1 f( x 1, ȳ 1 ),, f( x n, ȳ n ). }{{} candidatos Exemplo 1. Calcule, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de f(x, y) = x + y x no domínio x + y 1. D : x + y 1 Primeiro notamos que f é contínua (polinômio) e D é um domínio limitado e fechado. Logo, pelo Teorema Weierstrass, existem máximo e mínimo absolutos de f em D.
Interior de D: x + y < 1 Pontos críticos: f x = 0 { x 1 = 0 f y = 0 4y = 0 Note que, 0 interior D. Candidato 1: f Fronteira de D:, 0., 0 = 1 4. x + y = 1 Vamos achar os candidatos a máximo e mínimo absolutos de f na fronteira de duas maneiras distintas. Agora vamos fazer através de redução de variável. Vamos utilizar a equação da fronteira para reduzir o problema a uma variável. x + y = 1 y = 1 x (em geral teríamos de considerar os casos y = 1 x e y = 1 x, mas como neste caso f só depende de y, isto não é necessário). A restrição de f à fronteira é ou seja f(x) = x + (1 x ) x f(x) = x x +, no domínio 1 x 1 ou I = [ 1, 1]. Agora estamos com um problema de cálculo I. Interior de I: ] 1, 1[. Pontos críticos de f: f (x) = x 1 = 0 x = 1 f( 1 ) = 9 4.
4 Fronteira de I: { 1, 1}. f( 1) = f(1) = 0. Logo, o máximo absoluto de f em D é 9 4 (o maior valor entre os candidatos 1 4, 9 4,, 0). E o mínimo absoluto de f em D é 1 4. Note que o mínimo absoluto de f em D ocorre no interior de D, no ponto ( 1, 0). Já o máximo absoluto de f em D ocorre na fronteira de D. Em que pontos? x = 1 e y =? Como estamos na fronteira, x + y = 1 y = 1 x y = 4 y = ±. Ou seja, o máximo absoluto ocorre nos dois pontos da fronteira ( 1, ± ). (O valor de f nestes dois pontos é igual a 9 4.) De modo geral, resolver este tipo de problema na fronteira por redução de variável é mais complicado que este caso. Em geral, temos de separar a fronteira em vários pedaços. Além disso, se começássemos com uma função de variáveis f(x, y, z), o problema na fronteira seria reduzido a um problema de duas variáveis. Quando fossemos considerar o novo problema na fronteira, teríamos de fazer uma nova redução de variável. Vamos agora utilizar o Método de Multiplicadores de Lagrange que permite resolver o problema na fronteira de outra maneira (sem fazer redução do número de variáveis), independentemente do número de variáveis da função. Por exemplo, se f(x, y, z) é uma função de variáveis, no domínio limitado e fechado x + y + z 1, a fronteira deste domínio é a esfera x + y + z = 1. Mais geralmente, considere o seguinte problema de determinar o maior/menor valor da função f(x, y, z) restrita à superfície de nível de S : g(x, y, z) = k, onde f e g são funções diferenciáveis (assumindo que estes valores existem, por exemplo, pelo teorema de Weierstrass, se S é um domínio limitado e fechado): Maximizar: f(x, y, z) Restrição: g(x, y, z) = k (superfície de nível S) Quais são os candidatos a pontos de máximo (ou mínimo) de f em S? Note que f(x, y, z) aponta na direção de maior crescimento de f, no ponto (x, y, z). Ou seja, partindo de um ponto (x, y, z) de S, se seguirmos na direção de f(x, y, z), vamos para pontos onde f assume valores maiores. A questão é que não podemos sair de S! Se num ponto (x 1, y 1, z 1 ) S, o vetor f(x 1, y 1, z 1 ) não
5 for perpendicular a S, então o vetor f(x 1, y 1, z 1 ) se projeta num vetor não-nulo t tangente a S (veja a figura acima). Se andarmos dentro de S na direção de t, os valores de f também aumentam e portanto (x 1, y 1, z 1 ) não pode ser ponto de máximo de f em S. De fato, os candidatos (x, y, z) S a pontos de máximo (ou mínimo) de f em S deverão satisfazer D tf(x, y, z) = 0, vetor tangente t em S f(x, y, z) t = 0, vetor tangente t em S f(x, y, z) S. Como S é a superfície de nível k de g(x, y, z), o vetor g(x, y, z) é normal a S em qualquer ponto (x, y, z) S (se este vetor for não-nulo). Então f(x, y, z) S significa f(x, y, z) = λ g(x, y, z) para algum λ R (se g(x, y, z) 0). Então os candidatos a máximo ou mínimo de f em S deverão ser solução do sistema: Mét. Multiplicadores Lagrange: { f(x, y, z) = λ g(x, y, z) g(x, y, z) = k (se g(x, y, z) 0) Note que, no sistema acima, λ é uma incógnita, logo temos um sistema não-linear com 4 equações e 4 incógnitas. Se o sistema tiver um número finito de soluções, temos um número finito de candidatos! Obs.: Embora tenhamos ilustrado com uma função de variáveis, o Método de Multiplicadores de Lagrange aplica-se a funções de n variáveis. Exemplo. Vamos refazer o Exemplo 1, agora utilizando o Método de Multiplicadores de Lagrange. Interior de D: x + y < 1. Feito no Exemplo 1 (Pontos Críticos). f, 0 = 1 4. Fronteira de D: x + y = 1. Vamos utilizar o Método de Multiplicadores de Lagrange. Máximo/Mínimo: f(x, y) = x + y x Restrição: x + y = 1 }{{} g(x,y)
6 (Note que g(x, y) 0 na fronteira de D). { f(x, y) = λ g(x, y) g(x, y) = 1 Da segunda equação, temos: x 1 = λx 4y = λy x + y = 1 4y = λy y(λ ) y = 0 ou λ = Se y = 0, então: { x 1 = λx x = 1 Se λ =, então: { x 1 = 4x x + y = 1 x = ±1. f(1, 0) = 0 f( 1, 0) =. x = 1 y = 1 x y = ± ( f 1 ), ± = 9 4. 9 Logo, o máximo de f em D é e ocorre na fronteira de D, nos pontos ( 4 1 ), ±. O mínimo de f em D é 1 e ocorre no interior de D, no ponto 4 ( 1 ), 0. Na próxima aula continuaremos com mais exemplos de aplicação do Método de Multiplicadores de Lagrange Exercício 1) Determine os valores de máximo e mínimo da função f(x, y) = x 4 +y 4 no domínio x + y 1.