Ciência Florestal, Santa Maria, v. 19, n.,. 07-14, abr.-un., 009 07 ISSN 0103-9954 ALTERNATIVA DE MODELO LINEAR PARA ESTIMAÇÃO DA BIOMASSA VERDE DE Bambusa vulgaris SCHRAD. EX J.C. WENDL NA EXISTÊNCIA DE MULTICOLINEARIDADE LINEAR MODEL ALTERNATIVE TO ESTIMATE THE GREEN BIOMASS OF THE Bambusa vulgaris SCHRAD. EX J.C. WENDL.WITHIN THE APPEARANCE OF MULTICOLLINEARITY Adriano Victor Loes da Silva 1 Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira José Antonio Aleixo da Silva 3 German Hugo Guttierez Cesedes 4 RESUMO O obetivo deste trabalho foi utilizar um método estatístico multivariado como oção ara estimar a biomassa verde da haste rincial do bambu, Bambusa vulgaris Schrad. ex J. C. Wendl., na existência de multicolinearidade. Os dados foram rovenientes de um exerimento conduzido ela emresa Agroindustrial Excelsior S. A. (Agrimex) localizada no Engenho Itairema, municíio de Goiana, PE. Foram utilizadas 450 hastes de bambu, que tiveram sua biomassa verde quantificada or meio do eso e mensuração de quatro variáveis indeendentes. Inicialmente, comrovou-se a existência da multicolinearidade or meio da matriz de correlação das variáveis indeendentes e elo fator de inflação da variância e a oção utilizada foi à regressão linear com os comonentes rinciais que tem como base a matriz de covariância. O resultado indicou que ao existir uma interretação ara os comonentes rinciais o modelo aresenta um auste satisfatório aos dados, odendo ser utilizado ara estimar a biomassa verde da haste rincial do bambu. Palavras-chaves: bambu; comonentes rinciais; regressão or comonentes rinciais. ABSTRACT The obective of this work was to use a multivariate statistical method as an alternative to estimate the green biomass of the main bamboo rod, Bambusa vulgaris Schrad. i.e.: J.C. Wendl., in the resence of multicollinearity. The data came from an exeriment carried out for the Agroindustrial Excelsior S. A. (Agrimex) comany located in the city of Goiana PE. Quantified by their green biomass weight, 450 bamboo rods were used and 4 indeendent variables measured in the rod. Initially, the resence of the multicollinearity could be verified through the correlation matrix of the indeendent variables and the varience inflation factors, the alternative used was the regression of the rincial comonents based on the covariate matrix. The result indicates that, when there is an interretation to the main comonents, the model shows a satisfactory data adust, and it could be used to estimate the green biomass of the main bamboo rod. Keywords: bamboo; rincial comonents; regression by rincial comonents. INTRODUÇÃO O bambu é uma lanta de grande utilidade industrial, sendo imortante oção ara a rodução de biomassa, articularmente ara o Brasil, aís que intensamente utiliza essa esécie ara rodução de ael e energia (BRITTO et al., 1997). No Brasil, a esécie que aresenta maiores áreas de lantio é Bambusa vulgaris Schrad. ex J. C. Wendl.. A Região Nordeste tem a maior área lantada do mundo, com lantios distribuídos nos estados do Maranhão, da Paraíba e de Pernambuco. Bambusa vulgaris é, ortanto, uma lanta essencial ao desenvolvimento florestal do nordeste brasileiro, usada como matéria rima industrial ara a rodução e ael de fibra longa, que exibe maior resistência ara uso em embalagens. No entanto, aesar do seu alto otencial rodutivo, há oucas esquisas em silvicultura e maneo (BONILLA, 1991). Dentre os ossíveis estudos a serem desenvolvidos, destaca-se a necessidade de métodos estatísticos ara estimativa de rodução de biomassa, o que imlica nas decisões sobre esécies, variedades e clones 1. Estatístico, M.Sc., Professor Substituto, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Rua Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, CEP 5171-900, Recife (PE). v_adriano@hotmail.com. Engenheiro Florestal, Dr., Professor Associado, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Rua Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, CEP 5171-900, Recife (PE). rinaldo@dcfl.ufre.br 3. Engenheiro Agrônomo, PhD., Professor Associado, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Rua Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, CEP 5171-900, Recife (PE). aaleixo@uol.com.br 4. Engenheiro Florestal, M.Sc., Pesquisador da Emresa Agroindustrial Excelsior S.A. (Agrimex), Engenho Itaicirica, CEP 55900-000, Goiana (PE). germanguitierrez@oaosantos.com.br Recebido ara ublicação em 11/08/008 e aceito em 31/03/009.
08 Silva, A.V.L. et al. cultivados, tio de solo, esaçamento e idade de corte (SILVA e BONILLA, 1998). No entanto, em muitos casos, aarecem roblemas a serem resolvidos ara que os métodos utilizados seam válidos. Dentre esses roblemas, destaca-se a questão da multicolinearidade entre variáveis. A grande motivação de alicar regressão com comonentes rinciais foi à utilização de todas as variáveis mensuradas, mesmo sendo variáveis altamente correlacionadas. Porém é muito utilizada, equivocadamente, a regressão linear diretamente nessas variáveis exlicativas. Podendo surgir roblemas quando o modelo tiver mais de uma variável ou quando as variáveis não tenham uma relação linear com a variável resosta, logo as estimativas não serão confiáveis. O obetivo deste estudo visa a estabelecer uma metodologia que ermita quantificar a biomassa verde da unidade amostral do bambu or meio de modelos de regressão com comonentes rinciais na existência da multicolinearidade. REVISÃO DE LITERATURA Multicolinearidade Segundo Montgomery et al. (006), multicolinearidade é o nome dado ao roblema geral que ocorre quando duas ou mais variáveis exlicativas são muito correlacionadas entre si, o que torna difícil, utilizandose aenas o modelo de regressão, distinguir suas influências searadamente, á que uma das suosições é que nenhuma relação linear exata ode existir entre quaisquer covariáveis ou combinações lineares destas. Preocuações na área florestal quanto ao roblema de multicolinearidade entre variáveis exlicativas odem ser encontradas em vários trabalhos (CAIXETA et al., 003; VACCARO et al., 003; NUTTO e SPATHELF (003); BATISTA et al., 004; ANTONANGELO e FENNER, 005; OLIVEIRA et al., 005; ROLIM et al., 006; MARCHIORETTO el al., 007; TOMÉ et al., 007) Segundo Montgomery et al. (006), a consequência mais grave da resença de multicolinearidade é que o teste de significância do coeficiente de uma variável indeendente, sendo esta correlacionada com alguma outra, ode indicar sua exclusão do modelo, mesmo que exista uma forte relação linear desta com a variável resosta. Os autores afirmaram ainda que os efeitos de multicolinearidade odem ser facilmente demonstrados como segue: Considerando que os elementos da diagonal da matriz de correlação C = (X X) -1 odem ser escritos como: 1 C = = 1,,..., ( 1 R ) Sendo R = coeficiente de determinação múltila, resultante da regressão de x nos outros regressores. Claramente, quanto mais forte for a deendência linear de x nos regressores restantes, e or conseguinte mais forte a colinearidade, maior será o valor de R. Considerando ainda que V( $ β ) = σ C. diz-se que a variância de $ β é inflacionada ela quantidade (1- R ) -1. Dessa maneira, é definido o fator de inflação da variância ara $ β como: ˆ 1 FIV( β ) = = 1,,..., ( 1 R ) Análise de Comonente Princial (ACP) Análise de Comonente Princial (ACP) é uma técnica estatística que transforma um conunto de variáveis em um conunto com um número menor k (k<) de variáveis não correlacionadas, que exlica uma arcela substancial das informações do conunto original (KENDALL, 1950). Além da redução da dimensionalidade dos dados, o obetivo rincial é o de exlicar a estrutura de variância e covariância de um vetor aleatório comosto de variáveis aleatórias, mediante a construção de combinações lineares das variáveis originais. Essas combinações lineares são chamadas de comonentes rinciais e são não correlacionadas entre si (JOHNSON e WICHERN, 1998). Ci. Fl., v. 19, n., abr.-un., 009
Alternativa de modelo linear ara estimação da biomasa verde de Bambusa vulgaris... 09 A suosição de normalidade do vetor aleatório não é requisito necessário ara que a técnica de análise de comonente rincial ossa ser utilizada. Entretanto, quando a distribuição de robabilidade do vetor aleatório for normal -variado, as comonentes rinciais, além de não correlacionadas, são indeendentes e têm distribuição normal (MINGOTTI, 005). Os comonentes rinciais deendem somente da matriz de covariância ou da matriz de correlação do vetor aleatório de interesse. Geometricamente, os comonentes rinciais são as coordenadas dos ontos amostrais em um sistema de eixos obtidos ela rotação do sistema de eixos originais, na direção da variabilidade máxima dos dados (JOHNSON e WICHERN, 1998). ' ' Sea X o vetor de variáveis originais x = ( X1, K, X ), com vetor de médias µ = ( µ 1, K, µ ), e matriz de covariância x. Seam λ1 λ K λ os autovalores da matriz x, com resectivos autovetores ' normalizados e 1, e, K, e, em que ei = ( e1, e, K, e ), isto é, os autovetores e i satisfazem as seguintes condições: ei ' e = 0; i ; ei ' ei = 1; i = 1,, K, ; kxk ei = λ iei ; i = 1,, K,. Então, a -ésima comonente rincial da matriz x, = 1,,..., é definida como: CP = e ' χ = e X + e X + K + e 1 1 k X Modelo de Regressão ara as Comonentes Princiais Se as comonentes rinciais têm um significado intuitivo, é melhor exressar a equação da regressão em termos das comonentes. Nos demais casos, é mais conveniente recolocar o modelo nas variáveis originais (MONTGOMERY et al., 006). Y i = β + β CP + β CP +... + β CP + ε 0 1 1i i Em que todas as suosições, estimação e análise do modelo de regressão múltila devem ser a atendidas ara o caso do modelo de regressão ara as comonentes rinciais, no entanto, as comonentes rinciais, agora variáveis exlicativas, são não correlacionados, o que elimina o roblema da multicolinearidade (DRAPER e SMITH, 1981). Vale ressaltar que o roblema de multicolinearidade ode ser resolvido or outros métodos estatísticos, tais como, utilização de modelo não linear, rigde regression (HOERL e KENNARD, 1970a,b) e regressão com variáveis latentes latent root regression (MALHOTRA, 001). MATERIAIS E MÉTODOS Os dados foram rovenientes de um exerimento conduzido ela emresa Agroindustrial Excelsior S. A. (Agrimex) localizada no Engenho Itairema na cidade de Goiana, PE, a cerca de 60 km da Cidade do Recife. A reciitação média anual é de 1900 mm. A toografia é ondulada a fortemente ondulada. Os tios de solos variam do arenoso ao argiloso com rofundidade variável. A região onde se encontra o Engenho é caracterizada or lantios de cana-de-açúcar nas áreas mais lanas e bambu nas mais onduladas. Para coleta de dados, na área de lantio de bambu, foram lançadas três arcelas ao acaso, cada uma medindo 15x15 m. Em cada arcela, foi realizada a contagem do número de touceira, e em seguida, em cada touceira, a contagem do número de hastes. Para cada haste da touceira foram mensuradas a altura (H), circunferências a 0,10 (CAB) e a 1,30m (CAP) do solo e a variável combinada (CAB²H). Posteriormente, rocedeu-se ao corte e esagem das hastes rinciais sem galhos secundários e folhas. Para identificação de multicolinearidade nas estimativas dos coeficientes de regressão, considerouse, como regra de decisão, fator de inflação da variância ara os estimadores suerior a cinco, com base na afirmativa de Montgomery et al. (006) em que os fatores de inflação da variância não devem exceder 4 ou 5. Para estimativa de FIV ˆ β ) foi utilizada a seguinte exressão: ( 1 FIV ( ˆ β ) = = 1,,..., (1 R ) i i Ci. Fl., v. 19, n., abr.-un., 009
10 Silva, A.V.L. et al. Em que: FIV ( ˆ β ) = fator de inflação da variância; βˆ = estimativa do -ésimo coeficiente de regressão; R = coeficiente de determinação múltila -ésimo coeficiente de regressão. Deois de realizado o teste de multicolinearidade e verificada a existência desta, analisaram-se os diagramas de disersão entre a variável resosta (Peso da haste do bambu, P) contra as variáveis exlicativas (H, CAB, CAP, CAB²H). A regressão com comonentes rinciais foi obtida or meio do método de seleção de variável de Stewise, em que os comonentes foram as variáveis exlicativas, ois a variabilidade dos comonentes não é a maior imortância, mas, sim, o seu grau de contribuição ara o modelo. Os arâmetros da equação de regressão foram estimados a artir das interrelações da variável deendente (biomassa) e das variáveis indeendentes (H, CAB, CAP e CAB H). As estimativas foram obtidas or meio do método de mínimos quadrados que consistem no rocedimento matemático ara minimizar os erros quadráticos. A obtenção das comonentes rinciais foi baseada na matriz de covariância das variáveis originais conforme Johnson e Wichern (1998), excluindo-se a variável deendente (P). As análises foram realizadas or meio do rograma estatístico R, sendo utilizado o método mínimos quadrados ara calcular as estimativas dos arâmetros da regressão. RESULTADOS E DISCUSSÃO A matriz de correlação entre as variáveis exlicativas estão na Tabela 1. Segundo Silva e Silva (198), ode-se considerar como correlação nula entre duas variáveis quando os valores dos índices de correlação estiverem entre 0,40 e 0,40. Assim sendo, observa-se que as correlações entre todas as variáveis são não nulas, ou sea, existe de um alto grau de correlação entre as variáveis exlicativas odendo resultar no roblema de multicolinearidade. Tal situação ustifica o uso da regressão or comonentes rinciais, ois as comonentes são não correlacionadas e, ortanto, não aresentam o roblema de multicolinearidade. TABELA 1: Matriz de correlação entre as variáveis indeendentes: altura, circunferência na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H). TABLE 1: Matrix of correlation between the indeendent variables height, circumference at the base of the stem (CAB), circumference at 1.30 m above the ground (CAP), combined (CAB²H). Variável H CAB CAP CAB²H H 1,0000 0,766 0,8564 0,8801 CAB 0,766 1,0000 0,947 0,8949 CAP 0,8564 0,947 1,0000 0,9008 CAB²H 0,8801 0,8949 0,9008 1,0000 Por meio do teste de multicolinearidade identificou-se que oderão existir roblemas nas estimativas dos coeficientes de regressão, ois os fatores de inflação da variância ara os estimadores foram todos acima de cinco, como observado na Tabela. Ci. Fl., v. 19, n., abr.-un., 009
Alternativa de modelo linear ara estimação da biomasa verde de Bambusa vulgaris... 11 TABELA : Fatores de inflação da variância ara os estimadores das variáveis indeendentes: altura, circunferência na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H). TABLE : The variance inflation factors for the estimators of the indeendent variables height, circumference at the base of the stem (CAB), circumference at 1.30 m above the ground (CAP), combined (CAB²H). Variável Retirada FIV ( βˆ ) H 7,8308 CAB 7,5988 CAP 7,10 CAB²H 5,576 De acordo com Dias et al. (003) esse rocedimento deve ser realizado orque, quando ocorre multicolinearidade, os testes estatísticos odem falhar em detectar diferenças significativas entre os fatores. Nota-se, na Figura 1, que só a variável exlicativa CAB²H tem uma relação linear com a variável resosta, e a imortância dessa variável combinada é a normalização dos resíduos no modelo de estimativa da biomassa verde, ois as outras variaveis não têm uma relação linear com o eso da haste, P. FIGURA 1: Diagramas de disersão das variáveis: altura, circunferência na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H) versus variável resosta (P). FIGURE 1: Diagrams of disersion of the varying height, circumference at the base of the stem (CAB), circumference at 1.30 m above ground (CAP), combined (CAB ² H) vs. variable resonse (P). Na Tabela 3, está informada a imortância dos comonentes (contribuição dos autovalores) or meio da variabilidade artindo da matriz de covariância e a correlação entre as variáveis exlicativas e os comonentes. Pela matriz de covariância, a rimeira comonente (CP1) que é, basicamente, um índice do eso da haste, exlica quase 80% da variabilidade total e em que o maior coeficiente de grandeza se refere à variável CAP. Já a segunda comonente (CP) é uma comaração entre as variáveis H,CAB²H e CAB com a variável CAP. A terceira comonente (CP3) é reresentada elas variáveis H e CAB²H, sendo dominada ela variável H, que tem o maior coeficiente numérico em valor absoluto. A quarta comonente (CP4) reresenta a variável CAB²H, ois mostra uma correlação maior da comonente, em valor absoluto, com a variável e Ci. Fl., v. 19, n., abr.-un., 009
1 Silva, A.V.L. et al. correlação róxima de zero com as outras variáveis é a comonente de menor variância amostral. TABELA 3: Comonentes rinciais ela matriz de covariância das variáveis indeendentes, altura, circunferência na base da haste (CAB), circunferência a 1,30m do solo (CAP), combinada (CAB²H). TABLE 3: Main comonents by the covariance matrix of indeendent variables, height, circumference at the base of the stem (CAB), circumference at 1.30 m above the ground (CAP), combined (CAB²H). Variáveis CP1 CP CP3 CP4 H 0,899-0,50-0,4976 0,0044 CAB 0,9808 0,1950-0,007 0,0001 CAP 0,981-0,196 0,0131 7,9708e -6 CAB²H 0,9165-0,036-0,308-0,358 Estatística - - - - Desvio -adrão 10,9863,1833 0,606 0,0687 Proorção da variância (%) 79,7% 15,75% 4,49% 0,49% Proorção acumulada (%) 79,7% 95,0% 99,51% 100% Na Tabela 4, são aresentadas às estimativas dos arâmetros, e nota-se que aenas o β não é significativo ara o modelo ao nível de 1% de robabilidade. No entanto, caso existisse uma correlação entre as variáveis exlicativas (multicolinearidade), todos os arâmetros oderiam estar viesados, aesar de grande arte ser significativo ao nível de 1%, o que não é o caso, ois o modelo foi obtido com base nas comonentes rinciais que são não correlacionadas. TABELA 4: Estimativas dos arâmetros do modelo roosto elo método de Stewise ara a seleção dos comonentes. TABLE 4: Estimates of the arameters of the model roosed by Stewise method for the selection of comonents. Parâmetros Estimativas Erros-adrão -valor β 0 975,0 13,019 < e -16 ** β 1 370,90 6,857 < e -16 ** β -65,711 6,453 0,0134 * β 3-70,11 4,17 3,93e -10 ** β 4-486,493 58,986 1,84e -15 ** Em que: ** significativo a 1% ; * significativo a 10%. As contribuições das variáveis são vistas na Tabela 5, e verifica-se que são significativas ara o modelo. A estimativa da variância é dada or S² = 7678, enquanto que o coeficiente de determinação é dado or R² = 0,874. TABELA 5: Análise de variância ara o modelo roosto elo método de Stewise ara a seleção dos comonentes. TABLE 5: Analysis of variance for the model roosed by Stewise method for the comonents selection. Fontes de Variação Graus de liberdade Somas de Quadrados Quadrados Médios -valor? CP1 1 3195419 3195419 <,e -16 ** CP 1 470659 470659 0,01336* CP3 1 31498 31498 3,93e -10 ** CP4 1 5188719 5188719 1,839e -15 ** Resíduo 445 33943797 7678 Total 449 65935 Em que: ** significativo a 1% ; * significativo a 10%. Na Figura, observa-se que todas as suosições de regressão em relação ao erro são atendidas. As variáveis exlicativas ou comonentes, não são correlacionadas, ou sea, não existe roblema de multicolinearidade. Alicou-se o método de seleção de variáveis de Stewise nos comonentes orque não é a variabilidade do comonente que vai obter o melhor modelo e, sim, a contribuição do comonente. O Ci. Fl., v. 19, n., abr.-un., 009
Alternativa de modelo linear ara estimação da biomasa verde de Bambusa vulgaris... 13 quarto comonente (CP4) é o de menor variabilidade, orém é ele que contribui ara a suosição do resíduo ser válida, ois, quando comaramos a Figura com a Figura 3 que está sem o quarto comonente (CP4), observa-se que uma das suosições residuais não é atendida. Logo, necessita-se de um termo quadrático no modelo. Como visto na Tabela 3, o CP4 reresenta a variável combinada, CAB²H, ois as correlações com as outras variáveis exlicativas são róximas de zero. FIGURA : Gráficos dos resíduos ara a equação obtida elo método de Stewise ara a seleção dos comonentes. FIGURE : Grahs of residues to the equation obtained by the method of Stewise for selection of comonents. FIGURA 3: Gráficos dos resíduos ara a equação obtida elo método de Stewise ara a seleção dos comonentes sem o quarto comonente (CP4). FIGURE 3: Grahs of waste to the equation obtained by the method of Stewise for selection of comonents without the fourth comonent (CP4). Vale salientar ainda que, na Figura 1, observou-se um comortamento tíico de uma relação alométrica característica que ode ser reresentada or um modelo exonencial envolvendo a variável Ci. Fl., v. 19, n., abr.-un., 009
14 Silva, A.V.L. et al. diâmetro e altura, conforme o modelo de Schumacher e Hall (1933), e oderia ser uma oção ao método aresentado neste trabalho. CONCLUSÕES O roblema de multicolinearidade entre as variáveis originais foi solucionado ela metodologia roosta. O modelo de regressão or comonentes rinciais obtido ode ser utilizado ara estimar a biomassa verde da haste rincial do bambu. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTONANGELO, A.; FENNER, P. T. Identificação de riscos de erosão em estradas de uso florestal através do critério do fator toográfico LS. Energia Agrícola, Botucatu, v.0, n.3,.1-0, 005. BATISTA, J.L.F.; MARCHESINI, M.; VIANA, V.M. Equações de volume ara árvores de caixeta (Tabebuia cassinoides) no estado de São Paulo e sul do estado do Rio de Janeiro. Scientia Forestalis, Piracicaba, n. 65,.16-175, an./un. 004. BONILLA, O. H. Análises quantitativas da rodução de bambusa vulgares Scharder ex Wendland for vulgares no estado da Paraíba. 1991. 89 f. Dissertação (Mestrado em Botânica) Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife. BRITTO, J. O.; TOMAZELLO FILHO, M.; SALGADO, A. L. B. Produção e caracterizaçãodo carvão vegetal de esécies e variedades de bambu. Instituto de Pesquisas Florestais IPEF, Piracicaba, n. 36,. 13-17, 1997. CAIXETA, R. P. et al. Proriedades e classificação da madeira alicadas à seleção de genótios de Eucalytus. Revista Árvore, Viçosa, v. 7, n. 1,. 43-51, an./fev. 003. DIAS, L. T.; FARO, L.; ALBUQUERQUE, L. G. Estimativas de herdabilidade ara erímetro escrotal de animais da raça nelore. Revista Brasileira de Zootecnia, Viçosa, v. 3, n. 6,. 1878-1883, 003. (Sulemento ). DRAPER, N.; SMITH, H. Alied regression analysis. nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1981. 709. HOERL, A. E., KENNARD, R. W. Ridge regression: Alications to nonorthogonal roblems. Technometrics, v.1, n.1,.69-8. 1970a. HOERL, A.E., KENNARD, R.W. Ridge regression: Biased estimation for nonorthogonal roblems. Technometrics, v.1, n.1,.55-68. 1970b. JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. Alied multivariate statistical analysis. 4. ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1998. 816. KENDALL. M. G. Factor analysis. Journal of the Royal Statistical Society, London, v. 1,. 60-94, 1950. MALHOTRA, N.K. Pesquisa de marketing: uma orientação alicada. 3ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 001. 719. MARCHIORETTO, M.S.; MAUHS, J.; BUDKE, J.C. Fenologia de esécies arbóreas zoocóricas em uma floresta samófila no sul do Brasil. Acta Botânica Brasílica., v.1, n.1,.193-01, 007. MINGOTTI, S.A. Análise de dados através de métodos de estatística multivariada uma abordagem rática. Belo Horizonte: Editora UFMG, 005. 95. MONTGOMERY, D. C.; PECK, E. A.; VINING, G. G. Introduction to linear regression analysis. 4. ed. New York: John Wiley & Sons, 006. 61. NUTTO, L.; SPATHELF, P. Modelagem da desrama natural de Araucaria angustifolia (Bert.) O. Ktze. Floresta, v. 33, n.3,.95-309, 003. OLIVEIRA, M.L.R.; SOARES, C.P.B.; SOUZA, A.L.; LEITE, H.G. Equações de volume de ovoamento ara fragmentos florestais naturais do municíio de Viçosa, Minas Gerais. Revista Árvore, v.9, n., Viçosa, 005. PAULA, G. A. Modelos de regressão com aoio comutacional. São Paulo: IME/USP, 004. 53. ROLIM, S.G.; COUTO, H.T.Z.; JESUS, R.M. et al. Modelos volumétricos ara a Floresta Nacional do Tairaé- Aquirí,Serra dos Caraás (PA). Acta Amazônica, v.36, n.1,. 107-114, 006. SCHUMACHER, F., HALL, F. Logarithmic exression of timber-tree. Journal of Agricultural Research, v.47, n.9,.719-734, 1933. SILVA, J. A. A. ; BONILLA, O. H.. An exercise in the determination of otimal lot shae and size for estimating stem biomass in lantations of Bambusa vulgaris Scharader ex Wendland in the State of Paraiba, Brazil. The International Tree Cros Journal, Oxford, v. 9,. 61-66, 1998. TOMÉ, M.; TOMÉ, J.; RIBEIRO, F. et al. Equação de Volume Total, Volume Percentual e de Perfil do Tronco ara Eucalytus globulus Labill. em Portugal. Silva Lusitana, v.15, n.1,.5-39, 007. VACCARO, S.; FINGER, C.A.G.; SCHNEIDER, P.R. et al. Incremento em área basal de árvores de uma floresta estacional decidual, em três fases sucessionais, no municíio de Santa Tereza, RS. Ciência Florestal, Santa Maria, v. 13, n.,. 131-14, 003. Ci. Fl., v. 19, n., abr.-un., 009