UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA DISCIPLINA TOPOGRAFIA B NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO DR. CARLOS AURÉLIO NADAL PROFESSOR TITULAR Equipe do USGS - 1902
Equipe de nivelamento geométrico de trigonométrico do USGS
PUBLICIDADE DA SELEÇÕES READERS DIGEST -1962 (TEODOLITO TMV-2 VASCONCELOS)
DESNÍVEL OBTIDO POR TAQUEOMETRIA -DIFERENÇA DE ALTURA ENTRE OS PONTOS A e B ( h AB ) f m f s MIRA z f i B h AB I A I = altura do instrumento f s = leitura do fio superior f m = leitura do fio médio f i = leitura do fio inferior z = distância zenital medida h AB = I f m + 50 x (f s -f i ) x sen [2 x (90 o - z)]
PRINCIPIO DO MÉTODO DE NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO ΔH AB = D.cosZ + hi hs Z= ângulo zenital D= distância horizontal D = distância inclinada h s = altura do alvo h i = altura do instrumento D v = distância vertical ΔH AB = desnível de A para B
ERROS SISTEMATICOS: CURVATURA E REFRAÇÃO K=0,12 R=6372KM (raio da Terra) D=distância horizontal nivelada
Nivelamento trigonométrico erros de curvatura e a refração R z B T 90 - z T ' A dh dh = AB' = di x cos (90 - z) = di x sen z T A = TA = I RB = S A'B = h AB h AB = T 'R + I - s h AB = di x cos z + I - S+E-r B' A' E=dh 2 /2R R = 0,12 E
F Z o = erro de zênite instrumental Z e Z e z o z o P F P Z PD Z PI Posição direta da luneta PD Posição inversa da luneta PD Z= Z PD - Z o Z=360 -(Z PI + z o ) Z = 360 + Z PD - Z PI 2 Z o = Z PD + Z PI - 360 0 2
Z Z
PRISMA REFLETOR PASSIVO PARA MEDIDA DE DISTÂNCIA E DESNÍVEL
ALTURA DO PRISMA
MEDIDA DA ALTURA DO INSTRUMENTO Eixo horizontal
Exercício 01 Em 11 de novembro de 1991 foi levantado por taqueometria utilizando-se um teodolito Kern DKM2 um pequeno caminho, através de três seções transversais. Estação: 0=PP, I=1,47m A 01 = 180 03 51ʺ Ponto visado Direção horizontal Direção vertical Fio superior Fio médio 1 358 02 35ʺ 79 38 35ʺ 1,225 1,198 1,174 1e 347 49 26ʺ 77 48 25ʺ 0,821 0,800 0,769 1d 7 36 01ʺ 89 21 50ʺ 1,228 1,200 1,172 2d 3 57 58ʺ 85 02 09ʺ 1,753 1,700 1,647 2 358 59 49ʺ 81 44 25ʺ 1,152 1,100 1,048 2e 354 52 54ʺ 78 35 49ʺ 0,555 0,500 0,445 3d 3 17 35ʺ 85 39 24ʺ 2,077 2,000 1,923 3 0 00 35ʺ 82 02 28ʺ 1,080 1,000 0,922 3e 355 30 38ʺ 82 09 01ʺ 1,028 0,950 0,872 Fio inferior
estação 0=PP azimute grau min seg rad 0->1 180 3 51 3,142713 i= 1,47 m ponto direção horizontal direção vertical fios estadimétricos visado grau min seg radiano grau min seg radiano fs fm 1 358 2 35 6,249030 79 38 35 1,390034 1,225 1,198 1e 347 49 26 6,070672 77 48 25 1,357987 0,821 0,800 1d 7 36 1 0,132650 89 21 50 1,559694 1,228 1,200 2d 3 57 58 0,069222 85 2 9 1,484155 1,753 1,700 2 358 59 49 6,265679 81 44 25 1,426637 1,152 1,100 2e 354 52 54 6,193854 78 35 49 1,371775 0,555 0,500 3d 3 17 35 0,057475 85 39 24 1,494991 2,077 2,000 3 0 0 35 0,000170 82 2 28 1,431888 1,080 1,000 3e 355 30 38 6,204830 82 9 1 1,433793 1,028 0,950 cota= 900 m distância desnível cota fi m m m 1,174 4,935164 1,173939 901,1739 0,769 4,968038 1,743498 901,7435 1,172 5,59931 0,332167 900,3322 1,647 10,52063 0,683806 900,6838 1,048 10,18536 1,848572 901,8486 0,445 10,57002 3,101877 903,1019 1,923 15,31167 0,632937 900,6329 0,922 15,49708 2,636635 902,6366 0,872 15,30902 2,630611 902,6306 D=100(fs-fi)cos 2 (90 -z) HAB=I-fm+50(fs-fi)sen2(90 -z)
Exercício 02 Estação A I=1,457m S=2,000m Ponto visado posição Distância Zenital distância B PD 85 12 35ʺ 120,456 PI 274 47 23ʺ 120,454 Calcular: a) O desnível de A para B e o erro de zenite instrumental H AB = 9,515m Z o = -1ʺ
Exercício 03 Calcular a altura do edifício (AC), mostrado no croqui, colocando-se a estação total em E e o refletor em C. Estação: E I=1,425m croqui: Ponto visado A B Distância zenital 78 02 55ʺ 89 33 05ʺ S=2,000m Distância E-B 95,235m Altura do edifício = 21,412m I E A B S C
Posicionamento tridimensional no terreno Z p cota z p O y p p x p abcissa Y X ordenada
x y z Máquina de medição tridimensional
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais e coordenadas polares z distância espacial p ângulo vertical v d op cota z p o A op p y x p abcissa x ordenada y p p ângulo horizontal (azimute)
Transformação de coordenadas cartesianas em polares p z v d o p v z p o v d o p A op p z p p y x p o d h p x y p p d h = d op x sen v z p = d op x cos v
o Transformação de coordenadas cartesianas em polares A op y p p x p z o v y p d o p A op p p z p p x p y x x p = d op x sen v x sen A op y p = d op x sen v x cos A op p x p = d h x sen A op y p = d h x cos A op
Uma linha reta no espaço pode agora ser observada como a que liga o ponto P ao ponto Q. Z P reta no espaço +40 z p +20-20 +40-40 -20 0 +20 +40 X P Y x p y p +20 +40-20 -40 x q z q Q y q
A distância espacial PQ é fornecida analiticamente pela expressão: d = [(x p - x q ) ² + (y p -y q ) ² + (z p -z q ) ² ] Assim se ponto P possuí coordenadas em metros P(-40; 20; 40) e o ponto Q possui coordenadas em metros Q( 60;40;-20), a distância espacial entre eles é fornecida da seguinte forma: d = [(-40-60) ² + (20-40) ² + (40+20) ² ] d = d = 8,32m
Exercício: Utilizou-se uma estação total, com um sistema de coordenadas ortogonal tridimensional situado em seu centro óptico, com a seguinte orientação, o eixo y com sentido positivo para o norte geográfico, o eixo x com sentido positivo para leste e o eixo z coincidente com o fio de prumo com sentido positivo para o zenite (ponto situado no infinito acima da estação). Mediu-se as direções horizontais (A op ), direção vertical (V) e a distância inclinada d op ao ponto alvo (P), obtendo-se as seguintes medidas: A op = 26 32 50 ; V = 86 58 15 ; d op = 125,632m. Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do alvo neste sistema. X Solução: Z o y p V d o p A o p P P z p x p P Y x p = d op sen V sen A op y p = d op sen V cos A op z p = d op cos V x p = 125,632 x sen 86 58 15 sen 26 32 50 y p = 125,632 x sen 86 58 15 cos 26 32 50 z p = 125,632 x cos 86 58 15 x p = 56,071m y p = 112,229m z p = 6,639m
Problema direto do posicionamento tridimensional Z B V d AB A z B z A P B Y x B y A A x A A AB Q X B y B
PROBLEMA DIRETO DE POSICIONAMENTO TRIDIMENSIONAL Dadas ou conhecidas de um levantamento anterior: coordenadas tridimensionais do ponto A x A, y A, z A Mede-se: azimute da direção AB = A AB distância entre A e B = d AB direção zenital ou distância zenital = V Pede-se: coordenadas tridimensionais do ponto B x B, y B, z B
Triângulos retângulos APB e A B Q B A y B y A Q d AB V z B z A = d AB cos V A AB d AB sen V x B x A A d AB senv P B Z x B x A = d AB sen V sen A AB y B y A = d AB sen V cos A AB z B z A = d AB cos V z A A V x A d AB B P B Y z B x B = x A + d AB sen V sen A AB y B = y A + d AB sen V cos A AB z B = z A + d AB cos V X x B y A y B A A AB B Q
Problema inverso do posicionamento no espaço tridimensional Cálculo da distância espacial entre os pontos A e B d AB = [(x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 ] 1/2 Cálculo do ângulo zenital entre A e B z B z A V = arc cos [(x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 ] 1/2 Cálculo do azimute entre os pontos A e B x B x A A AB = arc tg y B y A
Exercício: A listagem com o resultado de um rastreio GPS apresenta as coordenadas Tridimensionais geodésicas de dois vértices P01 e P02 fornecidas as seguir: PO1 x 1 = 3763803,17745 PO2 x 2 = 3761470,79868 y 1 = -4366181,98370 y 2 = -4367585,08810 z 1 = -2722619,51292 z 2 = -2723355,20840 Calcular a distância entre os vértices, o azimute do vértice P01 para P02 e a distância zenital de P01 para P02. Solução: Distância P01 P02 d 12 = [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/2 d 12 = 3761470,79868-3763803,17745) 2 +(-4367585,08810 +4366181,98370 ) 2 + (-2723355,20840 +2722619,51292 ) 2 d 12 =, d 12 = 28, 6 m
Azimute P01 P02 x 2 x 1 A 12 = arc tg y 2 y 1 3761470,79868-3763803,17745 A 12 = arc tg -4367585,08810 + 4366181,98370-2332,379 A 12 = arc tg -1403,105 A 12 = arc tg 1,66229826 A equação apresenta duas soluções no primeiro quadrante e no terceiro quadrante. Solução no primeiro quadrante: A 12 = 58 58 11 No terceiro quadrante: A 12 = 58 58 11 + 180 A 12 = 238 58 11
Como a solução pode estar no 1 ou no 3 Quadrante. A tabela abaixo esclarece a obtenção de quadrantes. Quadrante numerador denominador 1 Q + + 2 Q + - 3 Q - - 4 Q - + Neste caso, como o denominador e o numerador da divisão resultaram negativos adota-se o 3 Quadrante, assim: A 12 = 238 58 11
Distância zenital P01 P02 z 2 z 1 V = arc cos [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/2-2723355,20840 + 2722619,51292 V = arc cos 28, 6-735,696 V = arc cos 28, 6 V = arc cos 0,260925355 A solução encontra-se no segundo ou no terceiro quadrante, neste caso adota-se o segundo quadrante pois convenciona-se a distância zenital menor ou igual a 180. Solução no primeiro quadrante: V = 74 52 30 Solução no segundo quadrante V = 180-74 52 30 V =105 07 30 Neste caso a distância zenital vale: V =105 07 30
Exercício proposto: Determinou-se as coordenadas tridimensionais do vértice PO1 obtendo-se: x 1 = 3763803,17745 y 1 = -4366181,98370 z 1 = -2722619,51292 Mediu-se a partir do vértice P01 em direção ao vértice P02 d 12 = 28, 6 m A 12 = 238 58 11 V =105 07 30 Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do vértice P02. Resposta: x 2 = 3761470,79868 y 2 = -4367585,08810 z 2 = -2723355,20840