ANÁLISE DO ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIOS USANDO A TÉCNICA DOS VOLUMES FINITOS Stéfano Bruno Ferreira IC Aluno de graduação do curso de Engenharia Aeronáutica do Instituto Tecnológico de Aeronáutica Bolsista PIBIC CNPq; Brasil; e-mail: stefanobf@yahoo.com.br Nide G C R Fico Jr - PQ Professor Adjunto do Departamento de Aerodinâmica, Divisão de Aeronáutica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica; Brasil; e-mail: nide@aer.ita.br Resumo Este trabalho de iniciação científica tem como objetivo a análise do escoamento aerodinâmico sobre aerofólios utilizando simulação numérica, mais precisamente a técnica dos volumes finitos. Busca-se com isso determinar características como campo de velocidades, pressão etc de escoamentos sobre aerofólios. Podemos entender um aerofólio como sendo um objeto de perfil aerodinâmico e de seção constante. Dessa forma, temos um problema bidimensional de escoamento. Sua aplicação prática se encontra em aerofólios de automóveis, hidrofólios em veículos marítimos e em asas (nas regiões em que os efeitos aerodinâmicos são bidimensionais, como em locais distantes da ponta da asa). Cada aplicação exige geometrias diferentes já que o aerofólio estará submetido a diferentes condições de escoamento e um estudo numérico possibilita conclusões satisfatórias de maneira relativamente rápida e barata. O trabalho consistiu na geração de código para criação de malhas computacionais (baseado em equações diferenciais parciais elípticas) e posterior resolução numérica das equações de Navier-Stokes em sua forma vetorial (usando o método de MacCormack) com condições de contorno de Euler e também de Navier- Stokes. Trata-se de um método numérico iterativo, explícito no tempo e no espaço e com convergência de segunda ordem para ambos. São fornecidos aqui os resultados para distribuição de velocidade e coeficiente de pressão (Cp) para o aerofólio NACA-00 sob escoamento a baixas velocidades. Abstract The objective of this scientific initiation work is to analyze the aerodynamic flow over airfoils using numeric simulation, most precisely the finite volume technic. This is done in order to determine characteristics as velocity field, pressure distribution etc of flows over airfoils. An airfoil is an object of aerodynamic profile and constant section. Its practical application includes vehicles airfoils, naval vessels hydrofoils and wings (in regions where aerodynamic effects are bidimensional, as in points away from the wing tip). Each application requires a different geometry since the airfoil will be subjected to different flow conditions and a numeric approach allows satisfactory conclusions in a relatively fast and easy way. The work consisted in the generation of code for the creation of computational grids (based on elliptic partial differential equations) followed by the numeric solution of Navier-Stokes equations in their vector form (using MacCormack s method) with Euler and also Navier-Stokes boundary conditions. It is a numeric iterative method, which is explicit in time and space and has second order convergence for they both. The results of velocity and pressure coefficient distribution for the flow over a NACA-00 airfoil at low speeds are provided here. Palavras-chaves Dinâmica dos Fluidos Computacional; Aerodinâmica; Escoamento Externo; Aerofólios
. INTODUÇÃO Este estudo numérico passa por três procedimentos chave: geração de malha computacional, aplicação de condições de contorno, e solução numérica de um sistema de equações diferenciais parciais. É a qualidade de cada um desses procedimentos que determinará a qualidade da solução. A convergência do processo iterativo, a exatidão da solução, bem como o tempo de processamento, ou seja, a eficiência do método numérico depende da malha computacional. Uma malha extremamente refinada pode significar um grande tempo de processamento além de erro numérico considerável. Por outro lado uma malha muito esparsa pode não captar os processos físicos em questão e também levar a erro numérico. A aplicação de condições de contorno deve ser feita de maneira sábia, pois nem sempre condições físicas representadas com total fidelidade no modelo numérico conduzem a uma boa solução, ou mesmo chegam em alguma (problema de não convergência). Por fim a o processo de discretização e solução do sistema de EDPs, a partir do modelamento adotado, garantirão a convergência e exatidão da solução. Todos esses procedimentos são rapidamente descritos a seguir.. GERAÇÃO DE CÓDIGO. Resolução numérica das equações de Navier-Stokes Para se estudar o escoamento aerodinâmico sobre aerofólios necessitamos de ferramentas matemáticas que permitam a modelagem do problema, juntamente com as condições iniciais e de contorno. Nossa primeira abordagem foi a resolução numérica das equações de Navier-Stokes (eq. NS) em sua forma vetorial através da técnica dos volumes finitos, aplicada sobre a malha computacional. ρ Q uv uv ρu uv uv uv +.P 0 () Q P Ei t ρv x + Fiy E ρ - densidade u - componente da velocidade no eixo x v - componente da velocidade no eixo y p - pressão E energia total Obs.: Não confundir o super-vetor E indicado acima com a grandeza E (energia total). Nesse momento precisamos aplicar a equação () de maneira discreta a cada célula de nossa malha. Façamos antes uma convenção de índices: Fig. 0 Célula genérica da malha (Volume de controle elementar)
Cada célula recebe o índice do seu vértice inferior esquerdo V() e possuirá quatro vetores de área superficial S(i-/, j), S(i+/, j), S(i, j-/) e S(i, j+/) conforme a Fig. 0. MacCormack resolve a equação () calculando a solução no nível (n +) através dos passos preditor e corretor e então a solução final se torna a média desses dois valores. Isso ocorre da seguinte maneira: Passo preditor: n+ n t n n n n Q Q uv v uv v uv v uv v ( P i+,j.si+ /,j) + ( P.Si /,j) + ( P +.S+ /) + ( P.S /) V Passo corretor: n+ n t n n n n Q Q uv + v uv + v uv + v uv + v ( P.Si+ /,j) + ( P i,j.si /,j) + ( P.S+ /) + ( P.S / V ) Atualização: n+ n+ n+ Q Q + Q Nesse caso P uv significa o vetor P uv calculado com as propriedades do volume de controle V(i, j) e os produtos escalares serão feitos como no exemplo seguinte: uv v P.S E.Sx + F.Sy i+ /,j i+ /,j i+ /,j Dessa maneira através de um processo iterativo calculamos a solução, ou seja, o valor das propriedades do escoamento dados por Q, partindo das condições iniciais e de contorno. O método de MacCormack é estável e com exatidão de segunda ordem para tempo e espaço. Como estamos utilizando condições de contorno de Navier-Stokes é necessário o modelamento dos termos de cisalhamento e fluxo de calor, como segue abaixo. O símbolo () indica variáveis adimensionalizadas: Q uv uuv uuv v v +. P 0 P E i+ F j t sendo: ρ ρ u Q ρ v Et ρ u 0 ρ u + p τ xx E EE EV ρ uv τ xy ( Et + p ) u uτxx + vτxy q x ρ v 0 ρ uv τ xy F FE FV ρ v p τ yy + ( Et + p ) v uτxy + vτ yy q y
Os termos de cisalhamento e de fluxo de calor são os seguintes: µ u v τ xx 3ReL x y µ T q x µ v u ( γ ) M Re Pr x L τ yy 3ReL y x µ T qy µ u v ( γ ) M ReL Pr y τ xy + ReL y x A utilização da equação completa de Navier-Stokes e consequentemente dos termos de cisalhameto e fluxo de calor leva a necessidade de se adotar uma discretização das derivadas espaciais de velocidade e temperatura. Encontra-se abaixo o método escolhido para se realizar esta discretização. Use a Fig. 0 com referência para os procedimentos abaixo. Foi tomado como exemplo a derivação da componente horizontal u da velocidade. Note-se que o símbolo () para variáveis adimensionalizadas foi abandonado por simplicidade de notação. Para efeito de cálculo dos fluxos, as velocidades em cada uma das faces foi considerada a média entre as duas células adjacentes: ui+, j + ui, j ui, j + ui, j u ui+ /, j u ui /, j ui, j+ ui, j+ ui, j + ui, j u3 ui, j+ / u4 ui, j / como: Sejam cada uma das faces uuuv S S v i+ S uv j k kx ky uuv Sk (k : 4) da célula elementar acima definaidas no item... Então temos que as derivadas da componente horizontal u da velocidade seguem: 4 u 4 u us k k x V x e us k k y i, j k y V ij, k Raciocínio análogo é válido para as derivadas da componente vertical v da velocidade e também da temperatura.. Condições de contorno No caso de condições de contorno de Euler, para a velocidade temos a restrição de escoamento tangente às paredes do aerofólio. No caso de Navier-Stokes, para a velocidade, usamos a chamada condição de não-escorregamento, segundo a qual a velocidade do escoamento na superfície do aerofólio é nula, devido aos efeitos da viscosidade. Com relação a pressão estabelecemos a condição de p n 0 ou na prática p η0. Isso significa que a variação de pressão na direção normal à parede é nula, sendo que freqüentemente adotamos variação nula na direção nas linhasη, que se aproximam muito da direção normal à parede. Condição de contorno de escoamento não perturbado foi aplicada a uma distância equivalente a dez cordas a partir do aerofólio.
3. RESULTADOS E ANÁLISE DE DADOS Trabalhou-se com um aerofólio da série 4 dígitos, NACA00, cujos resultados experimentais são bem conhecidos. Todos os dados são apresentados na forma adimensionalizada, sendo as variáveis do escoamento adimensionalizadas pelas condições do escoamento não perturbado e as dimensões adimensionalizadas pelo valor da corda do aerofólio. Utilizou-se Mach 0,6 e Re 800000. 3. Malha Computacional Foi gerada uma malha computacional para o aerofólio NACA 00. A malha possui 0 x 80 pontos e se encontra refinada em torno da superfície do aerofólio, conforme pode ser visto na Fig. 0. Não foram utilizadas diversas malhas para o estudo de convergência devido ao grande tempo gasto na geração e refinamento da mesma bem como solução do sistema de equações de N-S. Na prática, usouse apenas uma malha cujos resultados de distribuição de Cp foram validados pela solução teórica esperada, no caso de condições de contorno de Euler. 3. Resultados da superfície do aerofólio Fig. 0 NACA 00, malha utilizada neste trabalho,,0 0,8 0,6 0,4 Numérico Teórico (),0 0,8 0,6 0,4 Numérico Cp 0, Cp 0, 0,0 0,0-0, -0, -0,4-0,4-0,6 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Posição x -0,6 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Posição x Fig. 03 Valor numérico da velocidade superficial Condições de Contorno de Euler Fig. 04 Valor numérico do Cp superficial Condições de contorno de Navier-Stokes
A Fig. 03 trás a comparação entre os valores de distribuição superficial de Cp numérico para condições de contorno de Euler e o valor teórico esperado. Como já foi dito o modelo de Euler não considera a viscosidade do fluido nem os fenômenos térmicos. Para efeito de comparação foram utilizados os valores teóricos determinados pela solução potencial (retirados da referência ). Essa solução se mostrou extremamente precisa, descrevendo muito bem o comportamento na superfície do aerofólio. A Fig. 04 mostra os resultados numéricos obtidos para as condições de contorno de Navier- Stokes. A modelagem destas condições se mostrou muito mais complexa que as de Euler. Basicamente, a diferença os dois gráficos decorre da formação e desnvolvimento da camada limite no caso de N-S, que gera um corpo efetivo de formato diferente da geometria do aerofólio, alterando a distribuição de Cp. O valor de Cd encontrado para este caso foi de 0,03, pouco mais que o dobro do valor exato. Explicação para esta diferença está na forma de discretização utilizada para derivadas de velocidade e temperatura além da falta de um modelo de turbulência. O processo utilizado para determinação de derivadas de velocidade e temperatura (descrito acima), escolhido neste trabalho a fim de simplificar o modelameto, se mostrou suficiente do ponto de vista qualitativo (revelando o comportamento do escoamento) mas não ofereceu precisão suficiente para comparações quantitativas. Esse problema é agravado pela extrema dificuldade de se obter uma malha bastante refinada junto ao aerofólio (necessária para um cálculo preciso dos termos de cisalhamento e fluxo de calor) ao mesmo tempo que se tem um modelo muito simples para o cálculo destes termos. Por outro lado, um modelamento de turbulência se faz necessáro para a determinação correta da parcela de arrasto de atrito com a superfície do aerofólio, que varia conforme o nível de turbulência. Escoamentos a baixos ângulos de ataque foram também estudados. No caso de Euler obtevese a mesma exatidão para a distribuição de Cp obtida no caso do ângulo de ataque nulo. A precisão do modelo implementado no caso de Navier-Stokes o torna proibitivo no caso de ângulo de ataque não nulo. Isso acorre devido a condições mais complexas de escoamento, como por exemplo maiores gradientes de velocidade junto à superfície, o que amplia os erros já mencionados acima. 4. CONCLUSÃO O modelamento baseado nas condições de contorno de Euler apresentou precisão maior, devido sua maior simplicidade. Vale a pena notar que a solução potencial foi utilizada para efeito de comparação. De maneira geral o único problema que não foi resolvido neste caso foram as incorreções no comportamento do escoamento junto ao bordo de fuga. As grandes dificuldades presentes no caso de condições de Navier-Stokes são a necessidade de uma malha extremamente refinada junto à superfície e também a aspereza de se resolver numericamente um complicadíssimo sistema de equações diferenciais. Diante disso optou-se por um modelo mais simples para facilitar o processo de implementação. Neste caso, como já foi foi mencionado, os resultados apresentaram validade do ponto de vista qualitativo. Para um aumento da precisão seria necessário a introdução de modelos de discretização das derivadas de velocidade e temperatura mais complexos (o que influencia toda a solução) bem como um modelamento de turbulência (importante para uma determinação precisa do valor do arrasto de atrito). REFERÊNCIAS - Abbott & Von Doenhoff Theory of Wing Sections Dover 959 - Anderson, Tanehill, Pletcher Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, McGrawHill, 984 3 Fico Jr, Nide G. C. R. & Ferreira, Stéfano Análise do Escoamento sobre Aerofólios usando a Técnica dos Volumes Finitos X Encita - 004