Estudo do Efeito de Malhas Bloco-Estruturadas em Escoamentos Incompressíveis de Fluidos Newtonianos

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1 Estudo do Efeito de Malhas Bloco-Estruturadas em Escoamentos Incompressíveis de Fluidos Newtonianos Ana Paula Franco Bueno, José Laércio Doricio, Depto de Engenharia de Materiais, Aeronáutica e Automobilística, EESC, USP Av. Trabalhador São Carlense, 4, CEP: , Centro, São Carlos - SP, Brasil apaula.bueno@gmail.com, doricio@lcad.icmc.usp.br. Introdução Nesse trabalho realiza-se um estudo comparativo entre malhas bloco-estruturadas e malhas estruturadas convencionais em escoamentos incompressíveis de fluidos newtonianos. O estudo consiste em verificar as consequências das interpolações nas interfaces das malhas bloco-estruturadas, com relação à ordem de convergência e à precisão do método numérico. O efeito das interpolações nas discretizações temporais é estudado utilizando os métodos explícitos de Euler O(t), AB2 O(t 2 ) e AB3 O(t 3 ). A estabilidade numérica e a convergência computacional de malha são verificadas para cada um desses métodos. O efeito das interpolações nas discretizações espaciais foi verificado utilizando-se discretizações centradas de O(h 2 ) e O(h 4 ). Os resultados foram comparados utilizando as normas L, L 2 e L para o escoamento entre placas planas paralelas, conforme Figura 2, e para o escoamento através de uma cavidade, conforme Figura 8. A influência das interpolações em escoamentos viscosos e convectivos é verificada utilizando Re = e Re =. Os termos convectivos das equações de Navier-Stokes são resolvidos empregando-se o esquema upwind de segunda ordem VONOS, conforme [7] e [4]. Metodologia As equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível na forma adimensional são: t + u x + v y = p x + ( ) 2 u Re x + 2 u, () 2 y 2 v t + u v x + v v y = p y + ( ) 2 v Re x + 2 v, (2) 2 y 2 x + v y =. (3) Nas equações ()-(3), u e v são respectivamente as componentes da velocidade nas direções x e y, p é a pressão e Re é o número de Reynolds do escoamento. Para o escoamento entre placas paralelas com malha bloco-estruturada foi utilizada a malha da Figura com refinamentos M : dx = dy =. e dx = dy =.5, M 2 : dx = dy =.5 e dx = dy =.25, e M 3 : dx = dy =.25 e dx = dy =.25. Para o escoamento com malha estruturada convencional, conforme Figura 2, utilizou-se os seguintes refinamentos: M : dx = dy =., M 2 : dx = dy =.5 e M 3 : dx = dy =.25. Os métodos explícitos de Euler, AB2 e AB3 são respectivamente: u n+ = u n + t u n, (4) u n+ = u n + t 2 (3 u n u n ). (5) u n+ = u n + t 2 (23 u n 6 u n + 5 u n 2 ), (6) onde n t = u n e t n+ = t n + t. Os métodos numéricos AB2 e AB3, métodos multipassos lineares com dois e três passos respectivamente, foram escolhidos porque possuem média e alta dependência dos pontos geométricos da malha, conforme pode ser verificado através das equações (5) e (6). Isso permite verificar se há dependência temporal do método numérico com os erros devido às interpolações entre malhas. Na discretização espacial das equações de Navier-Stokes foram utilizados os métodos centrados de ordem 2 e ordem 4 abaixo: x = x (ui+ ui ) + O( x2 ), 2 u x = 2 x 2 (ui+ 2ui + ui ) + O( x2 ), (7) x = 2 x (u i 2 8u i +8u i+ u i+2 ) + O( x 4 ), 2 u x = 2 ( ui 2 + 6ui 24 x2 3u i + 6u i+ u i+2) + O( x 4 ). (8) As outras derivadas aplicadas à componente v da velocidade e ao campo de pressão p são discretizadas de forma análoga às equações (7) e (8). As equações (7) e (8) são aplicadas nos respectivos nós de discretização da malha para u, v e p. As normas L, L 2 e L são definidas respectivamente por: n x = x r, x 2 = n x r 2, r= x = max r n x r. r=

2 A ordem de convergência foi calculada utilizando a fórmula abaixo: ( ) S (x log i,t) S (x i,t) p S (x i,t) S (x i,t) p n = log( 2 ), onde S Mk é a solução para u ou para τ xy na malha M k com k = {, 2, 3}. As equações de Navier- Stokes são resolvidas empregando-se o método das projeções para desacoplamento velocidade-pressão, conforme [5]. Nesse método, as variáveis u, v e p são calculadas nas posições x i+ 2,j, x i,j+ e x i,j das 2 células, respectivamente. Para o método de Euler explícito (4), resolve-se: ( ) F n i+ 2,j = un i+ 2,j + t Re 2 u n ξ(u), ( ) G n i,j+ = v n 2 i,j+ + t 2 Re 2 v n ξ(v), onde ξ(u) e ξ(v) são os termos convectivos aproximados utilizando VONOS. Substituindo F e G nas equações de Navier-Stokes e impondo a condição de incompressibilidade, deve-se resolver o sistema: 2 p n+ = ( ) F n t x + Gn. y Para malhas bloco-estruturadas, esse sistema é linear e assimétrico. Para resolvê-lo emprega-se o método do Gradiente Biconjugado Estabilizado, conforme []. Após calcular o campo de pressão p n+, resolve-se: u n+ = F n i+ 2,j i+ 2,j t pn+ x v n+ = G n i,j+ i,j+ t pn+ 2 2 y para atualizar as velocidades u e v. Maiores detalhes desse algoritmo podem ser encontrados em [4]. Analogamente se obtém os métodos de solução das equações de Navier-Stokes para os esquemas AB2 e AB3. O método de interpolação entre malhas utilizado nesse trabalho é baseado no esquema descrito por [6], com os pesos calculados através de médias poderadas harmônicas da distância entre os nós envolvidos. Para estudar os efeitos causados pelas interpolações de malha em escoamentos viscosos e convectivos resolveu-se o escoamento através de uma cavidade bloco estruturada cuja malha é mostrada na Figura 8 e em uma malha estruturada convencional conforme Figura 9. Nesse escoamento utilizouse Re = e Re =, que caracterizam respectivamente os efeitos viscosos e convectivos. Resultados As componentes do campo de velocidades u e v, assim como o campo de pressão p na malha blocoestruturada M 3 para o método de Euler explícito,, Figura : Malha bloco-estruturada utilizada para o escoamento entre placas paralelas (M ). Figura 2: Malha estruturada convencional utilizada para o escoamento entre placas paralelas (M ). com Re = é mostrada pela Figura 3. Os resultados dos métodos numéricos AB2 e AB3 são similares aos mostrados pela Figura 3. A Tabela mostra os resultados referentes à ordem de convergência de malha dos métodos numéricos Euler, AB2 e AB3 para o escoamento entre placas paralelas com Re =, para a malha bloco-estruturada, Figura, e para a estruturada convencional, Figura 2. A Figura 4 mostra o erro entre a solução obtida através do método de Euler para a componente u da velocidade e para a tensão τ xy, comparado nas malhas estruturadas M, M 2 e M 3 com a solução analítica para Re =. Os resultados para os métodos AB2 e AB3 são similares. Analogamente, as Figuras 5, 6 e 7 mostram os erros referentes aos métodos de Euler, AB2 e AB3 nas malhas bloco-estruturadas M, M 2 e M 3. C) Figura 3: Velocidade u, Velocidade v e C) pressão p.

3 Malha Bloco-Estruturada O(h 2 ) Euler AB AB Malha Estruturada O(h 2 ) Euler AB AB Malha Bloco-Estruturada O(h 4 ) Euler AB AB Malha Estruturada O(h 4 ) Euler AB AB Tabela : Ordem de convergência de malha. Método Erro em u AB2 Re = L L 2 L Malha M 2.9E-5 3.2E-5 4.E-5 Malha M 2 3.E-5 3.6E-5 4.5E-5 Malha M 3 5.6E-5 6.3E-5 7.3E-5 Erro em τ xy Malha M 6.E-5 7.E-5.E-4 Malha M 2 6.E-5 7.5E-5.4E-4 Malha M 3 9.8E-5.E-4 3.E-4 Método Erro em u AB3 Re = L L 2 L Malha M 4.E-5 5.E-5 6.7E-5 Malha M 2 3.2E-5 3.7E-5 4.7E-5 Malha M 3 5.E-5 5.7E-5 6.7E-5 Erro em τ xy Malha M 6.6E-5 7.5E-5.E-4 Malha M 2 6.E-5 7.8E-5.4E-4 Malha M 3 8.9E-5.E-4 2.7E-4 Tabela 2: Comparação do erro dos métodos AB2 e AB3 com relação ao método de Euler. Euler u(adimensional) Euler τ xy (adimensional) Figura 4: Euler: Erro entre a solução analítica e as malhas estruturadas M, M 2 e M 3 : u τ xy. Euler u(adimensional) Euler τ xy (adimensional) Figura 5: Euler: Erro entre a solução analítica e as malhas bloco-estruturadas M, M 2 e M 3 : u τ xy.

4 AB2 u(adimensional) AB2 τ xy (adimensional) Figura 6: AB2: Erro entre a solução analítica e as malhas bloco-estruturadas M, M 2 e M 3 : u τ xy. Figura 8: Malha utilizada para o escoamento através de uma cavidade bloco-estruturada. Figura 9: Malha utilizada para o escoamento através de uma cavidade estruturada convencional. AB3 u(adimensional) Figura : Linhas de corrente e pressão p com Re = para a malha bloco-estruturada.. AB3 τ xy (adimensional) Figura 7: AB3: Erro entre a solução analítica e as malhas bloco-estruturadas M, M 2 e M 3 : u τ xy. Figura : Linhas de corrente e pressão p com Re = para a malha estruturada convencional. Figura 2: Linhas de corrente e pressão p com Re = em t = s para a malha bloco-estruturada.

5 Figura 3: Linhas de corrente e pressão p com Re = em t = s para a malha estruturada convencional. Malha x y Re = : Bloco-Estruturada Re = : Convencional Re = : Bloco-Estruturada Re = : Convencional Tabela 3: Posição do centro dos vórtices dos escoamentos viscosos e convectivos. Para o problema de escoamento através de uma cavidade com Re =, as Figuras e mostram o campo de pressão p juntamente com as linhas de corrente na malha bloco-estruturada e na malha convencional, respectivamente. De forma análoga, as Figuras 2 e 3 mostram as linhas de corrente juntamente com o campo de pressão p na malha bloco-estruturada e na malha convencional, para o escoamento com Re = em t = s. A Tabela 2 apresenta uma comparação entre os erros dos métodos AB2 e AB3 com relação ao método de Euler nas malhas M, M 2 e M 3. A posição do centro dos vórtices no escoamento viscoso e no convectivo é mostrado pela Tabela 3. Análise dos Resultados Analisando os resultados mostrados na Tabela conclui-se que a ordem dos métodos numéricos para a discretização espacial das variáveis foi fortemente afetada pela influência das interpolações entre malhas. Entretanto, comparando a ordem entre os métodos de Euler, AB2 e AB3, na malha blocoestruturada, verifica-se que a ordem entre esses métodos não é afetada pelas interpolações, indicando que independentemente do método numérico explícito utilizado, as interpolações na malha não afetam a precisão temporal do método. Observa-se também que a ordem de convergência na malha estruturada está congruente com a precisão espacial utilizada, conforme equações (7) e (8). A Tabela 2, juntamente com os gráficos das Figuras 5, 6 e 7, permite concluir que, ao refinar a malha, o erro na região de interpolação aumenta prejudicando a convergência de malha. Isso explica porque a ordem de convergência mostrada pela Tabela é fortemente prejudicada. Comparando os erros em uma mesma malha para os métodos AB2 e AB3, verifica-se que os erros se mantém pouco alterados, reforçando o fato de que a precisão temporal dos métodos numéricos não é afetada pelas interpolações. Pode-se observar nas Figuras 2 e 3 que há queda de pressão no escoamento resolvido na malha bloco-estruturada para o escoamento convectivo, enquanto que no escoamento viscoso, mostrado pelas Figuras e, essa queda não é evidente. Além disso as linhas de corrente mostram que o centro do vórtice é deslocado, em todos os casos, conforme pode ser verificado pela Tabela 3, indicando que a variável espacial foi afetada pela presença das interpolações de malha, mudando a posição do vórtice. Os métodos numéricos estudados não apresentaram problemas com relação à instabilidade numérica. Todos respeitaram a restrição de estabilidade abaixo: t τ [ u max x + v max y ( 2 + Re x )] y 2. onde < τ é um parâmetro de segurança. Para maiores detalhes sobre essa restrição de estabilidade conferir [2] e [3]. Conclusões Os resultados obtidos nesse trabalho indicam que as interpolações de malha não afetam o método numérico de integração temporal com relação a precisão computacional e a estabilidade numérica. Contudo a precisão espacial e a ordem de convergência de malha é prejudicada tanto para escoamentos viscosos como para escoamentos convectivos. Portanto o esquema de interpolação utilizado em um trabalho envolvendo o uso de malhas blocoestruturadas, do tipo apresentado nesse trabalho, deve ser criteriosamente estudado para que o ganho de precisão local da malha não seja prejudicado pela perda de precisão global devido às interpolações de malha. O estudo de outros tipos de interpolações será realizado com o objetivo de procurar por um esquema que minimize os erros. Referências [] R. Barret, M. Berry, T. F. Chan, J. Demmel, J. Donnato, V. Eijkhout, R. Pozzo, Romine C, and H. Van der Vorst. Templares for the solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. SIAM, 994. [2] U. Bulgarelli, V. Casulli, and D. Greenspan. Pressure Methods for Numerical Solution of Free Surface Fluid Flows. Swansea, Pineridge Press, 984.

6 [3] V. Casulli. Numerical simulation of free-surface thermally influenced flows for nonhomogeneous fluids. Appl. Math. Comp., 8:26 28, 98. [4] Armando Oliveira Fortuna. Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos: Conceitos Básicos e Aplicações. Editora da Universidade de São Paulo, 2. [5] F. Harlow and J. E. Welch. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with a free surface. Phys. Fluids, 8: , 965. [6] M. L. Minion. Integrated Structural Modelling, Adaptative Analysis and Shape Optimization. PhD thesis, Lawrence Berkley Laboratory - University of California, 994. [7] A. Varonos and G. Bergeles. Development and assessment of a variable order non-oscilatory scheme for convection term discretization. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 26: 6, 998.