Estudo de decomposições matriciais aplicadas em escoamentos viscoelásticos incompressíveis

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1 Estudo de decomposições matriciais aplicadas em escoamentos viscoelásticos incompressíveis Irineu L. Palhares Junior, Cassio M. Oishi, Depto. de Matemática e Ciências de Computação, FCT, UNESP, , Presidente Prudente, SP irineulopespalhares@gmail.com, cassiooishi@gmail.com, Resumo: Uma dificuldade na solução de escoamentos viscoelásticos complexos ocorre quando instabilidades numéricas surgem na simulação, resultantes de um colapso ("breakdown") dos esquemas numéricos aplicados na solução da equação constitutiva para fluidos não-newtonianos. Essa dificuldade é conhecida na literatura como o Problema de Alto Número de Weissenberg ("High Weissenberg Number Problem"). Uma forma de evitar essas instabilidades é a aplicação de decomposições matricias no tensor conformação A, reformulando a equação constitutiva. Desta forma, neste trabalho vamos analisar algumas decomposições utilizadas sobre esse tensor, que é simétrico e definido positivo. Após isso, no contexto do método "Marker-and-Cell", as equações de Navier-Stokes e a equação do tensor conformação serão resolvidas via método de projeção. Finalmente, as técnicas numéricas serão testadas na solução de escoamentos incompressíveis bidimensionais. Palavras-chave: Decomposições Matriciais, Tensor conformação, Problema de Alto Número de Weissenberg, Escoamentos viscoelásticos, Equações de Navier-Stokes 1 Introdução As equações que governam um escoamento de fluido viscoelástico, isotérmico e incompressível, equações de Navier-Stokes, constituídas pelas equações de conservação de movimento e conservação de massa, na forma adimensional não-conservativa, são dadas, respectivamente, por: u t + (u. ) u = p + β Re 2 u +.τ, (1).u = 0, (2) onde u (x, t) = (u (x, t), v (x, t)) é o campo de velocidade, p = p (x, t) a pressão, τ = τ (x, t) a contribuição não-newtoniana do fluido, β é um parâmetro adimensional definido como a razão entre a viscosidade do solvente µ s e a viscosidade total µ (µ = µ s + µ p, onde µ p é a viscosidade do polímero) e Re é o número de Reynolds, outro parâmetro adimensional definido por: Re = UL, onde U e L representam escolhas apropriadas de escalas de velocidade e comprimento, ν respectivamente, e ν é a viscosidade cinemática. A contribuição não-newtoniana τ é definida por uma equação constitutiva, cuja formulação matemática depende do tipo de fluido (Oldroyd-B, Giesekus, FENE-P, FENE-CR, entre outros). Não raro, esta equação constitutiva é formulada em termos do tensor conformação A, que se relaciona com a contribuição não-newtoniana pela seguinte equação: Bolsista de Mestrado FAPESP τ = ξ (A I), (3) 274

2 onde ξ é um parâmetro que depende do tipo de fluido e I é o tensor identidade. O tensor conformação A é definido como [4]: A < rr >, (4) onde r é o vetor que separa duas contas ("beads") na molécula polimérica e <> denota uma média sobre a distribuição espacial. A partir desta definição segue-se que o tensor conformação é simétrico definido positivo ou "Symmetric Positive Definite (SPD)". A equação constitutiva do tensor conformação A para um fluido Oldroyd-B é dada por: A t + (u. ) A = ut A + A u + 1 (I A). (5) W i O presente trabalho apresenta três decomposições matriciais aplicadas ao tensor conformação A, usadas como um artifício na tentativa de solucionar, ou minimizar, os problemas causados pelo Problema de Alto Número de Weissenber ou "High Weissenberg Number Problem" (HWNP). Mais especificamente, apresentamos as técnicas log-conformação, proposta por Fattal e Kupferman [2, 3] e decomposição do tipo raiz quadrada apresentada por Balci et al. [1]. 2 O Problema de Alto Número de Weissenberg O Problema de Alto Número de Weissenberg, tem sido um grande obstáculo na reologia computacional desde o início dos anos Este é um fenômeno numérico que acarreta em instabilidades numéricas e na não convergência da solução, mesmo com diferentes formulações ou formas de discretização (diferenças finitas, volumes finitos, elementos finitos, entre outros). Os esquemas numéricos entram em colapso ("breakdown") quando o número de Weissenberg (W i) - um parâmetro adimensional usado no estudo de escoamentos viscoelásticos, definido como o produto entre o tempo de relaxação (λ 1 ) e a taxa de deformação ( U L ) - excede o valor crítico (W i crit), que depende de vários fatores, como, por exemplo, da geometria do problema, modelo viscoelástico, dados iniciais, método numérico e a malha computacional. Uma forma de impedir esses problemas procedentes do HWNP, que vem sendo desenvolvida recentemente, é por aplicar decomposições matriciais ao tensor conformação A, reformulando sua equação constitutiva. 3 Decomposições matriciais aplicadas ao tensor conformação Nesta seção, apresentamos duas formulações para a equação constitutiva do tensor conformação A usando as técnicas log-conformação [2, 3] e decomposição do tipo raiz quadrada [1]. 3.1 Log-conformação A primeira reformulação da equação constitutiva que apresentamos, por meio de manipulações algébricas sobre o tensor conformação, é a técnica matriz logarítmica ou log-conformação, proposta por Fattal e Kupferman [2, 3]. A primeira medida que tomamos, em direção a reformulação de (5), por meio da técnica logconformação, é reescrevermos a equação (5) aplicando uma decomposição ao gradiente transposto da velocidade u T. Esta decomposição fundamenta-se no seguinte teorema (ver [2]): Teorema 3.1. Seja u um campo de velocidade e A o tensor conformação que é simétrico definido positivo. Então, o gradiente transposto da velocidade u T pode ser decomposto como: u T = Ω + B + NA 1, (6) onde Ω = Ω ( u T, A ) e N = N ( u T, A ) são anti-simétricas, e B = B ( u T, A ) é simétrica e comuta com o tensor conformação A. Assim, podemos reescrever a equação (5), substituindo (6) em (5), como: A t + (u. ) A = (ΩA AΩ) + 2BA + 1 (I A). (7) W i 275

3 Fazendo a mudança de variável Ψ = loga, que implica e Ψ = A, através da aplicação inversa, e substituindo, em (7), A por e Ψ e usando algumas manipulações algébricas (ver [2]), obtemos a seguinte equação evolutiva para Ψ: Ψ + (u. ) Ψ = (ΩΨ ΨΩ) + 2B + 1 ( e Ψ I ). (8) t W i Aproveitando-se das propriedades da matriz A, simétrica definida positiva, podemos decompôla como: A = OΛO T, (9) onde Λ é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de A, O é uma matriz ortogonal dos autovetores de A e O T sua transposta. Assim, calculamos a matriz Ψ da seguinte maneira: [ ] Ψ = loga = OlogΛO T logλ1 0 = O O T. (10) 0 logλ 2 Então, após a evolução temporal de Ψ obtemos a matriz A através da aplicação inversa do logaritmo, isto é, [ ] A = e Ψ = Oe Λ O T e λ 1 0 = O 0 e λ O T. (11) 2 Observação 3.1. Notemos que, após calculado Ψ n+1, Ψ no tempo t n+1, os autovalores O e Λ ainda estarão num tempo anterior t n, assim, os autovalores e autovetores que figuram na equação (11) não são os mesmos que tínhamos no tempo t n, mas foram obtidos, agora, decompondo-se a matriz Ψ = OΛO T, e esta deverá ser realizada a cada novo cálculo no tempo, para cada ponto da malha espacial. Uma vez calculado A podemos atualizar a contribuição não-newtoniana τ por meio da relação (3), e assim, nos preparar para o novo cálculo das equações de Navier-Stokes (1) e (2). Esta formulação de fato contribuiu para a estabilidade dos esquemas numéricos conforme declarado pelos autores e assegurada pelos resultados numéricos [3, 2], mas de acordo com estes mesmos, houve uma degradação em termos de precisão. 3.2 Decomposição do tipo raiz quadrada Há uma grande dificuldade em se construir esquemas numéricos que sejam vantajosos em termos de precisão e estabilidade simultaneamente. Balci et al. [1] propuseram uma nova formulação para a equação constitutiva, baseada na matriz raiz quadrada do tensor conformação, que, segundo os autores, resultaram em benefícios tanto em termos de precisão como, também, estabilidade. Além das vantagens sobre a precisão e estabilidade, não há aumento significativo no custo computacional e esta não requer o cálculo de autovalores. O tensor conformação A possui uma única decomposição do tipo raiz quadrada A = Q 2, (12) onde Q também é uma matriz simétrica definida positiva. Por meio da substituição de (12) em (5) e algumas manipulações algébricas, obtemos a seguinte equação evolutiva para Q: 1 ( + (u. ) Q = Q u + GQ + Q 1 Q ), (13) 2W i Q t [ ] 0 G xy onde G = G xy é uma matriz anti-simétrica, dada por 0 G = 1 2 [ Q uq 1 ( Q 1) T u T Q T ]. (14) 276

4 Embora possamos construir a matriz G por (14), esta equação é usada apenas para nos prover informações sobre a matriz em questão, como, por exemplo, de ser anti-simétrica. Vamos construir a matriz G de tal forma que as equações de evolução para A e para o tensor Q sejam coerentes. Definimos o tensor K, como K = GQ + Q u, (15) que impomos ser simétrico, resultante da paridade com o termo rotacional u T A+A u de (5). Assim, construímos o tensor G como consequência de ou seja, estabelecemos que implica em G xy = K T = K, (16) (GQ + Q u) T = GQ + Q u, (17) ( ) ( ) Qxy u v Qxx + Qyy u v Qxy x x y y Q xx + Q yy. (18) Segundo os autores Balci et al. [1] a escolha apropriada de G, conforme (18), garante a preservação da simetria de Q. Após atualização do tensor Q, usamos a equação (12) para construirmos o tensor conformação A, e por fim, atualizamos τ pela relação (3). 4 Resultados Preliminares Os testes apresentados a seguir foram realizados para o escoamento entre placas paralelas (Poiseuille flow), com dimensões 5 1, passo temporal dt = 10 3, passo espacial dx = dy = 0.1 e 0.05, Re = 0.1 e W i = 1 e 2. Para estes testes numéricos, as decomposições matriciais foram incorporadas na formulação de Oishi et al.[5] para solução numérica das equações de Navier- Stokes. Observamos que os resultados de τ xx e u para W i = 1, obtidos com a decomposição do tipo raiz quadrada e log-conformação, estão muito próximos dos resultados apanhados com a evolução de τ sem o uso de decomposições, como se pode analisar nas figura 1 e 2. Os resultados nestas figuras (e também na figura 3) foram produzidos por meio de um corte vertical no centro das placas no tempo t = 5s. Com o objetivo de quantificar os erros e comparar o comportamento dos esquemas, apresentamos nas tabelas 1 e 2, um estudo entre soluções exata e numérica, para dois tipos de malha. Figura 1: Cálculo de τ xx com relação a y para W i = 1, com e sem o uso de decomposições matriciais 277

5 Figura 2: Cálculo de u com relação a y para W i = 1, com e sem o uso de decomposições matriciais Sem decomposição Log-conformação Raiz quadrada Erro τ xx Erro u Tabela 1: Erro relativo da tensão τ xx e da velocidade u calculadas no tempo t = 5s, para W i = 1 e passo espacial dx = dy = 0.1, com a norma euclidiana, para os método log-conformação, decomposição do tipo raiz quadrada e sem o uso de decomposições Sem decomposição Log-conformação Raiz quadrada Erro τ xx Erro u Tabela 2: Erro relativo da tensão τ xx e da velocidade u calculadas no tempo t = 5s, para W i = 1 e passo espacial dx = dy = 0.05, com a norma euclidiana, para os métodos log-conformação, decomposição do tipo raiz quadrada e sem o uso de decomposições O caso para W i = 2, continua estável para ambos os métodos, como mostram as figuras 3 e 4, porém, o método do tipo raiz quadrada, diferentemente do comportamento esperado, conforme declarado pelos autores em [1], resultou em perda de precisão, como indica a figura 3. Não obstante, o uso do método com decomposição do tipo raiz quadrada resultou em vantagens em termos de custo computacional, sendo este muito próximo do custo exigido na evolução direta de τ, tabela 3. Figura 3: Cálculo de τ xx com relação a y para W i = 2, com e sem o uso de decomposições matriciais 278

6 Figura 4: Cálculo de u com relação a y para W i = 2, com e sem o uso de decomposições matriciais tempo evolução direta de τ log-conformação raiz quadrada 10s 00:27 01:00 00:29 20s 00:52 01:58 00:56 30s 01:15 02:53 01:21 40s 01:37 03:48 01:54 50s 02:00 04:44 02:10 Tabela 3: Tempo de CPU (min:seg) obtido com W i = 1 5 Conclusão Tendo em vista os resultados apresentados, o uso das decomposições aplicadas ao tensor conformação não corromperam, pelo menos não de maneira impetuosa, os resultados esperados. Isto é confirmado pelas tabelas e gráficos apresentados, onde o comportamento de τ xx com o uso de manipulações sobre A não difere, de modo expressivo, do comportamento dos mesmo com a evolução direta de τ, com exceção do método raiz quadrada para W i = 2 em que há uma evidente perda na precisão. Mas, tratando-se de um estudo inicial, não podemos dizer, com certeza, qual dos métodos é melhor, se é que há uma melhor, e em quais circunstâncias faz sentido essa comparação. Entretanto, cada uma deles contribuiu, mesmo que de maneira limitada, para avançarmos em busca de soluções cada vez mais significativas para o HWNP. Referências [1] N. Balci; B. Thomases; M. Renardy; C. R. Doering, Symmetric factorization of the conformation tensor in viscoelastic fluid models, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 166 (2011) [2] R. Fattal; R. Kupferman, Constitutive laws for the matrix-logarithm of the conformation tensor, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 123 (2004) [3] R. Fattal; R. Kupferman, Time-dependent of viscoelastic flows at high Weissenberg number using the log-conformation representation, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 126 (2005) [4] M. A., Hulsen, A sufficient condition for a positive definite configuration tensor in differential models, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 38 (1990) [5] C. M. Oishi; F. P. Martins; M. F. Tomé; J. A. Cuminato; S. Mckee, Numerical solution of the extended Pom-Pom model for viscoelastic free surface flows, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 166 (2011)