Teste Intermédio B I (50%)

aculdade de Economia da Universidade ova de isboa ernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Teste Intermédio B Data: 14 de Abril de 2007, 11.00 Duração: 2 horas ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a cada grupo numa folha separada. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (50%) 1. Considere os seguintes dados classificados referentes ao tempo de internamento (em dias) na unidade de cuidados intensivos do Hospital Rápidas Melhoras de isboa, de uma amostra de 130 doentes: úmero de dias de internamento úmero de doentes 0-12 -30 35 30-45 45 45-60 30 60-75 8 a) (7,5%) Construa a tabela de frequências e represente graficamente a distribuição através de um histograma de área. b) (5%) Determine o tempo médio de internamento. c) (5%) Qual a percentagem de doentes cujo tempo de internamento é superior à média? d) (5%) Sabendo que f.x utilizando este resultado. 45, calcule a variância da variável em estudo, e) (10%) Determine o coeficiente de Bowley e comente a assimetria da distribuição. f) (7,5%) Calcule o índice de Gini e comente o resultado obtido. 2. ara o Hospital Rápidas Melhoras do orto a média e a variância do tempo de internamento na unidade de cuidados intensivos obtidos para uma amostra de 100 doentes foram os seguintes: x 28 e s 270. a) (5%) Determine a variância dos tempos de internamento dos dois Hospitais. b) (5 %) Comente, quantificando, a seguinte afirmação: o Hospital Rápidas Melhoras do orto os tempos de internamento são mais dispersos. 1

II (35%) os Hospitais Rápidas Melhoras de isboa e do orto, organizados da mesma forma, existem 3 especialidades: ftalmologia, Dermatologia e isiologia. Cada hospital tem o direito de determinar os seus próprios preços, mas é obrigado a fixar um preço único para cada especialidade, em cada ano. A seguinte informação encontra se disponível: Ano isboa ftalmologia Dermatologia isiologia º Consultas reço º Consultas reço º Consultas reço 2002 550 10 100 20 350 12 2003 300 12 0 20 400 14 2004 450 200 25 375 20 2005 350 10 225 37,5 500 20 Ano orto ftalmologia Dermatologia isiologia º Consultas reço º Consultas reço º Consultas reço 2002 300 8 200 75 2003 500 10 350 20 0 20 2004 200 22 550 25 100 22 2005 175 20 300 30 200 25 a) (7,5%) Calcule o índice elo de quantidades de isiologia do orto. b) (10%) Sabendo que, no que diz respeito à especialidade de ftalmologia de isboa, I / 1,2 e I / 0,8, calcule um índice simples de preços, com base em 2001, para esta especialidade em isboa. c) (10%) Calcule o índice de aspeyres de quantidades das consultas do orto no ano de 2004 com base em 2003. Calcule o índice de aasche de preços de Dermatologia, nos mesmos anos. Como interpreta estes valores? d) (7,5%) Sabendo que o índice de aspeyres de preços das consultas de isiologia de 2006 com base em 2005 é 1,1 e que o preço das consultas desta especialidade em isboa foi 21 em 2006, calcule o preço das consultas de isiologia no orto em 2006. III (%) a) (5%) orque razão a última classe de uma distribuição de frequências não é considerada no cálculo do índice de Gini? Justifique a sua resposta. b) (5%) Se o índice de aspeyres de preços for inferior ao índice de rendimento, que pode concluir sobre o valor do índice de aasche de quantidades? Justifique a sua resposta. c) (5%) Se lhe dessem a opção de o cálculo da sua média de icenciatura ser feito utilizando a média aritmética ou a média harmónica, qual escolheria? orquê? E para calcular a média dos lucros e prejuízos anuais de uma empresa ao longo de vários anos, que tipo de média escolheria: a média aritmética ou a média geométrica? orquê? 2

aculdade de Economia da Universidade ova de isboa ernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Correcção Teste Intermédio B I (50%) 1. a) (7,5%) úmero de dias de internamento úmero de doentes x j S j f j j * x j.f j h j n j /h j 0-12 7,5 12 0,092 0,092 0,692 0,8-30 35 22,5 47 0,269 0,4 6 2,(3) 30-45 45 37,5 92 0,346 0,708 12,981 3 45-60 30 52,5 122 0,231 0,938 12,1 2 60-75 8 67,5 130 0,062 1 4,4 0,5(3) histograma pretendido é o de área, logo temos de colocar no eixo dos yy (n j /h j ): n j /h j 3,5 Histograma de Área 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0- -30 30-45 45-60 60-75 Classes b) (5%) tempo médio de internamento é dado por x f.x 36 dias. c) (5%) X 36 1 36 1 0,5 0,5 tempo médio de internamento pertence à classe ]30,45]. or interpolação linear, temos que: 1

45 30 45 30 36 0,5 45 36 0,708 0,4 45 36 0,708 36 9 d) (5%) A variância pode ser calculada pela seguinte expressão: s f.x x 45 36 249 dias. g e) (10%) coeficiente de assimetria de Bowley é definido pela seguinte expressão: Q M M Q Q M M Q primeiro quartil é dado por: Q 0,25. Através das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a), podemos concluir que Q se situa na classe ],30]. or interpolação linear, temos que: 30 30 Q Q 0,4 0,092 0,25 0,092 Q Q 23,786 segundo quartil, ou mediana, é dado por Q 0,5. Através da frequência relativa acumulada da média calculada na alínea b), podemos concluir que Q 36. terceiro quartil é dado por Q 0,75. Através das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a), podemos concluir que Q se situa na classe ]45,60]. or interpolação linear, temos que: 60 45 60 45 Q Q 45 45 0,938 0,708 0,75 0,708 Q 45 Substituindo os valores encontrados na expressão anterior temos que: g 48 36 36 23,786 0,019 48 36 36 23,786 Q 48 Através da observação do histograma e face ao resultado obtido para o coeficiente de Bowley, podemos concluir que a distribuição é assimétrica negativa ou enviesada à esquerda, ainda que muito perto de ser simétrica. 2 f) (7,5%) índice de Gini pode ser obtido pela seguinte expressão: G p q ; p n ; q p t t onde t j representa o total do atributo na classe j q j valores relativos acumulados do atributo (dias de internamento) p j frequências relativas acumuladas dos elementos (doentes)

quadro seguinte apresenta de forma resumida o cálculo de q j e p j para cada uma das classes: úmero de dias de internamento úmero de doentes x j f j j *= p j t j t j r q j 0-12 7,5 0,092 0,092 90 0,019 0,019-30 35 22,5 0,269 0,4 787,5 0,168 0,188 30-45 45 37,5 0,346 0,708 1687,5 0,361 0,548 45-60 30 52,5 0,231 0,938 75 0,337 0,885 60-75 8 67,5 0,062 1 540 0,1 1 130-1 - 4680 1 - Utilizando os valores do quadro anterior, obtemos: G p q p 0,461 2,1 0,219 valor obtido para o índice de Gini revela que a concentração dos doentes nos períodos de internamento é reduzida. 2. a) (5%) Estatística Hospital Rápidas Melhoras de isboa Hospital Rápidas Melhoras do orto Dimensão da amostra 130 100 Tempo médio de internamento (dias) Variância do tempo de internamento (dias 2 ) 36 28 249 270 tempo médio de internamento do conjunto dos dois hospitais é dado por: x.x 130.36 100.28 4ª propriedade da média 32,522 dias 230 A variância do tempo de internamento do conjunto dos dois hospitais é dada por: s.s. x x 2ª propriedade da variância 130.249 100.270 130. 36 32,522 100. 28 32,522 273,695 dias 230 b) (5 %) isboa: v s 249 0,438 x 36 orto: v s 270 0,587 x 28 3

A afirmação é verdadeira, os tempos de internamento são mais dispersos no Hospital Rápidas Melhoras do orto (coeficiente de dispersão mais elevado). II (35%) I a) (7,5%) q q 0 75 2; I q q 100 0 0,6; I q q 200 100 2 b) (10%) I / 1,2 p p I / 0,8 p p I 1 / 1 p p I / 12 8 1,5; I / c) (10%) p / p 000 000 1 D p / 1,2 12 p 1,2p 10 0,8p 10 0,8p 0,8 1,25; I / p.q.q D D.q D p D.q p p 8 p 1; I / 8 1,875; I / p.q D p D.q p p p p.q p.q D p D.q p.q p D D.q D p D.q D p D.q D p D.q p 10 8 1,25; I / 10 8 1,25 25.200 25.550 20.200 20.550 10.200 20.550 20.100 10.500 20.350 20.0 18750 000 1,25 R: valor do índice de apeyres indica nos que, entre 2003 e 2004, o número de consultas no Hospital do orto, apesar de ter evoluído de forma diferente em cada especialidade, no geral e ponderado pelos preços de 2003, não se alterou. valor do índice de aasche indica nos que, no mesmo período, o preço das consultas de Dermatologia, apesar de ter variado de forma diferente para cada hospital, no geral e ponderado pelas quantidades de 2004, aumentou 25%. d) (7,5%) p p 1,1 21I /.q p.q 1,05 1,1% Despesa.I 500.20 500.20 200.25.1,05 200.25 500.20 200.25.I 2 3.1,051 3.I 1,1 1,1I 1,2 4

I 1,2 p p 1,2p 25 1,2p 30 III (%) a) (5%) A última classe de uma distribuição de frequências não é considerada no cálculo do Índice de Gini, de forma a que o seu valor se encontre compreendido entre 0 e 1, sendo 0 quando estamos perante uma distribuição igualitária da variável em causa e 1 se a variável for perfeitamente concentrada. Atentemos na situação de total concentração, descrita pela seguinte tabela: x j n j f j p j t j t j r q j 0 n 1 n 1 / n 1 / 0 0 0 A n 2 n 2 / 1 a.n 2 1 1 1 - a.n 2 1 - Utilizando a última classe no índice de Gini, vem G p q 1 p q 1 01 p n 1 n n 1 Assim, para garantir que uma distribuição perfeitamente concentrada apresenta um Índice de Gini de valor 1, a sua última classe deve ser ignorada no cálculo desta medida. b) (5%) /./ I / I/ / / I / I / / 1 / 1 / R: osso concluir que o índice de aasche de quantidades vai ser superior a 1, ou seja, que as quantidades, no geral e ponderadas pelos preços do ano corrente, vão aumentar. c) (5%) Se me dessem a opção de calcular a minha média de licenciatura, eu utilizaria a média aritmética pois, para o mesmo conjunto de observações, o seu valor é sempre superior ou igual ao da harmónica, sendo natural que eu pretendesse obter a maior média de licenciatura possível. o cálculo do lucro médio de uma empresa ao longo dos anos, eu também utilizaria a média aritmética, pois existe a possibilidade de ocorrência de prejuízos, que mais não são são do que observações negativas, o que inviabiliza a correcta utilização da média geométrica, só utilizada quando todas as observações são positivas. 5