1º Trabalho. 1. A variável Y representa as exportações mensais (em milhares de euros) de 120 empresas do sector têxtil:

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1 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves º Trabalho. variável Y representa as exportações mensais (em milhares de euros) de 0 empresas do sector têxtil: Y j n j f j a 0, b a) presente a tabela de frequências (frequências relativas e absolutas e respectivos valores acumulados). b) Desenhe o histograma de área um e o polígono de frequências. c) Calcule a média, a mediana e a moda de Y. Interprete os valores obtidos. d) Calcule a variância e o intervalo inter-quartis. e) Considere a variável Z i = Y i + 0. Calcule as medidas de localização pedidas em c) para a nova variável.. Escola rimária Criança Feliz oferece todos os anos livros às crianças mais desfavorecidas que frequentam o º ano. o longo dos 4 últimos anos a escola dispôs de um montante fixo, igual a 50 euros, para aquisição de livros escolares. Suponha que no º ano o preço de cada livro foi igual a 5 euros e que nos restantes três anos se verificou um aumento de 0% por ano. Calcule o preço médio por livro durante os últimos 4 anos.

2 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Correcção º Trabalho. a) Resolvendo as equações 5 + a b = 0 e a/0 = 0,38, obtemos a = 46 e b = 9. Tabela de frequências Y j X j h j n j f j S j F j(x) f j /h j , ,083 0, , ,596 0, ,3333 0,949 0, , ,0075 b) olígono de frequências f j /h j 0,03 0,05 0,0 0,05 0,0 0, Classes

3 304 nálise de Dados e robabilidades c) Média ara dados classificados a média aritmética é dada por: x = m j= n x j N ' j = m j= f x j ' j ssim, para os dados apresentados em a), temos que: x = 0 0, , , ,0750= 35,. Em média o valor das exportações mensais, das empresas do sector têxtil, é de 35, milhares de euros. Moda Dado que as classes têm amplitudes diferentes, a classe modal é a classe com maior f j /h j ]0;40] ela fórmula de King, d0+ 0,067 m0 = l0 + h0 = 0+ 0 = 3,35 d + d 0,067+ 0,

4 304 nálise de Dados e robabilidades O valor das exportações mensais mais frequente, no conjunto de empresas do sector têxtil consideradas, é de 3,35 milhares de euros. Mediana O segundo quartil, ou mediana, é dado por F (Q /4 ) = 0,5. través das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a) podemos concluir que Q /4 se situa na classe ]0;40]. or interpolação linear temos que: F (40) F (0) F (Q = 40 0 Q Q / 4 = 35,0 / 4 / 4 ) F (0) 0,596 0,083 0,50 0,083 = 0 0 Q 0 50% das empresas do sector têxtil apresentam um valor de exportações mensais inferior a 35,0 milhares de euros. / 4 d) Variância s 4 ' = fj (X j j= X) + 0,3333 (50 35,) = 0,083 (0 35,) + 0,0750 (65 35,) + 0,3833 (30 35,) = 8,47 + Quartis O primeiro quartil é dado por F (Q /4 ) = 0,5. través das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a) podemos concluir que Q /4 se situa na classe ]0;40]. or interpolação linear temos que: F (40) F (0) F (Q = 40 0 Q Q / 4 =,76 / 4 / 4 ) F (0) 0,596 0,083 0,5 0,083 = 0 0 Q 0 O terceiro quartil é dado por F (Q 3/4 ) = 0,75. través das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a) podemos concluir que Q 3/4 se situa na classe ]40;60]. or interpolação linear temos que: F (60) F (40) F (Q = Q Q 3 / 4 = 49,505 3 / 4 3 / 4 / 4 ) F (40) 0,949 0,596 0,75 0,596 = 40 0 Q 40 Intervalo inter quartis = Q 3/4 Q /4 = 49,505,76 = 7,39 3 / 4 3

5 304 nálise de Dados e robabilidades e) z = 35,+ 0 = 45, ; Mediana Z = 35,0 + 0 = 45,0; Moda Z = 3, = 43,35. = 5 euros; = 5,5 euros; 3 = 6,05 euros e 4 = 6,655 euros O preço médio por livro durante os últimos 4 anos é dado por: 4 4 = ,5 6,05 6,655 mh = = 4 i= i 5,736 euros 4

6 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves º Trabalho. Numa dada região, apenas são comercializados três produtos:, B e C. São conhecidos os seguintes dados referentes ao preço do produto ao longo de 7 anos: no reço Índice Base 000 Índice Base 00 Índice Elo , ,5, 004,75 005, , a) Complete a tabela. b) Sabendo que a média aritmética dos índices de preços dos três produtos de 006 com base em 005 é e que os preços do produto B cresceram, de 005 para 006, mais 0% do que os do produto C, calcule / e /. c) Em 005 e 006, a despesa total efectuada nesta região foi a mesma, 000 Euros em cada ano. Sabendo que /, /, / e /,5, calcule a despesa efectuada com cada um dos produtos, em cada um dos anos (005 e 006). d) Calcule o Índice de Laspeyres e o Índice de aasche, ambos de preços, para o ano 006, com base em 005 (lembre se que para calcular estes índices, não precisa directamente dos preços e quantidades e procure modificar as fórmulas originais de forma a utilizar apenas os valores dos índices de preços e percentagens de despesa com cada um dos produtos). e) Qual o valor do Índice de Fisher de quantidades de 006, com base em 005?. Existem várias hipóteses para o cálculo de índices sintéticos que representem a evolução conjunta de vários fenómenos. Uma delas é a média geométrica não ponderada dos índices simples de cada um dos fenómenos, ou seja / (sendo o número total de fenómenos). Verifique quais os critérios de Fisher que este índice respeita, dentro daqueles que lhe são aplicáveis.

7 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Correcção º Trabalho. a) I / I I I / I / ; I / ; I / I,5; I / I,;, 5; I /, ; I /,5 9; I /,5; I / I / I / I / I, 0,8; I /,8; I,07. b) I /,875; I / 0,9; I /,; I,5 0;,5 8;,75 4;,5;,4;,6; no reço Índice Base 000 Índice Base 00 Índice Elo ,8-00 9,5 0,9,5 00 0,5,() 003,5,, 004 4,75,4,(6) 005 5,875,5, ,5,8, I, Crescimento preços B Crescimento preços C B 0,I / I/ C 0,

8 304 nálise de Dados e robabilidades I C I / 0,8 B C I I B C I / I 0, 0,8 0, c) 005: 3, I C 0,I 3 D I C/ Despesa C Despesa Despesa C Despesa D I /B Despesa B Despesa Despesa B Despesa Despesa Total 000 Despesa Despesa B Despesa C 000 Despesa Despesa Despesa 000 Despesa 400 Despesa B D 00; Despesa C Despesa : D I / Despesa Despesa Despesa Despesa 400 C 00 D I B /,5 Despesa B B Despesa,5Despesa B,5.Despesa B, Despesa Total 000 Despesa Despesa B Despesa C Despesa C 000 Despesa C 500 d) L p.q p.q p.q p.q. p p p.q. p p p.q. p p p.q p.q %Despesa.I / , ,8

9 304 nálise de Dados e robabilidades p.q p p.q.q p.q. p p p.q. p p p.q p.q. p p p p.q.q p..q p p , 000 0, ,8 %Despesa I / e) O índice de Fisher é reversível quanto aos factores, o que significa que o produto do índice de Fisher de preços pelo índice de Fisher de quantidades, referentes aos mesmos anos, resulta no índice de valor. Logo: V F /.F / I / L /. /.F / ,96.F / F /,045. G / I / Despesa Total.0,96.F Despesa Total / º Critério Boa determinação: artindo do princípio que a variável em análise nunca se anula, nem é infinitamente grande ou pequena, o índice nunca se deve anular, ser infinito, ou ser indeterminado: t, j, x 0x 0 0 I / I / 0 I / 0I / I / I / G / 0G / º Critério Identidade: O índice deve ser unitário quando o ano base e o ano corrente são o mesmo: G / 3º Critério Homogeneidade: O índice deve ser independente de mudanças de medida: G /... I / G / 4º Critério roporcionalidade: variação dos valores da variável em análise no ano corrente deve alterar o índice no mesmo factor: 3

10 304 nálise de Dados e robabilidades G /.. k. I / k.g / k. I / k. I / k. I / 5º Critério Reversão quanto aos factores (não totalmente aplicável, por não se tratar especificamente de um índice relativo a preços e quantidades): O produto do índice relativo a preços pelo índice relativo a quantidades deve resultar no índice de valor: G /.G /.. V I /.... 6º Critério Reversão quanto ao tempo: O produto de dois índices em que o ano corrente e o ano base estejam invertidos deve ser unitário: G /.G /... 7º Critério: Circularidade: O produto de um índice de um ano com base num segundo por outro do segundo ano com base num terceiro deve resultar no índice do primeiro ano com base no terceiro (a mudança de base deve ser possível): G /.G / I /. G /.. 4

11 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves 3º Trabalho. Suponha que 6 amigos, o druzílio, o Bráulio, o Cílio, a Deotila, a Edéria e a Flamínia, vão jogar um jogo. rimeiro sentam se aleatoriamente numa mesa redonda com 6 lugares (não se esqueça que, nestes casos, só interessa a disposição relativa dos lugares). Depois, jogam de 3 jogos, em que a equipa masculina compete com a feminina. Caso as raparigas fiquem todas juntas, um rapaz e uma rapariga jogam ao edra, apel ou Tesoura, com o empate a ser considerado vitória das raparigas. Se se sentarem de forma alternada (rapazrapariga), lançam um dado. Se sair um número primo, ganham os rapazes. Caso contrário, ganham as raparigas. Finalmente, se a disposição dos lugares não for nenhuma das anteriores, tiram 3 cartas de um baralho com 5. Se saírem mais cartas de naipes pretos do que encarnados, a vitória é da equipa masculina. Caso contrário, são as raparigas que ganham. a) Calcule as probabilidades de se jogar cada um dos 3 jogos diferentes. b) ara cada um dos 3 jogos, calcule a probabilidade de vitória das raparigas e dos rapazes. c) Qual a probabilidade de a equipa masculina sair vencedora? d) O jogo foi jogado uma vez e ganharam os rapazes. Qual a probabilidade de se terem sentado de forma alternada (rapaz rapariga)? e) Considere que os lugares estão à mesma distância uns dos outros. Os acontecimentos : Deotila senta se à frente da Flamínia e B: O jogo edra, apel ou Tesoura é jogado são independentes?. No futebol, é normal haver adeptos de mais do que um clube. É o que se passa num grupo de 0 amigos. Sabe se que, neste grupo, pessoas não são adeptas de nenhum clube e apenas há adeptos do Sporting, Benfica e Belenenses. 40% (dos 0 amigos) simpatizam com o Benfica e 30% com o Belenenses, sendo que, dos adeptos do Benfica, 5% também são adeptos do Belenenses. Sabe se ainda que 0% dos amigos são adeptos do Sporting e do Belenenses, simultaneamente. Obviamente que nenhum dos amigos é adepto do Sporting e do Benfica. Quantos dos amigos são adeptos do Sporting?

12 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Correcção 3º Trabalho. a) ara sabermos as probabilidades de se jogar cadaa um dos jogos, basta calcular as probabilidades das disposições dos lugares que lhes dão origem. Vamos definir os seguintess acontecimentos: : s raparigas sentam se todas juntas B: s raparigas e os rapazes sentam se de forma alternada C: Os amigos sentam se de forma a que nem as raparigas estejam rapazes e raparigas estejam alternados todas juntas, nem os Numa mesa redonda, só interessa a disposiçãoo relativa dos lugares, não interessa o lugar específico ocupado por cada pessoa. or isso, o número total de casos possíveis pode ser determinado fixando uma das pessoas e contabilizando o número de disposições que as outras podem formar. ssim, o número de casos possíveis é 6!5! Fixo ermuta ermuta ermuta ermuta ermuta araa vermos o número de casos possíveis relativos ao acontecimento, temos que nos lembrar que, estando os rapazes e as raparigas todos juntos, os lugares relativos que ocupam no seu sub grupo (dos rapazes ou das raparigas) podem variar. Mais do que isto, se contabilizarmos os casos segundo esta lógica, não estamos a repetir nenhum, já que sempree que há uma permutação dentro de um sub grupo, seja ele qual for, o caso é diferente de qualquer outroo que já tenha sido contabilizado. or isso, o número de casos favoráveis é 3!.3!

13 304 nálise de Dados e robabilidades á no acontecimento B, o raciocínio é ligeiramente diferente. Se nos limitarmos a dizer que os rapazes podem trocar entre si, assim como as raparigas, estamos a ignorar o facto que, se a partir de uma certa disposição de lugares, todos os amigos se deslocarem, por exemplo, um lugar para a esquerda (o que pode se visto como uma permutação dos rapazes e das raparigas), a disposição relativa dos lugares não se altera. or isso, aqui, é necessário fixar um dos amigos, rapaz, ou rapariga e deixar os outros do mesmo sexo permutar entre si. ara cada um destes casos, os amigos do outro sexo podem permutar entre si. ssim, o número de casos favoráveis aqui é (3!.3!!.3! O acontecimento C engloba todos os casos que não estão incluídos nos outros, pelo que o número de casos favoráveis que regista é º jogo ; º jogo B 0 0 ; 3º jogo C b) º jogo: edra, apel ou Tesoura: Neste jogo, um rapaz e uma rapariga jogam entre si, escolhendo simultaneamente fazer o gesto de uma pedra, papel ou tesoura. pedra destrói a tesoura, mas é embrulhada pelo papel. tesoura corta o papel, mas é destruída pela pedra. O papel embrulha a pedra, mas é cortado pela tesoura. ssim, os rapazes ganham quando jogam a pedra e as raparigas a

14 304 nálise de Dados e robabilidades tesoura, quando jogam a tesoura e as raparigas o papel e quando jogam o papel e as raparigas a pedra. s raparigas ganham em todos os outros casos. qui é natural que todas as estratégias são jogadas com a mesma probabilidade, porque nenhuma delas torna a vitória mais provável. M edra M Tesoura F Tesoura M apel F apel M edra F edra M.Tesoura F Tesoura M.apel F apel M.edra F F M M 3 3 º jogo: Lançamento do dado qui é apenas necessário contabilizar os casos favoráveis à vitória de cada uma das equipas. Considerando um número primo como um número inteiro que apenas quando é dividido por ou por si próprio resulta num número inteiro, verificamos que, o conjunto,,3,4,5,6, que compreende os resultados possíveis no lançamento de um dado, se divide nos subconjuntos,,3,5, apenas constituído por números primos e 4,6, onde apenas figuram números não primos. M B F B 6 3 3º jogo: Extracção de cartas Neste jogo, basta reparar que, ao serem extraídas 3 cartas, uma de duas coisas têm que acontecer: ou saem mais cartas encarnadas ( ou 3), ou saem mais cartas pretas ( ou 3, também). Mais ainda, como o número de cartas encarnadas de um baralho é igual ao número de cartas pretas, as vitórias dos rapazes e das raparigas têm que ser equiprováveis. M C F C M C F C M C F C c) probabilidade deste acontecimento pode ser facilmente calculada, usando o Teorema da robabilidade Total. De facto, os acontecimentos, B e C são uma partição do universo, na medida em que um dos jogos vai ser jogado e não pode ser jogado mais do que simultaneamente. vitória dos rapazes pode acontecer quando se joga o º, o º, ou o 3º jogo: 3

15 304 nálise de Dados e robabilidades B C S M M M BM C M.M\ B.M\B C.M\C.M B.M B C.M C R: probabilidade de a equipa masculina sair vencedora é. d) gora, basta utilizar o Teorema de Bayes. Este jogo desenrola se em fases: primeiro, os amigos sentam se e depois uma das equipas ganha o jogo que for jogado. O que se pretende saber é qual a probabilidade de uma disposição específica dos lugares ter dado origem à vitória de uma das equipas. pesar de ser fácil calcular a probabilidade de vitória dos rapazes, sabendo que se jogou um determinado jogo, aqui pede se a probabilidade associada ao raciocínio inverso: há várias causas possíveis para a vitória dos rapazes, que veio a acontecer. Qual a probabilidade de a causa ter sido a disposição dos lugares ter sido alternada? B\M B M M B. M\B.M\ B.M\B C.M\C R: Sabendo que a vitória foi da equipa masculina, a probabilidade de se terem sentado de forma alternada é. e) independência entre acontecimentos é equivalente à igualdade entre a probabilidade da sua intersecção e o produto das suas probabilidades. qui é fácil de ver que esta igualdade não se verifica. De facto, o acontecimento tem probabilidade positiva, já que inclui vários casos. O acontecimento B também é possível, já que para que se registe, basta que as raparigas se sentem todas juntas. No entanto, a intersecção entre os acontecimentos é impossível, já que, se a Deotila se senta em frente da Flamínia, lugares ficam por ocupar entre elas, sendo que pelo menos vai ser ocupado por um rapaz, impossibilitando as raparigas de ficarem juntas. Ou seja, não há nenhum caso em que, simultaneamente, a Deotila e a Flamínia fiquem sentadas em frente uma à outra e as raparigas fiquem todas juntas e, consequentemente, se jogue o jogo edra, apel ou Tesoura. or outro lado, podemos também olhar para a definição de independência. Dois acontecimentos são independentes se a probabilidade de ocorrer não for afectada pela ocorrência do outro. Mas aqui passa se exactamente o contrário. O acontecimento B tem probabilidade positiva, mas quando o acontecimento tem lugar, a sua probabilidade torna se nula

16 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves B 0;B 0; B 0 B.B e B não são independentes B B\. Neste problema, estamos perante 3 acontecimentos, com hipótese de se intersectar entre si, a que vamos chamar, B e C: : Um amigo, escolhido ao acaso, é do Sporting B: Um amigo, escolhido ao acaso, é do Benfica C: Um amigo, escolhido ao acaso é do Belenenses situação pode ser descrita pelo seguinte diagrama de Venn: S B C Os dados do enunciado são os seguintes: BC BC 0, BC 0,9 0 B 0,4; C 0,3; C\B 0,5; C 0,; B 0 Daqui facilmente tiramos as seguintes informações: 5

17 304 nálise de Dados e robabilidades BC B.C\B 0,4.0,5 0, B 0 BC 0 Com estes dados e conhecendo a reunião de 3 acontecimentos, podemos descobrir a probabilidade de : BC B C B C BC BC0,9 0,40,300,0,0 0,5 Nº adeptos Sporting. Nº amigos 0,5.0 0 R: 0 dos amigos são adeptos do Sporting. 6

18 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves 4º Trabalho. O número de aviões da companhia aérea SET que aterram por hora no aeroporto da Horta é uma variável aleatória de oisson com média 5. ssuma que o aeroporto funciona 8 horas por dia e 7 dias por semana. a) Qual a probabilidade de em duas horas aterrarem mais de 8 aviões da companhia aérea SET no aeroporto da Horta? b) Qual o valor médio e a variância da variável aleatória número de aviões da companhia aérea SET que aterram por dia no aeroporto da Horta? c) Qual a distribuição da variável aleatória X: número de períodos de uma hora num dia em que aterram exactamente 3 aviões da SET no aeroporto da Horta? Qual o valor médio e a variância desta variável?. O tempo de vida em horas de uma lâmpada do tipo, fabricada pela empresa RLUZ, tem distribuição Normal com média 600 horas e desvio padrão 00 horas, enquanto que o de uma lâmpada do tipo, fabricada pela empresa ROLUZ, tem distribuição Normal com média 800 horas e desvio padrão 50 horas. a) Qual a probabilidade de uma lâmpada do tipo durar mais do que 650 horas? b) Determine a probabilidade de o tempo de vida de uma lâmpada do tipo exceder o de uma lâmpada do tipo em pelo menos 0 horas. c) Qual a probabilidade de pelo menos uma das lâmpadas durar mais de 850 horas?

19 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 nálise de Dados e robabilidades Fernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Correcção 4º Trabalho. a) K: Número de aviões da companhia aérea SET que aterram por hora no aeroporto da Horta K~λ 5 Y: Número de aviões da companhia aérea SET que aterram por cada duas horas no aeroporto da Horta Y~λ 0 Y 8 Y 8 0,338 0,667 b) Z: Número de aviões da companhia aérea SET que aterram por dia no aeroporto da Horta ZK EZ EK EK aviões VZ VK VK aviões (ssumindo que o número de aviões que aterram em cada hora é independente do número de aviões que aterra na hora seguinte.) c) X: Número de períodos de uma hora num dia em que aterram exactamente 3 aviões da SET no aeroporto da Horta p K 3 0,404 n8 X~b8; 0,404 variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n 8 e p 0,404. EX n. p 8.0,404,57 VX n. p. p 8.0,404.0,8596,74

20 304 nálise de Dados e robabilidades. a) Sejam L e L duas variáveis aleatórias definidas da seguinte forma: L : Tempo de vida, em horas, de uma lâmpada do tipo L : Tempo de vida, em horas, de uma lâmpada do tipo L ~Nµ 600; σ 00 L ~Nµ 800; σ L 650 Z Z 0,5 Z 0,5 0, ,3085 b) DL L ~Nµ ; σ L L 0 L L 0D 0 Z 500 Z,6994 Z,6994 0,9554 c) L 850 L 850 L 850 L 850 L 850 L 850 L 850 L 850 L 850.L 850 Z Z Z Z Z,5 Z Z,5.Z Z,5 50 Z Z,5. Z 3.Z,5.Z Z,5.Z 3.0,9938.0,843 0,9938.0,843 0,659