SMA332 - Wagner V. L. Nunes

SMA33 - CÁLCULO II Wagner V. L. Nunes agosto de 007

Sumário 1 Introdução 5 Os Espaços R n 7.1 Os espaços euclideanos n-dimensionais....................... 7. Produto escalar.................................... 9.3 Norma de um vetor.................................. 10.4 Conjuntos abertos, fechados e compactos em R n.................. 13 3 Funções a Valores Vetoriais - Curvas Parametrizadas 19 3.1 Funções de variável real a valores vetoriais..................... 19 3. Curvas Parametrizadas................................ 7 4 Funções Reais de Várias Variáveis Reais 39 4.1 Definições Básicas.................................. 39 4. Funções Reais de Duas Variáveis: Curvas de Nível................. 47 4.3 Funções de Três Variáveis: Superfícies de Nível.................. 50 5 Limite e Continuidade de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 51 5.1 Limite......................................... 51 5. Continuidade..................................... 61 6 Funções Diferenciáveis - Derivadas Parciais 67 6.1 Derivadas Parciais de Primeira Ordem....................... 67 6. Derivadas Parciais de Ordem Superior....................... 73 7 Diferenciabilidade de Funções Reais de Várias Variáveis 79 7.1 Critério Para o Estudo da Diferenciabilidade.................... 83 7. Regra da Cadeia Para Funções de Várias Variáveis Reais............. 90 7.3 O Vetor Gradiente.................................. 94 7.4 Plano Tangente e Reta Normal à Superfícies.................... 100 7.5 Derivada Direcional de Funções Reais de Várias Variáveis............. 109 8 Transformações do R n no R m 117 8.1 Definições e Propriedades Básicas.......................... 117 8. Eemplos Importantes................................ 13 3

4 SUMÁRIO 9 A Fórmula de Talor Para Funções Reais de Várias Variáveis Reais 137 9.1 Fórmula e Polinômio de Talor para Funções Reais de uma Variável Real.... 137 9. Fórmula e Polinômio de Talor para Funções Reais de Duas Variáveis...... 138 10 Máimos e Mínimos de Funções Reais de Várias Variáveis Reais 149 10.1 Definições e Resultados Gerais............................ 149 10. Teste do Hessiano................................... 154 10.3 Eemplos....................................... 159 10.4 Caso Geral: Autovalores da Matriz Hessiana.................... 161 10.5 Eemplo Aplicado................................... 170 10.6 Etremos Globais de Funções em Regiões Fechadas e Limitadas......... 173 11 Multiplicadores de Lagrange 179 11.1 O Problema De Um Vínculo............................. 179 11.1.1 Introdução................................... 179 11.1. Teorema do Multiplicador de Lagrange para Um Vínculo......... 179

Capítulo 1 Introdução 13.08.007-1.a No que se segue iniciaremos o estudo de funções de várias variáveis reais a valores reais. Começaremos com os seguintes eemplos: Todos sabemos que a temperatura na Terra em um determinado instante varia de acordo com a localização (-latitude, -longitude e z-altitude). Este número real, que chamamos de temperatura, é então função de pelo menos três variáveis além do tempo (já que a temperatura também varia de um instante para outro). Em uma outra situação podemos imaginar um recipiente fechado com um êmbolo contendo um determinado gás. É sabido que a pressão, P dentro do recipiente depende da temperatura, T e do volume, V. A relação entre estas variáveis é dada pela conhecida equação de Claperon P = nr T V onde n é o número de mols do gás no recipiente e R é a constante universal dos gases. Novamente nos deparamos com uma situação em que uma quantidade (a pressão) depende de mais de uma variável (temperatura e volume). Facilmente podemos imaginar muitas outras quantidades que dependem de mais de uma variável. Estas funções são as entidades que estaremos estudando nessas notas. Até o momento, estudamos funções reias que dependem de apenas bf uma única variável e para estas procuramos entender como estas funções se comportam (através de seu gráfico). Mais precisamente, se este gráfico eibe saltos ou não (através do conceito de continuidade); se este gráfico tem ou não bicos (através do conceito de diferenciabilidade) e depois vimos que em muitos casos é possível encontrar a função cuja derivada é uma função dada (através da integração). Vimos também inúmeras aplicações dos conceitos acima a problemas físicos. No que se segue vamos seguir a mesma trajetória descrita acima para estudar funções de mais de uma variável e veremos com algumas aplicações que este estudo nos possibilitará. Antes porém precisaremos de alguns conceitos importantes no desenvolvimento do conteúdo. 5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Capítulo Os Espaços R n 17.08.007 -.a Neste capítulo, nosso objetivo é apresentar os espaços euclideanos n-dimensionais, R n, introduzir uma noção de distância entre dois pontos nestes espaços e algumas de suas conseqüências. Estudamos nos cursos de Cálculo I e de Geometria Analítica que o conjunto dos números reais, R, dos vetores do plano, V e dos vetores do espaço, V 3. Vimos também que V e V 3 podem ser identificados com V R. = { pares ordenados } = { = (1, ) onde 1, R} V 3 R 3. = { triplas ordenadas } = { = (1,, 3 ) onde 1,, 3 R} desde que fiemos um sistema de coordenadas ortogonais (isto é, (0, e 1, e, e 3 ), onde O é um ponto de R 3 e { e 1, e,, e 3 } é base ortonormal de V 3 ; de modo análogo para o caso de R ). De modo análogo definimos: R n. = { n-uplas ordenados } = { = (1,, n ) onde 1,, n R}. Estes conjuntos serão os lugares onde desenvoleremos nosso estudo..1 Os espaços euclideanos n-dimensionais A seguir introduziremos duas operações em R n (uma de adição de elementos de R n e outra de multiplicação de elementos de R n por números reias). Definição.1.1 Dados = ( 1,, n ), = ( 1,, n ) R n e α R, definimos: (i) A adição de dois elementos, do R n, indicada por + do R n, como sendo o vetor do R n definido por: +. = ( 1 + 1, +,, n + n ). (ii) A multiplicação de um elemento R n por α R (denominado escalar), indicada por α R n, como sendo o vetor do R n definido por: α. = (α 1,, α n ). Deste modo temos + : R n R n R n e. : R R n R n. 7

8 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS RN Com isto temos a: Proposição.1.1 O conjunto R n, com as operações de adição e multiplicação por escalar acima, satifaz as seguintes propriedades: (A-1) Fechamento da adição de vetores: + R n, para todo, R n ; (A-) Comutativa da adição de vetores: + = +, para todo, R n ; (A-3) Associativa da adição de vetores: ( + ) + z = + ( + z), para todo,, z R n ; (A-4) Elemento neutro da adição de vetores: Eiste O R n tal que + O = para todo R n ( O. = (0, 0,, 0) R n ); (A-5) Elemento oposto da adição de vetores: Dado R n, eiste R n tal que +( ) = O (se = ( 1,,, n ) então. = ( 1,,, n ) R n ); (M-1) Fechamento da multiplicação por escalar por vetores: α R n, para todo α R e R n ; (M-) Associativa da multiplicação por escalar por vetores: α(β ) = (αβ), para todo α, β R e R n ; (M-3) Elemento neutro da multiplicação por escalar por vetores: 1. = para todo R n ; (MA) Distributiva da multiplicação por escalar por vetores pela adição de vetores: α( + ) = α + α, para todo α R e, R n ; (AM) Distributiva da adição de escalares pela multiplicação por vetor: (α + β) = α + β, para todo α, β R e R n. Demonstração: A demostração será deiada para o leitor. Observação.1.1 1) Como será visto no curso de Álgebra Linear, isto pode ser resumido dizendo-se que Rn com as operações de adição de vetores e multiplicação de vetor por escalar definidas acima é um espaço vetorial sobre R. ) Geometricamente a adição de elementos de R n pode ser vista como: +

.. PRODUTO ESCALAR 9 3) Geometricamente a substração de vetores de R n pode ser vista como: 4) Das duas obervações acima concluímos que a adição e a subtração de elementos de R n podem ser vistas como as diagonais de um paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores e do R n. +. Produto escalar No espaço vetorial R n podemos definir uma multiplicação entre elementos do próprio espaço resultando em um número real, a saber: Definição..1 Dados = ( 1,,, n ) e = ( 1,,, n ) R n, definimos o produto escalar de por, indicado por, como sendo o número real dado por: isto é, : R n R n R. Com isto temos a:. = 1 1 + n n R, Proposição..1 Dados,, z R n e λ R temos que: (PE-1) O produto escalar de vetores é comutativo, isto é, =.

10 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS RN (PE-) O produto escalar de vetores é distributivo em relação a adição de vetores, isto é, ( + ) z = z + z. (PE-3) O produto escalar de vetores é associativo (do produto de vetor por escalar pelo produto escalar de vetores), isto é, (α ) = (α ) = α( ). (PE-4) O produto escalar é positivo definido, isto é, 0, para todo R n e = 0 se e somente se = 0. Demonstração: Será deiada para o leitor. Observação..1 As propriedades acima nos dizem que o produto escalar em um espaço vetorial real é uma forma bilinear simétrica definida positiva (este tipo de funções serão estudadas no curso de Álgebra Linear)..3 Norma de um vetor Observação.3.1 Em R temos uma medida do comprimento de um elemento R, dito valor absoluto ou módulo de e indicado por. Tal valor determina o quanto este elemento dista do elemento 0 R (a origem). Do mesmo modo, em R definimos o comprimento de um vetor = ( 1, ) R, denominada norma do vetor, indicado por, como sendo. = 1 +. Tal valor determina a distância deste elemento à origem O = (0, 0) R. De modo similar, vimos no curso de Geometrica Analítica que em R 3 definimos o comprimento de um vetor = ( 1,, 3 ) R 3, denominada norma do vetor, indicado por, como sendo. = 1 + + 3. Tal valor determina a distância deste elemento à origem O = (0, 0, 0) R 3. De modo geral temos a: Definição.3.1 Para = ( 1,,, n ) R n definimos a norma de, denotada por, como sendo o número real =. 1 + + n. Observação.3. 1) A norma de um vetor determina a distância deste elemento à origem O = (0, 0,, 0) R n. ) Se R n temos =. Com isto temos a: Lema.3.1 (Desigualdade de Cauch-Schwarz) Dados dois vetores quaisquer, R n temos.

.3. NORMA DE UM VETOR 11 Demonstração: Para cada t R, da proposição (..1) segue que 0 [ + t ] [ + t ] = + (t ) + (t ) + (t ) (t ) = + t( ) + t ( ), isto é, Logo, da observação (.3.) (b) temos que + t( ) + t ( ) 0. t + ( ) t + 0. Esta inequação do segundo grau em t nos garante que discriminante da equação não poderá ser positivo, isto é, = 4( ) 4 0, ou seja,, como queríamos demonstrar. Com isto temos as seguintes propriedades para a norma de um vetor: Proposição.3.1 Sejam, R n e α R. Então: (N-1) = ; (N-) 0 para todo R n e = 0 se, e somente se, = 0. (N-3) α = α ; (N-4) (Desigualdade Triangular) + +. Demonstração: As demonstrações de (N-1)-(N-3) serão deiadas para o leitor. Faremos a demostração de (N-4). Para isto observemos que: + (N-1) = ( + ) ( + ) + ( ) + (N-1) = + ( ) +. Logo (proposição (..1)) = + + + (proposição (..1)) = + (lema (.3.1)) + + + + = ( + ), isto é, + +, completando a demostração. Observação.3.3 A desigualdade triangular nos diz que o comprimento de um lado de um triângulo é sempre menor (eventualmente igual) que a soma da medida dos outros dois lados do mesmo. +

1 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS RN Como conseqüência da desigualdade triangular temos o: Corolário.3.1 Sejam, R n. Então. Demonstração: Podemos supor, sem perda de generalidade, que. Da desiguladade triangular temos: = ( ) + + assim =, completando a demostração. Observação.3.4 Suponhamos que e são dois vetores não nulos de R n, isto é, = 0. Então da desigualdade de Cauch-Schwarz temos, ou seja 1 1. Deste modo eiste um único θ [0, π) tal que cos(θ) = Com isto podemos introdizur a:. Definição.3. Dados e R n são dois vetores, não nulos, de R n definimos o ângulo entre e como sendo θ obtido acima. Observação.3.5 Logo da observação acima temos: = cos(θ). Tendo a noção de ângulo entre vetores podemos definir a noção de ortogonalidade entre vetores, a saber: Definição.3.3 Dados e R n diremos que eles são ortogonais se = 0 e escreveremos. Observação.3.6 Observemos que se e R n são dois vetores não nulos de R n então, se, e somente se, o ângulo entre eles é de π (pois eles são ortogonais se, e somente se 0 = = cos(θ); como = 0 segue que cos(θ) = 0, ou seja, θ = π ). Outras propriedades relacionadas com ortogonalidade serão vistas ao longo destas notas. Vale o teorema de Pitágoras em R n, isto é, Teorema.3.1 Sejam e R n dois vetores de R n. Os vetores e são ortogonais se, e somente se, + = +. Demonstração: A demosntração deste resultado será deiado para o leitor. 0.08.007-3.a

.4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS EM R N 13.4 Conjuntos abertos, fechados e compactos em R n Para estudarmos o comportamento de funções reais a várias variáveis precisaremos de algumas definições que estão contidas nesta secção. Para o que segue vamos considerar R n munido das operações (adição, multiplicação por escalar, produto interno, norma) definidas na seção anterior. Começarmos pela: Definição.4.1 Sejam 0 = ( 1,, n ) R n e r R, r > 0. O conjunto B r ( 0 ). = { R n : 0 < r} será dito bola aberta de centro em 0 e raio r. Eemplo.4.1 1) Em R (isto é, se n = 1) temos que B r ( 0 ) = { R : 0 < r} = ( 0 r, 0 + r) é o intervalo aberto de comprimento r com centro em 0. B r( 0 ) { }} { 0 r 0 0 + r ) Em R (isto é, se n = ) temos que B r ( 0 ) = {(, ) R : ( 0 ) + ( 0 ) < r } é o conjunto dos pontos do interior à circunferência de centro em 0 = ( 0, 0 ) R e raio r > 0. 0 0 r B r( 0 ) 0 c) Em R 3 (isto é, se n = 3) temos que B r ( 0 ) = {(,, z) R : ( 0 ) + ( 0 ) + (z z 0 ) < r } é o conjunto dos pontos do interior à superfície esférica de centro em 0 = ( 0, 0, z 0 ) R 3 e raio r > 0.

14 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS RN z B r ( 0 ) z 0 r 0 0 0 A partir da definição de bola aberta podemos introduzir as seguintes noções: Definição.4. Seja A R n não vazio. Diremos que 0 A é um ponto interior de A se eistir uma bola aberta de centro em 0 interamente condita em A, ou seja, se eistir r > 0 tal que B r ( 0 ) A. Diremos que 0 R n é um ponto de fronteira de A se toda bola aberta de centro em 0 intercepta o conjunto A e seu complementar A c, isto é, para todo r > 0, B r ( 0 ) A e B r ( 0 ) A c (onde A c denota o conjunto complementar de A em R n ). Diremos que 0 R n é um ponto eterior de A se ele for ponto interior de A c. Diremos que 0 R n é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro em 0 intercepta o conjunto A em, pelo menos, um ponto diferente de 0, isto é, para todo r > 0, (B r ( 0 ) A) \ { 0 } =. A. Diremos que 0 A é um ponto isolado de A se 0 não é um ponto de acumulação de Eemplo.4. Seja A = {(, ) R : 1, 1, 1 1} {(, )} R. O conjunto acima é formado pelos pontos que estão sobre e dentro do quadrado unido com conjunto formado pelo ponto (, ).

.4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS EM R N 15 (, ) 1 1 1 1 Observemos que todos os pontos do conjunto {(, ) R : 1 < < 1, 1 < < 1} são pontos interiores de A (eles estão dentro do quadrado). 1 1 1 1 Os pontos do conjunto {(, 1) R : 1, 1} {(, 1) R : 1, 1} {( 1, ) R : 1, 1} {(1, ) R : 1, 1} {(, )} são pontos de fronteira de A (os pontos sobre os lados quadrado). Os pontos do conjunto {(, ) R : 1, 1, 1 1} são pontos de acumulação do conjunto A (são os pontos que estão sobre e dentro do quadrado). O ponto (, ) não é um ponto de acumulação do quadrado (pois a bola de centro em (, ) e raio r = 1 não contém nenhum ponto de A diferente de (, )) logo ele será um ponto isolado de A. Resuminado, na figura abaio temos que Q é ponto de fronteira, P é ponto interior e R é ponto eterior de A.

16 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS RN R (, ) 1 P 1 1 Q 1 Em geral temos a: Proposição.4.1 Seja A R n e 0 R n. Então se 0 é ponto de acumulação de A temos que ou 0 é ponto interior de A ou 0 é ponto de fronteira de A. Demonstração: Como 0 é ponto de acumulação de A, toda bola B r ( 0 ) intercepta A em um ponto diferente de 0. Se 0 não é ponto interior de A, isto é eiste r 0 > 0 tal que B r0 ( 0 ) não está contida em A, ou seja, para todo 0 < s r 0 temos que a bola B s ( 0 ) não está contida em A. Logo para todo 0 < s r 0 temos que a bola B s ( 0 ) contém pontos de A (pois 0 é ponto de acumulação de A) e pontos que estão em A c (pois contém pontos que não estão em A), ou seja, 0 é ponto de fronteira de A. Temos também a: Definição.4.3 Seja A R n não vazio. Diremos que A é um conjunto aberto em R n se todo ponto de A é ponto interior de A. Diremos que A é um conjunto fechado em R n se seu complementar, A c, é aberto em R n. Eemplo.4.3 1) R é um conjunto aberto e fechado em R.

.4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS EM R N 17 ) A = {(, ) R : 0, 0} é fechado em R. 3) A = {(, ) R : > 0, > 0} é aberto em R. 4) Toda bola aberta de R n é um conjunto aberto em R n. Resolução: A resolução destes eemplos serão deiadas para o leitor. Eercício.4.1 Dê eemplos de conjuntos que não são abertos nem fechados em R. Com isto podemos introduzir os seguintes conjuntos: Definição.4.4 Seja A R n. Definimos o fecho de A em R n, indicado por Ā, como sendo o conjunto formado por todos os pontos de A juntamente com os pontos de acumulação de A. Definimos a fronteira de A em R n, indicada por A, como o conjunto formado por todos os pontos de fronteira de A. Definimos a interior de A em R n, indicado por o A, como o conjunto formado por todos os pontos interiores a A em R n.

18 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS RN Eercício.4. Encontre o interior, o fecho e a fronteira dos conjuntos dos eemplos (.4.) e (.4.3). Com isto temos a: Proposição.4. Se A R n então: (a) Ā é fechado em Rn ; (b) o A é aberto em R n ; (c) A é fechado em R n ; (d) Ā = A A e o A A = Demonstração: A demonstração dessas propriedades serão deiadas para o leitor. Uma caracterização dos conjuntos fechados em R n é dada pela: Proposição.4.3 Um subconjunto A R n é fechado em R n se, e somente, se A = Ā. Demonstração: Se A é fechado se, e somente se, A c é aberto. Mas, A c é aberto se, e somente se, todo ponto de A c é eterior a A, isto é, se, e somente se, todo ponto de acumulação de A está em A, ou seja, se e somente se, A = Ā. Finalizando as definições temos a: Definição.4.5 Seja A R n. Se para algum r > 0, A B r (0), dizemos que A é um conjunto limitado em R n. Se A é fechado e limitado em R n ela será dito compacto em R n. Eercício.4.3 Mostre que o conjunto A do eemplo (.4.) é compacto. Com isto temos o: Teorema.4.1 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto limitado do R n que possui infinitos elementos tem pelo menos um ponto de acumulação. Demonstração: A demonstração deste resultado será omitida e pode ser encontrada em livros de Análise Matemática (por eemplo, W. Rudin - Principles of Mathematical Analsis).

Capítulo 3 Funções a Valores Vetoriais - Curvas Parametrizadas.08.007-4.a Neste capítulo trataremos de uma classe importante de funções, a saber as funções reais a valores vetoriais e as curvas parametrizadas. Denotaremos a base canônica de R n por { e 1, e,, e n }, isto é, e k = (0, 0,, 0, }{{} 1, 0,, 0) R n. k-ésima posição No caso n = podemos indicar e 1 por i e e por j (isto é, i = (1, 0) e j = (0, 1)). No caso n = 3 podemos indicar e 1 por i, e por j e e 3 por k (isto é, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e e 3 por k). Começaremos pela: 3.1 Funções de variável real a valores vetoriais Definição 3.1.1 Sejam A R aberto e F 1, F, F n : I R funções reais. Deste modo podemos definir uma função F : A R n, onde F (t). = (F 1 (t), F (t),, F n (t)) = F 1 (t) e 1 + F (t) e + F n (t) e n, t A. Tal função será dita função de uma variável real a valores vetoriais (ou simplesmente função vetorial). Para cada i {1,,, n}, a função F i : A R será dita i-ésima componente de F. Caso n = : t A F e e 1 F (t) = F 1(t) e 1 + F (t) e 19

0 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS Caso n = 3 : t A F e e 1 e 3 s F (t) = F 1(t) e 1 + F (t) e + F 3 (t) e 3 Podemos operar com funções vetoriais operando com suas componentes, ou seja: Definição 3.1. Sejam F : A R n e G : A R n funções vetoriais tais que F (t) = (F 1 (t), F (t),, F n (t)) e G(t) = (G 1 (t), G (t),, G n (t)), t A. Definimos a função F + G : A R n como sendo (F + G)(t). = F (t) + G(t) = (F 1 (t) + G 1 (t), F (t) + G (t),, F n (t) + G n (t))), t A (dita função soma da função F com a função G). De modo semelhante definimos a função F G : A R n como sendo (F G)(t). = F (t) G(t) = (F 1 (t) G 1 (t), F (t) G (t),, F n (t) G n (t)), t A (dita função diferença da função F pela função G). Se α R definimos a função αf : A R n como sendo (αf )(t). = αf (t) = (αf 1 (t), αf (t),, αf n (t)), t A (dita função produto da função F pelo número real α). Além disso podemos definir a função F G : A R como sendo (F G)(t). = F (t) G(t) = F 1 (t)g 1 (t) + F (t)g (t) + + F n (t)g n (t)), t A (dita função produto escalar da função F pela função G). Se n = 3 podemos definira a a função F G : A R 3 como sendo (F G)(t) =. e 1 e e 3 F (t) G(t) = (F 1 (t), F (t), F 3 (t)) (G 1 (t), G (t), G 3 (t)) = F 1 (t) F (t) F 3 (t) G 1 (t) G (t) G 3 (t), t A (dita função produto vetorial da função F pela função G). Podemos estudar limites de funções a valores vetoriais estudando o limite de suas componentes, isto é, Definição 3.1.3 Seja F : A R R n função vetorial tal que F (t) = (F 1 (t), F (t),, F n (t)) e t 0 A. Diremos que eiste limite de F (t) quando t tende a t 0 e dá L. = (L 1, L,, L n ) se, e somente se, lim t t0 F i (t) = L i, para i {1,,, n}. Neste caso escreveremos lim t t0 F (t) = L.

3.1. FUNÇÕES DE VARIÁVEL REAL A VALORES VETORIAIS 1 Observação 3.1.1 (a) A definição acima nos diz que lim F (t) = (lim F 1 (t), lim F (t),, lim F n (t)), ou seja t t0 t t0 t t0 t t0 para estudarmos limites de funções vetoriais basta sabermos estudar os limites de suas funções componentes F i, i {1,,, n}, isto é, de funções reais de uma variável real (estudadas no Cálculo 1). (b) Como F (t) = F 1 (t) e 1 + F (t) e, F n (t) e n temos que lim t t0 F (t) = L se, e somente se, lim t t 0 [F 1 (t) e 1 + F (t) e + + F n (t) e n ] = L 1 e 1 + L e, L n e n. Resumindo: lim F (t) = [lim F 1 (t)] e 1 + [lim F (t)] e + + [lim F n (t)] e n t t 0 t t0 t t0 t t0 = (lim t t0 F 1 (t), lim t t0 F (t),, lim t t0 F n (t)). (c) Rigorosamente, a definição de limites para funções vetoriais não é a que demos acima. A definição que tomamos acima é, na verdade, uma conseqüência da definição original que é a seguinte: lim F (t) = L se, e somente se, dado ε > 0 eiste δ > 0 tal que se t t0 0 < t t 0 < δ então F (t) L < ε. Como conseqüência da definição acima e das propriedades de limites de funções reais de uma variável real (estudas no Cálculo 1) temos que: Proposição 3.1.1 Sejam F : A R R n e G : A R R n funções vetoriais, t 0 A e α R. Suponhamos que eistam lim F (t) = L e lim G(t) = M. Então: t t0 t t0 (a) eistem lim t t0 (F ± G)(t) e lim t t0 (F ± G)(t) = L ± M, isto é, lim t t 0 (F ± G)(t) = lim t t0 F (t) ± lim t t0 G(t). (b) eiste lim t t0 (αf )(t) e lim t t0 (αf )(t) = αl, isto é, lim(αf )(t) = α lim F (t). t t 0 t t0 (c) eiste lim t t0 (F G)(t) e lim t t0 (F G)(t) = L M, isto é, lim(f G)(t) = lim F (t) lim G(t). t t 0 t t0 t t0 (d) se n = 3, eiste lim t t0 (F G)(t) e lim t t0 (F G)(t) = L M, isto é, lim t t 0 (F G)(t) = lim t t0 F (t) lim t t0 G(t).

CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS Demonstração: As demostrações dos itens acima serão deiadas a cargo do leitor. Elas são conseqüências da definição (3.1.3) e das propriedades elementares de limites para funções reais de uma variável real (Cálculo 1). Eemplo 3.1.1 Sejam F : R R 3 e G : R R 3 dadas por: F (t) = sen(t) e 1 + (t + 1) e + t e 3 e G(t) = cos(t) e 1 + (t + 1) e + t 3 e 3, t R. Calcule, se eistir, lim(f + G)(t), lim(f G)(t), lim(f )(t), lim(f G)(t) e lim(f G)(t). t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 Resolução: Neste caso temos que: F 1 (t) = sen(t), F (t) = t + 1, F 3 (t) = t, G 1 (t) = cos(t), G (t) = t + 1, G 3 (t) = t 3, t R. Assim lim F (t) = lim[ sen(t) e 1 + (t + 1) e + t e 3 ] = [lim sen(t)] e 1 + [lim(t + 1)] e + [lim t] e 3 = t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 0 e 1 + 1 e + 0 k = e 3 (ou ainda lim F (t) = lim( sen(t), t + 1, t) = (lim sen(t), lim(t + 1), lim t) = t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 (0, 1, 0)) e lim G(t) = lim[cos(t) e 1 +(t+1) e +t 3 e 3 ] = [lim cos(t)] e 1 +[lim(t+1)] e +[lim t 3 ] e 3 = 1 e 1 +1 e + t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 0 e 3 = i + j (ou ainda lim G(t) = lim(cos(t), t + 1, t 3 ) = (lim cos(t), lim(t + 1), lim t 3 ) = (1, 1, 0)). t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 Logo, da proposição acima segue que: lim(f + G)(t) = lim F (t) + lim G(t) = (0, 1, 0) + (1, 1, 0) = (1,, 0); t 0 t 0 t t0 lim(f G)(t) = lim F (t) lim G(t) = (0, 1, 0) (1, 1, 0) = ( 1, 0, 0); t 0 t 0 t t0 lim(f )(t) = lim F (t) = (0, 1, 0) = (0,, 0); t 0 t 0 lim(f G)(t) = lim F (t) lim G(t) = (0, 1, 0) (1, 1, 0) = 0.1 + 1.1 + 0.0 = 1 e t 0 t 0 t t0 e 1 e e 3 lim(f G)(t) = lim F (t) lim G(t) = (0, 1, 0) (1, 1, 0) = t 0 t 0 t t0 0 1 0 1 1 0 = (1.0 0.1) e 1 (0.0 1.0) e + (0.1 1.1) e 3 = e 3 = (0, 0, 1). Tendo a noção de limites para funções de uma variável real a valores vetoriais podemos introduzir o conceito de continuidade para estas funções. Mais precisamente: Definição 3.1.4 Seja F : A R R n função vetorial e t 0 A. Diremos que F é contínua em t 0 se lim F (t) = F (t 0 ). t t 0 Diremos que F é contínua em I se for contínua em todos os pontos de I. Observação 3.1. (a) A definição aciam nos diz que uma função vetorial F é contínua em t 0 se: (i) F está definida em t 0 ;

3.1. FUNÇÕES DE VARIÁVEL REAL A VALORES VETORIAIS 3 (ii) eiste lim t t0 F (t); (iii) vale a identidade lim t t0 F (t) = F (t 0 ). (b) Segue da definição (3.1.3) que uma função vetorial F é contínua em t 0 I se, e somente se, suas componentes, F i, i {1,,, n} forem contínuas em t 0, isto é, F é contínua em t 0 se, e somente se, lim t t 0 F i (t) = F i (t 0 ) para todo i {1,,, n}. (c) Geometricamente, uma função vetorial F é contínua em t 0 se, e somente se, a representação gráfica do seu gráfico é uma curva sem saltos. No caso n = 3 temos: I F Eemplo 3.1. Seja F : R R 3 dada por F (t) = sen(t) e 1 + (t + 1) e + t e 3, t R. Então F é contínua em R pois F 1 (t) = sen(t), F (t) = t + 1, F 3 (t) = t, t R são funções (reais de uma variável real) contínuas em R (visto em Cálculo 1). Como conseqüência da proposição (3.1.1) temos o: Corolário 3.1.1 Sejam F, G : A R R n funções vetoriais contínuas em t 0 A e α R. Então F ± G, αf, F G e F G são contínuas em t 0. Demonstração: Será deiada a cargo do leitor. Além disso temos a: Proposição 3.1. Sejam f : B R (função real de uma variável real, B aberto em R) contínua em s 0 B, f(b) A aberto em R e F : A R R n função vetorial contínua em t 0 = f(s 0 ). Então F f : B R n, onde (F f)(s). = F (f(s)), s J, será contínua em s 0. Demonstração: Se F (t) = (F 1 (t), F (t),, F n (t)), t A então (F f)(s) = F (f(s)) = (F 1 (f(s)), F (f(s)),, F n (f(s))) = ((F 1 f)(s), (F f)(s)),, (F n f)(s), s B.

4 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS Como F é contínua em t 0 = f(s 0 ) segue, da observação (3.1.) item (b), que F i é contínua em t 0 para i {1,,, n}. Do Cálculo 1 sabemos que F i f será contínua em s 0 B para todo i {1,,, n}. Portanto, a (3.1.) item (b), implicará F f será contínua em s 0. Podemos tratar da diferenciabilidade de funções vetoriais, a saber: Definição 3.1.5 Sejam A R aberto e F : A R n função vetorial tal que F (t) = (F 1 (t), F (t),, F n (t)) e t 0 A. F (t 0 + h) F (t 0 ) Diremos que F é diferenciável em t 0 se eistir o limite lim. h 0 h Neste caso o limite acima será denominado derivada de F em t 0 e indicado por F (t 0 ), isto é, F (t 0 ) =. F (t 0 + h) F (t 0 ) lim. h 0 h Diremos que F é diferenciável em A se F for diferenciável em todo ponto de A. Observação 3.1.3 Seja F : A R R n uma função vetorial tal que F (t) = F 1 (t) e 1 + F (t) e +, +F n (t) e n (= (F 1 (t), F (t),, F n (t))). Da observação (3.1.1) item (a), segue que F é diferenciável em t 0 A se, e somente se, as funções componentes de F, F i, i {1,,, n}, são diferenciáveis em t 0. Neste caso, F (t 0 ) = F 1(t) e 1 + F (t) e +, +F n(t) e n = (F 1(t 0 ), F (t 0 ),, F n(t 0 ))), isto é, para estudarmos a diferenciabilidade de funções vetoriais basta sabermos estudar a diferenciabilidade de funções reais de uma variável real (visto no Cálculo 1). Eemplo 3.1.3 Seja F : R R 3 dada por F (t) = sen(t) e 1 + (t + 1) e + t e 3 t R. Neste caso F 1 (t) = sen(t), F (t) = t + 1, F 3 (t) = t, t R,. Observemos que, do Cálculo 1, F i é diferenciável em R para i = 1,, 3 e F 1(t 0 ) = cos(t), F (t) = t e F 3(t) = 1, t R. Logo da observação acima segue que F é diferenciável em R e além disso: F (t) = (F 1(t 0 ), F (t 0 ), F 3(t 0 ))) = (cos(t), t, 1), t R. Como conseqüência da proposição (3.1.1) temos a: Proposição 3.1.3 Sejam F, G : A R R n funções vetoriais diferenciáveis em t 0 A e α R. Então: (a) F ± G é diferenciável em t 0 e (F ± G) (t 0 ) = F (t 0 ) ± G (t 0 ). (b) αf é diferenciável em t 0 e (αf ) (t 0 ) = αf (t 0 ).

3.1. FUNÇÕES DE VARIÁVEL REAL A VALORES VETORIAIS 5 (c) F G é diferenciável em t 0 e (d) se n = 3, F G é diferenciável em t 0 e (F G) (t 0 ) = F (t 0 ) G(t 0 ) + F (t 0 ) G (t 0 ). (F G) (t 0 ) = F (t 0 ) G(t 0 ) + F (t 0 ) G (t 0 ). Demonstração: As demostrações dos itens acima serão deiadas a cargo do leitor. Elas são conseqüências da observação (3.1.3) e das propriedades elementares de derivação para funções reais de uma variável real (Cálculo 1). Temos o seguinte resultado que relaciona as noções de continuidade e diferenciabilidade: Teorema 3.1.1 Sejam F : A R R n diferenciável em t 0 A. Então F é contínua em t 0. Demonstração: Será deiada como eercício para o leitor. Observação 3.1.4 Não vale a recíproca do resultado acima, isto é, eistem funções vetoriais contínuas em um ponto que não são diferenciáveis nesse ponto (por eemplo, a função F : R R dada por F (t). = (t, t ), t R é contínua em t = 0 mas não é diferenciável em t = 0, por que?). Temos um resultado que nos dá condições suficientes para que a composta de uma função vetorial com uma função real de variável real seja diferenciável, a saber: Proposição 3.1.4 Sejam A, B R abertos, f : B R (função real de uma variável real) diferenciável em s 0 B, f(b) A e F : A R n função vetorial diferenciável em t 0 = f(s 0 ). Então F f : B R n, onde (F f)(s). = F (f(s)), s J, será diferenciável em s 0. Além disso, (F f) (s 0 ) = F (f(s 0 ))f (s 0 ). Demonstração: A demostraçao segue da observação (3.1.3) e da regra da cadeia para funções de reais de uma variável real (visto no Cálculo 1) e seus detalhes serão deiados para o leitor. Podemos integrar funções vetoriais, como veremos na: Definição 3.1.6 Seja F : [a, b] R n função vetorial tal que F (t) = (F 1 (t), F (t),, F n (t)). Diremos que F é integrável em [a, b] se, e somente se, cada uma das suas componentes, F i, i {1,,, n}, for integrável em [a, b]. sendo: Neste caso definiremos a integral definida de F em [a, b], indicada por b a F (t) dt, como

6 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS b a F (t) dt. = [ = ( b a b a F 1 (t) dt] e 1 + [ F 1 (t) dt, b a b a F (t) dt] e + + [ F (t) dt,, b a b a F n (t) dt). F n (t) dt] e n Observação 3.1.5 A definição de integral definida para funções vetoriais que demos acima não é a definição original. Na verdade a definição acima é uma conseqüência da definição original. A definição original é semelhante a definição de integral definida para funções reais de uma variável real (que utiliza soma de Riemann), a saber: Diremos que uma função F : [a, b] R n limitada é integrável em [a, b] se eistir L R n tal que dado ε > 0 eistir δ > 0 tal que para toda partição P = {a = 0, 1,, n = b}, onde n a = 0 < 1 < < n = b, que satisfazendo < δ temos f(c i ) i L < ε, onde i=1. = i i 1 : i = 1,,, n} (dito norma da partição P) e qualquer escolha =. ma{ i de c i ( i 1, i ), i {1,,, n}. Uma condição suficiente para que uma função vetorial seja integrávell em um intervalo [a, b] é dado pela: Proposição 3.1.5 Seja F : [a, b] R n função vetorial. Se F é contínua em [a, b] então F é integrável em [a, b]. Demonstração: Se F é contínua em [a, b] então, da observação (3.1.) item (b), segue que F i é contínua em [a, b], i {1,,, n}. Mas, do Cálculo 1, sabemos que F i é integrável em [a, b], i {1,,, n} (pois elas são contínuas em [a, b]). Logo, da definição (3.1.6), segue que F será integrável em [a, b]. Valem as propriedades básicas para a integral definida de funções vetoriais, a saber: Proposição 3.1.6 Sejam F : [a, b] R n e G : [a, b] R n funções vetoriais que são integráveis em [a, b]. Então: (a) F ± G é integrável em [a, b] e b (b) αf é integrável em [a, b] e a (F ± G)(t) dt = b a b a (αf )(t) dt = α F (t) dt ± b a b a F (t) dt. G(t) dt.

3.. CURVAS PARAMETRIZADAS 7 Demonstração: Segue da definição (3.1.6) e das propriedades básicas de integrais definidas de funções reias de uma variável real (Cálculo 1) e por isso deiaremos a cargo do leitor. Eemplo 3.1.4 Seja F : R R 3 dada por F (t) = sen(t) i + (t + 1) j + t k. Calcule 1 0 F (t) dt. Resolução: Observemos que F é contínua em [0, 1] (pois suas componentes são) e assim: 1 0 F (t) dt = ( 1 0 sen(t) dt) i + ( 1 ( t ) t=1 t=0 k = (1 cos(1)) i + 4 3 j + 1 k. 0 t + 1 dt) j + ( 3. Curvas Parametrizadas Iniciaremos com a: 1 0 t dt) k = ( cos(t) t=1 t=0) i + ( t3 3 + t) t=1 t=0 j + 4.08.007-5.a Definição 3..1 Seja [a, b] R um intervalo fechado e limitado. Uma aplicação γ : [a, b] R n contínua em I será denominada curva parametrizada em R n. Se γ(t) = (γ 1 (t), γ (t),, γ n (t)), t [a, b], onde γ i : [a, b] R, i = 1,, n (as componentes de γ), então as equações 1 = γ 1 (t) = γ (t) n = γ n (t) serão ditas equações paramétricas da curva γ. A imagem de [a, b] pela função γ, γ([a, b]). = {γ(t) : t [a, b]} R n, será dito traço da curva γ. Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é curva simples se γ(t) γ(s), para todo t, s I, t s (sem autointersecções). Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é curva fechada se γ(a) = γ(b) (isto é, o ponto inicial é igual ao ponto final). Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é curva fechada simples se γ(a) = γ(b) e γ(t) γ(s) para t, s (a, b). Observação 3..1 (a) Quando n = 1 temos que γ : [a, b] R, ou seja uma função real contínua de uma variável real definida no intervalo fechado e limitado [a, b]. (b) Se n = temos que uma curva parametrizada em R será uma função contínua γ : [a, b] R. Seu traço será uma curva em R (isto é, uma curva plana). Neste caso podemos escrever γ(t) = (γ 1 (t), γ (t)) = γ 1 (t) e 1 + γ (t) e, t [a, b] onde γ 1, γ : [a, b] R e { e 1, e } é base canônica do R (isto é, e 1 = (1, 0) e e = (0, 1)).

8 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS Geometricamente o traço de γ será uma curva no plano O por isto será dita curva no plano. b t γ γ(a) γ(t) a γ(b) (c) Se n = 3 temos que γ : [a, b] R 3 e seu traço será uma curva em R 3. Neste caso podemos escrever γ(t) = (γ 1 (t), γ (t), γ 3 (t)) = γ 1 (t) e 1 + γ (t) e + γ 3 (t) e 3, t [a, b] onde γ 1, γ, γ 3 : [a, b] R e { e 1, e, e 3 } é a base canônica do R 3 (isto é, e 1 = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0) e e 3 = (0, 0, 1)). Geometricamente o traço de γ será dito curva no espaço. γ(t) b γ(b) γ t a 3 γ(a) (d) Uma curva parametrizada γ : [a, b] R n tem um sentido de percurso definido pela função γ. (e) Ao longo destas notas as curvas parametrizadas consideradas terão seu traço num plano (caso n = ) ou no espaço (n = 3) (ou seja, serão curvas planas ou espaciais). (f) Uma curva parametrizada é fechada se, e somente se, ponto final do seu traço coincide co seu ponto inicial do mesmo.

3.. CURVAS PARAMETRIZADAS 9 γ(a) = γ(b) b γ a 3 Curva Fechada (g) Uma curva parametrizada é simples se, e somente se, seu traço não tem pontos de autointercecção. γ(t 1 ) = γ(t ) γ(a) γ(b) γ(a) γ(b) γ β a b a t 1 t b Curva Simples Curva Não Simples Como eemplos temos: Eemplo 3..1 (a) γ : [0, π] R dada por γ(t). = (cos(t), sen(t)), t [0, π] é uma curva parametrizada cujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R, pois neste caso γ 1 (t) = cos(t) e γ (t) = sen(t), t [0, π] assim: γ(t) = (γ 1 (t)) + (γ (t)) = (cos(t)) + ( sen(t)) = 1, para todo t [0, π]. π t γ γ(t) 0 (1, 0) = γ(0) = γ(π)

30 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS Observemos também que γ(0) = γ(π) = (1, 0) e estes são os únicos pontos onde isto ocorre (isto é, em t = 0 e t = π). Logo γ é uma curva parametrizada fechada simples. { (t) = cos(t) Observemos que neste caso as equações paramétricas da curva serão: (t) = sen(t), t [0, π]. (b) γ : [0, π] R dada por γ(t). = (cos(t), sen(t)), t [0, π] é uma curva parametrizada cujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R, pois neste caso γ 1 (t) = cos(t) e γ (t) = sen(t), t [0, π] assim: γ(t) = (γ 1 (t)) + (γ (t)) = (cos(t)) + ( sen(t)) = 1, para todo t [0, π]. π γ 0 (1, 0) = γ(0) = γ(π) Observemos também que γ(0) = γ(π) = (1, 0) e estes são os únicos pontos onde isto ocorre (isto é, em t = 0 e t = π). Logo γ é uma curva parametrizada fechada simples. { (t) = cos(t) Neste caso as equações paramétricas da curva serão:, t [0, π]. (t) = sen(t) Vale observar que as curvas parametrizadas dos eemplos acima são diferentes mas têm o mesmo traço (eles são percorridos com velocidades diferentes). (c) γ : [0, π] R dada por γ(t). = (cos(t), sen(t)), t [0, π] é uma curva parametrizada cujo traço é a circunferência de centro na origem e raio 1 do R, pois neste caso γ 1 (t) = cos(t) e γ (t) = sen(t), t [0, π] assim: γ(t) = (γ 1 (t)) + (γ (t)) = (cos(t)) + ( sen(t)) = 1, para todo t [0, π]. Esta percorre duas vezes a circunferência unitária de centro na origem no sentido antihorário. π γ 0 (1, 0) = γ(0) = γ(π) = γ(π)

3.. CURVAS PARAMETRIZADAS 31 Observemos também que γ(0) = γ(π) = γ(π)(1, 0) logo γ é uma curva parametrizada é fechada mas não é simples. { (t) = cos(t) Neste caso as equações paramétricas da curva serão:, t [0, π]. (t) = sen(t) Vale observar que as curvas parametrizadas dos eemplos acima são diferentes mas têm o mesmo traço (eles são percorridos com velocidades diferentes). (d) γ : [0, π] R 3 dada por γ(t). = (cos(t), sen(t), t), t [0, π] é uma curva parametrizada cujo traço está contido no cilindro circular reta que tem como base a circunferência de centro na origem e raio 1 do R, pois neste caso γ 1 (t) = cos(t) e γ (t) = sen(t), γ 3 (t) = t, t [0, π] assim, no plano O, temos que (γ 1 (t)) + (γ (t)) = (cos(t)) + ( sen(t)) = 1, para todo t [0, π]. z π γ 3 γ(t) 0 γ(π) γ(0) Observemos que γ(t) γ(s) para todo t, s [0, π], t s, logo γ é uma curva (parametrizada) simples. Esta curva é conhecida como hélice. Observemos que neste caso as equações paramétricas da curva serão: t [0, π]. (t) = cos(t) (t) = sen(t) z(t) = t Definição 3.. Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é diferenciável em t 0 [a, b] se a função (vetorial) γ for diferenciável em t 0. Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é diferenciável em I se ela for diferenciável em todo ponto t I. Observação 3.. (a) Lembremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é diferenciável em t 0 I se, e somente se, cada uma de suas componentes,γ i : [a, b] R, i = 1,, n, é diferenciável em t 0 [a, b], onde γ(t) = (γ 1 (t), γ (t),, γ n (t), t [a, b] (ver observação (3.1.3)).,

3 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS Devido a este fato, se k N, diremos que uma curva parametrizada γ : [a, b] R n é de classe C k em [a, b] se as funções γ i : [a, b] R forem de classe C k para todo i {1,,, n}. No caso acima se a curva for de classe C k em [a, b] para todo k N diremos que ela é de classe C em [a, b] Lembremos, do Cálculo 1, que uma função f : [a, b] R é de classe C k em [a, b] se f, f,, f (k) forem contínuas em [a, b], onde f (j) denota a j-éisma derivada da função f, j N. (b) Se a curva parametrizada γ : [a, b] R n é diferenciável em t 0 [a, b], podemos dar uma interpretação geométrica para γ (t 0 ). Para isto lembremos que da definição (3.1.5) temos que γ γ(t 0 + h) γ(t 0 ) (t 0 ) = lim. h 0 h Se h se aproima de 0, o vetor γ(t 0 + h) γ(t 0 ) aproimar-se-á do vetor γ (t 0 ), ou seja h da direção tangente ao traço da curva γ em γ(t 0 ). b a γ 3 γ(t 0 ) γ(t 0 + h) γ(t 0 ) γ(t 0 + h) γ(t 0 +h) γ(t 0 ), 0 < h < 1 h γ (t 0 ) Por isto o vetor γ (t 0 ) será dito vetor tangente à curva γ em t 0. Vale observar que o vetor é dito vetor tangente à curva em t 0 e não tangente à curva no ponto γ(t 0 ). Isto ocore para evitarmos situações em que a curva tem auto-intersecção. Neste caso o vetor tangente à curva num ponto de auto-intersecção não ficaria bem definido (mas pensando em vetor tangente à curva em t 0 estaria bem definido). b γ (t ) γ γ(t 1 ) = γ(t ) t t 1 a 3 γ (t 1 )

3.. CURVAS PARAMETRIZADAS 33 No desenho acima, eiste γ (t 1 ) e γ (t ), são tangentes à curva γ mas não eiste o vetor tangente à curva no ponto γ(t 0 ) (porque a curva tem auto-intersecção, γ(t 1 ) = γ(t )). Na verdade se γ é diferenciável em t 0 então γ (t 0 ) é vetor tangente a curva no ponto γ(t 0 ). Eemplo 3.. (a) γ : [0, π] R dada por γ(t). = (cos(t), sen(t)), t [0, π] é uma curva parametrizada de classe C em [0, π] pois γ 1 (t) = cos(t) e γ (t) = sen(t) são de classe C em [0, π]. Observemos que γ (t) = (γ 1(t), γ (t)) = ( sen(t), cos(t)), t [0, π]. Logo γ (t) = (γ 1(t)) + (γ (t)) (cos(t)) + ( sen(t)) = 1, para todo t [0, π], ou seja os vetores tangentes à curva em t [0, π] são unitários. Além disso, γ(t) γ (t) = (cos(t), sen(t)) ( sen(t), cos(t)) = cos(t)[ sen(t)]+ sen(t) cos(t) = 0 para todo t [0, π], isto é, os vetores γ(t) e γ (t) são ortogonais para para todo t [0, π]. π t 0 γ γ (t) γ(t) (1, 0) = γ(0) = γ(π) (b) γ : [0, π] R 3 dada por γ(t). = (cos(t), sen(t), t), t [0, π] é uma curva de classe C em [0, π] (pois suas componentes, γ 1, γ e γ 3 são funções reais de variável real de classe C em [0, π]). Além disso γ (t) = ( sen(t), cos(t), 1) 0 para todo t [0, π] (pois γ (t) = [ sen(t)] + [cos(t)] + 1 = 0 para todo t [0, π]). z π γ 0 t 3 γ (t) γ(t)

34 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS Observemos que γ (t) (0, 0, 1) = 1, para todo t [0, π]. Logo o ângulo, θ(t), entre os vetores γ (t) e (0, 0, 1) será dado por: cos(θ(t)) = γ (t) (0, 0, 1) γ (t) (0, 0, 1) = 1 = isto é, θ(t) = π, para todo t [0, π] (ou seja, é constante!). 4 Entre as curvas parametrizadas diferenciáveis destacaremos uma classe que será importante no decorrer destas notas, a saber: Definição 3..3 Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é regular (ou suave) em I se a função (vetorial) γ for de classe C 1 em [a, b] e se γ (t) 0 para todo t [a, b]., 7.08.007-6.a Diremos que a curva parametrizada γ : [a, b] R n é regular (ou suave) por partes em [a, b] se eitir uma partição, P = {a = 0, 1,,, n = b}, do intervalo [a, b] tal que a restrição da função γ a cada subintervalo da partição, ( i 1, i ), i {1,,, n}, for uma curva regular (isto é, para cada i {1,,, n} a curva paramentrizada γ : ( i 1, i ) R n for curva regular em ( i 1, i )). Observação 3..3 Uma curva parametrizada é regular se, e somente se, seu vetor tangente não se anula nunca. Pode-se mostrar que se a curva parametrizada é regular então seu traço não tem bicos (ou seja não há mudanças abruptas de direção do vetor tangente à curva). γ(b) γ(a) γ(b) γ(t 0 ) γ(a) γ β a b a b t 0 Eemplo 3..3 No eemplo (3..1) item (a) temos que γ é curva (parametrizada plana) regular fechada e simples. Eemplo 3..4 No eemplo (3..1) item (b) temos que γ é curva (parametrizada no espaço) regular simples.

3.. CURVAS PARAMETRIZADAS 35 Eemplo 3..5 A curva parametrizada diferenciável γ : [ 1, 1] R dada por γ(t) = (t 3, t ), t [ 1, 1] não é regular pois ela é de classe C em [ 1, 1] mas γ (t) = (3t, t), t [ 1, 1] e este se anula em t = 0. Vale observar que o vetor tangente à curva, γ (t), só se anula em t = 0, assim γ é uma curva regular por partes (no caso tomamos a partição P de [ 1, 1] formada pelos pontos 1 = 1, = 0, 3 = 1). γ( 1) γ(1) γ(0) gamma 1 0 1 Eemplo 3..6 Seja [a, b] R tal que, [a, b]. A curva parametrizada diferenciável γ : [a, b] R dada por γ(t) = (t 3 4t, t 4), t [a, b] é regular pois é de classe C em [a, b] e γ (t) = (3t 4, t) (0, 0), t [a, b]. Observemos que γ( ) = γ() = (0, 0), logo a curva parametrizada γ não é simples. Além disso, γ ( ) = (8, 4) e γ () = (8, 4). γ(a) γ(b) γ () γ ( ) γ a b Eemplo 3..7 O gráfico de uma função contínua f : [a, b] R pode ser reobtido pelo traço da curva parametrizada γ : [a, b] R dada por γ(t). = (t, f(t)), t [a, b]. Vale observar que se f é uma função diferenciável em [a, b] então γ será curva parametrizada diferenciável em [a, b] e além disso γ (t) = (1, f (t)) (0, 0), t [a, b], assim γ será curva regular.

36 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS γ(b) = (b, f(b)) γ(a) = (a, f(a)) γ a b Para finalizar temos a: Definição 3..4 Se γ : [a, b] R n é uma curva regular (ou regular por partes) definimos o seu comprimento, que indicaremos por l γ, como sendo: l γ = b a γ (t) dt = b onde γ(t) = (γ 1 (t), (γ (t),, (γ n (t)), t [a, b]. a (γ 1 (t)) + (γ (t)) + + (γ n(t)) dt, Observação 3..4 Para obter uma motivação para a fórmula acima vamos considerar o caso em que a curva parametrizada diferenciável é plana (isto é, n = ). Suponhamos que γ : [a, b] R é dada por γ(t) = ((t), (t)), t [a, b]. Consideremos uma partição P. = {t 0 = a, t 1 < t < < t n = b} do intervalo [a, b]. Para cada i = 0, 1, n 1, o comprimento do i-ésimo arco da curva parametrizada γ que une os pontos γ(t i ) a γ(t i+1 ) pode ser aproimado pelo comprimento do segmento de reta que une os pontos γ(t i ) e γ(t i+1 ). γ(t i ) γ(t i+1 ) O comprimento deste segmento é dado por γ(t i+1 ) γ(t i ) = ((t i+1 ) (t i )) + ((t i+1 ) (t i )). Do Teorema do Valor Médio (Cálculo 1) aplicado as funções = (t) e = (t) temos que eistem ξ i e η i (t i, t i+1 ) tais que (t i+1 ) (t i ) = (ξ i )(t i+1 t i ) e (t i+1 ) (t i ) = (η i )(t i+1 t i ).

3.. CURVAS PARAMETRIZADAS 37 Deste modo temos que: n 1 n 1 l γ γ(t i+1 ) γ(t i ) = [ (ξ i )(t i+1 t i )] + [ (ξ i )(t i+1 t i )] i=0 n 1 = i=0 i=0 [ (ξ i )] + [ (η i )] (t i+1 t i ) ( t i. =t i+1 t i ) = n 1 [ (ξ i )] + [ (η i )] t i. Observemos que o lado direito da epressão acima é a soma de Riemann associada partição P. Logo fazendo a norma da partição P tender para zero (isto é, i 0 para todo i = b 0, 1,, n) temos que a soma acima vai para a [ (t)] + [ (t)] dt, ou seja: a i=0. l γ = b b [ (t)] + [ (t)] dt = γ (t) dt a a Eemplo 3..8 Calcule o comprimento da curva regular por partes γ : [0, π] R dada por γ(t) = (cos(t), 0), t [0, π] (como γ (t) = ( sen(t), 0) ela se anula em t = 0, π e π, assim ela será regular quando restrita aos intervalos (0, π) e a (π, π)). γ(π) = ( 1, 0) γ(0) = γ(π) = (1, 0) 0 π γ Resolução: Podemos ver que o comprimento da curva γ é 4 (duas vezes o comprimento do intervalo [ 1, 1]). Observemos que γ é uma curva parametrizada diferenciável e γ (t) = ( sen(t), 0), t [0, π], logo ela é regular por partes (só se anula t = 0 e t = π). Deste seu comprimento será dado por l γ = = b a π 0 γ (t) dt = π 0 sen(t) dt = ( sen(t), 0) dt = π 0 π sen(t), dt = [ cos(t) t=π t=0] = 4. 0 ( sen(t)) + 0 dt Eercício 3..1 Calcule o comprimento da curva parametrizada γ : [0, π] R 3 dada por γ(t). = (cos(t), sen(t), t), t [0, π] (hélice circular).

38 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS - CURVAS PARAMETRIZADAS z π γ 0 t 3 γ (t) γ(t) Resolução: Temos que γ é uma curva regular e γ (t) = ( sen(t), cos(t), 1) 0 para todo t [0, π], logo seu comprimento será dado por: l γ = = b a π 0 γ (t) dt = π 0 ( sen(t), cos(t), 1) dt = π dt = dt = π. 0 π 0 ( sen(t)) + (cos(t)) + 1 dt

Capítulo 4 Funções Reais de Várias Variáveis Reais 4.1 Definições Básicas Vamos estabelecer a notação para facilitar os estudos do que se segue. Seja n um número natural; isto é, n = 1,, 3,. Como vimos no Capítulo I, R n denota o conjunto das n uplas ordenadas ( 1,, n ) de números reais. Este conjunto representa as variáveis das quais a quantidade a ser estudada depende (no caso da temperatura na Terra n = 4, 1 = latitude, = longitude, 3 = altitude e 4 = tempo). Definição 4.1.1 Se A R n, uma função f : A R é uma relação que a cada ( 1,, n ) A associa um, único, número real indicado por f( 1,, n ). Diremos que A é o domínio da função f, indicado por D(f). A imagem de f, indicado por Im(f), é o subconjunto de R definido por Im(f). = {f( 1,, n ) : ( 1,, n ) D(f)}. O gráfico da função f, indicado por G(f), é o subconjunto de R n+1 definido por Observação 4.1.1 G(f). = {( 1,, n, f( 1,, n )) : ( 1,, n ) D(f)}. (a) Frequentemente não faremos qualquer menção ao domínio da função que estaremos analisando. Neste caso o domínio será o maior subconjunto para o qual a relação dada faz sentido. (b) Note que o gráfico de uma função de n variáveis é um subconjunto de R n+1. Desta forma a sua representação geométrica somente será possível para n = 1 (visto no Cálculo I) e o n = que será tratado a seguir. (c) Nos casos n = e n = 3 denotaremos os elementos de R n por (, ) e (,, z), respectivamente. 39

40 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS Eemplo 4.1.1 Seja f(, ) = +. Neste caso o domínio não está especificado e portanto este é o o maior subconjunto de R para o qual a relação dada faz sentido; logo, D(f) = {(, ) R : }. Para determinar a imagem basta notar que sobre a reta = 1 a função f assume todos os valores reais e portanto Im(f) = R. Abaio temos o desenho do domínio da função f. = O representação geométrica do gráfico da função f é dada abaio: 0 10 z0 10 0 1 0 1 1 0 1 Outro eemplo

4.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 41 Eemplo 4.1. Seja f(, ) = + 1. É fácil ver que D(f) = {(, ) R :, 1} Abaio temos o desenho do domínio e a representação geométrica do gráfico de f. = 1 =.5 z1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 Eemplo 4.1.3 Seja z = f(, ) dada por + + z = 1, z 0. Como z 0 temos que z = f(, ) = 1. Deste modo D(f). = {(, ) R : + 1} (pontos que estão no interior e na fronteira da bola). Abaio temos o desenho do domínio e a representação geométrica do gráfico de f.

4 CAPÍTULO 4. FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 1 1 0.8 0.6 0.4 0. 1 0.5 0 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 A superfície acima é a calota superior da esfera de centro na origem e raio 1. Outro eemplo importante é: Eemplo 4.1.4 Se z = f(, ) dada por z =. Deste modo D(f). = {(, ) R : }. Abaio temos o desenho do domínio e a representação geométrica do gráfico de f.