Física Geral Incertezas em Medidas Diretas
Experimento Simples Medidas diretas: valores resultantes de medições de uma mesma grandeza, realizadas por um mesmo experimentador, com o mesmo instrumento de medição e sob as mesmas condições experimentais. Valor esperado: sendo uma medida (direta) um processo que pode ser repetido indefinidamente, o valor médio desta distribuição hipotética seria o valor esperado da medida. O valor esperado é, portanto, um conceito hipotético
Valor Esperado Mesmo sendo hipotético, o valor esperado de uma grandeza pode ser estimado de um conjunto finito de medidas. Amostra: uma parte das infinitas medidas possíveis. População: o conjunto de todos os possíveis valores que uma grandeza.
Resultado de uma Medição O resultado da medição de uma grandeza (associado a uma unidade da mesma) é composto de duas parcelas; uma estimativa para o seu valor esperado, e outra, para o erro (ou a incerteza) associado(a) a essa estimativa. Apresentação de em resultado deve ser na forma: estimativa do valor esperado ± erro
Resultado de uma Medição estimativa do valor esperado ± erro Qual a melhor estimativa do valor esperado? Qual a incerteza atribuída à estimativa do valor esperado? Qual a espectativa ou nível de confiança de que o intervalo determinado pelo erro contenha o valor hipoteticamente esperado?
Resultado de uma Medição Qual a melhor estimativa do valor esperado? Se a medição de uma grandeza for realizada com instrumentos bem calibrados e com procedimentos cuidadosos, uma hipótese fundamental da teoria estatística de erros é que, para um número N (suficientemente grande) de medidas de uma grandeza, a distribuição experimental de freqüências dos dados (distribuição amostral) aproxima-se de uma distribuição tal que a sua média tende ao valor esperado da grandeza.
Erros, ou Incertezas As incertezas em um processo de medição são classificadas, tradicionalmente, como aleatórias (estatísticas) ou sistemáticas. As incertezas estatísticas podem ser reduzidas pelo aumento da amostra (i.e., pela repetição de medições), enquanto as incertezas sistemáticas não.
Incertezas Sistemáticas
Incertezas Sistemáticas
Caracterização do Resultado da Medição
Normatização dos conceitos de incertezas
Avaliação dos Erros Associados a Incertezas do Tipo A
Histograma Gaussiana frequencia 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
Histograma Gaussiana frequencia 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
Histograma Gaussiana frequencia 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x x
Histograma Gaussiana frequencia 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 σ x σ x 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x x
frequencia 220 200 180 Gaussiana 160 140 120 100 80 60 40 20 σ x σ x 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x x
Erros em Medidas Individuais ( x ±σ ) x
Erro da Média
Erro Relativo A quantidade ε r = σ x x conhecida como erro relativo, caracteriza a precisão de um resultado e é uma indicação da qualidade de um experimento. Pode ser expresso diretamente pelo resultado da razão, como em porcentagens. Por exemplo: 0,01 ou 1%.
Pequenas Amostras ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + + = N i i N x N x x N x x x x x x s 1 2 2 2 2 2 1 1 1... Se a quantidade N de medidas não for suficientemente grande o desvio padrão da amostra pode não representar adequadamente o desvio padrão da população. Nesse caso, usa-se: ao invés de ( ) = = N i i x N x x 1 2 σ
A sequência abaixo representa medidas em Ω de um conjunto de 100 resistores. (Seu valor é de 100 Ω com erro de 5%) 104.995 97.8262 103.909 99.8497 104.121 99.7164 95.4956 99.6265 100.04 97.9462 106.956 95.0747 99.7553 92.7833 94.6966 93.0585 103.837 96.3199 102.899 98.0893 110.305 93.8259 105.827 97.729 99.3261 97.5018 99.0878 109.222 98.7858 109.984 100.024 97.8891 107.703 100.474 107.623 106.084 99.3185 99.0039 98.5312 99.4082 94.1985 100.062 100.11 99.6437 93.3919 108.722 98.3381 98.7636 94.0989 94.0479 89.9512 106.692 102.441 101.482 101.22 94.5383 97.0045 96.0604 87.0993 93.9176 93.7836 98.8106 109.002 97.6556 88.8171 98.507 108.905 95.57 101.282 98.1575 96.4223 98.0659 98.4949 99.3634 104.266 102.276 99.8444 105.995 101.796 97.2072 104.662 106.953 104.893 95.5268 101.389 96.2368 96.9159 93.5073 104.932 101.515 92.5741 106.721 101.102 99.1082 98.3404 101.841 97.7524 107.537 99.792 100.41 Obtemos: x = 99,824 Ω e σ x = 4,8299 Ω e s x = 4,854 Ω Para uma sub-amostra de 50 resistores: σ x = N i= 1 ( x x) i N 2 x =100,12 Ω e σ x = 4, 68122 Ω e s x = 4, 729 Ω Para uma sub-amostra de 5 resistores: s x = ( x x) N i i= 1 N 1 2 x = 99, 5691Ω e σ x = 4, 5640 Ω e s x = 5,1027 Ω
(estimativa padrão)
Algarismos Significativos É o número de algarismos necessários para expressar um resultado numérico. - Indicam a precisão de uma estimativa; - Devem ser determinados apenas após o cálculo da incerteza; - Geralmente expressa-se a incerteza apenas com um algarismo significativo; - Expressa-se o valor da estimativa até o algarismo do erro (incerteza). Exemplo: Supondo a estimativa de um comprimento e do seu erro sejam respectivamente: x = 73,648 cm e σ x = 0,2285 cm Escreve - se (73,6 ± 0,2) cm ou 73,6(2) cm
Algarismos Significativos Regra de arredondamento - Se a fração for maior que 1/2, o último algarismo significativo é incrementado de um dígito; 8,368 è 8,37 - se a fração for menor que ½, não há incremento; 8,362 è 8,36 - se a fração for igual a 1/2, o último algarismo restante é incrementado apenas se for par. 8,45 è 8,5 8,35 è 8,3
Algarismos Significativos Exemplo: x =128, 652 kg e σ x = 0, 428 kg Escreve-se (128,7± 0, 4) kg ou 128,7(4) kg
Algarismos Significativos Regra de arredondamento em operações aritméticas:
Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade 5 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 x = 1 N NX i=1 x i 5 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 ii) A estimativa padrão para a incerteza é dada por: Erro padrão: 0,0556417 x = x = 1 N v ux t N i=1 NX i=1 x i (x i x) 2 N(N 1) 5 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 ii) A estimativa padrão para a incerteza é dada por: Erro padrão: 0,0556417 x = x = 1 N v ux t N i=1 (x i x) 2 N(N 1) iii) Representamos o erro com um algarismo significativo e a medida com o mesmo número de casa decimais: Estimativa padrão para o resultado da medição: (9,73 ± 0,06) m/s 2 NX i=1 x i 5 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) 12 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) a) (14,18) (16-2, 16 + 2) (16 - σ, 16 + σ) Associamos ao intervalo o nível de confiança de aprox. 68,3% Para um grande número de leituras, 68,3% delas estarão no intervalo (16 - σ, 16 + σ) 12 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) a) (14,18) (16-2, 16 + 2) (16 - σ, 16 + σ) Associamos ao intervalo o nível de confiança de aprox. 68,3% Para um grande número de leituras, 68,3% delas estarão no intervalo (16 - σ, 16 + σ) b) (12,16) (16-4, 16 + 0) (16-2σ, 16 + 0σ) Nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, 16 + 2σ): 95,5% O nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, 16 + 0σ) será a metade: 47,75% 12 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) a) (14,18) (16-2, 16 + 2) (16 - σ, 16 + σ) Associamos ao intervalo o nível de confiança de aprox. 68,3% Para um grande número de leituras, 68,3% delas estarão no intervalo (16 - σ, 16 + σ) b) (12,16) (16-4, 16 + 0) (16-2σ, 16 + 0σ) Nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, 16 + 2σ): 95,5% O nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, 16 + 0σ) será a metade: 47,75% c) (18,20) (16 + 1σ, 16 + 2σ) Nível de confiança: 95,5% / 2-68,3% / 2 = 13,6% 12 Física Geral - 2013/1 - Exercícios
Qual o significado de melhor estimativa ou estimativa-padrão? A estimativa padrão define um intervalo em torno da média, ao qual pode-se atribuir uma espectativa ou nível probabilístico de confiança de que o mesmo contenha o valor esperado. Sendo x valor médio de uma grandeza x σ x erro da média O nível de confiança de que o intervalo ( x σ x, x +σ x ) contenha o valor esperado para a grandeza é de 68,3%. Outra forma de dizer: o intervalo de confiança é de 68,3%
Nível de Confiança A estimativa-padrão x ±σ x ou x ±σ x define um intervalo de valores. Podemos dizer, que o nível de confiança de que o valor esperado esteja nesse intervalo é de 68,3%. Outra forma de dizer, é que o intervalo de confiança é de 68,3%. Da mesma forma: x ± 2σ x ou x ± 2σ x 95,5% x ± 3σ x ou x ± 3σ x 99,7%
Experiência de Medidas Diretas Objetivos u Medidas da resistência elétrica de resistores. u Uso de multímetro digital. u Apresentação de resultados com o correto número de algarismos significativos. u Verificação do conceito de desvio padrão e erro da média.