GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos

Universidade Federal do Paraná Programa de Pós-Graduação em Geologia GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos Saulo P. Oliveira Departmento de Matemática, Universidade Federal do Paraná

Semana 1 Aula 5 Parte 1 Revisão: matlab Derivada 1D Parte 2 Derivada 2D GHT GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 1/17

Matlab - Revisão O matlab é um pacote de cálculo numérico e visualização de dados GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 2/17

Matlab - Revisão O matlab é um pacote de cálculo numérico e visualização de dados Versão gratuita: https://www.gnu.org/software/octave/ GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 2/17

Matlab - Revisão O matlab é um pacote de cálculo numérico e visualização de dados Seu modo mais primitivo de uso é o modo calculadora GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 2/17

Matlab - Revisão O matlab é um pacote de cálculo numérico e visualização de dados Seu modo mais primitivo de uso é o modo calculadora na linha de comando, podemos fazer: Operações aritméticas (+ - * / ˆ) Cálculo com funções intrínsecas (cos sqrt log) Operações compostas armazenando valores na memória: ( ) 1 + 3 2 + 5 + 7 = 4 + 6 = 10 2 2 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 2/17

Matlab - Revisão O matlab é um pacote de cálculo numérico e visualização de dados Seu modo mais primitivo de uso é o modo calculadora na linha de comando, podemos fazer: Operações aritméticas (+ - * / ˆ) Cálculo com funções intrínsecas (cos sqrt log) Operações compostas armazenando valores na memória: ( ) 1 + 3 2 + 5 + 7 = 4 + 6 = 10 2 2 OBS: Os resultados das operações são armazenados na variável ans Os parênteses permitem alterar a ordem das operações: ((1 + 3)/2)ˆ2 + (5 + 7)/2 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 2/17

Matlab - Revisão Variável: segmento de memória selecionado e identificado para armazenar um conjunto de dados. Estes dados podem ser alterados ou liberados para uso de outras variáveis. GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/17

Matlab - Revisão Variável: segmento de memória selecionado e identificado para armazenar um conjunto de dados. Estes dados podem ser alterados ou liberados para uso de outras variáveis. Regras para identificar variáveis: 1. O primeiro caracter deve ser uma letra; 2. Os demais caracteres podem ser letras, números ou o caracter ; 3. Maiúsculas e minúsculas são considerados caracteres distintos; 4. O nome não pode coincidir com nenhuma palavra reservada do matlab; GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/17

Matlab - Revisão Variável: segmento de memória selecionado e identificado para armazenar um conjunto de dados. Estes dados podem ser alterados ou liberados para uso de outras variáveis. OBS: O comando clear var elimina a variável var Tentar acessar uma variável inexistente causa erro GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/17

Matlab - Revisão Variável: segmento de memória selecionado e identificado para armazenar um conjunto de dados. Estes dados podem ser alterados ou liberados para uso de outras variáveis. OBS: O comando clear var elimina a variável var Tentar acessar uma variável inexistente causa erro Matrizes e vetores: delimitados por colchetes colunas separadas por vírgula ou espaço linhas separadas por ponto-e-vírgula ou Enter GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/17

Matlab - Revisão Variável: segmento de memória selecionado e identificado para armazenar um conjunto de dados. Estes dados podem ser alterados ou liberados para uso de outras variáveis. OBS: O comando clear var elimina a variável var Tentar acessar uma variável inexistente causa erro Matrizes e vetores: delimitados por colchetes colunas separadas por vírgula ou espaço linhas separadas por ponto-e-vírgula ou Enter podem ser definidos por funções intrínsecas: zeros,ones,rand,randn, linspace, entre outras funções intrínsecas usualmente destinadas a números GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/17

Matlab - Revisão Variável: segmento de memória selecionado e identificado para armazenar um conjunto de dados. Estes dados podem ser alterados ou liberados para uso de outras variáveis. OBS: O comando clear var elimina a variável var Tentar acessar uma variável inexistente causa erro Matrizes e vetores: delimitados por colchetes colunas separadas por vírgula ou espaço linhas separadas por ponto-e-vírgula ou Enter podem ser definidos por funções intrínsecas: zeros,ones,rand,randn, linspace, entre outras funções intrínsecas usualmente destinadas a números Operações matriciais ou termo-a-termo (usar. ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/17

Matlab - Revisão Gráficos 1D: dados dois vetores x e y, o comando plot(x,y) abre uma janela onde marca os pares ordenados ligando-os com linhas retas (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/17

Matlab - Revisão Gráficos 1D: dados dois vetores x e y, o comando plot(x,y) abre uma janela onde marca os pares ordenados (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) ligando-os com linhas retas (que podem parecer curvas) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/17

Matlab - Revisão Gráficos 1D: dados dois vetores x e y, o comando plot(x,y) abre uma janela onde marca os pares ordenados (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) ligando-os com linhas retas (que podem parecer curvas) Algumas opções: múltiplos gráficos (separados ou não) escolha de cores, marcadores e tipos de linhas identificação dos elementos do gráficos GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/17

Matlab - Revisão Gráficos 1D: dados dois vetores x e y, o comando plot(x,y) abre uma janela onde marca os pares ordenados (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) ligando-os com linhas retas (que podem parecer curvas) Algumas opções: múltiplos gráficos (separados ou não) escolha de cores, marcadores e tipos de linhas identificação dos elementos do gráficos salvando em arquivo: pela janela gráfica ou pelo comando print GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/17

Matlab - Revisão Automatização de tarefas: As setas (para cima/baixo) repetem os comandos passados Arquivos-texto com extensão.m podem armazenar cadeias de comandos (scripts) Variáveis ajudam na automatização de operações GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/17

Matlab - Revisão Automatização de tarefas: As setas (para cima/baixo) repetem os comandos passados Arquivos-texto com extensão.m podem armazenar cadeias de comandos (scripts) Variáveis ajudam na automatização de operações Comandos de programação: Repetição: for, while GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/17

Matlab - Revisão Automatização de tarefas: As setas (para cima/baixo) repetem os comandos passados Arquivos-texto com extensão.m podem armazenar cadeias de comandos (scripts) Variáveis ajudam na automatização de operações Comandos de programação: Repetição: for, while Decisão: if, switch GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/17

Matlab - Revisão Automatização de tarefas: As setas (para cima/baixo) repetem os comandos passados Arquivos-texto com extensão.m podem armazenar cadeias de comandos (scripts) Variáveis ajudam na automatização de operações Comandos de programação: Repetição: for, while Decisão: if, switch Entrada/saída: disp, input, dlmread, dlmwrite GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/17

Matlab - Revisão Automatização de tarefas: As setas (para cima/baixo) repetem os comandos passados Arquivos-texto com extensão.m podem armazenar cadeias de comandos (scripts) Variáveis ajudam na automatização de operações Comandos de programação: Repetição: for, while Decisão: if, switch Entrada/saída: disp, input, dlmread, dlmwrite Exemplo: escreva um script para ler as notas de um aluno (até que o usuário entre com uma nota negativa), calcular a média e indicar se o aluno passou sem exame, fará exame final ou foi reprovado. GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/17

Matlab - Revisão Há diversas funções intrínsecas para vetores e matrizes: identificar dimensões: length, size GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 6/17

Matlab - Revisão Há diversas funções intrínsecas para vetores e matrizes: identificar dimensões: length, size somas, produtos: sum, prod GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 6/17

Matlab - Revisão Há diversas funções intrínsecas para vetores e matrizes: identificar dimensões: length, size somas, produtos: sum, prod estatísticas: mean, var, max, min GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 6/17

Matlab - Revisão Há diversas funções intrínsecas para vetores e matrizes: identificar dimensões: length, size somas, produtos: sum, prod estatísticas: mean, var, max, min Podemos acessar/definir blocos de índices com o : GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 6/17

Matlab - Revisão Há diversas funções intrínsecas para vetores e matrizes: identificar dimensões: length, size somas, produtos: sum, prod estatísticas: mean, var, max, min Podemos acessar/definir blocos de índices com o : Podemos definir funções em arquivos com extensão.m, inserindo no início do arquivo a linha function [S1,S2,...] = NOME(E1,E2,...) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 6/17

Matlab - Revisão Há diversas funções intrínsecas para vetores e matrizes: identificar dimensões: length, size somas, produtos: sum, prod estatísticas: mean, var, max, min Podemos acessar/definir blocos de índices com o : Podemos definir funções em arquivos com extensão.m, inserindo no início do arquivo a linha function [S1,S2,...] = NOME(E1,E2,...) S1,S2,...: variáveis de saída NOME: nome da função (e do arquivo) E1,E2,...: variáveis de entrada GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 6/17

Derivada - motivação Motivação: velocidade em deslocamentos não uniformes GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 7/17

Derivada - motivação Motivação: velocidade em deslocamentos não uniformes MU (mov. unif.): deslocamento proporcional ao tempo de percurso v = t GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 7/17

Derivada - motivação Motivação: velocidade em deslocamentos não uniformes MU (mov. unif.): deslocamento proporcional ao tempo de percurso v = 5000 0 2 0 = 2500m/s GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 7/17

Derivada - motivação Motivação: velocidade em deslocamentos não uniformes MU (mov. unif.): deslocamento proporcional ao tempo de percurso v = 5000 2500 2 1 = 2500m/s OBS: x(t) = 2500t e v(t) = 2500. GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 7/17

Derivada - motivação Caso intermediário: movimento uniformemente variado x(t) = x 0 + v 0 t + a 2 t2 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 8/17

Derivada - motivação Caso intermediário: movimento uniformemente variado x(t) = 300 + 2000t + 300t 2 x 0 = 300m v 0 = 2000m/s a = 600m/s 2 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 8/17

Derivada - motivação Caso intermediário: movimento uniformemente variado v(t) = v 0 + at = 2000 + 600t GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 8/17

Derivada - motivação Caso intermediário: movimento uniformemente variado t = 0s: v = v 0 = 2000m/s t = 2s: v = v 0 + 600(2) = 3200m/s GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 8/17

Derivada - motivação Caso intermediário: movimento uniformemente variado t = 0s: v = v 0 = 2000m/s t = 2s: v = v 0 + 600(2) = 3200m/s Velocidade instantânea = inclinação da tangente GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 8/17

Derivada - motivação Como encontrar a velocidade instantânea em t = 1s? Aproximação com a inclinação da secante: GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 9/17

Derivada - motivação Como encontrar a velocidade instantânea em t = 1s? Aproximação com a inclinação da secante: v(1) 4137 6000 2 1 = 1863m/s GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 9/17

Derivada - motivação Como encontrar a velocidade instantânea em t = 1s? Aproximação com a inclinação da secante: v(1) 4994 6000 1.5 1 = 2006m/s GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 9/17

Derivada - motivação Como encontrar a velocidade instantânea em t = 1s? Aproximação com a inclinação da secante: v(1) 6132 6000 1.2 1 = 655.3m/s GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 9/17

Derivada - motivação Como encontrar a velocidade instantânea em t = 1s? Aproximação com a inclinação da secante: v(1) 6012 6000 1.003 1 = 4071m/s t 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1.0000001 x(t) x(1) t 1 4112.68 4131.27 4133.17 4133.31 4133.33 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 9/17

Derivada - motivação Como encontrar a velocidade instantânea em t = 1s? Aproximação com a inclinação da secante: v(1) Valor exato: 6012 6000 1.003 1 = 4071m/s v(1) = y(t) y(1) lim t 1 t 1 v(1) = 4133.33m/s t 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1.0000001 x(t) x(1) t 1 4112.68 4131.27 4133.17 4133.31 4133.33 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 9/17

Derivada Em geral, dada uma função f(x) qualquer, f x (x 0) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 10/17

Derivada Em geral, dada uma função f(x) qualquer, f x (x 0) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Se f = f(x, y, z), podemos ter derivadas com respeito a qualquer uma das coordenadas, por exemplo: f y (x 0, y 0, z 0 ) = lim y y 0 f(x 0, y, z 0 ) f(x 0, y 0, z 0 ) y y 0 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 10/17

Diferenças finitas Em geral, a inclinação da reta secante nos dá f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 + ) x 0 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 11/17

Diferenças finitas Em geral, a inclinação da reta secante nos dá f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 11/17

Diferenças finitas Em geral, a inclinação da reta secante nos dá f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) Se no lugar de, usarmos, obtemos f x (x 0) f(x 0 ) f(x 0 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 11/17

Diferenças finitas Em geral, a inclinação da reta secante nos dá f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) Se no lugar de, usarmos, obtemos f x (x 0) f(x 0) f(x 0 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 11/17

Diferenças finitas Em geral, a inclinação da reta secante nos dá f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) Se no lugar de, usarmos, obtemos f x (x 0) f(x 0) f(x 0 ) Podemos também considerar a média entre as duas aproximações: f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 11/17

Diferenças finitas Em geral, a inclinação da reta secante nos dá f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) Se no lugar de, usarmos, obtemos f x (x 0) f(x 0) f(x 0 ) Podemos também considerar a média entre as duas aproximações: f x (x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 Estas são aproximações de diferenças finitas da derivada. GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 11/17

Diferenças finitas Derivada de segunda ordem: 2 f x 2 (x 0) = g x (x 0), g(x) = f x (x). GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 12/17

Diferenças finitas Derivada de segunda ordem: 2 f x 2 (x 0) = g x (x 0), g(x) = f x (x). Usemos a última fórmula proposta, com 2 em vez de : 2 f x 2 (x 0) g(x 0 + 2 ) g(x 0 2 ) 2( 2 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 12/17

Diferenças finitas Derivada de segunda ordem: 2 f x 2 (x 0) = g x (x 0), g(x) = f x (x). Usemos a última fórmula proposta, com 2 em vez de : 2 f x 2 (x 0) g(x 0 + 2 ) g(x 0 2 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 12/17

Diferenças finitas Derivada de segunda ordem: 2 f x 2 (x 0) = g x (x 0), g(x) = f x (x). Usemos a última fórmula proposta, com 2 em vez de : 2 f x 2 (x 0) g(x 0 + 2 ) g(x 0 2 ) Usemos a mesma fórmula para aproximar g(x 0 + 2 ) e g(x 0 2 ): g(x 0 + 2 ) = f x (x 0 + 2 ) f(x 0 + 2 + 2 ) f(x 0 + 2 2 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 12/17

Diferenças finitas Derivada de segunda ordem: 2 f x 2 (x 0) = g x (x 0), g(x) = f x (x). Usemos a última fórmula proposta, com 2 em vez de : 2 f x 2 (x 0) g(x 0 + 2 ) g(x 0 2 ) Usemos a mesma fórmula para aproximar g(x 0 + 2 ) e g(x 0 2 ): g(x 0 + 2 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 12/17

Diferenças finitas Derivada de segunda ordem: 2 f x 2 (x 0) = g x (x 0), g(x) = f x (x). Usemos a última fórmula proposta, com 2 em vez de : 2 f x 2 (x 0) g(x 0 + 2 ) g(x 0 2 ) Usemos a mesma fórmula para aproximar g(x 0 + 2 ) e g(x 0 2 ): g(x 0 + 2 ) f(x 0 + ) f(x 0 ), g(x 0 2 ) f(x 0) f(x 0 ) GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 12/17

Diferenças finitas Derivada de segunda ordem: 2 f x 2 (x 0) = g x (x 0), g(x) = f x (x). Usemos a última fórmula proposta, com 2 em vez de : 2 f x 2 (x 0) g(x 0 + 2 ) g(x 0 2 ) Usemos a mesma fórmula para aproximar g(x 0 + 2 ) e g(x 0 2 ): g(x 0 + 2 ) f(x 0 + ) f(x 0 ), g(x 0 2 ) f(x 0) f(x 0 ) Substituindo estas aproximações, obtemos a fórmula 2 f x 2 (x 0) f(x 0 + ) 2f(x 0 ) + f(x 0 ) 2 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 12/17

Diferenças finitas No Matlab, se f é um vetor com amostragem dx, podemos considerar as seguintes aproximações: ( ) Aproximação progressiva: f x (x 0) f(x 0+) f(x 0 ) df = (f(2:end)-f(1:end-1))/dx, exclui o último GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 13/17

Diferenças finitas No Matlab, se f é um vetor com amostragem dx, podemos considerar as seguintes aproximações: ( ) Aproximação progressiva: f x (x 0) f(x 0+) f(x 0 ) df = (f(2:end)-f(1:end-1))/dx, exclui o último ( ) Aproximação regressiva: f x (x 0) f(x 0) f(x 0 ) df = (f(1:end)-f(2:end-1))/dx, exclui o primeiro GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 13/17

Diferenças finitas No Matlab, se f é um vetor com amostragem dx, podemos considerar as seguintes aproximações: ( ) Aproximação progressiva: f x (x 0) f(x 0+) f(x 0 ) df = (f(2:end)-f(1:end-1))/dx, exclui o último ( ) Aproximação regressiva: f x (x 0) f(x 0) f(x 0 ) df = (f(1:end)-f(2:end-1))/dx, exclui o primeiro ( ) Aproximação centrada: f x (x 0) f(x 0+) f(x 0 ) 2 df = (f(3:end)-f(1:end-2))/(2*dx), exclui extremos GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 13/17

Diferenças finitas No Matlab, se f é um vetor com amostragem dx, podemos considerar as seguintes aproximações: ( ) Aproximação progressiva: f x (x 0) f(x 0+) f(x 0 ) df = (f(2:end)-f(1:end-1))/dx, exclui o último ( ) Aproximação regressiva: f x (x 0) f(x 0) f(x 0 ) df = (f(1:end)-f(2:end-1))/dx, exclui o primeiro ( ) Aproximação centrada: f x (x 0) f(x 0+) f(x 0 ) 2 df = (f(3:end)-f(1:end-2))/(2*dx), exclui extremos ( ) Aproximação da 2a derivada: 2 f (x x 2 0 ) f(x 0+) 2f(x 0 )+f(x 0 ) 2 d2f = (f(3:end)-2*f(2:end-1)+f(1:end))/(dx*dx), idem GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 13/17

Parte 2

Diferenças finitas 2D Podemos aproximar derivadas parciais do mesmo modo que em 1D: f x (x f(x 0 +, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim 0 f y (x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim y 0 y GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 15/17

Diferenças finitas 2D Podemos aproximar derivadas parciais do mesmo modo que em 1D: f x (x 0, y 0 ) f(x 0 +, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) y GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 15/17

Diferenças finitas 2D Podemos aproximar derivadas parciais do mesmo modo que em 1D: f x (x 0, y 0 ) f(x 0 +, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) y Dado um grid (x i,j, y i,j ), criado por exemplo pelo comando meshgrid, f x (x i,j, y i,j ) f(x i,j +, y i,j ) f(x i,j, y i,j ) f y (x i,j, y i,j ) f(x i,j, y i,j + y) f(x i,j, y i,j ) y GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 15/17

Diferenças finitas 2D f x (x i,j, y i,j ) f(x i,j +, y i,j ) f(x i,j, y i,j ) f y (x i,j, y i,j ) f(x i,j, y i,j + y) f(x i,j, y i,j ) y GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 16/17

Diferenças finitas 2D f x (x i,j, y i,j ) f(x i,j+1, y i,j+1 ) f(x i,j, y i,j ) f y (x i,j, y i,j ) f(x i+1,j, y i+1,j ) f(x i,j, y i,j ) y GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 16/17

Diferenças finitas 2D f x (x i,j, y i,j ) f(x i,j+1, y i,j+1 ) f(x i,j, y i,j ) f y (x i,j, y i,j ) f(x i+1,j, y i+1,j ) f(x i,j, y i,j ) y Dada a matriz definida por F i,j = F (x i,j, y i,j ) temos as aproximações dxf i,j = F i,j+1 F i,j dyf i,j = F i+1,j F i,j y GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 17/17

Diferenças finitas 2D f x (x i,j, y i,j ) f(x i,j+1, y i,j+1 ) f(x i,j, y i,j ) f y (x i,j, y i,j ) f(x i+1,j, y i+1,j ) f(x i,j, y i,j ) y Dada a matriz definida por F i,j = F (x i,j, y i,j ) temos as aproximações dxf i,j = F i,j+1 F i,j dyf i,j = F i+1,j F i,j y Para aproximar GHT i,j = GHT i,j = ( ) 2 ( f x (x i,j, y i,j ) + f 2, x (x i,j, y i,j )) (dxf i,j ) 2 + (dyf i,j ) 2 GEO742: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 17/17