4 Relações 4.1 Preliminares Definição 4.1. Sejam A e B conjuntos. Uma relação binária, R, de A em B é um subconjunto de A B. (R A B) Dizemos que a A está relacionado com b B sss (a, b) R. Notação: arb. Dizemos que a A não está relacionado com b B sss (a, b) / R. Notação: a Rb. Exemplo 4.1.1 Sejam A = {x, y} e B = {0, 1, 2}. R 1 = {(x, 0), (x, 1), (y, 0), (y, 1)}, R 2 = {(x, 1), (y, 1), (x, 0), (x, 2)} e R 3 = {(x, 0), (x, 1), (x, 2)} são exemplos de relações de A em B. Definição 4.2. Sejam A e B conjuntos e R A B uma relação binária. Definimos: Domínio de R como Dom(R) := {a A; b B, (a, b) R} A Imagem de R como Im(R) := {b B; a A, (a, b) R} B No exemplo acima: Dom(R 1 ) = e Im(R 1 ) = Dom(R 2 ) = e Im(R 2 ) = Dom(R 3 ) = e Im(R 3 ) = Diagrama de Venn Representação Matricial No exemplo 4.1.1 temos: R 1 x A/B 0 1 2 y R 2 x A/B 0 1 2 y R 3 x A/B 0 1 2 y Definição 4.3. Seja A um conjunto. Uma relação R em A, ou uma endorrelação, é uma relação de A em A. Ou seja R A A. Exemplo 4.1.2 Seja A = N e R N N dada por R := {(a, b) N N; a b}. 15
Definição 4.4. Sejam A e B conjuntos e R A B uma relação binária. A relação dual, ou inversa de R, denotada por R 1, é dada por R 1 = {(b, a) B A; (a, b) R}. Note que R 1 B A. Vejamos como ficam as inversas nos exemplos anteriores. Definição 4.5. Sejam A e B conjuntos e R A B uma relação. Dizemos que R é uma relação sobrejetora sss ( b B)( a A) (a, b) R. Ou seja: Im(R) = B. Definição 4.6. Sejam A e B conjuntos e R A B uma relação. Dizemos que R é uma relação total sss ( a A)( b B) (a, b) R. Ou seja: Dom(R) = A. Definição 4.7. Sejam A e B conjuntos e R A B uma relação. Dizemos que R é uma relação injetora sss ( b B)( a 1 A)( a 2 A) (a 1, b) R (a 2, b) R = a 1 = a 2 Definição 4.8. Sejam A e B conjuntos e R A B uma relação. Dizemos que R é uma relação funcional sss ( a A)( b 1 B)( b 2 B) (a, b 1 ) R (a, b 2 ) R = b 1 = b 2 16
Exemplo 4.1.3 Vários: S 1 = {(x, y) R 2 ; y = x 2 } S 2 = {(x, y) R 2 ; x = y } S 3 = {(x, y) R 2 ; y = x 3 } S 4 = {(x, y) R 2 ; y = x} S 5 = {(x, y) R 2 ; x = y 7} S 6 = {(x, y) R 2 ; x y + 2} R + = { ( (x, y), z ) ; x + y = z} R k = { ( (x, y), (a, b) ) ; a = kx e b = ky} k N. Note que S 1, S 2,..., S 6 são relações de R em R, ou seja, A = B = R, mas R + e R k não. Quem são A e B para as relações R + e R k? 4.2 Representação Matricial Vimos anteriormente um exemplo com 3 relações e as representamos em forma de matriz. Se A e B são conjuntos finitos essa representação é sempre possível. Sejam A = {a 1, a 2,..., a n } e B = {b 1, b 2,..., b k } dois conjuntos finitos onde A = n e B = k, com n, k N. A relação R A B pode ser representada pela matriz M = ( m ij )n k, cujos elementos são apenas zeros e uns onde m ij = 1 se (a i, b j ) R ou m ij = 0 se (a i, b j ) R. Essa representação tem várias vantagens, por exemplo a facilidade em ser implementada computacionalmente, além de também ser fácil de classificar a relação como injetora, sobrejetora, funcional, ou total. Sejam A e B dois conjuntos finitos, R A B e M a representação matricial de R. Dizemos que: R é sobrejetora se e só se M R é total se e só se M R é injetora se e só se M 17
R é funcional se e só se M Além disso podemos obter facilmente a representação matricial da relação dual de R, R 1. Se M é uma matriz n k, qual a ordem da matriz M que é a representação matricial de R 1? Qual a relação entre M e M? 4.3 Composição de Relações Definição 4.9. Sejam A, B e C conjuntos, R A B e S B C relações. A composição de R e S, denotada por S R satisfaz: ( a A)( b B)( c C) (a, b) R (b, c) S = (a, c) S R Exemplo 4.3.1 A = {0, 1, 2}, B = {x, y}, C = {a, e, i, o, u} R = {(0, x), (1, x), (2, y), (1, y)} A B S = {(x, a), (x, e), (x, i), (y, i), (y, o)} B C Assim, S R = {(0, a), (0, e), (0, i), (1, a), (1, e), (1, i), (2, i), (2, o), (1, i), (1, o)} As matrizes que representam R, S e S R são denominadas M R, M S e M S R respectivamente. M R x y 0 1 0 1 1 1 2 0 1 M S a e i o u x 1 1 1 0 0 y 0 0 1 1 0 M S R a e i o u 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 2 0 0 1 1 0 Se multiplicarmos a matriz M R pela matriz M S teremos a seguinte matriz 3 5. M R M S = 1 1 + 0 0 1 1 + 0 0 1 1 + 1 0 1 0 + 0 1 0 1 + 0 0 1 1 + 1 0 1 1 + 1 0 1 1 + 1 1 0 1 + 1 1 0 1 + 0 1 0 1 + 1 0 0 1 + 1 0 1 0 + 1 1 0 0 + 1 1 0 0 + 0 1 Para que M R M S = M S R necessitamos definir uma soma e um produto entre 0 e 1 da seguinte maneira, 1 1 = 1 0 0 = 0 1 0 = 0 = 0 1 1 + 1 = 1 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 = 0 + 1 Note que definir 1+1 = 1 se torna natural, pois 1+1 quer dizer que o elemento correspondente apareceu 2 vezes na composição. Este é o caso do elemento (1, i) S R. 18
4.4 Endorrelações Já vimos na seção anterior que dado um conjunto A é qualquer relação R de A em A, ou seja, R A A. Se A é um conjunto finito podemos representar a relação R por um grafo. 4.4.1 Grafos Seja A um conjunto finito e R A A. Cada elemento de A será representado por um ponto que é denominado de nodo ou vértice do grafo. Cada par ordenado (a, b) R será representado por uma flecha iniciando em a e terminando em b e é denominado aresta ou arco ou seta. Exemplo 4.4.1 A = {0, 1, 2, 3} G 1 = {(0, 1), (1, 2), (2, 0)} G 2 = {(0, 1), (1, 0), (2, 2), (3, 1)} G 3 = {(0, 1), (0, 2), (2, 3), (3, 1)} Observação 4.10. Existe uma área inteira na Matemática dedicada ao estudo de grafos, vocês terão oportunidade de aprofundar essa idéia na disciplina de Teoria de Grafos. Note que não existe uma maneira única de representar uma endorrelação via grafos, estas dependem da disposição inicial dos nodos; porém em algumas é mais fácil visualizar o comportamento da relação que em outras. O elemento (2, 2) G 2 é representado por um loop; isso acontece em geral, todos os pontos fixos de uma relação são representados por um loop. 19
4.4.2 Propriedades das Endorrelações Sejam A um conjunto não vazio e R A A. Coletamos abaixo algumas propriedades que R pode possuir. Dizemos que R A A é uma relação, reflexiva se e somente se ( a A) (a, a) R, ou seja, todos os elementos de A estão relacionados consigo mesmo. irreflexiva se e somente se ( a A) (a, a) / R, ou seja, nenhum elemento de A está relacionado consigo mesmo. simétrica se e somente se ( a A) ( b A) (a, b) R = (b, a) R. antissimétrica se e somente se ( a A) ( b A) (a, b) R (b, a) R = a = b. 20
transitiva se e somente se ( a A)( b A)( c A) (a, b) R (b, c) R = (a, c) R. Exemplo 4.4.3 Verifique se as endorrelações S 1, S 1, S 3, S 4, S 5 e S 6 possuem alguma dessas propriedades. Seja A um conjunto finito, M a matriz que representa R e G o grafo associado a R. R é reflexiva se e somente se M R é reflexiva se e somente se G R é irreflexiva se e somente se M R é irreflexiva se e somente se G R é simétrica se e somente se M R é simétrica se e somente se G R é antissimétrica se e somente se M R é antissimétrica se e somente se G 21
4.5 Relação de Equivalência Nesta seção estudamos um tipo de endorrelação muito importante que classifica dados. 4.5.1 Definições e Teoremas Definição 4.11. Sejam A um conjunto e = R A A uma endorrelação. Dizemos que R é uma relação de equivalência em A se e somente se R é reflexiva e R é simétrica e R é transitiva. Exemplo 4.5.1 Seja T = conjunto de todos os seres humanos do planeta terra. Definimos a relação R da seguinte maneira, dadas duas pessoas de T elas estão relacionadas se e somente se possuem o mesmo tipo sanguíneo. Ou seja, dados x, y T, (x, y) R x e y tem o mesmo tipo sanguíneo. R é uma relação de equivalência em T. De fato, R é reflexiva R é simétrica R é transitiva Exemplo 4.5.2 Seja U = conjunto de todos os alunos matriculados na disciplina de Matemática Discreta B em 2010/1. Definimos a relação R da seguinte maneira, dadas dois alunos de U eles estão relacionadas se e somente se obtiveram o mesmo conceito final na disciplina de Matemática Discreta B. Ou seja, dados x, y U, (x, y) R x e y tem o mesmo conceito final. R é uma relação de equivalência em U. De fato, R é reflexiva R é simétrica R é transitiva Definição 4.12. Sejam A um conjunto, = R A A uma relação de equivalência em A e a A. A classe de equivalência de a A, denotada por [ a ] R ou a R, é o subconjunto de A formado por todos os elementos que estão relacionados com a. Ou seja, [ a ] R = a R := {b A; (a, b) R} A. Nos exemplos acima: 22
Teorema 4.13. Sejam A um conjunto, = R A A uma relação de equivalência em A e a, b A. As seguintes proposições são equivalentes. (i) (a, b) R. (ii) [ a ] R = [ b ] R. (iii) [ a ] R [ b ] R. Demonstração. Pelo exercício 4 (g e h) da Lista 1 basta mostrar que (i) = (ii) (ii) = (iii) (iii) = (i) Corolário 4.14. Sejam A um conjunto, = R A A uma relação de equivalência em A e a, b A. Então, (a, b) R [ a ] R [ b ] R [ a ] R [ b ] R =. Definição 4.15. Seja A um conjunto. Uma partição de A é uma coleção de subconjuntos de A, dois a dois disjuntos tais que a união de todos esses subconjuntos é A. Assim, A 1, A 2, A 3... A formam uma partição de A se e somente se A = A 1 A 2 A 3... e A i A j = para i j. Proposição 4.16. Seja A um conjunto. Se R é uma relação de equivalência em A, então as classes de equivalência de R formam uma partição de A. Reciprocamente, se A 1, A 2, A 3... A formam uma partição de A então existe uma relação de equivalência em A tal que cada classe de equivalência dessa relação é um elemento da partição dada. 23
4.5.2 Congruências Teorema 4.17. ( Algoritmo da Divisão Euclidiana) Sejam a, b Z com b 0. Então, existem e são únicos o quociente q Z e o resto r N tais que a = b q + r, com 0 < r < b ou r = 0. Exemplos. Definição 4.18. Congruências Módulo n. Sejam a, b Z e n N {0, 1}. Dizemos que a é congruente a b módulo n e anotamos a b (mod n), se e somente se a e b tem o mesmo resto quando divididos por n. Ou seja, tomando A = Z temos: a b (mod n) (a, b) R a e b tem o mesmo resto quando divididos por n a b é divisível por n a b é um múltiplo de n. Proposição 4.19. A relação de congruência definida acima é uma relação de equivalência em Z. Demonstração. De fato, R é reflexiva R é simétrica R é transitiva 24
Exemplos. Estudamos os seguintes casos. n = 2 n = 3 n = 4 n = 6 25
4.5.3 Mais Exemplos de Relação de Equivalência Em todos os exemplo abaixo vamos determinar o domínio e a imagem de cada relação, bem como verificar se possuem as propriedades estudadas, total, sobrejetora, injetora, funcional, reflexiva, irreflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva. Também vamos determinar algumas classes de equivalência. Exemplo E 1 : A = R 2, E 1 A A definida por ( (a, b), (c, d) ) E 1 b = d. Exemplo E 2 : A = R 2, E 2 A A definida por ( (a, b), (c, d) ) E 2 a + b = c + d. Exemplo E 3 : A = R 2 {0}, E 3 A A definida por ( (a, b), (c, d) ) E 3 a c = b d. 26
4.6 Relação de Ordem Definição 4.20. Sejam A um conjunto e = R A A uma endorrelação. Dizemos que R é uma relação de ordem parcial (ou ampla) em A se e somente se R é reflexiva e R é antissimétrica e R é transitiva. Notação:Sejam A um conjunto e = R A A uma uma relação de ordem em A. (A, R) denota o conjunto A com a ordem dada por R, que também será chamado de POSET (partial ordered set). Dados a, b A, o par ordenado (a, b) R é denotado por a b. Utilizando na notação acima temos, (A, R) = (A, ). Definição 4.21. Sejam A um conjunto e (A, ) um POSET. Dizemos que a, b A são comparáveis no POSET (A, ) se e somente se a b, ( (a, b) R ) ou b a, ( (b, a) R ) Exemplos : (i) (R, ) (ii) (Q, ), (Z, ), (N, ) (iii) Seja T um conjunto e P(T ) o conjunto das partes de T. (P(T ), ) é um POSET. Definição 4.22. Sejam A um conjunto e (A, ) um POSET. Dizemos que (A, ) é totalmente ordenado e anotamos, TO, se e somente se quaisquer dois elementos de A são comparáveis, ou seja, ( a A) ( b A) a b b a. 27
Para examinar os exemplos anteriores necessitamos do seguinte resultado. Tricotomia. ( a R) ( b R) uma e apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. (i) a < b, (ii) a = b, (iii) a > b. Com esse resultado temos que (R, ), (Q, ), (Z, ), (N, ) são POSETs totalmente ordenados. Já (P(T ), ) é um POSET que não é { totalmente ordenado. } Tomando T = {a, b}, temos P(T ) =, {a}, {b}, {a, b} e {a} {b} e nem {b} {a}, ou seja, {a} e {b} não são comparáveis. Definição 4.23. Sejam A um conjunto e (A, ) um POSET totalmente ordenado. Dizemos que (A, ) é bem ordenado e anotamos, BO, se e somente se todo subconjunto não vazio de A possui menor elemento. Ou seja, ( B A) B = ( b B) b b, b B. Exemplos Definição 4.24. Sejam A um conjunto e = R A A uma endorrelação. Dizemos que R é uma relação de ordem parcial estrita em A se e somente se R é irreflexiva e R é antissimétrica e R é transitiva. Exemplos 28